สมการของการสั่นของฮาร์มอนิก สมการของการสั่นของฮาร์มอนิกและความสำคัญในการศึกษาธรรมชาติของกระบวนการแกว่ง

ทฤษฎีพื้นฐานของแมกซ์เวลล์สำหรับสนามแม่เหล็กไฟฟ้า

สนามไฟฟ้าวอร์เท็กซ์

จากกฎของคูลอมบ์ ξ=dФ/dtตามนั้น ใดๆการเปลี่ยนแปลงฟลักซ์ของการเหนี่ยวนำแม่เหล็กที่ประกอบกับวงจรนำไปสู่การเกิดขึ้นของแรงเคลื่อนไฟฟ้าของการเหนี่ยวนำ และเป็นผลให้กระแสเหนี่ยวนำปรากฏขึ้น ดังนั้นการเกิดแรงเคลื่อนไฟฟ้า การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้ายังเป็นไปได้ในวงจรคงที่ซึ่งอยู่ในสนามแม่เหล็กกระแสสลับ อย่างไรก็ตาม emf ในวงจรใด ๆ จะเกิดขึ้นเฉพาะเมื่อแรงภายนอกกระทำต่อตัวพากระแสในวงจรนั้น - แรงจากแหล่งกำเนิดที่ไม่เกิดไฟฟ้าสถิต (ดู§ 97) ดังนั้นจึงมีคำถามเกี่ยวกับธรรมชาติของแรงภายนอกในกรณีนี้

ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าแรงภายนอกเหล่านี้ไม่เกี่ยวข้องกับกระบวนการทางความร้อนหรือทางเคมีในวงจร การเกิดขึ้นของพวกเขาไม่สามารถอธิบายได้ด้วยกองกำลัง Lorentz เนื่องจากพวกเขาไม่ได้ทำหน้าที่ในข้อหาที่ไม่สามารถเคลื่อนย้ายได้ Maxwell ตั้งสมมติฐานว่าสนามแม่เหล็กสลับใดๆ กระตุ้นสนามไฟฟ้าในอวกาศโดยรอบ ซึ่ง

และเป็นตัวการทำให้เกิดกระแสเหนี่ยวนำในวงจร ตามแนวคิดของ Maxwell วงจรที่ emf ปรากฏขึ้นมีบทบาทรอง โดยเป็น "อุปกรณ์" ชนิดเดียวที่ตรวจจับฟิลด์นี้ได้

สมการแรก Maxwell ให้เหตุผลว่าการเปลี่ยนแปลงของสนามไฟฟ้าทำให้เกิดสนามแม่เหล็กกระแสน้ำวน

สมการที่สอง Maxwell แสดงกฎของฟาราเดย์ว่าด้วยการเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: EMF ในวงจรปิดใดๆ จะเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลง (เช่น อนุพันธ์ของเวลา) ของฟลักซ์แม่เหล็ก แต่ EMF เท่ากับองค์ประกอบแทนเจนต์ของเวกเตอร์ความแรงของสนามไฟฟ้า E คูณด้วยความยาวของวงจร หากต้องการไปที่โรเตอร์เช่นเดียวกับในสมการ Maxwell แรก ก็เพียงพอแล้วที่จะแบ่ง EMF ตามพื้นที่วงจร และปล่อยให้ส่วนหลังเป็นศูนย์ เช่น ใช้วงจรขนาดเล็กที่ครอบคลุมจุดที่พิจารณาในอวกาศ (รูปที่ 9, ค). จากนั้นทางด้านขวาของสมการจะไม่มีฟลักซ์อีกต่อไป แต่เป็นการเหนี่ยวนำแม่เหล็กเนื่องจากฟลักซ์เท่ากับการเหนี่ยวนำคูณด้วยพื้นที่ของวงจร
เราจะได้: rotE = - dB/dt
ดังนั้น สนามไฟฟ้ากระแสน้ำวนจึงถูกสร้างขึ้นจากการเปลี่ยนแปลงของสนามแม่เหล็ก ซึ่งแสดงไว้ในรูปที่ 9c และแทนด้วยสูตรที่ให้มา
สมการที่สามและสี่แม็กซ์เวลล์จัดการกับค่าใช้จ่ายและสนามที่พวกเขาสร้างขึ้น พวกเขาขึ้นอยู่กับทฤษฎีบท Gauss ซึ่งระบุว่าฟลักซ์ของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำไฟฟ้าผ่านพื้นผิวปิดใด ๆ เท่ากับประจุภายในพื้นผิวนี้

วิทยาศาสตร์ทั้งหมดขึ้นอยู่กับสมการของ Maxwell - อิเล็กโทรไดนามิกส์ซึ่งอนุญาตให้เข้มงวดได้ วิธีการทางคณิตศาสตร์แก้ปัญหาที่เป็นประโยชน์มากมาย เป็นไปได้ที่จะคำนวณ เช่น สนามการแผ่รังสีของเสาอากาศต่างๆ ทั้งในพื้นที่ว่างและใกล้พื้นผิวโลกหรือใกล้กับลำตัวของเครื่องบิน เช่น เครื่องบินหรือจรวด อิเล็กโทรไดนามิกส์ช่วยให้คุณสามารถคำนวณการออกแบบท่อนำคลื่นและเครื่องสะท้อนเสียงในโพรง ซึ่งเป็นอุปกรณ์ที่ใช้ที่ความถี่สูงมากในช่วงคลื่นเซนติเมตรและมิลลิเมตร ซึ่งสายส่งแบบธรรมดาและวงจรออสซิลเลเตอร์ไม่เหมาะอีกต่อไป หากไม่มีอิเล็กโทรไดนามิกส์ ก็จะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะพัฒนาเรดาร์ การสื่อสารทางวิทยุอวกาศ เทคโนโลยีเสาอากาศ และสาขาอื่น ๆ ของวิศวกรรมวิทยุสมัยใหม่

กระแสอคติ

SHIFT CURRENT ปริมาณที่เป็นสัดส่วนกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของสนามไฟฟ้ากระแสสลับในไดอิเล็กตริกหรือสุญญากาศ ชื่อ "กระแส" เกิดจากการที่กระแสการกระจัดสร้างสนามแม่เหล็ก เช่นเดียวกับกระแสการนำไฟฟ้า

เมื่อสร้างทฤษฎีสนามแม่เหล็กไฟฟ้า J.K. Maxwell ได้เสนอสมมติฐาน (ต่อมาได้รับการยืนยันจากการทดลอง) ว่าสนามแม่เหล็กไม่ได้ถูกสร้างขึ้นโดยการเคลื่อนที่ของประจุเท่านั้น (กระแสการนำไฟฟ้าหรือกระแสธรรมดา) แต่ยังเกิดจากการเปลี่ยนแปลงของเวลาด้วย ของสนามไฟฟ้า

แนวคิดของกระแสการกระจัดได้รับการแนะนำโดย Maxwell เพื่อสร้างความสัมพันธ์เชิงปริมาณระหว่างสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงและสนามแม่เหล็กที่ทำให้เกิด

ตามทฤษฎีของแมกซ์เวลล์ ในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับที่มีตัวเก็บประจุ สนามไฟฟ้ากระแสสลับในตัวเก็บประจุในแต่ละช่วงเวลาจะสร้างสนามแม่เหล็กเช่นเดียวกับที่กระแส (เรียกว่ากระแสแทนที่) จะเกิดขึ้นถ้ามันไหลระหว่างแผ่นของ ตัวเก็บประจุ จากความหมายนี้เป็นไปตามนั้น เจ ซม = เจ(เช่น ค่าตัวเลขของความหนาแน่นกระแสการนำไฟฟ้าและความหนาแน่นกระแสการกระจัดมีค่าเท่ากัน) ดังนั้น เส้นของความหนาแน่นกระแสการนำไฟฟ้าภายในตัวนำจะเปลี่ยนเป็นเส้นของความหนาแน่นกระแสการกระจัดระหว่างแผ่นเปลือกโลกอย่างต่อเนื่อง ตัวเก็บประจุ. ความหนาแน่นกระแสอคติ เจ ซมแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของการเหนี่ยวนำไฟฟ้า งภายในเวลาที่กำหนด:

เจ ซม = + ?D/?t

กระแสการเคลื่อนที่ไม่ปล่อยความร้อนของจูล คุณสมบัติทางกายภาพหลักของมันคือความสามารถในการสร้างสนามแม่เหล็กในพื้นที่โดยรอบ

สนามแม่เหล็กกระแสน้ำวนถูกสร้างขึ้นโดยกระแสรวมซึ่งมีความหนาแน่น เจเท่ากับผลรวมของความหนาแน่นกระแสการนำไฟฟ้าและกระแสไบอัส?D/?t นั่นคือเหตุผลที่ค่า D / t ชื่อปัจจุบันถูกนำมาใช้

ฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์เรียกว่าระบบที่สั่นซึ่งอธิบายโดยการแสดงออกของรูปแบบ d 2 s / dt 2 + ω 0 2 s \u003d 0 หรือ

โดยที่จุดสองจุดด้านบนหมายถึงความแตกต่างสองเท่าตามเวลา การสั่นของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์เป็นตัวอย่างที่สำคัญของการเคลื่อนที่เป็นระยะ และใช้เป็นแบบจำลองที่แน่นอนหรือใกล้เคียงในปัญหาต่างๆ ของคลาสสิกและควอนตัมฟิสิกส์ ในตัวอย่างของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ อาจมีสปริง ลูกตุ้มเชิงฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วงจรออสซิลเลเตอร์ (สำหรับกระแสและแรงดันที่เล็กจนสามารถพิจารณาองค์ประกอบของวงจรเป็นเส้นตรงได้)

การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก

นอกจากการเคลื่อนที่แบบหมุนและการเคลื่อนที่ของวัตถุในกลศาสตร์แล้ว การเคลื่อนที่แบบแกว่งก็เป็นสิ่งที่น่าสนใจเช่นกัน การสั่นสะเทือนทางกล ก็เรียก การเคลื่อนไหวของร่างกายที่ทำซ้ำ (หรือประมาณ) ในช่วงเวลาปกติ กฎแห่งการเคลื่อนไหวของร่างกายที่สั่นคลอนนั้นถูกกำหนดโดยบางคน ฟังก์ชันเป็นระยะเวลา x = ฉ (ที). การแสดงกราฟิกของฟังก์ชันนี้ทำให้เห็นภาพของกระบวนการแกว่งตามเวลา

ตัวอย่างของระบบแกว่งอย่างง่าย ได้แก่ โหลดบนสปริงหรือลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ (รูปที่ 2.1.1)

การสั่นเชิงกล เช่น กระบวนการสั่นของธรรมชาติทางกายภาพอื่นๆ สามารถเป็นได้ ฟรีและ ถูกบังคับ. การสั่นสะเทือนฟรี ถูกสร้างขึ้นภายใต้อิทธิพล กองกำลังภายในระบบหลังจากนำระบบออกจากสมดุลแล้ว การสั่นของน้ำหนักบนสปริงหรือการสั่นของลูกตุ้มเป็นการสั่นแบบอิสระ การสั่นสะเทือนภายใต้การกระทำ ภายนอกเรียกว่าแรงเปลี่ยนแปลงเป็นระยะ ถูกบังคับ กระบวนการแกว่งประเภทที่ง่ายที่สุดนั้นง่าย การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก ซึ่งอธิบายได้ด้วยสมการ

ความถี่การสั่น ฉแสดงจำนวนการสั่นสะเทือนที่เกิดขึ้นใน 1 วินาที หน่วยความถี่ - เฮิรตซ์(เฮิรตซ์). ความถี่การสั่น ฉเกี่ยวข้องกับความถี่วงจร ω และระยะเวลาการสั่น ตอัตราส่วน:

ให้การพึ่งพาของปริมาณที่ผันผวน สตั้งแต่เวลา ที; นี่คือสมการของการสั่นของฮาร์มอนิกอิสระในรูปแบบที่ชัดเจน อย่างไรก็ตาม สมการของการแกว่งมักจะเข้าใจว่าเป็นบันทึกที่แตกต่างกันของสมการนี้ ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล เพื่อความชัดเจน เราใช้สมการ (1) ในแบบฟอร์ม

แยกความแตกต่างออกเป็นสองเท่าตามเวลา:

จะเห็นได้ว่ามีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

ซึ่งเรียกว่าสมการของการสั่นแบบฮาร์มอนิกอิสระ (ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล) สมการ (1) เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ (2) เนื่องจากสมการ (2) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง จึงจำเป็นต้องมีเงื่อนไขเริ่มต้นสองเงื่อนไขเพื่อให้ได้คำตอบที่สมบูรณ์ (นั่นคือ เพื่อกำหนดค่าคงที่ที่รวมอยู่ในสมการ (1) กและ j0); ตัวอย่างเช่น ตำแหน่งและความเร็วของระบบการสั่นที่ ที = 0.

การเพิ่มการสั่นแบบฮาร์มอนิกในทิศทางเดียวกันและความถี่เดียวกัน เต้น

ให้การสั่นแบบฮาร์มอนิกสองครั้งในทิศทางเดียวกันและความถี่เดียวกันเกิดขึ้น

สมการของการสั่นที่เกิดขึ้นจะมีรูปแบบ

เราตรวจสอบสิ่งนี้โดยเพิ่มสมการของระบบ (4.1)

การใช้ทฤษฎีบทผลรวมโคไซน์และการแปลงเชิงพีชคณิต:

เราสามารถหาปริมาณ A และ φ0 ที่ตรงตามสมการได้

เมื่อพิจารณา (4.3) เป็นสมการสองสมการที่มีนิรนาม A และ φ0 สองสมการ เราหาได้โดยยกกำลังสองและเพิ่มสมการ จากนั้นหารสมการที่สองด้วยสมการแรก:

แทน (4.3) เป็น (4.2) เราได้รับ:

หรือสุดท้าย ใช้ทฤษฎีบทผลรวมโคไซน์ เรามี:

ร่างกายที่เข้าร่วมการสั่นแบบฮาร์มอนิกสองครั้งในทิศทางเดียวกันและความถี่เดียวกัน ยังทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกในทิศทางเดียวกันและด้วยความถี่เดียวกันกับการสั่นแบบรวม แอมพลิจูดของการสั่นที่เกิดขึ้นนั้นขึ้นอยู่กับความแตกต่างของเฟส (φ2-φ1) ของการสั่นที่ปรับให้เรียบ

ขึ้นอยู่กับความแตกต่างของเฟส (φ2-φ1):

1) (φ2-φ1) = ±2mπ (m=0, 1, 2, ...) จากนั้น A= A1+A2 นั่นคือ แอมพลิจูดของการสั่นที่เกิดขึ้น A เท่ากับผลรวมของแอมพลิจูดของการเพิ่ม การสั่น;

2) (φ2-φ1) = ±(2m+1)π (m=0, 1, 2, ...) จากนั้น A= |A1-A2| นั่นคือ แอมพลิจูดของการสั่นที่เกิดขึ้นเท่ากับผลต่าง ในแอมพลิจูดของการสั่นที่เพิ่มเข้ามา

การเปลี่ยนแปลงเป็นระยะในแอมพลิจูดของการสั่นที่เกิดขึ้นเมื่อมีการเพิ่มการสั่นแบบฮาร์มอนิกสองครั้งที่มีความถี่ใกล้เคียงกันเรียกว่าบีต

ให้การแกว่งสองครั้งต่างกันเล็กน้อยในความถี่ จากนั้นแอมพลิจูดของการสั่นที่เพิ่มเข้ามาจะเท่ากับ A และความถี่จะเท่ากับ ω และ ω + Δω และ Δω จะน้อยกว่า ω มาก เราเลือกจุดอ้างอิงเพื่อให้เฟสเริ่มต้นของการสั่นทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์:

มาแก้ระบบกันเถอะ

โซลูชันระบบ:

การสั่นที่ได้จะถือเป็นฮาร์มอนิกด้วยความถี่ ω, แอมพลิจูด A ซึ่งจะแตกต่างกันไปดังต่อไปนี้ กฎหมายเป็นระยะ:

ความถี่ของการเปลี่ยนแปลงของ A เป็นสองเท่าของความถี่ของการเปลี่ยนแปลงของโคไซน์ ความถี่ของจังหวะจะเท่ากับความแตกต่างระหว่างความถี่ของการสั่นที่เพิ่มเข้ามา: ωb = Δω

จังหวะ:

การกำหนดความถี่โทนเสียง (เสียงของความสูงของบีตตามค่าอ้างอิงและการสั่นที่วัดได้เป็นวิธีที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในการเปรียบเทียบค่าที่วัดได้กับค่าอ้างอิง วิธีการบีทใช้เพื่อปรับ เครื่องดนตรี,การวิเคราะห์การได้ยิน เป็นต้น

ข้อมูลที่คล้ายกัน

สมการคลื่นฮาร์มอนิก

สมการการสั่นของฮาร์มอนิกสร้างการพึ่งพาอาศัยกันของพิกัดของร่างกายตรงเวลา

กราฟโคไซน์มีค่าสูงสุด ณ ช่วงเวลาเริ่มต้น และกราฟไซน์มีค่าเป็นศูนย์ ณ ช่วงเวลาเริ่มต้น หากเราเริ่มตรวจสอบการสั่นจากตำแหน่งสมดุล การสั่นจะทำซ้ำไซน์ไซด์ หากเราเริ่มพิจารณาการสั่นจากตำแหน่งของค่าเบี่ยงเบนสูงสุด การแกว่งจะอธิบายโคไซน์ หรือการสั่นสามารถอธิบายได้ด้วยสูตรไซน์ที่มีเฟสเริ่มต้น

การเปลี่ยนแปลงความเร็วและความเร่งระหว่างการสั่นแบบฮาร์มอนิก

ไม่เพียงแต่พิกัดของร่างกายจะเปลี่ยนไปตามกาลเวลาตามกฎของไซน์หรือโคไซน์เท่านั้น แต่ปริมาณเช่น แรง ความเร็ว และความเร่ง ก็เปลี่ยนแปลงในลักษณะเดียวกัน แรงและความเร่งมีค่าสูงสุดเมื่อวัตถุที่สั่นอยู่ในตำแหน่งสุดขีดที่การกระจัดมีค่าสูงสุด และมีค่าเท่ากับศูนย์เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ผ่านตำแหน่งสมดุล ในทางตรงกันข้ามความเร็วในตำแหน่งสุดขีดมีค่าเท่ากับศูนย์และเมื่อร่างกายผ่านตำแหน่งสมดุลก็จะถึงค่าสูงสุด

หากอธิบายการแกว่งตามกฎของโคไซน์

หากอธิบายการสั่นตามกฎหมายไซน์

ค่าความเร็วและความเร่งสูงสุด

หลังจากวิเคราะห์สมการของการพึ่งพา v(t) และ a(t) เราสามารถเดาได้ว่าค่าความเร็วและความเร่งสูงสุดจะถูกนำมาใช้เมื่อปัจจัยตรีโกณมิติเท่ากับ 1 หรือ -1 กำหนดโดยสูตร

การเปลี่ยนแปลงของปริมาณจะอธิบายโดยใช้กฎของไซน์หรือโคไซน์ จากนั้นการแกว่งดังกล่าวเรียกว่าฮาร์มอนิก พิจารณาวงจรที่ทำจากตัวเก็บประจุ (ซึ่งถูกชาร์จก่อนที่จะรวมอยู่ในวงจร) และตัวเหนี่ยวนำ (รูปที่ 1)

รูปภาพที่ 1

สามารถเขียนสมการการสั่นของฮาร์มอนิกได้ดังนี้

$q=q_0cos((\โอเมก้า )_0t+(\alpha )_0)$ (1)

โดยที่ $t$-เวลา; ค่าธรรมเนียม $q$, $q_0$-- ค่าเบี่ยงเบนสูงสุดจากค่าเฉลี่ย (ศูนย์) ระหว่างการเปลี่ยนแปลง $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- เฟสการแกว่ง; $(\alpha )_0$ - ช่วงเริ่มต้น; $(\omega )_0$ - ความถี่เป็นวงจร ในระหว่างงวด เฟสจะเปลี่ยนไป $2\pi $

พิมพ์สมการ:

สมการการสั่นของฮาร์มอนิกใน รูปแบบความแตกต่างสำหรับวงจรออสซิลเลเตอร์ที่ไม่มีตัวต้านทานแบบแอกทีฟ

การสั่นแบบคาบชนิดใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของการสั่นแบบฮาร์มอนิกได้อย่างแม่นยำ ซึ่งเรียกว่าอนุกรมฮาร์มอนิก

สำหรับระยะเวลาการสั่นของวงจรที่ประกอบด้วยขดลวดและตัวเก็บประจุ เราได้สูตรของทอมสัน:

ถ้าเราแยกแยะนิพจน์ (1) ตามเวลา เราจะได้สูตรสำหรับฟังก์ชัน $I(t)$:

แรงดันตกคร่อมตัวเก็บประจุสามารถหาได้ดังนี้

จากสูตร (5) และ (6) จะได้ว่าความแรงของกระแสไฟฟ้าอยู่ข้างหน้าแรงดันไฟฟ้าของตัวเก็บประจุ $\frac(\pi )(2).$

การสั่นแบบฮาร์มอนิกสามารถแสดงได้ทั้งในรูปของสมการ ฟังก์ชัน และไดอะแกรมเวกเตอร์

สมการ (1) แสดงถึงการสั่นแบบอิสระ

สมการการสั่นแบบหน่วง

การเปลี่ยนแปลงของประจุ ($q$) บนแผ่นตัวเก็บประจุในวงจรโดยคำนึงถึงความต้านทาน (รูปที่ 2) จะอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ของแบบฟอร์ม:

รูปที่ 2

ถ้าความต้านทานที่เป็นส่วนหนึ่งของวงจร $R \

โดยที่ $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ คือความถี่การสั่นแบบวนรอบ $\beta =\frac(R)(2L)-$ค่าสัมประสิทธิ์การลดทอน แอมพลิจูดของการสั่นแบบหน่วงจะแสดงเป็น:

ในกรณีที่ $t=0$ ประจุบนตัวเก็บประจุเท่ากับ $q=q_0$ ไม่มีกระแสในวงจร ดังนั้นสำหรับ $A_0$ เราสามารถเขียน:

เฟสการสั่นในช่วงเวลาเริ่มต้น ($(\alpha )_0$) เท่ากับ:

สำหรับ $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ การเปลี่ยนแปลงของประจุไม่ใช่การแกว่ง การคายประจุของตัวเก็บประจุเรียกว่า aperiodic

ตัวอย่างที่ 1

ออกกำลังกาย:มูลค่าการเรียกเก็บเงินสูงสุดคือ $q_0=10\ C$ มันเปลี่ยนแปลงอย่างกลมกลืนกับช่วงเวลา $T= 5 c$ กำหนดกระแสสูงสุดที่เป็นไปได้

สารละลาย:

เป็นพื้นฐานในการแก้ปัญหา เราใช้:

ในการค้นหากำลังปัจจุบัน นิพจน์ (1.1) จะต้องแตกต่างตามเวลา:

โดยที่ค่าสูงสุด (ค่าแอมพลิจูด) ของความแรงปัจจุบันคือนิพจน์:

จากเงื่อนไขของปัญหา เราทราบค่าแอมพลิจูดของประจุ ($q_0=10\ Kl$) คุณควรหาความถี่ธรรมชาติของการสั่น ขอแสดงเป็น:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]

ในกรณีนี้ จะหาค่าที่ต้องการได้จากสมการ (1.3) และ (1.2) ดังนี้

เนื่องจากปริมาณทั้งหมดในเงื่อนไขของปัญหาแสดงอยู่ในระบบ SI เราจะทำการคำนวณ:

คำตอบ:$I_0=12.56\ A.$

ตัวอย่างที่ 2

ออกกำลังกาย:ระยะเวลาการแกว่งในวงจรที่มีตัวเหนี่ยวนำ $L=1$H และตัวเก็บประจุคือเท่าใด ถ้ากระแสในวงจรเปลี่ยนแปลงตามกฎหมาย: $I\left(t\right)=-0.1sin20\pi t\ \left(A \right)?$ ความจุของตัวเก็บประจุคืออะไร?

สารละลาย:

จากสมการของการแกว่งปัจจุบันซึ่งกำหนดในเงื่อนไขของปัญหา:

เราเห็นว่า $(\omega )_0=20\pi $ ดังนั้น เราสามารถคำนวณระยะเวลาของการแกว่งโดยใช้สูตร:

\ \

ตามสูตรของทอมสันสำหรับวงจรที่มีตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุ เรามี:

ลองคำนวณความจุ:

คำตอบ:$T=0.1$ ค, $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$

เราได้พิจารณาระบบที่แตกต่างกันทางกายภาพหลายระบบ และตรวจสอบให้แน่ใจว่าสมการของการเคลื่อนที่นั้นถูกลดทอนให้อยู่ในรูปเดียวกัน

ความแตกต่างระหว่างระบบทางกายภาพจะปรากฎในคำจำกัดความที่แตกต่างกันของปริมาณเท่านั้น และในความหมายทางกายภาพที่แตกต่างกันของตัวแปร x: มันสามารถเป็นพิกัด มุม ประจุ กระแส ฯลฯ โปรดทราบว่าในกรณีนี้ ตามโครงสร้างของสมการ (1.18) ปริมาณจะมีมิติของเวลาผกผันเสมอ

สมการ (1.18) อธิบายสิ่งที่เรียกว่า การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก.

สมการของการสั่นของฮาร์มอนิก (1.18) เป็นแบบเส้นตรง สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง (เพราะมีอนุพันธ์อันดับสองของตัวแปร x). ความเป็นเชิงเส้นของสมการหมายความว่า

ถ้ามีฟังก์ชั่น x(เสื้อ)คือคำตอบของสมการนี้ แล้วก็ฟังก์ชัน คx(เสื้อ)จะเป็นทางออกของเขาด้วย ( คเป็นค่าคงที่โดยพลการ);

ถ้าฟังก์ชั่น x 1 (เสื้อ)และ x 2 (เสื้อ)เป็นคำตอบของสมการนี้ แล้วก็ผลรวมของมัน x 1 (เสื้อ) + x 2 (เสื้อ)จะเป็นคำตอบของสมการเดียวกันด้วย

ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ยังได้รับการพิสูจน์ตามที่สมการอันดับสองมีสอง โซลูชั่นอิสระ. วิธีแก้ปัญหาอื่น ๆ ทั้งหมดตามคุณสมบัติของความเป็นเชิงเส้นสามารถหาได้จากผลรวมเชิงเส้น ง่ายต่อการตรวจสอบโดยการหาความแตกต่างโดยตรงว่าฟังก์ชันอิสระและเป็นไปตามสมการ (1.18) วิธี, การตัดสินใจร่วมกันสมการนี้มีรูปแบบ:

ที่ไหน ซี 1,C2เป็นค่าคงที่โดยพลการ โซลูชันนี้สามารถนำเสนอในรูปแบบอื่นได้ เราแนะนำปริมาณ

และกำหนดมุมดังนี้

จากนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไป (1.19) จะถูกเขียนเป็น

ตามสูตรตรีโกณมิตินิพจน์ในวงเล็บคือ

ในที่สุดเราก็มาถึง คำตอบทั่วไปของสมการของการสั่นของฮาร์มอนิกเช่น:

ค่าที่ไม่เป็นลบ กเรียกว่า แอมพลิจูดการสั่น, - ระยะเริ่มต้นของการสั่น. อาร์กิวเมนต์โคไซน์ทั้งหมด - การรวมกัน - เรียกว่า เฟสการสั่น.

นิพจน์ (1.19) และ (1.23) นั้นเทียบเท่ากันอย่างสมบูรณ์ ดังนั้นเราจึงสามารถใช้ทั้งสองอย่างเพื่อความเรียบง่าย คำตอบทั้งสองเป็นฟังก์ชันของเวลา อันที่จริง ไซน์และโคไซน์เป็นคาบที่มีคาบ . ดังนั้น สถานะต่างๆ ของระบบที่มีการสั่นแบบฮาร์มอนิกจะเกิดขึ้นซ้ำหลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่ง เ*ซึ่งเฟสการสั่นได้รับการเพิ่มขึ้นที่เป็นทวีคูณของ :

มันจึงเป็นไปตามนั้น

เวลาน้อยที่สุด

เรียกว่า ระยะเวลาของการสั่น (รูปที่ 1.8), a - เขา วงกลม (เป็นวงกลม) ความถี่.

ข้าว. 1.8.

พวกเขายังใช้ ความถี่ ความลังเล

ดังนั้น ความถี่วงกลมจะเท่ากับจำนวนการสั่นต่อ วินาที

ดังนั้นหากระบบเวลา ทีโดดเด่นด้วยค่าของตัวแปร x(เสื้อ),จากนั้นค่าเดียวกันตัวแปรจะมีหลังจากช่วงเวลาหนึ่ง (รูปที่ 1.9) นั่นคือ

แน่นอนว่าค่าเดียวกันจะถูกทำซ้ำหลังจากนั้นไม่นาน 2T, ZTเป็นต้น

ข้าว. 1.9. ระยะเวลาการสั่น

โซลูชันทั่วไปประกอบด้วยค่าคงที่ตามอำเภอใจสองตัว ( ซี 1 , ซี 2หรือ ก, ก) ค่าที่ควรถูกกำหนดโดยสอง เงื่อนไขเริ่มต้น. โดยปกติ (แม้ว่าจะไม่จำเป็น) บทบาทของพวกเขาจะเล่นโดยค่าเริ่มต้นของตัวแปร x(0)และอนุพันธ์ของมัน

ลองมาเป็นตัวอย่าง ให้ผลเฉลย (1.19) ของสมการการสั่นของฮาร์มอนิกอธิบายการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มสปริง ค่าคงที่โดยพลการขึ้นอยู่กับวิธีที่เรานำลูกตุ้มออกจากสมดุล เช่น เราดึงสปริงให้ห่าง และปล่อยลูกบอลโดยไม่มีความเร็วต้น ในกรณีนี้

การทดแทน เสื้อ = 0ใน (1.19) เราจะหาค่าคงที่ จาก 2

วิธีแก้ปัญหาจึงมีลักษณะดังนี้:

ความเร็วของการโหลดพบได้จากความแตกต่างตามเวลา

แทนที่นี่ ที = 0 จงหาค่าคงที่ จาก 1:

ในที่สุด

เมื่อเปรียบเทียบกับ (1.23) เราพบว่า คือแอมพลิจูดของการสั่น และเฟสเริ่มต้นมีค่าเท่ากับศูนย์: .

ตอนนี้เรานำลูกตุ้มออกจากสมดุลด้วยวิธีอื่น ลองกดโหลดเพื่อให้ได้กำไร ความเร็วเริ่มต้นแต่ในทางปฏิบัติจะไม่เปลี่ยนระหว่างการกระแทก จากนั้นเรามีเงื่อนไขเริ่มต้นอื่น ๆ :

โซลูชันของเรามีลักษณะดังนี้

ความเร็วของการบรรทุกจะเปลี่ยนตามกฎหมาย:

มาวางไว้ที่นี่:

ประเภทของการสั่นสะเทือนที่ง่ายที่สุดคือ การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก- ความผันผวนซึ่งการกระจัดของจุดสั่นจากตำแหน่งสมดุลจะเปลี่ยนไปตามเวลาตามกฎไซน์หรือโคไซน์

ดังนั้น ด้วยการหมุนลูกบอลรอบเส้นรอบวงอย่างสม่ำเสมอ การฉายภาพ (เงาในลำแสงคู่ขนาน) จะทำการเคลื่อนที่แบบสั่นแบบฮาร์มอนิกบนหน้าจอแนวตั้ง (รูปที่ 1)

การกระจัดจากตำแหน่งสมดุลระหว่างการสั่นแบบฮาร์มอนิกอธิบายโดยสมการ (เรียกว่ากฎจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิก) ของรูปแบบ:

โดยที่ x - การกระจัด - ค่าที่แสดงลักษณะของจุดสั่น ณ เวลา t เทียบกับตำแหน่งสมดุลและวัดโดยระยะทางจากตำแหน่งสมดุลไปยังตำแหน่งของจุด ณ เวลาที่กำหนด A - แอมพลิจูดการสั่น - การกระจัดสูงสุดของร่างกายจากตำแหน่งสมดุล T - ช่วงเวลาการสั่น - เวลาของการสั่นที่สมบูรณ์หนึ่งครั้ง เหล่านั้น. ระยะเวลาที่สั้นที่สุดหลังจากที่มีการทำซ้ำค่า ปริมาณทางกายภาพลักษณะการสั่น; - ระยะเริ่มต้น

เฟสของการแกว่งที่เวลา t เฟสการสั่นเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันคาบ ซึ่งสำหรับแอมพลิจูดการสั่นที่กำหนด จะเป็นตัวกำหนดสถานะของระบบการแกว่ง (การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง) ของร่างกาย ณ เวลาใดๆ

หาก ณ ช่วงเวลาเริ่มต้น จุดแกว่งถูกเลื่อนออกจากตำแหน่งสมดุลมากที่สุด ดังนั้น และการกระจัดของจุดจากตำแหน่งสมดุลจะเปลี่ยนไปตามกฎหมาย

ถ้าจุดแกว่งที่ตำแหน่งสมดุลคงที่ การกระจัดของจุดจากตำแหน่งสมดุลจะเปลี่ยนไปตามกฎหมาย

ค่า V ซึ่งเป็นส่วนกลับของช่วงเวลาและเท่ากับจำนวนการแกว่งทั้งหมดใน 1 วินาที เรียกว่าความถี่การแกว่ง:

หากในเวลา t ร่างกายทำให้การสั่นสมบูรณ์ N ดังนั้น

มูลค่า , แสดงจำนวนการแกว่งที่ร่างกายสร้างขึ้นใน s เรียกว่า ความถี่แบบวงกลม (วงกลม).

กฎจลน์ของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกสามารถเขียนได้ดังนี้

ในเชิงกราฟิก การขึ้นต่อกันของการกระจัดของจุดสั่นตามเวลาจะแสดงด้วยโคไซน์ (หรือไซน์ซอยด์)

รูปที่ 2 a แสดงการขึ้นต่อกันของเวลาของการกระจัดของจุดสั่นจากตำแหน่งสมดุลสำหรับกรณี

ให้เราค้นหาว่าความเร็วของจุดสั่นเปลี่ยนไปตามเวลาอย่างไร ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์ของเวลาจากนิพจน์นี้:

แอมพลิจูดของการฉายภาพความเร็วบนแกน x อยู่ที่ไหน

สูตรนี้แสดงว่าระหว่างการสั่นแบบฮาร์มอนิก การฉายภาพความเร็วของร่างกายบนแกน x ก็จะเปลี่ยนไปตาม กฎหมายฮาร์มอนิกที่มีความถี่เท่ากัน มีแอมพลิจูดต่างกัน และอยู่ข้างหน้าเฟสการผสมโดย (รูปที่ 2b)

ในการค้นหาการขึ้นต่อกันของความเร่ง เราจะหาอนุพันธ์ของเวลาของการประมาณความเร็ว:

โดยที่แอมพลิจูดของการฉายภาพความเร่งบนแกน x คือ

สำหรับการสั่นแบบฮาร์มอนิก การฉายภาพด้วยความเร่งนำไปสู่การเปลี่ยนเฟสด้วย k (รูปที่ 2, c)

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถสร้างกราฟอ้างอิงได้