สมการของเส้นสัมผัสกับกราฟที่ผ่านจุด สมการแทนเจนต์ของกราฟฟังก์ชัน - ไฮเปอร์มาร์เก็ตความรู้

คำแนะนำ

เรากำหนดความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งที่จุด M
เส้นโค้งที่แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) นั้นต่อเนื่องในบางย่านของจุด M (รวมถึงจุด M เองด้วย)

หากไม่มีค่า f‘(x0) แสดงว่าไม่มีเส้นสัมผัสหรือผ่านในแนวตั้ง ในมุมมองนี้ การมีอยู่ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x0 เกิดจากการมีอยู่ของเส้นสัมผัสที่ไม่ใช่แนวตั้งที่สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุด (x0, f(x0)) ในกรณีนี้ความชันของเส้นสัมผัสจะเท่ากับ f "(x0) ดังนั้นความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์จะชัดเจน - การคำนวณความชันของเส้นสัมผัส

ค้นหาค่า abscissa ของจุดติดต่อซึ่งแสดงด้วยตัวอักษร "a" ถ้ามันตรงกับจุดสัมผัสที่กำหนด ดังนั้น "a" จะเป็นพิกัด x กำหนดค่า ฟังก์ชั่น f(a) แทนลงในสมการ ฟังก์ชั่นขนาดของแอ็บสซิสซา

กำหนดอนุพันธ์อันดับหนึ่งของสมการ ฟังก์ชั่น f'(x) แล้วแทนค่าของจุด "a" ลงไป

ใช้สมการสัมผัสทั่วไปซึ่งกำหนดเป็น y \u003d f (a) \u003d f (a) (x - a) และแทนที่ค่าที่พบของ a, f (a), f "( ก) ลงไป เป็นผลให้พบคำตอบของกราฟและสัมผัสกัน

แก้ปัญหาด้วยวิธีอื่นหากจุดสัมผัสที่กำหนดไม่ตรงกับจุดสัมผัส ในกรณีนี้ จำเป็นต้องแทน "a" แทนตัวเลขในสมการแทนเจนต์ หลังจากนั้นแทนตัวอักษร "x" และ "y" ให้แทนค่าพิกัดของจุดที่กำหนดให้ แก้สมการผลลัพธ์ที่ไม่รู้จัก "a" ใส่ค่าผลลัพธ์ลงในสมการแทนเจนต์

เขียนสมการแทนเจนต์ด้วยตัวอักษร "a" ถ้าสมการถูกกำหนดให้อยู่ในเงื่อนไขของโจทย์ ฟังก์ชั่นและสมการของเส้นขนานเทียบกับเส้นสัมผัสที่ต้องการ หลังจากนั้นคุณต้องมีอนุพันธ์ ฟังก์ชั่น

บน ขั้นตอนปัจจุบันการพัฒนาการศึกษาเป็นหนึ่งในภารกิจหลักคือการสร้างบุคลิกภาพที่มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ ความสามารถในการสร้างสรรค์ของนักเรียนสามารถพัฒนาได้ก็ต่อเมื่อพวกเขามีส่วนร่วมอย่างเป็นระบบในพื้นฐานของกิจกรรมการวิจัย รากฐานสำหรับนักเรียนในการใช้พลังความคิดสร้างสรรค์ ความสามารถและพรสวรรค์ของพวกเขานั้นเกิดจากความรู้และทักษะที่เต็มเปี่ยม ในเรื่องนี้ปัญหาของการสร้างระบบความรู้และทักษะพื้นฐานสำหรับแต่ละหัวข้อของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนนั้นมีความสำคัญไม่น้อย ในขณะเดียวกัน ทักษะที่เต็มเปี่ยมควรเป็นเป้าหมายในการสอน ไม่ใช่ของงานแต่ละอย่าง แต่เป็นระบบที่ไตร่ตรองอย่างรอบคอบ ในความหมายที่กว้างที่สุด ระบบถูกเข้าใจว่าเป็นชุดขององค์ประกอบการโต้ตอบที่สัมพันธ์กันซึ่งมีความสมบูรณ์และโครงสร้างที่มั่นคง

พิจารณาวิธีการสอนนักเรียนเกี่ยวกับวิธีสร้างสมการแทนเจนต์ของกราฟฟังก์ชัน โดยพื้นฐานแล้ว งานทั้งหมดสำหรับการค้นหาสมการแทนเจนต์จะลดลงจนจำเป็นต้องเลือกจากชุด (มัด, ตระกูล) ของเส้นที่ตรงตามความต้องการบางอย่าง - พวกมันสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง ในกรณีนี้ ชุดของบรรทัดที่ดำเนินการเลือกสามารถระบุได้สองวิธี:

a) จุดที่อยู่บนระนาบ xOy (ดินสอกลางของเส้น);
b) ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม (การรวมกลุ่มของเส้นขนาน)

ในเรื่องนี้ เมื่อศึกษาหัวข้อ "สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน" เพื่อแยกองค์ประกอบของระบบ เราได้ระบุงานสองประเภท:

1) งานบนแทนเจนต์ที่กำหนดโดยจุดที่ผ่าน
2) งานบนเส้นสัมผัสที่กำหนดโดยความชัน

การเรียนรู้เพื่อแก้ปัญหาบนแทนเจนต์ดำเนินการโดยใช้อัลกอริทึมที่เสนอโดย A.G. มอเดอร์โควิช. ความแตกต่างพื้นฐานจากสิ่งที่ทราบอยู่แล้วคือ abscissa ของจุดสัมผัสนั้นแสดงด้วยตัวอักษร a (แทนที่จะเป็น x0) ซึ่งเกี่ยวข้องกับสมการแทนเจนต์ที่ใช้รูปแบบ

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(เปรียบเทียบกับ y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)) ในความคิดของเรา เทคนิคระเบียบวิธีนี้ช่วยให้นักเรียนทราบตำแหน่งพิกัดของจุดปัจจุบันได้อย่างรวดเร็วและง่ายดาย ในสมการแทนเจนต์ทั่วไป และจุดสัมผัสอยู่ที่ไหน

อัลกอริทึมสำหรับรวบรวมสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x)

1. กำหนดด้วยตัวอักษร a abscissa ของจุดติดต่อ
2. ค้นหา f(a)
3. ค้นหา f "(x) และ f "(a)
4. แทนที่ตัวเลขที่พบ a, f (a), f "(a) ลงในสมการทั่วไปของแทนเจนต์ y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a)

อัลกอริทึมนี้สามารถรวบรวมบนพื้นฐานของการเลือกการดำเนินการโดยอิสระของนักเรียนและลำดับของการดำเนินการ

การปฏิบัติได้แสดงให้เห็นว่า โซลูชันที่สอดคล้องกันงานสำคัญแต่ละอย่างด้วยความช่วยเหลือของอัลกอริทึมช่วยให้คุณสร้างความสามารถในการเขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชันเป็นขั้นตอนและขั้นตอนของอัลกอริทึมทำหน้าที่เป็นจุดแข็งสำหรับการดำเนินการ วิธีการนี้สอดคล้องกับทฤษฎีของการก่อตัวของการกระทำทางจิตอย่างค่อยเป็นค่อยไปซึ่งพัฒนาโดย P.Ya Galperin และ N.F. ทาลิซิน่า.

ในงานประเภทแรก มีการระบุงานหลักสองงาน:

• เส้นสัมผัสผ่านจุดที่อยู่บนเส้นโค้ง (ปัญหาที่ 1);
• เส้นสัมผัสผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นโค้ง (ปัญหาที่ 2)

งาน 1. เทียบแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ที่จุด M(3; – 2)

สารละลาย. จุด M(3; – 2) เป็นจุดติดต่อ เนื่องจาก

1. a = 3 - abscissa ของจุดสัมผัส
2. ฉ(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 คือสมการแทนเจนต์

ภารกิจที่ 2 เขียนสมการของแทนเจนต์ทั้งหมดลงในกราฟของฟังก์ชัน y = - x 2 - 4x + 2 ผ่านจุด M(- 3; 6)

สารละลาย. จุด M(– 3; 6) ไม่ใช่จุดสัมผัส เนื่องจาก f(– 3) 6 (รูปที่ 2)

2. ฉ(ก) = – ก 2 – 4ก + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - สมการสัมผัส

เส้นสัมผัสผ่านจุด M(– 3; 6) ดังนั้น พิกัดจึงเป็นไปตามสมการเส้นสัมผัส

6 = – ก 2 – 4ก + 2 – 2(ก + 2)(– 3 – ก),
ก 2 + 6a + 8 = 0 ^ ก 1 = - 4, ก 2 = - 2

ถ้า a = – 4 สมการแทนเจนต์คือ y = 4x + 18

ถ้า a \u003d - 2 สมการแทนเจนต์จะมีรูปแบบ y \u003d 6

ในแบบที่สอง ภารกิจหลักจะเป็นดังต่อไปนี้:

• เส้นสัมผัสขนานกับเส้นตรงบางเส้น (ปัญหาที่ 3);
• เส้นสัมผัสผ่านในบางมุมไปยังเส้นที่กำหนด (ปัญหาที่ 4)

ภารกิจที่ 3 เขียนสมการแทนเจนต์ทั้งหมดลงในกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 3 - 3x 2 + 3 ขนานกับเส้น y \u003d 9x + 1

1. a - abscissa ของจุดสัมผัส
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a

แต่ในทางกลับกัน f "(a) \u003d 9 (เงื่อนไขความขนาน) ดังนั้นเราต้องแก้สมการ 3a 2 - 6a \u003d 9 รากของมัน a \u003d - 1, a \u003d 3 (รูปที่ . 3).

4. 1) ก = – 1;
2) ฉ(– 1) = – 1;
3) ฉ "(– 1) = 9;
4) ย = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 คือสมการแทนเจนต์

1) ก = 3;
2) ฉ(3) = 3;
3) ฉ "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x – 24 คือสมการแทนเจนต์

ภารกิจที่ 4 เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน y = 0.5x 2 - 3x + 1 ผ่านมุม 45 °ไปยังเส้นตรง y = 0 (รูปที่ 4)

สารละลาย. จากเงื่อนไข f "(a) \u003d tg 45 ° เราพบ a: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4

1. a = 4 - abscissa ของจุดสัมผัส
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. ฉ "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4)

y \u003d x - 7 - สมการของแทนเจนต์

เป็นการง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาอื่น ๆ นั้นลดลงเหลือเพียงการแก้ปัญหาหลักหนึ่งหรือหลายปัญหา พิจารณาปัญหาสองข้อต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง

1. เขียนสมการแทนเจนต์ของพาราโบลา y = 2x 2 - 5x - 2 ถ้าแทนเจนต์ตัดกันเป็นมุมฉาก และหนึ่งในนั้นแตะพาราโบลาที่จุดที่มี abscissa 3 (รูปที่ 5)

สารละลาย. เนื่องจากมีการกำหนด abscissa ของจุดติดต่อ ส่วนแรกของการแก้ปัญหาจึงลดลงเป็นปัญหาสำคัญ 1

1. a = 3 - abscissa ของจุดสัมผัสด้านใดด้านหนึ่ง มุมฉาก.
2. ฉ(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - สมการของแทนเจนต์แรก

ให้ a เป็นความชันของเส้นสัมผัสแรก เนื่องจากเส้นสัมผัสตั้งฉากกัน ดังนั้นมุมเอียงของเส้นสัมผัสที่สองจึงเป็นมุมเอียง จากสมการ y = 7x – 20 ของแทนเจนต์แรก เราได้ tg a = 7 จงหา

ซึ่งหมายความว่าความชันของเส้นสัมผัสที่สองคือ

วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมจะลดลงเหลืองานหลัก 3

ให้ B(c; f(c)) เป็นจุดสัมผัสของเส้นที่สอง แล้ว

1. - abscissa ของจุดติดต่อที่สอง
2.
3.
4.
คือสมการของเส้นสัมผัสที่สอง

บันทึก. สามารถหาค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นสัมผัสได้ง่ายขึ้นหากนักเรียนทราบอัตราส่วนของค่าสัมประสิทธิ์ของเส้นตั้งฉาก k 1 k 2 = - 1

2. เขียนสมการของแทนเจนต์ทั่วไปทั้งหมดลงในกราฟฟังก์ชัน

สารละลาย. ปัญหาจะลดลงเป็นการค้นหา abscissas ของจุดสัมผัสร่วม นั่นคือ การแก้ปัญหาสำคัญ 1 ใน ปริทัศน์รวบรวมระบบสมการและคำตอบที่ตามมา (รูปที่ 6)

1. ให้ a เป็น abscissa ของจุดสัมผัสซึ่งอยู่บนกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 + x + 1
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2

1. ให้ c เป็น abscissa ของจุดสัมผัสที่อยู่บนกราฟของฟังก์ชัน
2.
3.ฉ"(ค)=ค.
4.

เนื่องจากแทนเจนต์เป็นเรื่องธรรมดาแล้ว

ดังนั้น y = x + 1 และ y = - 3x - 3 จึงเป็นแทนเจนต์ทั่วไป

เป้าหมายหลักของงานที่พิจารณาคือการเตรียมนักเรียนให้พร้อมสำหรับการจดจำประเภทของงานหลักด้วยตนเองเมื่อแก้ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งต้องใช้ทักษะการวิจัยบางอย่าง (ความสามารถในการวิเคราะห์ เปรียบเทียบ สรุป เสนอสมมติฐาน ฯลฯ) งานดังกล่าวรวมถึงงานใดๆ ที่รวมงานหลักเป็นส่วนประกอบ พิจารณาเป็นตัวอย่างปัญหา ( ปัญหาผกผัน 1) เพื่อค้นหาฟังก์ชันโดยตระกูลของแทนเจนต์

3. สำหรับเส้น b และ c คืออะไร y \u003d x และ y \u003d - 2x สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2 + bx + c

ให้ t เป็น abscissa ของจุดสัมผัสของเส้น y = x กับพาราโบลา y = x 2 + bx + c; p คือ abscissa ของจุดสัมผัสของเส้น y = - 2x กับพาราโบลา y = x 2 + bx + c จากนั้นสมการสัมผัส y = x จะอยู่ในรูปแบบ y = (2t + b)x + c - t 2 และสมการสัมผัส y = - 2x จะอยู่ในรูปแบบ y = (2p + b)x + c - p 2 .

เขียนและแก้ระบบสมการ

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 1กำหนดฟังก์ชั่น ฉ(x) = 3x 2 + 4x– 5. ลองเขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชันกัน ฉ(x) ที่จุดของกราฟที่มี abscissa x 0 = 1.

สารละลาย.อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) มีอยู่สำหรับ x ใดๆ ร . มาหากันเถอะ:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

แล้ว ฉ(x 0) = ฉ(1) = 2; (x 0) = = 10. สมการแทนเจนต์มีรูปแบบ:

ย = (x 0) (x – x 0) + ฉ(x 0),

ย = 10(x – 1) + 2,

ย = 10x – 8.

คำตอบ. ย = 10x – 8.

ตัวอย่างที่ 2กำหนดฟังก์ชั่น ฉ(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. ลองเขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ขนานกับเส้น ย = 2x – 11.

สารละลาย.อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) มีอยู่สำหรับ x ใดๆ ร . มาหากันเถอะ:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)' = 3 x 2 – 6x + 2.

ตั้งแต่เส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ที่จุดด้วย abscissa x 0 ขนานกับเส้นตรง ย = 2x– 11 ความชันของมันคือ 2 เช่น ( x 0) = 2 จงหา abscissa นี้จากเงื่อนไขที่ 3 x– 6x 0 + 2 = 2 ความเท่าเทียมกันนี้ใช้ได้กับ x 0 = 0 และ x 0 = 2 เนื่องจากในทั้งสองกรณี ฉ(x 0) = 5 แล้วเส้นตรง ย = 2x + ขสัมผัสกราฟของฟังก์ชันที่จุด (0; 5) หรือที่จุด (2; 5)

ในกรณีแรก ความเท่าเทียมกันของตัวเลขจะเป็นจริง 5 = 2×0 + ข, ที่ไหน ข= 5 และในกรณีที่สอง ความเท่ากันของตัวเลขจะเป็นจริง 5 = 2 × 2 + ข, ที่ไหน ข = 1.

ดังนั้นจึงมีสองแทนเจนต์ ย = 2x+ 5 และ ย = 2x+ 1 ไปยังกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ขนานกับเส้น ย = 2x – 11.

คำตอบ. ย = 2x + 5, ย = 2x + 1.

ตัวอย่างที่ 3กำหนดฟังก์ชั่น ฉ(x) = x 2 – 6x+ 7. ลองเขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ผ่านจุด ก (2; –5).

สารละลาย.เพราะ ฉ(2) –5 แล้วจุด กไม่ได้อยู่ในกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x). อนุญาต x 0 - abscissa ของจุดสัมผัส

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) มีอยู่สำหรับ x ใดๆ ร . มาหากันเถอะ:

= (x 2 – 6x+ 1)' = 2 x – 6.

แล้ว ฉ(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. สมการแทนเจนต์มีรูปแบบ:

ย = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

ย = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

ตั้งแต่จุดที่ กเป็นของแทนเจนต์ ดังนั้นความเท่ากันของตัวเลขจึงเป็นจริง

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

ที่ไหน x 0 = 0 หรือ x 0 = 4 ซึ่งหมายความว่าผ่านจุด กเป็นไปได้ที่จะวาดเส้นสัมผัสสองเส้นบนกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x).

ถ้า x 0 = 0 แล้วสมการสัมผัสจะมีรูปแบบ ย = –6x+ 7. ถ้า x 0 = 4 แล้วสมการสัมผัสจะมีรูปแบบ ย = 2x – 9.

คำตอบ. ย = –6x + 7, ย = 2x – 9.

ตัวอย่างที่ 4กำหนดฟังก์ชั่น ฉ(x) = x 2 – 2x+ 2 และ ช(x) = –x 2 - 3. ลองเขียนสมการของเส้นสัมผัสร่วมให้กับกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้กัน

สารละลาย.อนุญาต x 1 - abscissa ของจุดสัมผัสของเส้นที่ต้องการพร้อมกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x), ก x 2 - abscissa ของจุดสัมผัสของเส้นเดียวกันกับกราฟของฟังก์ชัน ช(x).

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) มีอยู่สำหรับ x ใดๆ ร . มาหากันเถอะ:

= (x 2 – 2x+ 2)' = 2 x – 2.

แล้ว ฉ(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. สมการแทนเจนต์มีรูปแบบ:

ย = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

ย = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน ช(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.

Y \u003d f (x) และถ้า ณ จุดนี้ สามารถวาดเส้นสัมผัสไปยังกราฟฟังก์ชันที่ไม่ตั้งฉากกับแกน x ได้ ความชันของเส้นสัมผัสคือ f "(a) เราได้ใช้สิ่งนี้ไปแล้วหลายอย่าง ครั้ง ตัวอย่างเช่นใน§ 33 มีการกำหนดไว้ว่ากราฟของฟังก์ชัน y \u003d sin x (ไซน์ซอยด์) ที่จุดกำเนิดสร้างมุม 45 °กับแกน abscissa (แม่นยำยิ่งขึ้นสัมผัสกับกราฟที่ จุดกำเนิดทำมุม 45° กับทิศทางบวกของแกน x) และพบตัวอย่างที่ 5 จาก § 33 จุดตามกำหนดการที่กำหนด ฟังก์ชั่นโดยที่เส้นสัมผัสขนานกับแกน x ในตัวอย่างที่ 2 § 33 สมการถูกวาดขึ้นสำหรับเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2 ที่จุด x \u003d 1 (แม่นยำกว่าที่จุด (1; 1) แต่บ่อยครั้งกว่าเท่านั้น มีการระบุค่าของ abscissa โดยสมมติว่าหากทราบค่าของ abscissa ก็จะสามารถหาค่าของลำดับได้จากสมการ y = f(x)) ในส่วนนี้ เราจะพัฒนาอัลกอริทึมสำหรับรวบรวมสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันใดๆ

ให้ฟังก์ชัน y \u003d f (x) และจุด M (a; f (a)) และเป็นที่รู้จักกันว่า f "(a) มีอยู่จริง ให้เราเขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟ ฟังก์ชันที่กำหนดณ จุดที่กำหนด สมการนี้เช่นเดียวกับสมการของเส้นตรงใดๆ ที่ไม่ขนานกับแกน y มีรูปแบบ y = kx + m ดังนั้นโจทย์คือให้หาค่าของสัมประสิทธิ์ k และ m

ไม่มีปัญหากับความชัน k: เรารู้ว่า k \u003d f "(a) ในการคำนวณค่า m เราใช้ความจริงที่ว่าเส้นที่ต้องการผ่านจุด M (a; f (a)) ซึ่งหมายความว่าถ้าเราแทนพิกัดจุด M ลงในสมการของเส้นตรง เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง: f (a) \u003d ka + m จากจุดที่เราพบว่า m \u003d f (a) - ka
มันยังคงแทนที่ค่าที่พบของค่าสัมประสิทธิ์ปลาวาฬเข้าไป สมการตรง:

เราได้สมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ที่จุด x \u003d a
ถ้าพูดว่า
การแทนที่ในสมการ (1) ค่าที่พบ a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2 เราได้รับ: y \u003d 1 + 2 (x-f), เช่น y \u003d 2x -1.
เปรียบเทียบผลลัพธ์นี้กับผลลัพธ์ที่ได้จากตัวอย่างที่ 2 ของ§ 33 แน่นอนว่าสิ่งเดียวกันก็เกิดขึ้น
ให้เราเขียนสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y \u003d tg x ที่จุดกำเนิด เรามี: ดังนั้น cos x f "(0) = 1 แทนค่าที่พบ a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 เป็นสมการ (1) เราได้รับ: y \u003d x .
นั่นคือเหตุผลที่เราวาดแทนเจนต์ใน§ 15 (ดูรูปที่ 62) ผ่านจุดกำเนิดของพิกัดที่มุม 45 °ไปยังแกน abscissa
ในการแก้ตัวอย่างที่ค่อนข้างง่ายเหล่านี้ เราใช้อัลกอริทึมบางอย่าง ซึ่งฝังอยู่ในสูตร (1) มาทำให้อัลกอริทึมนี้ชัดเจน

อัลกอริทึมสำหรับการประกอบสมการของฟังก์ชันแทนเจนต์กับกราฟ y \u003d f (x)

1) กำหนด abscissa ของจุดติดต่อกับตัวอักษร a
2) คำนวณ 1 (ก)
3) ค้นหา f "(x) และคำนวณ f" (a)
4) แทนจำนวนที่พบ a, f(a), (a) ลงในสูตร (1)

ตัวอย่างที่ 1เขียนสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่จุด x = 1
ลองใช้อัลกอริทึมโดยพิจารณาจากตัวอย่างนี้

บนมะเดื่อ 126 แสดงไฮเปอร์โบลา สร้างเส้นตรง y \u003d 2x
ภาพวาดยืนยันการคำนวณข้างต้น: แน่นอน เส้น y \u003d 2-x แตะไฮเปอร์โบลาที่จุด (1; 1)

คำตอบ: y \u003d 2-x
ตัวอย่างที่ 2วาดเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันเพื่อให้ขนานกับเส้นตรง y \u003d 4x - 5
ให้เราปรับแต่งการกำหนดของปัญหา ข้อกำหนดในการ "วาดเส้นสัมผัส" มักหมายถึง "สร้างสมการแทนเจนต์" นี่เป็นเหตุผลเพราะถ้าคน ๆ หนึ่งสามารถวาดสมการแทนเจนต์ได้เขาก็ไม่น่าจะมีปัญหาในการสร้าง ระนาบพิกัดเส้นตรงตามสมการของเธอ
ลองใช้อัลกอริทึมสำหรับรวบรวมสมการแทนเจนต์โดยพิจารณาว่าในตัวอย่างนี้ แต่ไม่เหมือนกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ มีความกำกวมอยู่ที่นี่: ไม่ได้ระบุ abscissa ของจุดสัมผัสอย่างชัดเจน
เรามาเริ่มพูดกันแบบนี้ เส้นสัมผัสที่ต้องการจะต้องขนานกับเส้นตรง y \u003d 4x-5 เส้นสองเส้นขนานกันก็ต่อเมื่อความชันเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าความชันของเส้นสัมผัสจะต้องเท่ากับความชันของเส้นตรงที่กำหนด: ดังนั้น เราสามารถหาค่าของ a ได้จากสมการ f "(a) \u003d 4
เรามี:
จากสมการ ดังนั้น มีสองแทนเจนต์ที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา: หนึ่งที่จุดด้วย abscissa 2 และอีกอันที่จุดด้วย abscissa -2
ตอนนี้คุณสามารถดำเนินการตามอัลกอริทึม

ตัวอย่างที่ 3จากจุด (0; 1) วาดเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน
ลองใช้อัลกอริทึมสำหรับรวบรวมสมการของจุดสัมผัสโดยพิจารณาจากในตัวอย่างนี้ โปรดทราบว่าที่นี่เช่นเดียวกับตัวอย่างที่ 2 ไม่ได้ระบุ abscissa ของจุดสัมผัสอย่างชัดเจน อย่างไรก็ตาม เราดำเนินการตามอัลกอริทึม

ตามเงื่อนไข แทนเจนต์ผ่านจุด (0; 1) แทนค่าลงในสมการ (2) x = 0, y = 1 เราได้รับ:
อย่างที่คุณเห็นในตัวอย่างนี้ เฉพาะในขั้นตอนที่สี่ของอัลกอริทึมเท่านั้นที่เราจัดการเพื่อค้นหา abscissa ของจุดสัมผัส แทนค่า a \u003d 4 ลงในสมการ (2) เราได้รับ:

บนมะเดื่อ 127 แสดงภาพประกอบทางเรขาคณิตของตัวอย่างที่พิจารณา: กราฟของฟังก์ชัน

ใน § 32 เราสังเกตว่าสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งมีอนุพันธ์อยู่ที่จุดคงที่ x ความเสมอภาคโดยประมาณจะคงอยู่:

เพื่อความสะดวกในการให้เหตุผลเพิ่มเติมเราเปลี่ยนสัญกรณ์: แทน x เราจะเขียน a แทนเราจะเขียน x และตามนั้นเราจะเขียน x-a แทน จากนั้นความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่เขียนไว้ด้านบนจะอยู่ในรูปแบบ:

ทีนี้มาดูรูปที่ 128. เส้นสัมผัสถูกดึงไปที่กราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ที่จุด M (a; f (a)) ทำเครื่องหมายจุด x บนแกน x ใกล้กับ a เห็นได้ชัดว่า f(x) เป็นพิกัดของกราฟของฟังก์ชันที่จุด x ที่ระบุ และอะไรคือ f (a) + f "(a) (x-a) นี่คือพิกัดของแทนเจนต์ที่สอดคล้องกับจุดเดียวกัน x - ดูสูตร (1) ความเสมอภาคโดยประมาณ (3) หมายความว่าอย่างไร นั่นคือ คำนวณค่าโดยประมาณของฟังก์ชัน ค่าของพิกัดแทนเจนต์จะถูกนำมาใช้

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาค่าประมาณของนิพจน์ตัวเลข 1.02 7 .
เรากำลังพูดถึงการหาค่าของฟังก์ชัน y \u003d x 7 ที่จุด x \u003d 1.02 เราใช้สูตร (3) โดยคำนึงถึงในตัวอย่างนี้
เป็นผลให้เราได้รับ:

ถ้าเราใช้เครื่องคิดเลข เราจะได้: 1.02 7 = 1.148685667...
อย่างที่คุณเห็น ความแม่นยำในการประมาณค่อนข้างยอมรับได้
คำตอบ: 1,02 7 =1,14.

ก. Mordkovich Algebra เกรด 10

การวางแผนตามปฏิทินในวิชาคณิตศาสตร์ วิดีโอในวิชาคณิตศาสตร์ออนไลน์ ดาวน์โหลดคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน

เนื้อหาบทเรียน สรุปบทเรียนสนับสนุนกรอบการนำเสนอบทเรียนวิธีการเร่งเทคโนโลยีแบบโต้ตอบ ฝึกฝน งานและแบบฝึกหัด การประชุมเชิงปฏิบัติการการตรวจสอบตนเอง การฝึกอบรม กรณีศึกษา ภารกิจ คำถาม การบ้าน การสนทนา คำถามเชิงโวหารจากนักเรียน ภาพประกอบ เสียง วิดีโอคลิป และมัลติมีเดียภาพถ่าย รูปภาพกราฟิก ตาราง โครงร่าง อารมณ์ขัน เกร็ดเล็กเกร็ดน้อย เรื่องตลก อุปมาการ์ตูน คำพูด ปริศนาอักษรไขว้ คำคม ส่วนเสริม บทคัดย่อบทความชิปสำหรับสูตรโกงที่อยากรู้อยากเห็น หนังสือเรียนพื้นฐานและอภิธานศัพท์เพิ่มเติมของคำศัพท์อื่นๆ การปรับปรุงตำราและบทเรียนแก้ไขข้อผิดพลาดในหนังสือเรียนอัปเดตชิ้นส่วนในตำราองค์ประกอบของนวัตกรรมในบทเรียนแทนที่ความรู้ที่ล้าสมัยด้วยความรู้ใหม่ สำหรับครูเท่านั้น บทเรียนที่สมบูรณ์แบบแผนปฏิทินสำหรับปี คำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการของโปรแกรมการอภิปราย บทเรียนบูรณาการ

แทนเจนต์เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่งของเส้นโค้งและบรรจบกัน ณ จุดนี้จนถึงลำดับที่หนึ่ง (รูปที่ 1)

คำจำกัดความอื่น ๆ: นี่คือตำแหน่งลิมิตของซีแคนต์ที่ Δ x→0.

คำอธิบาย ใช้เส้นที่ตัดเส้นโค้งที่จุดสองจุด: กและ ข(ดูภาพ). นี่คือซีแคนต์ เราจะหมุนตามเข็มนาฬิกาจนกว่าจะมีจุดร่วมกับเส้นโค้งเพียงจุดเดียว ดังนั้นเราจึงได้แทนเจนต์

คำจำกัดความที่เข้มงวดของแทนเจนต์:

แทนเจนต์กับกราฟฟังก์ชัน ฉ, ความแตกต่างที่จุด xอ, เป็นเส้นที่ผ่านจุด ( xอ; ฉ(xอ)) และมีความชัน ฉ′( xอ).

ความชันมีเส้นตรง y=kx+ข. ค่าสัมประสิทธิ์ เคและคือ ปัจจัยความชันเส้นตรงนี้

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากับแทนเจนต์ของมุมแหลมที่เกิดจากเส้นตรงกับแกน x:

เค = tgα

โดยที่มุม α คือมุมระหว่างเส้นตรง y=kx+ขและทิศทางบวก (เช่น ทวนเข็มนาฬิกา) ของแกน x มันถูกเรียกว่า มุมเอียงตรง(รูปที่ 1 และ 2)

หากมุมเอียงเป็นเส้นตรง y=kx+ขเฉียบพลัน แล้วความชันเป็นจำนวนบวก กราฟเพิ่มขึ้น (รูปที่ 1)

หากมุมเอียงเป็นเส้นตรง y=kx+ขป้าน แล้วความชันเป็นเลขลบ กราฟกำลังลดลง (รูปที่ 2)

ถ้าเส้นตรงขนานกับแกน x ความชันของเส้นจะเป็นศูนย์ ในกรณีนี้ ความชันของเส้นจะเป็นศูนย์เช่นกัน (เนื่องจากเส้นสัมผัสของศูนย์เป็นศูนย์) สมการเส้นตรงจะมีลักษณะดังนี้ y = b (รูปที่ 3)

ถ้ามุมเอียงของเส้นตรงเท่ากับ 90º (π/2) นั่นคือตั้งฉากกับแกน x ดังนั้นความเท่ากันจะได้รับจากเส้นตรง x=ค, ที่ไหน ค- จำนวนจริงบางส่วน (รูปที่ 4)

สมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันย = ฉ(x) ที่จุด xอ:

ตัวอย่าง : มาหาสมการกันสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) = x 3 – 2x 2 + 1 ที่จุดด้วย abscissa 2.

สารละลาย .

เราทำตามอัลกอริทึม

1) จุดสัมผัส xอเท่ากับ 2 คำนวณ ฉ(xอ):

ฉ(xอ) = ฉ(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) ค้นหา ฉ′( x). ในการทำเช่นนี้ เราใช้สูตรการสร้างความแตกต่างที่แสดงไว้ในส่วนก่อนหน้า ตามสูตรเหล่านี้ เอ็กซ์ 2 = 2เอ็กซ์, ก เอ็กซ์ 3 = 3เอ็กซ์ 2. วิธี:

ฉ′( x) = 3เอ็กซ์ 2 – 2 ∙ 2เอ็กซ์ = 3เอ็กซ์ 2 – 4เอ็กซ์.

ตอนนี้ใช้ค่าผลลัพธ์ ฉ′( x) คำนวณ ฉ′( xอ):

ฉ′( xอ) = ฉ′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) ดังนั้นเราจึงมีข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมด: xอ = 2, ฉ(xอ) = 1, ฉ ′( xอ) = 4 เราแทนค่าตัวเลขเหล่านี้ลงในสมการแทนเจนต์และหาคำตอบสุดท้าย:

y= ฉ(xอ) + ฉ′( xอ) (x – x o) \u003d 1 + 4 ∙ (x - 2) \u003d 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x \u003d 4x - 7

คำตอบ: y \u003d 4x - 7