Случайные величины. Многоугольник распределения
Случайные величины: дискретные и непрерывные.
При проведении стохастического эксперимента формируется пространство элементарных событий – возможных исходов этого эксперимента. Считают, что на этом пространстве элементарных событий задана случайная величина X, если задан закон (правило) по которому каждому элементарному событию сопоставляется число. Таким образом, случайную величину X можно рассматривать, как функцию, заданную на пространстве элементарных событий.
■ Случайная величина - величина, которая при каждом испытании принимает то или иное числовое значение (наперед неизвестно, какое именно), зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а возможные значения случайной величины – малыми. Так, при бросании игрального кубика происходит событие, связанное с числом x , где x – выпавшее число очков. Число очков – случайная величина, а числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 – возможные значения этой величины. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия – тоже случайная величина (зависит от установки прицела, силы и направления ветра, температуры и других факторов), а возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (a; b).
■ Дискретная случайная величина – случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным.
■ Непрерывная случайная величина – случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины – бесконечно.
Например, число выпавших очков при бросании кубика, балльная оценка за контрольную работу – дискретные случайные величины; расстояние, которое пролетает снаряд при стрельбе из орудия, погрешность измерений показателя времени усвоения учебного материала, рост и вес человека – непрерывные случайные величины.
Закон распределения случайной величины – соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, т.е. каждому возможному значению x i ставится в соответствие вероятность p i , с которой случайная величина может принять это значение. Закон распределения случайной величины может быть задан таблично (в форме таблицы), аналитически (в виде формулы) играфически.
Пусть дискретная случайная величина X принимает значения x 1 , x 2 , …, x n с вероятностями p 1 , p 2 , …, p n соответственно, т.е. P(X=x 1) = p 1 , P(X=x 2) = p 2 , …, P(X=x n) = p n . При табличном задании закона распределения этой величины первая строка таблицы содержит возможные значения x 1 , x 2 , …, x n , а вторая – их вероятности
X | x 1 | x 2 | … | x n |
p | p 1 | p 2 | … | p n |
В результате испытания дискретная случайная величина X принимает одно и только одно из возможных значений, поэтому события X=x 1 , X=x 2 , …, X=x n образуют полную группу попарно несовместных событий, и, значит, сумма вероятностей этих событий равна единице, т.е. p 1 + p 2 +… + p n =1.
Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник (полигон) распределения.
Как известно, случайной величиной называется переменная величина, которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая. Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита (X, Y, Z), а их значения – соответствующими строчными буквами (x, y, z). Случайные величины делятся на прерывные (дискретные) и непрерывные.
Дискретной случайной величиной называется случайная величина, принимающая лишь конечное или бесконечное (счетное) множество значений с определенными ненулевыми вероятностями.
Законом распределения дискретной случайной величины называется функция, связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями. Закон распределения может быть задан одним из следующих способов.
1. Закон распределения может быть задан таблицей:
где λ>0, k = 0, 1, 2, … .
в) с помощью функции распределения F(x), определяющей для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, т.е. F(x) = P(X < x).
Свойства функции F(x)
3. Закон распределения может быть задан графически – многоугольником (полигоном) распределения (смотри задачу 3).
Отметим, что для решения некоторых задач не обязательно знать закон распределения. В некоторых случаях достаточно знать одно или несколько чисел, отражающих наиболее важные особенности закона распределения. Это может быть число, имеющее смысл «среднего значения» случайной величины, или же число, показывающее средний размер отклонения случайной величины от своего среднего значения. Числа такого рода называют числовыми характеристиками случайной величины.
Основные числовые характеристики дискретной случайной величины:
- Mатематическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины M(X)=Σ x i p i .
Для биномиального распределения M(X)=np, для распределения Пуассона M(X)=λ - Дисперсия дискретной случайной величины D(X)= M 2 или D(X) = M(X 2)− 2 . Разность X–M(X) называют отклонением случайной величины от ее математического ожидания.
Для биномиального распределения D(X)=npq, для распределения Пуассона D(X)=λ - Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) σ(X)=√D(X).
· Для наглядности представления вариационного ряда большое значение имеют его графические изображения. Графически вариационный ряд может быть изображён в виде полигона, гистограммы и кумуляты.
· Полигон распределения (дословно – многоугольник распределения) называют ломанную, которая строится в прямоугольной системе координат. Величина признака откладывается на оси абсцисс, соответствующие частоты (или относительные частоты ) – по оси ординат. Точки (или ) соединяют отрезками прямых и получают полигон распределения. Чаще всего полигоны применяются для изображения дискретных вариационных рядов, но их можно применять также и для интервальных рядов. В этом случае на оси абсцисс откладываются точки, соответствующие серединам данных интервалов.
Cтраница 2
Графически закон распределения дискретной величины задается в виде так называемого многоугольника распределения.
Графическое изображение ряда распределения (см. рис. 5) называется многоугольником распределения.
Для характеристики закона распределения прерывной случайной величины часто применяют ряд (таблицу) и многоугольник распределения.
Для его изображения в прямоугольной системе координат строят точки (У Pi) (x - i Pa) и соединяют их отрезками прямых. Многоугольник распределения дает приближенное наглядное представление о характере распределения случайной величины.
Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (х /, р, а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.
M (xn; pn) (лс - - возможные значения Xt pi - соответствующие вероятности) и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.
Рассмотрим распределение вероятностей суммы очков на игральных костях. На рисунках ниже приведены многоугольники распределения для случая одной, двух и трех костей.
В этом случае вместо многоугольника распределения случайной величны строится функция плотности распределения, которая получила название дифференциальной функции распределения и представляет собой дифференциальный закон распределения. В теории вероятностей под плотностью распределения случайной величины х (х Хг) понимают предел отношения вероятности попадания величины х в интервал (х, х - - Ах) к Ах, когда Ал; стремится к нулю. Кроме дифференциальной функции для характеристики распределения случайной величины применяется интегральная функция распределения, которую часто называют просто функцией распределения или интегральным законом распределения.
При таком построении относительные частоты попадания в интервалы будут равны площадям соответствующих столбиков гистограммы, подобно тому, как вероятности равны площадям соответствующих криволинейных трапеций Если предполагаемое теоретическое распределение хорошо согласуется с опытом, то при достаточно большом п и удач - ном выборе интервалов (YJ-I, у. Иногда еще для наглядности сравнения строят многоугольник распределения, соединяя последовательно середины верхних оснований столбиков гистограммы.
Придавая т различные значения от 0 до я, получают вероятности PQ, Р РЧ - Рп, которые наносятся на график. Дано р; я11, построить многоугольник распределения вероятностей.
Законом распределения дискретной случайной величины называют любое соответствие между возможными ее значениями и их вероятностями. Закон можно задать таблично (ряд распределения), графически (многоугольник распределения и др.) и аналитически.
Нахождение кривой распределения, другими словами, установление распределения самой случайной величины, дает возможность более глубоко исследовать явление, далеко не полно выражаемое данным конкретным рядом распределения. Представив на чертеже как найденную выравнивающую кривую распределения, так и многоугольник распределения, построенный на основе частичной совокупности, исследователь может ясно видеть характерные особенности, присущие изучаемому явлению. Благодаря этому статистический анализ задерживает внимание исследователя на отклонениях наблюденных данных от некоторого закономерного изменения явления, и перед исследователем возникает задача - выяснить причины этих отклонений.
Затем из середины интервалов проводятся абсциссы (в масштабе), соответствующие числу месяцев с расходом в данном интервале. Концы этих абсцисс соединяются и, таким образом, получается полигон, или многоугольник распределения.
Точки, дающие графическое представление закона распределения дискретной случайной величины на координатной плоскости значения величины - вероятность значений, обычно соединяют отрезками прямых и называют получающуюся при этом геометрическую фигуру многоугольником распределения. На рис. 3 в таблице 46 (а также на рисунках 4 и 5) как раз изображены многоугольники распределений.
Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины
Случайные величины (сокращенно: с. в.) обозначаются прописными латинскими буквами Х,У, Z,... (или строчными греческими буквами ξ (кси), η(эта), θ (тэта), ψ (пси) и т. д.), а принимаемые ими значения соответственно малыми буквами х 1 , х 2 ,…, у 1 , у 2 , у 3 …
Примерами с. в. могут служить: 1) X - число очков, появляющихся при бросании игральной кости; 2) У - число выстрелов до первого попадания в цель; 3) Z - время безотказной работы прибора и т. п. (рост человека, курс доллара, количество бракованных деталей в партии, температура воздуха, выигрыш игрока, координата точки при случайном выборе ее на , прибыль фирмы, ...).
Случайной величиной X Ώ w
X(w), т.е. X = X(w), w Î Ώ (или X = f (w)) (31)
Пример1. Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. На ПЭС Ώ={ w 1 , w 2 , w 3 , w 4 }, где w 1 = ГГ, w 2 = ГР, w 3 = РГ, w 4 = РР, можно рассмотреть с. в. X - число появлений герба. С. в. X является функцией от элементарного события w i : X(w 1 ) = 2, X(w 2 ) = 1, X(w 3 ) = 1, X(w 4 )= 0; X - д. с. в. со значениями x 1 = 0, x 2 =1 , x 3 = 2.
X(w) S Р(А) = Р(Х < х).
X - д. с. в.,
x 1 , x 2 , x 3 ,…,x n ,…
p i , где i = 1,2,3, ...,n,… .
Закон распределения д. с. в. p i =Р{Х=x i }, i=1,2,3,... ,n,...,
с. в. X x i . :
X | x 1 | x 2 | …. | x n | … |
P | p 1 | p 2 | …. | p n | … |
Так как события {X = x 1 }, {X = x 2 },…,{X = x n }, т.е. .
(x 1 , p 1 ), (x 2 , p 2),…, (x n , p n) называют многоугольником (или полигоном) распределения (см. рис. 17).
Случайная величина X дискретна, если существует конечное или счетное множество чисел x 1 , x 2 , ..., x n таких, что Р{Х = x i } = p i > 0 (i = 1,2,...) p 1 + p 2 + p 3 +…= 1 (32)
Суммой д. с. в. X, принимающей значения x i с вероятностями p i = Р{Х = x i }, i = 1,2,3,... ,n, и д. с. в. Y, принимающей значения y j с вероятностями p i = Р{Y = y j }, j = 1,2,3,... ,m, называется д. с. в. Z = X + Y , принимающая значения z ij = x i + y j с вероятностями p ij = Р{ Х = x i ,Y = y j }, для всех указанных значений i и j. В случае совпадения некоторых сумм x i + y j соответствующие вероятности складываются.
Разностью д. с. в. X, принимающей значения x i с вероятностями p i = Р{Х = x i }, i = 1,2,3,... ,n, и д. с. в. Y, принимающей значения y j с вероятностями p i = Р{Y = y j }, j = 1,2,3,... ,m, называется д. с. в. Z = X - Y, принимающая значения z ij = x i – y j с вероятностями p ij = Р{ Х = x i ,Y = y j }, для всех указанных значений i и j. В случае совпадения некоторых разностей x i – y j соответствующие вероятности складываются.
Произведением д. с. в. X, принимающей значения x i с вероятностями p i = Р{Х = x i }, i = 1,2,3,... ,n, и д. с. в. Y, принимающей значения y j с вероятностями p i = Р{Y = y j }, j = 1,2,3,... ,m, называется д. с. в. Z = X × Y, принимающая значения z ij = x i × y j с вероятностями p ij = Р{ Х = x i ,Y = y j }, для всех указанных значений i и j. В случае совпадения некоторых произведений x i × y j соответствующие вероятности складываются.
д. с. в. сХ, с x i р i = Р{Х = x i }.
X и Y события {X = x i } = А i и {Y = y j } = В j независимы для любых i= 1,2,... ,n; j = l,2,...,m, т.е.
P{X = x i ;Y = y j } =P{X = x i } ×P {Y = y j } (33)
Пример 2. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные - черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке.
Опытом называется всякое осуществление определенных условий и действий при которых наблюдается изучаемое случайное явление. Опыты можно характеризовать качественно и количественно. Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение., причем заранее не известно какое именно.
Случайные величины принято обозначать (X,Y,Z), а соответствующие им значения (x,y,z)
Дискретными называются случайные величины принимающие отдельные изолированные друг от друга значения, которые можно переоценить. Непрерывными величины возможные значение которых непрерывно заполняют некоторый диапазон. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и соответствующими им вероятности. Ряд и многоугольник распределения. Простейшей формой закона распределения дискретной величины является ряд распределения. Графической интерпретацией ряда распределения является многоугольник распределения.
Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:
Еще по теме 13.Дискретная случайная величина. Многоугольник распределения. Операции со случайными величинами, пример.:
- 13. Дискретная случайная величина и закон ее распределения. Многоугольник распределения. Операции со случайными величинами. Пример.
- Понятие «случайная величина» и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения. Независимые случайные величины. Примеры.
- 14. Случайные величины, их виды. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины (ДСВ). Способы здания случайных величин (СВ).
- 16. Закон распределения дискретной случайной величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
- Математические операции над дискретными случайными величинами и примеры построения законов распределения для КХ,Х"1, X + К, XV по заданным распределениям независимых случайных величин X и У.
- Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случ. величины. Математич операции над случ. величинами.
5.2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения
На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их – различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
Определение. Любое правило (таблица, функция, график), позволяюшее находить вероятности произвольных событий A S (S – -алгебра событий пространства ), в частности, указывающее вероятности отдельных значений случайной величины или множества этих значений, называется законом распределения случайной величины (или просто: распределением ). Про с.в. говорят, что «она подчиняется данному закону распределения».
Пусть Х – д.с.в., которая принимает значения х 1 , х 2 , …, x n ,… (множество этих значений конечно или счетно) с некоторой вероятностью p i , где i = 1,2,…, n ,… Закон распределения д.с.в. удобно задавать с помощью формулы p i = P {X = x i }где i = 1,2,…, n ,…, определяющей вероятность того, что в результате опыта с.в. Х примет значение x i . Для д.с.в. Х закон распределения может быть задан в виде таблицы распределения :
x n | |||||
р n |
При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности. такую таблицу называют рядом распределения .
Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает- одно и только одно возможное значение, заключаем, что события X = x 1 , X = x 2 , ..., X = x n образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, т.е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице, то есть .
Если множество возможных значений X бесконечно (счетно), то ряд р 1 + р 2 + ... сходится и его сумма равна единице.
Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины X – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
Решение. Напишем возможные значения X : х 1 = 50, х 2 = 1, х 3 = 0. Вероятности этих возможных значений таковы: р 1 = 0,01, р 2 = 0,01, р 3 = 1 – (р 1 + р 2)=0,89.
Напишем искомый закон распределения:
Контроль: 0,01 + 0,1 + 0,89 =1.
Пример. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные – черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке.
Решение. Возможные значения с.в. Х – числа белых шаров в выборке есть х 1 = 0, х 2 = 1, х 3 = 2, х 4 = 3. Вероятности их соответственно будут
;
;
.
Закон распределения запишем в виде таблицы.
Контроль:
.
Закон распределения д.с.в. можно задать графически, если на оси абсцисс отложить возможные значения с.в., а на оси ординат – вероятности этих значений. ломаную, соединяющую последовательно точки (х 1 , р 1), (х 2 , р 2),… называют многоугольником (или полигоном ) распределения (см. рис. 5.1).
Рис. 5.1. Полигон распределения
Теперь можно дать более точное определение д.с.в.
Определение. Случайная величина Х дискретна , если существует конечное или счетное множество чисел х 1 , х 2 , … таких, что P {X = x i } = p i > 0 (i = 1,2,…) и p 1 + p 2 + р 3 +… = 1.
Определим математические операции над дискретными с.в.
Определение. Суммой (разностью , произведением ) д.с.в. Х , принимающей значения x i с вероятностями p i = P {X = x i }, i = 1, 2, …, n , и д.с.в. Y , принимающей значения y j с вероятностями p j = P {Y = y j }, j = 1, 2, …, m , называется д.с.в. Z = X + Y (Z = X – Y , Z = X Y ), принимающая значения z ij = x i + y j (z ij = x i – y j , z ij = x i y j ) с вероятностями p ij = P {X = x i , Y = y j } для всех указанных значений i и j . В случае совпадения некоторых сумм x i + y j (разностей x i – y j , произведений x i y j )соответствующие вероятности складываются.
Определение. Произведение д.с.в. на число с называется д.с.в. сХ , принимающая значения с x i с вероятностями p i = P {X = x i }.
Определение. Две д.с.в. Х и Y называются независимыми , если события {X = x i } = A i и {Y = y j } = B j независимы для любых i = 1, 2, …, n , j = 1, 2, …, m , то есть
В противном случае с.в. называют зависимыми . Несколько с.в. называют взаимно независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Рассмотрим несколько наиболее часто употребляемых законов распределения.