Koordinata tekisligidagi segment uzunligini qanday topish mumkin. Segment o'rtasining koordinatalarini topish: misollar, echimlar

Ushbu maqolada biz segmentning o'rtasining koordinatalarini uning uchlari koordinatalaridan topish haqida gapiramiz. Birinchidan, biz kerakli tushunchalarni beramiz, so'ngra segmentning o'rtasi koordinatalarini topish uchun formulalarni olamiz va xulosa qilib, biz tipik misollar va masalalarning echimlarini ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Segmentning o'rtasi tushunchasi.

Segmentning o'rta nuqtasi tushunchasini kiritish uchun bizga segment va uning uzunligi ta'riflari kerak.

O'rta maktabning 5-sinfida matematika darslarida segment tushunchasi quyidagicha berilgan: agar biz ikkita ixtiyoriy mos kelmaydigan A va B nuqtalarni olsak, ularga o'lchagichni biriktiramiz va A dan B gacha (yoki B dan) chiziq chizamiz. A ga), keyin olamiz AB segmenti(yoki B A segmenti). A va B nuqtalari deyiladi segmentning uchlari. AB segmenti va BA segmenti bir xil segment ekanligini yodda tutishimiz kerak.

Agar AB segmenti uchidan ikkala yo'nalishda ham cheksiz cho'zilgan bo'lsa, biz olamiz to'g'ri chiziq AB(yoki to'g'ridan-to'g'ri VA). AB segmenti AB to'g'ri chiziqning A va B nuqtalari orasiga o'ralgan qismidir. Shunday qilib, AB segmenti A, B nuqtalarining birlashmasi va A va B nuqtalari orasida joylashgan AB to'g'ri chiziqning barcha nuqtalari to'plamidir. Agar A va B nuqtalar orasida joylashgan AB to'g'ri chiziqning ixtiyoriy M nuqtasini olsak, ular M nuqtasini aytadilar. yolg'on AB segmentida.

Segment uzunligi AB - berilgan masshtabdagi A va B nuqtalari orasidagi masofa (uzunlik birlik segmenti). AB segmentining uzunligi quyidagicha belgilanadi.

Ta'rif.

Nuqta C deyiladi segmentning o'rtasi AB, agar u AB segmentida yotsa va uning uchlaridan bir xil masofada bo'lsa.

Ya'ni, agar S nuqta AB segmentining o'rta nuqtasi bo'lsa, u holda uning ustida yotadi va.

Bundan tashqari, bizning vazifamiz, agar A va B nuqtalarning koordinatalari koordinata chizig'ida yoki to'rtburchaklar koordinata tizimida berilgan bo'lsa, AB segmentining o'rtasining koordinatalarini topishdir.

Koordinata chizig'idagi segmentning o'rta nuqtasining koordinatasi.

Bizga Ox koordinatali chiziq va uning ustidagi ikkita mos kelmaydigan A va B nuqta berilsin, ular haqiqiy sonlar va ga mos keladi. C nuqta AB segmentining o'rta nuqtasi bo'lsin. C nuqtaning koordinatasini topamiz.

C nuqta AB segmentining o'rta nuqtasi bo'lganligi sababli, tenglik to'g'ri bo'ladi. Koordinata chizig'idagi nuqtadan nuqtagacha bo'lgan masofa bo'limida biz nuqtalar orasidagi masofa ularning koordinatalari orasidagi farq moduliga teng ekanligini ko'rsatdik, shuning uchun . Keyin yoki . Tenglikdan koordinata chizig'idagi AB segmentining o'rta nuqtasining koordinatasini toping: - bu segment uchlari koordinatalari yig'indisining yarmiga teng. Ikkinchi tenglikdan ni olamiz, bu mumkin emas, chunki biz mos kelmaydigan A va B nuqtalarini oldik.

Shunday qilib, uchlari bo'lgan AB segmentining o'rta nuqtasining koordinatasini topish formulasi va shaklga ega .

Chiziq segmentining o'rta nuqtasining koordinatalari.

To'g'ri to'rtburchak Dekart koordinatalari Oxyz tizimini tekislikka kiritamiz. Bizga ikkita nuqta berilsin va biz bilamizki, C nuqta AB segmentining o'rta nuqtasidir. C koordinatalari va nuqtalarini topamiz.

Qurilish bo'yicha, tekis parallel va parallel chiziqlar , shuning uchun, tomonidan Thales teoremasi AC va CB segmentlarining tengligidan segmentlarning tengligi va , shuningdek segmentlar va . Shuning uchun nuqta segmentning o'rta nuqtasi va segmentning o'rta nuqtasidir. Keyin, ushbu moddaning oldingi bandiga binoan Va .

Ushbu formulalar bo'yicha A va B nuqtalar koordinata o'qlaridan birida yoki koordinata o'qlaridan biriga perpendikulyar to'g'ri chiziqda joylashgan hollarda AB segmentining o'rtasi koordinatalarini hisoblash mumkin. Keling, ushbu holatlarni izohsiz qoldiramiz va grafik rasmlarni keltiramiz.

Shunday qilib, nuqtalarda tugaydigan va koordinatalariga ega bo'lgan tekislikdagi AB segmentining o'rta nuqtasi .

Kosmosdagi segment o'rtasining koordinatalari.

Uch o'lchovli fazoda va ikkita nuqtada to'rtburchaklar koordinatalar tizimi Oxyz kiritilsin Va . AB segmentining o'rta nuqtasi bo'lgan C nuqtaning koordinatalarini topish uchun formulalar olamiz.

Keling, umumiy holatni ko'rib chiqaylik.

A, B va C nuqtalarning mos ravishda Ox, Oy va Oz koordinata o‘qlariga proyeksiyalari bo‘lsin va bo‘lsin.

Demak, Thales teoremasi bo'yicha nuqtalar segmentlarning o'rta nuqtalari hisoblanadi mos ravishda. Keyin (ushbu maqolaning birinchi xatboshiga qarang). Shunday qilib, oldik segment o'rtasining koordinatalarini kosmosdagi uchlari koordinatalaridan hisoblash uchun formulalar.

Bu formulalar A va B nuqtalar koordinata o‘qlaridan birida yoki koordinata o‘qlaridan biriga perpendikulyar to‘g‘ri chiziqda yotsa, shuningdek, A va B nuqtalar koordinata tekisliklaridan birida yoki a nuqtada yotsa ham qo‘llanilishi mumkin. koordinata o'qlaridan biriga parallel bo'lgan tekislik.

Segment o'rtasining koordinatalari uning uchlari radius vektorlarining koordinatalari orqali.

Segment o'rtasining koordinatalarini topish formulalarini vektorlar algebrasiga murojaat qilish orqali olish oson.

To'g'ri to'rtburchak Dekart koordinatalar tizimi Oksi tekislikda berilgan va C nuqta AB segmentining o'rta nuqtasi bo'lsin va va.

Vektorlar ustidagi amallarning geometrik ta'rifiga ko'ra, tenglik (C nuqtasi vektorlar ustiga qurilgan parallelogramma diagonallarining kesishish nuqtasi va , ya'ni C nuqtasi parallelogramma diagonalining o'rta nuqtasi). To'g'ri to'rtburchaklar koordinata tizimidagi vektorning koordinatalari maqolasida biz nuqta radius vektorining koordinatalari ushbu nuqtaning koordinatalariga teng ekanligini aniqladik, shuning uchun . Keyin, koordinatadagi vektorlar ustida mos amallarni bajargandan so'ng, bizda . Qanday qilib C nuqtaning koordinatalari bor degan xulosaga kelishimiz mumkin .

Mutlaqo shunga o'xshash AB segmentining o'rtasi koordinatalarini uning fazodagi uchlari koordinatalari orqali topish mumkin. Bunday holda, agar C AB segmentining o'rta nuqtasi bo'lsa va bo'lsa, bizda mavjud .

Segment o'rtasining koordinatalarini topish, misollar, yechimlar.

Ko'pgina masalalarda segmentning o'rta nuqtasining koordinatalarini topish uchun formulalardan foydalanish kerak. Keling, eng xarakterli misollarning echimlarini ko'rib chiqaylik.

Keling, faqat formulani qo'llash kerak bo'lgan misol bilan boshlaylik.

Misol.

Ikki nuqtaning koordinatalari tekislikda berilgan . AB segmentining o'rta nuqtasining koordinatalarini toping.

Yechim.

C nuqta AB segmentining o'rta nuqtasi bo'lsin. Uning koordinatalari A va B nuqtalarining tegishli koordinatalarining yarmi yig'indisiga teng:

Shunday qilib, AB segmentining o'rta nuqtasi koordinatalarga ega.

Quyidagi maqolada dastlabki ma'lumotlar sifatida segmentning o'rta koordinatalarini uning ekstremal nuqtalari koordinatalari mavjud bo'lganda topish masalalari ko'rib chiqiladi. Ammo, masalani o'rganishga kirishishdan oldin, biz bir qator ta'riflarni kiritamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Ta'rif 1

Chiziq segmenti- segmentning uchlari deb ataladigan ikkita ixtiyoriy nuqtani bog'laydigan to'g'ri chiziq. Misol tariqasida, bular A va B nuqtalari va mos ravishda A B segmenti bo'lsin.

Agar A B segmenti A va B nuqtalardan har ikki yo‘nalishda davom ettirilsa, A B to‘g‘ri chiziq hosil bo‘ladi. Keyin A B segmenti olingan to'g'ri chiziqning A va B nuqtalari bilan chegaralangan qismidir. A B segmenti uning uchlari bo'lgan A va B nuqtalarini, shuningdek, ular orasida joylashgan nuqtalar to'plamini birlashtiradi. Agar, masalan, A va B nuqtalar orasida yotgan har qanday ixtiyoriy K nuqtani olsak, K nuqta A B segmentida yotadi, deyishimiz mumkin.

Ta'rif 2

Kesilgan uzunlik- berilgan masshtabdagi segmentning uchlari orasidagi masofa (uzunlik birlik segmenti). A B segmentining uzunligini quyidagicha belgilaymiz: A B.

Ta'rif 3

o'rta nuqta To'g'ri chiziq segmentidagi uning uchlaridan teng masofada joylashgan nuqta. Agar A B segmentining o'rtasi C nuqtasi bilan belgilangan bo'lsa, unda tenglik to'g'ri bo'ladi: A C \u003d C B

Dastlabki ma'lumotlar: koordinatali chiziq O x va undagi mos kelmaydigan nuqtalar: A va B . Bu nuqtalar haqiqiy raqamlarga mos keladi x A va x B. C nuqtasi A B segmentining o'rta nuqtasidir: siz koordinatani aniqlashingiz kerak x C.

C nuqta A B segmentining o'rta nuqtasi bo'lgani uchun tenglik to'g'ri bo'ladi: | A C | = | C B | . Nuqtalar orasidagi masofa ularning koordinatalari orasidagi farq moduli bilan belgilanadi, ya'ni.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Keyin ikkita tenglik mumkin: x C - x A = x B - x C va x C - x A = - (x B - x C)

Birinchi tenglikdan biz C nuqtasining koordinatasi uchun formulani olamiz: x C \u003d x A + x B 2 (segment uchlari koordinatalari yig'indisining yarmi).

Ikkinchi tenglikdan biz olamiz: x A = x B , bu mumkin emas, chunki asl ma'lumotlarda - mos kelmaydigan nuqtalar. Shunday qilib, A (x A) uchlari bo'lgan A B segmentining o'rta nuqtasining koordinatalarini aniqlash formulasi va B(xB):

Olingan formula tekislikdagi yoki kosmosdagi segmentning o'rta nuqtasining koordinatalarini aniqlash uchun asos bo'ladi.

Dastlabki ma'lumotlar: tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimi O x y , berilgan koordinatalarga ega ikkita ixtiyoriy mos kelmaydigan nuqtalar A x A , y A va B x B , y B . C nuqtasi A B segmentining o'rta nuqtasidir. C nuqta uchun x C va y C koordinatalarini aniqlash kerak.

Tahlil uchun A va B nuqtalari bir-biriga to'g'ri kelmagan va bir xil koordinata chizig'ida yoki o'qlardan biriga perpendikulyar chiziqda yotmagan holatni olaylik. A x, A y; B x , B y va C x , C y - A , B va C nuqtalarning koordinata o'qlaridagi proyeksiyalari (O x va O y to'g'ri chiziqlar).

Qurilish bo'yicha A A x, B B x, C C x chiziqlar parallel; chiziqlar ham bir-biriga parallel. Shu bilan birga, Thales teoremasiga ko'ra, A C \u003d C B tengligidan tengliklar kelib chiqadi: A x C x \u003d C x B x va A y C y \u003d C y B y va ular o'z navbatida, C x nuqtasi - A x B x segmentining o'rtasi, C y esa A y B y segmentining o'rtasi ekanligini ko'rsating. Va keyin, ilgari olingan formulaga asoslanib, biz quyidagilarni olamiz:

x C = x A + x B 2 va y C = y A + y B 2

Xuddi shu formulalar A va B nuqtalari bir xil koordinata chizig'ida yoki o'qlardan biriga perpendikulyar bo'lgan chiziqda yotsa ham qo'llanilishi mumkin. Biz ushbu ishni batafsil tahlil qilmaymiz, uni faqat grafik jihatdan ko'rib chiqamiz:

Yuqoridagilarning barchasini umumlashtirib, uchlari koordinatalari bilan tekislikdagi A B segmentining o'rtasining koordinatalari A (x A, y A) Va B(x B, y B) sifatida belgilangan:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Dastlabki ma'lumotlar: O x y z koordinata tizimi va A (x A , y A , z A) va B (x B , y B , z B) koordinatalari berilgan ikkita ixtiyoriy nuqta. A B segmentining o'rtasi bo'lgan S nuqtaning koordinatalarini aniqlash kerak.

A x, A y, A z; B x , B y , B z va C x , C y , C z - barcha berilgan nuqtalarning koordinatalar sistemasi o'qlaridagi proyeksiyalari.

Thales teoremasiga ko'ra, tengliklar to'g'ri: A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z.

Demak, C x, C y, C z nuqtalar mos ravishda A x B x, A y B y, A z B z segmentlarining o’rta nuqtalaridir. Keyin, kosmosdagi segment o'rtasining koordinatalarini aniqlash uchun quyidagi formulalar to'g'ri bo'ladi:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Olingan formulalar A va B nuqtalar koordinata chiziqlaridan birida joylashgan hollarda ham qo'llaniladi; o'qlardan biriga perpendikulyar to'g'ri chiziqda; bir koordinata tekisligida yoki koordinata tekisliklaridan biriga perpendikulyar tekislikda.

Segment o'rtasining koordinatalarini uning uchlari radius vektorlari koordinatalari orqali aniqlash

Segment o'rtasining koordinatalarini topish formulasini vektorlarning algebraik talqiniga ko'ra ham olish mumkin.

Dastlabki ma'lumotlar: to'rtburchaklar Dekart koordinatalari tizimi O x y , berilgan koordinatali nuqtalar A (x A, y A) va B (x B, x B) . C nuqtasi A B segmentining o'rta nuqtasidir.

Vektorlardagi harakatlarning geometrik ta'rifiga ko'ra, quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Bu holda C nuqtasi O A → va O B → vektorlari asosida qurilgan parallelogramma diagonallarining kesishish nuqtasidir, ya'ni. diagonallarning oʻrtasi nuqtasi.Nuqta radius vektorining koordinatalari nuqta koordinatalariga teng boʻlsa, tengliklari toʻgʻri boʻladi: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B. , y B) . Koordinatadagi vektorlar ustida bir necha amallarni bajaramiz va quyidagilarga erishamiz:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Shuning uchun C nuqtasi koordinatalariga ega:

x A + x B 2 , y A + y B 2

Analogiya bo'yicha, kosmosdagi segmentning o'rta nuqtasining koordinatalarini topish uchun formula aniqlanadi:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Segment o'rtasi koordinatalarini topish masalalarini yechish misollari

Yuqorida olingan formulalardan foydalanishni o'z ichiga olgan vazifalar orasida to'g'ridan-to'g'ri segmentning o'rtasi koordinatalarini hisoblash masalasi ham, berilgan shartlarni ushbu savolga etkazishni o'z ichiga olgan vazifalar ham bor: "median" atamasi. tez-tez ishlatiladi, maqsad segmentning uchlaridan birining koordinatalarini, shuningdek, simmetriyaga oid masalalarni topishdir, ularni hal qilish umuman olganda ushbu mavzuni o'rgangandan so'ng qiyinchilik tug'dirmasligi kerak. Keling, odatiy misollarni ko'rib chiqaylik.

1-misol

Dastlabki ma'lumotlar: tekislikda - berilgan koordinatali nuqtalar A (- 7, 3) va B (2, 4) . A B segmentining o'rta nuqtasining koordinatalarini topish kerak.

Yechim

A B segmentining o'rtasini C nuqta bilan belgilaymiz. Uning koordinatalari segment uchlari koordinatalari yig'indisining yarmi sifatida aniqlanadi, ya'ni. A va B nuqtalari.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Javob: A B segmenti o'rtasining koordinatalari - 5 2, 7 2.

2-misol

Dastlabki ma'lumotlar: A B C uchburchakning koordinatalari ma'lum: A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) . A M medianasining uzunligini topish kerak.

Yechim

1. Muammoning shartiga ko'ra, A M - mediana, ya'ni M - B C segmentining o'rta nuqtasi. Avvalo, biz segmentning o'rtasining koordinatalarini topamiz B C , ya'ni. M ball:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Endi biz mediananing ikkala uchining (A va M nuqtalari) koordinatalarini bilganimiz sababli, nuqtalar orasidagi masofani aniqlash va A M medianasining uzunligini hisoblash uchun formuladan foydalanishimiz mumkin:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Javob: 58

3-misol

Dastlabki ma'lumotlar: parallelepiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 uch o'lchamli fazoning to'rtburchaklar koordinata tizimida berilgan. C 1 (1 , 1 , 0) nuqtaning koordinatalari berilgan va B D 1 diagonalining o'rta nuqtasi bo'lgan va M (4 , 2 , - 4) koordinatalariga ega bo'lgan M nuqta ham aniqlangan. A nuqtaning koordinatalarini hisoblash kerak.

Yechim

Parallelepipedning diagonallari bir nuqtada kesishadi, bu barcha diagonallarning o'rta nuqtasidir. Bu fikrga asoslanib, masalaning shartlari bilan ma'lum bo'lgan M nuqta A S 1 segmentining o'rtasi ekanligini yodda tutishimiz mumkin. Fazoda segment o'rtasining koordinatalarini topish formulasiga asoslanib, A nuqtaning koordinatalarini topamiz: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

Javob: A nuqtaning koordinatalari (7, 3, - 8) .

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Koordinata tekisligi bilan bog'liq bo'lgan vazifalarning butun guruhi (imtihon topshiriqlari turlariga kiritilgan) mavjud. Bular eng elementar vazifalardan boshlab og'zaki hal qilinadigan (ma'lum nuqtaning ordinatasi yoki abtsissasini yoki simmetrik nuqtani aniqlash va hokazo), yuqori sifatli bilim, tushunish va yaxshi ko'nikmalarni talab qiladigan vazifalar (topshiriqlar) bilan yakunlanadi. to'g'ri chiziqning qiyaligi bilan bog'liq).

Asta-sekin, biz ularning barchasini ko'rib chiqamiz. Ushbu maqolada biz asoslardan boshlaymiz. Bular aniqlash uchun oddiy vazifalar: nuqtaning abssissa va ordinatasi, segment uzunligi, segmentning o'rta nuqtasi, to'g'ri chiziqning moyillik burchagi sinus yoki kosinus.Ushbu vazifalarning aksariyati qiziq bo'lmaydi. Lekin ularni aytib o'tish kerak, deb o'ylayman.

Gap shundaki, hamma ham maktabga boravermaydi. Ko'p odamlar o'qishni tugatgandan keyin 3-4 yil yoki undan ko'proq vaqt o'tgach imtihondan o'tishadi va ular abscissa va ordinataning nima ekanligini noaniq eslashadi. Shuningdek, biz koordinata tekisligi bilan bog'liq boshqa vazifalarni tahlil qilamiz, uni o'tkazib yubormang, blog yangilanishiga obuna bo'ling. Endi n bir oz nazariya.

Koordinatalari x=6, y=3 bo'lgan koordinata tekisligida A nuqtani quramiz.

Ular A nuqtaning abtsissasi olti, A nuqtaning ordinatasi uchta, deyishadi.

Oddiy qilib aytganda, x o'qi - abscissa o'qi, y o'qi - y o'qi.

Ya'ni, abscissa x o'qidagi nuqta bo'lib, unga koordinata tekisligida berilgan nuqta proyeksiya qilinadi; Ordinata - bu ko'rsatilgan nuqta proyeksiya qilinadigan y o'qidagi nuqta.

Koordinata tekisligidagi segmentning uzunligi

Segmentning uzunligini aniqlash formulasi, agar uning uchlari koordinatalari ma'lum bo'lsa:

Ko'rib turganingizdek, segmentning uzunligi oyoqlari teng bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakdagi gipotenuzaning uzunligi.

X B - X A va Y B - Y A

* * *

Kesishning o'rtasi. Uning koordinatalari.

Segmentning o'rta nuqtasining koordinatalarini topish formulasi:

Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi

Berilgan ikkita nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi formulasi:

bu yerda (x 1; y 1) va (x 2; y 2 ) berilgan nuqtalarning koordinatalari.

Koordinatalar qiymatlarini formulaga almashtirib, u quyidagi shaklga keltiriladi:

y = kx + b, bu yerda k - chiziqning qiyaligi

Koordinatalar tekisligi bilan bog'liq boshqa bir guruh masalalarni yechishda bizga bu ma'lumotlar kerak bo'ladi. Bu haqda maqola bo'ladi, o'tkazib yubormang!

Yana nimani qo'shish mumkin?

To'g'ri chiziqning (yoki segmentning) qiyalik burchagi oX o'qi va bu to'g'ri chiziq orasidagi 0 dan 180 gradusgacha bo'lgan burchakdir.

Keling, vazifalarni ko'rib chiqaylik.

(6;8) nuqtadan perpendikulyar y o'qiga tushiriladi. Perpendikulyar asosning ordinatasini toping.

Y o'qiga tushirilgan perpendikulyar asosi koordinatalarga (0; 8) ega bo'ladi. Ordinat - sakkiz.

Javob: 8

Bir nuqtadan masofani toping A y o'qiga (6;8) koordinatalari bilan.

A nuqtadan y o'qigacha bo'lgan masofa A nuqtaning abtsissasiga teng.

Javob: 6.

A(6;8) eksa haqida ho'kiz.

Nuqta simmetrik nuqta Va oX o'qiga nisbatan u koordinatalarga ega (6; - 8).

Ordinata minus sakkiz.

Javob: - 8

Nuqtaga simmetrik nuqtaning ordinatasini toping A(6;8) kelib chiqishiga nisbatan.

Boshiga nisbatan A nuqtaga simmetrik nuqta koordinatalarga ega (- 6; - 8).

Uning ordinatasi -8 ga teng.

Javob: -8

Nuqtalarni tutashtiruvchi chiziq segmentining o‘rta nuqtasining abssissasini topingO(0;0) va A(6;8).

Muammoni hal qilish uchun segmentning o'rtasi koordinatalarini topish kerak. Bizning segmentimiz uchlarining koordinatalari (0;0) va (6;8).

Biz formula bo'yicha hisoblaymiz:

Olingan (3;4). Abtsissa uchtadir.

Javob: 3

* Segment o'rtasining abssissasini formula bo'yicha hisoblamasdan, ushbu segmentni hujayradagi varaqdagi koordinata tekisligida qurish orqali aniqlash mumkin. Segmentning o'rtasini hujayralar tomonidan aniqlash oson bo'ladi.

Nuqtalarni tutashtiruvchi chiziq segmentining o‘rta nuqtasining abssissasini toping A(6;8) va B(–2;2).

Muammoni hal qilish uchun segmentning o'rtasi koordinatalarini topish kerak. Bizning segmentimiz uchlarining koordinatalari (–2;2) va (6;8).

Biz formula bo'yicha hisoblaymiz:

Olingan (2;5). Abtsissa ikkitadir.

Javob: 2

* Segment o'rtasining abssissasini formula bo'yicha hisoblamasdan, ushbu segmentni hujayradagi varaqdagi koordinata tekisligida qurish orqali aniqlash mumkin.

(0;0) va (6;8) nuqtalarni tutashtiruvchi segment uzunligini toping.

Segmentning uning uchlarining berilgan koordinatalaridagi uzunligi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

bizning holatimizda O(0;0) va A(6;8) mavjud. Ma'nosi,

*Aytishda koordinatalar tartibi muhim emas. O nuqtaning abscissa va ordinatasidan A nuqtaning abscissa va ordinatasini ayirish mumkin:

Javob: 10

Nuqtalarni tutashtiruvchi segment qiyaligining kosinusini toping O(0;0) va A(6;8), x o'qi bilan.

Segmentning moyillik burchagi bu segment va x o'qi orasidagi burchakdir.

A nuqtadan x o'qiga perpendikulyar tushiramiz:

Ya'ni, segmentning moyillik burchagi burchakdirSAIV to'g'ri uchburchak AVO.

To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning kosinusu

qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati

Gipotenuzani topish kerakO.A.

Pifagor teoremasiga ko'ra:To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng.

Shunday qilib, qiyalik burchagining kosinusu 0,6 ga teng

Javob: 0,6

(6;8) nuqtadan abtsissa o'qiga perpendikulyar tushiriladi. Perpendikulyar asosning absissasini toping.

(6; 8) nuqta orqali x o'qiga parallel to'g'ri chiziq o'tkaziladi. Uning o‘q bilan kesishgan nuqtasining ordinatasini toping OU.

Bir nuqtadan masofani toping A x o'qiga (6;8) koordinatalari bilan.

Bir nuqtadan masofani toping A koordinatalari (6;8) koordinatalari bilan.

Agar siz daftar varag'iga yaxshi o'tkir qalam bilan tegsangiz, nuqta haqida tasavvurga ega bo'lgan iz qoladi. (3-rasm).

Biz qog'oz varag'ida ikkita A va B nuqtani belgilaymiz.Bu nuqtalarni turli xil chiziqlar bilan bog'lash mumkin (4-rasm). Va A va B nuqtalarini eng qisqa chiziq bilan qanday ulash mumkin? Buni o'lchagich yordamida amalga oshirish mumkin (5-rasm). Olingan chiziq chaqiriladi segment.

Nuqta va chiziq - misollar geometrik shakllar.

A va B nuqtalari deyiladi segmentning uchlari.

Bitta segment borki, uning uchlari A va B nuqtalardir. Shuning uchun segment uning uchlari bo'lgan nuqtalarni yozib, belgilanadi. Masalan, 5-rasmdagi segment ikki usuldan biri bilan belgilanadi: AB yoki BA. O'qing: "AB segmenti" yoki "BA segmenti".

6-rasmda uchta segment ko'rsatilgan. AB segmentining uzunligi 1 sm ga teng.U MN segmentida roppa-rosa uch marta, EF segmentida esa 4 marta joylashtirilgan. Biz shuni aytamiz segment uzunligi MN 3 sm, EF segmentining uzunligi esa 4 sm.

Bundan tashqari, "MN segmenti 3 sm", "EF segmenti 4 sm" deb aytish odatiy holdir. Ular shunday yozadilar: MN = 3 sm, EF = 4 sm.

Biz MN va EF segmentlarining uzunligini o'lchadik yagona segment, uzunligi 1 sm bo'lgan segmentlarni o'lchash uchun siz boshqasini tanlashingiz mumkin uzunlik birliklari, masalan: 1 mm, 1 dm, 1 km. 7-rasmda segmentning uzunligi 17 mm. U bo'linmalari bo'lgan o'lchagich yordamida uzunligi 1 mm bo'lgan bitta segment bilan o'lchanadi. Bundan tashqari, o'lchagich yordamida siz berilgan uzunlikdagi segmentni qurishingiz (chizishingiz) mumkin (7-rasmga qarang).

Umuman, segmentni o'lchash, unda nechta birlik segmentlari to'g'ri kelishini hisoblashni anglatadi.

Segment uzunligi quyidagi xususiyatga ega.

Agar AB segmentida C nuqta belgilangan bo'lsa, u holda AB segmentining uzunligi AC va CB segmentlari uzunliklarining yig'indisiga teng bo'ladi.(8-rasm).

Ular yozadilar: AB = AC + CB.

9-rasmda ikkita AB va CD segmentlari ko'rsatilgan. Ushbu segmentlar ustiga qo'yilganda bir-biriga to'g'ri keladi.

Ikki segment bir-biriga o'rnatilganda bir-biriga to'g'ri kelsa, teng deyiladi.

Demak, AB va CD segmentlari teng. Ular yozadilar: AB = CD.

Teng segmentlar teng uzunlikka ega.

Ikki teng bo'lmagan segmentlardan biz uzunroq bo'lganini kattaroq deb hisoblaymiz. Masalan, 6-rasmda EF segmenti MN segmentidan kattaroqdir.

AB segmentining uzunligi deyiladi masofa A va B nuqtalari o'rtasida.

Agar bir nechta segmentlar 10-rasmda ko'rsatilgandek joylashtirilgan bo'lsa, biz olamiz geometrik shakl, deb ataladi singan chiziq. E'tibor bering, 11-rasmdagi barcha segmentlar siniq chiziq hosil qilmaydi. Agar birinchi segmentning oxiri ikkinchisining oxiriga to'g'ri kelsa va ikkinchi segmentning ikkinchi uchi uchinchisining oxiriga to'g'ri kelsa, segmentlar siniq chiziq hosil qiladi, deb ishoniladi.

A, B, C, D, E nuqtalari poliliniya cho'qqilari ABCDE, A va E nuqtalari singan chiziq tugaydi, va AB, BC, CD, DE segmentlari uning havolalar(10-rasmga qarang).

Buzilgan chiziqning uzunligi uning barcha bo'g'inlari uzunliklarining yig'indisidir.

12-rasmda uchlari bir-biriga to'g'ri keladigan ikkita siniq chiziq ko'rsatilgan. Bunday singan chiziqlar deyiladi yopiq.

Misol 1 . BC segmenti uzunligi 8 sm bo'lgan AB segmentidan 3 sm kamroq (13-rasm). AC segmentining uzunligini toping.

Yechim. Bizda: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (sm).

Segment uzunligi xossasidan foydalanib, AC = AB + BC yozish mumkin. Demak, AC = 8 + 5 = 13 (sm).

Javob: 13 sm.

Misol 2 . Ma'lumki, MK = 24 sm, NP = 32 sm, MP = 50 sm (14-rasm). NK segmentining uzunligini toping.

Yechim. Bizda: MN = MP - NP.

Demak, MN = 50 - 32 = 18 (sm).

Bizda: NK = MK - MN.

Demak, NK = 24 - 18 = 6 (sm).

Javob: 6 sm.