Amaliy ish “Kramer usuli yordamida uchinchi tartibli chiziqli tenglamalar sistemalarini yechish. Chiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun Kramer usuli V.S.

3.3-bo'limda ikkinchi tartibli tizim yordamida o'zgaruvchan chastotali signallarni kuzatishda yuzaga keladigan cheklovlar ko'rsatilgan. Endi tizimga ikkinchi integratorni kiritish orqali ushbu cheklovlarning bir qismini yumshatish imkoniyatini ko'rib chiqamiz. Ma'lum bo'lishicha, tizim uchun qo'lga olish jarayoni uchinchi tartib ikkinchi darajali tizimga qaraganda kamroq barqaror, ammo ikkinchi integrator yordamida dastlabki daqiqada allaqachon qo'lga kiritilgan tizimni kuzatish diapazonini kengaytirish mumkin. Transmissiya funktsiyasi filtr endi o'xshaydi

va (3.1) dan quyidagicha:

O'zgartirishdan keyin bu ifoda shaklga tushiriladi

Belgilarni normallashtirish va joriy etish biz olamiz

An'anaviy faza tekisligi usuli qo'llanilmaydi differensial tenglamalar uchinchi tartib, chunki bu holda uchta o'zgaruvchiga mos keladigan uchta boshlang'ich shart mavjud: faza, chastota va chastotaning o'zgarish tezligi (mexanik tizimlarda - siljish, tezlik va tezlashuv). Asosan, uchinchi darajali tenglama bilan aniqlangan traektoriyalar uch o'lchovli fazoda ifodalanishi mumkin edi. Ushbu traektoriyalarni J boshlang'ich shartlar to'plami uchun tekislikka proyeksiya qilishga har qanday urinish shu qadar chalkash diagrammaga olib keladiki, undan umumiy xulosalar chiqarish mumkin emas edi.

Boshqa tomondan, agar biz bir boshlang'ich shartlar to'plami bilan cheklansak, biz traektoriyaning tekislikka proyeksiyasini olishimiz mumkin. Quyidagi boshlang'ich shartlar to'plami alohida ahamiyatga ega: Boshqacha qilib aytganda, tizim dastlab qulflangan bo'lib, mos yozuvlar chastotasi chiziqli ravishda o'zgara boshlaganda chastota va faza xatolar nolga teng bo'ladi.

Ikkinchi integratorni joriy qilish uchun analog hisoblash qurilmasining tuzilishini o'zgartirish oson.

Guruch. 3.19. Uchinchi tartibli halqa uchun faza fazosidagi traektoriyalarning proyeksiyalari

(qarang skanerlash)

Shaklda. 3.19-rasmda tekislikka proyeksiya qilingan bir qator traektoriyalar ko'rsatilgan. Ko'rib chiqilgan barcha holatlarda, shuning uchun. Gipotetik uch o'lchovli "fazali fazoda" traektoriyalar bir nuqtadan boshlanadi va o'qda tugaydi.

Shaklda. 3.19, a xuddi shu boshlang'ich sharoitda ikkinchi darajali tizimning harakatini ko'rsatadi. Yakuniy yoki barqaror holatdagi faza qiymati § 3.3 da ko'rsatilganidek bir xil. Ikkinchi integratorning kiritilishi barqaror holatdagi faza xatosining nolga kamayishiga olib keladi, qanchalik tez bo'lsa, shuncha ko'p.U oshgani sayin, eng katta faza xatosi ham kamayadi, ammo tizimning zaiflashuvining pasayishi tufayli, bu ildiz o'rtacha kvadrat faza xatosining oshishiga olib keladi (3.19-rasmga qarang, b - 3.19, g). Nihoyat, tizim beqaror bo'lganda.

Tizimning tartibini oshirish orqali olingan yaxshilanish rasmda ko'rsatilgan. 3.20. Bu erda avvalgidek, lekin ... § 3.3 da chiziqli chastota o'zgarishining bu yoki undan yuqori tezligida tizim kuzatuvni amalga oshira olmasligi ko'rsatilgan. Guruch. 3.20, lekin bu holatni tasdiqlaydi. Boshqa tomondan, ikkinchi integratorning eng kam ta'sir darajasida ham nolga teng barqaror holat fazasi xatosi olinadi. Fazalar nomuvofiqligining eng katta lahzali qiymati koeffitsient ortishi bilan kamayadi, lekin koeffitsient ortganda tizim yana beqaror bo'ladi.

Shunga o'xshash xususiyatlar rasmda ko'rsatilgan. 3.21-3.23, bundan mustasno, nisbat oshgani sayin, tizimni ushlab turish holatida ushlab turish uchun koeffitsientning tobora ortib borayotgan qiymatlari talab qilinadi.Oxir-oqibat, nisbat 2 yoki ga yaqinlashganda, u shunday bo'lishi kerak. taxminan 1/2. Ammo rasmdan. 3.19, g - 3.23, h bu qiymatda tizim beqaror ekanligi aniq. Nisbatan qarab, tizim ushlab turish holatida qoladigan koeffitsient qiymatlari diapazoni rasmda keltirilgan. 3.24-3.26 qiymatlari bilan mos ravishda. Koeffitsientning ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni soyalangan. Ko'rinib turibdiki, chastotaning chiziqli o'zgarishi bilan uchinchi tartibli tizimning joriy etilishi kuzatuv olinadigan diapazonni kengaytirishga imkon berdi, taxminan

Guruch. 3.20. Uchinchi tartibli halqa uchun faza fazosidagi traektoriyalarning proyeksiyalari

(qarang skanerlash)

Guruch. 3.21. Uchinchi tartibli halqa uchun faza fazosidagi traektoriyalarning proyeksiyalari

(qarang skanerlash)

Guruch. 3.22. Uchinchi tartibli halqa uchun faza fazosidagi traektoriyalarning proyeksiyalari

(qarang skanerlash)

Guruch. 3.23. Uchinchi tartibli halqa uchun faza fazosidagi traektoriyalarning proyeksiyalari

(qarang skanerlash)

Guruch. 3.24. Uchinchi darajali tizim shtat mintaqasini egallaydi

Guruch. 3.25. Uchinchi darajali tizim shtat mintaqasini egallaydi

Guruch. 3.26. Uchinchi darajali tizim shtat mintaqasini egallaydi

ikkinchi darajali tizim bilan solishtirganda ikki baravar ko'p va undan pastroq qiymatlarda undan ham ko'proq

B koeffitsientining o'zgarishining tebranish xususiyatini nazariy jihatdan uning qiymatlari taxminan 1/2 yoki undan ko'p bo'lganda tushuntirish mumkin. (3.41) differentsial tenglamani olamiz

Gabriel Kramer - matematik, xuddi shu nomdagi tizimlarni echish usulini yaratuvchisi chiziqli tenglamalar

Gabriel Kramer - mashhur matematik, 1704 yil 31 iyulda tug'ilgan. Bolaligida ham Gabriel o'zining intellektual qobiliyatlari, ayniqsa matematika sohasidagi qobiliyatlari bilan hayratda qoldi. Kramer 20 yoshida Jeneva universitetida to'la vaqtli o'qituvchi bo'lib ishga kirdi.

Gabriel Evropa bo'ylab sayohat qilib, uning ustozi bo'lgan matematik Iogan Bernulli bilan uchrashdi. Faqat Iogann tufayli Kramer geometriya, matematika va falsafa tarixi bo'yicha ko'plab maqolalar yozdi. Ishdan bo‘sh vaqtimda esa matematikani ko‘proq o‘rganardim.

Va nihoyat, Kramer chiziqli tenglamalarning nafaqat oson, balki murakkab tizimlarini ham osonlikcha yechish mumkin bo'lgan yo'lni topgan kun keldi.

1740 yilda Kramer bir nechta asarlarni nashr etdi, unda kvadrat matritsalarning yechimi aniq ko'rsatilgan va teskari matritsani qanday topish algoritmi tasvirlangan. Keyinchalik, matematik uning formulalarini qo'llash mumkin bo'lgan turli xil murakkablikdagi chiziqli tenglamalarni topishni tasvirlab berdi. Shuning uchun mavzu: "Kramer usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish" deb nomlangan.

Olim 48 yoshida (1752 yilda) vafot etdi. Uning yana ko'p rejalari bor edi, lekin, afsuski, u hech qachon ularni amalga oshira olmadi.

Ushbu shakldagi chiziqli tenglamalar tizimi berilsin:

bu yerda , , noma’lum o‘zgaruvchilar, sonli koeffitsientlar va erkin atamalar.

SLAE yechimlari (chiziqli algebraik tenglamalar tizimlari) ma'lum bir tizimning barcha tenglamalari identifikatsiyaga aylantiriladigan noma'lum qiymatlardir.

Agar biz tizimni matritsa ko'rinishida yozsak, u holda , qaerda bo'lamiz

Bunda asosiy matritsa noma'lum o'zgaruvchilar uchun koeffitsientlari bo'lgan elementlar topiladi,

Bu erkin atamalarning ustun matritsasi, ammo noma'lum o'zgaruvchilarning ustun matritsasi ham mavjud:

Noma'lum o'zgaruvchilar topilgandan so'ng, matritsa tenglamalar tizimining yechimi bo'ladi va bizning tengligimiz o'ziga xoslikka aylanadi. . Agar siz ko'paytirsangiz, unda . Ma'lum bo'lishicha: .

Agar matritsa yagona bo'lmasa, ya'ni uning determinanti nolga teng bo'lmasa, SLAE faqat bitta yagona yechimga ega bo'lib, u Kramer usuli yordamida topiladi.

Qoidaga ko'ra, chiziqli tenglamalar tizimini Kramer usuli yordamida echish uchun siz ushbu usul asoslangan ikkita xususiyatga e'tibor berishingiz kerak:

1. Kvadrat matritsaning determinanti har qanday satr (ustun) elementlari va ularning algebraik to‘ldiruvchilari mahsuloti yig‘indisiga teng:

Bu yerda – 1, 2, …, n; – 1, 2, 3, …, n.

2. Har qanday satr yoki ustunning berilgan matritsasi elementlarining ikkinchi qatorning (ustunning) ayrim elementlarining algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytmalari yig‘indisi nolga teng:

bu yerda – 1, 2, …, n; – 1, 2, 3, …, n. .

Shunday qilib, endi biz birinchi noma'lumni topishimiz mumkin. Buning uchun sistemaning birinchi tenglamasining ikkala tomonini ga, ikkinchi tenglamaning qismlarini ga, uchinchi tenglamaning ikkala tomonini va hokazo ga ko‘paytirish kerak, ya’ni bitta sistemaning har bir tenglamasini ma’lum miqdorga ko‘paytirish kerak. matritsaning birinchi ustunining algebraik to'ldiruvchilari:

Endi tenglamaning barcha chap tomonlarini qo'shamiz, noma'lum o'zgaruvchilarni hisobga olgan holda atamalarni guruhlaymiz va bir xil yig'indini tenglama tizimining o'ng tomonlari yig'indisiga tenglashtiramiz:

Yuqorida tavsiflangan determinantlarning xususiyatlariga murojaat qilishimiz mumkin va keyin biz quyidagilarni olamiz:

Va oldingi tenglik allaqachon shunday ko'rinadi:

Bu qaerdan keladi.

Biz ham xuddi shunday topamiz. Buning uchun matritsaning ikkinchi ustunida joylashgan algebraik qo'shimchalar bilan tenglamalarning ikkala tomonini ko'paytirish kerak.

Endi siz tizimning barcha tenglamalarini qo'shishingiz va noma'lum o'zgaruvchilar uchun atamalarni guruhlashingiz kerak. Buning uchun determinantning xususiyatlarini eslang:

U qayerdan keladi?

Boshqa barcha noma'lum o'zgaruvchilar xuddi shunday topiladi.

Agar belgilasak:

keyin formulalar olinadi, buning natijasida noma'lum o'zgaruvchilar Kramer usuli yordamida topiladi:

Izoh.

ning ahamiyatsiz yechimi faqat tenglamalar tizimi bir hil bo'lgan taqdirdagina mavjud bo'lishi mumkin. Haqiqatan ham, agar barcha bo'sh shartlar nolga teng bo'lsa, unda determinantlar nolga teng, chunki ular nol elementli ustunni o'z ichiga oladi. Albatta, u holda , , formulalari beradi

Kramer usuli - teoremalar

Tenglamani yechishdan oldin quyidagilarni bilishingiz kerak:

1. bekor qilish teoremasi;
2. almashtirish teoremasi.

O'zgartirish teoremasi

Teorema

Har qanday ustunning (qatorning) ixtiyoriy sonlar bo'yicha algebraik qo'shilishlari ko'paytmalari yig'indisi yangi determinantga teng bo'lib, unda bu raqamlar dastlabki determinantning ushbu algebraik qo'shimchalarga mos keladigan mos keladigan elementlarini almashtiradi.

Masalan,

Dastlabki determinantning birinchi ustuni elementlarining algebraik to'ldiruvchilari qayerda:

Bekor qilish teoremasi

Teorema

Bir qator (ustun) elementlarining boshqa qator (ustun) ning mos keladigan elementlarining algebraik to'ldiruvchilariga ko'paytmalari yig'indisi nolga teng.

Masalan:

Kramer usuli yordamida tenglamalarni yechish algoritmi

Kramer usuli - chiziqli tizimlarni echishning oddiy usuli algebraik tenglamalar. Ushbu parametr faqat tenglamalar soni noma'lumlar soniga to'g'ri keladigan va determinant nolga teng bo'lmagan SLAE uchun qo'llaniladi.

Shunday qilib, barcha bosqichlarni o'rganganingizdan so'ng, siz Kramer usuli yordamida tenglamalarni echish algoritmiga o'tishingiz mumkin. Keling, ketma-ket yozamiz:

1-qadam. Matritsaning asosiy determinantini hisoblang

va determinant nolga teng emasligiga ishonch hosil qilishingiz kerak (nolga teng emas).

2-qadam. Determinantlarni toping

Bu matritsalarning determinantlari bo'lib, ular matritsadan ustunlarni erkin shartlar bilan almashtirish orqali olingan.

Qadam 3. Noma'lum o'zgaruvchilarni hisoblang

Endi biz ildizlarni (noma'lum o'zgaruvchilar) hisoblash uchun foydalanadigan Kramer formulalarini eslaylik:

4-qadam. Tekshirish

Biz yechimni asl SLAEga almashtirish yordamida tekshiramiz. Tizimdagi mutlaqo barcha tenglamalar identifikatsiyaga aylantirilishi kerak. Matritsalar mahsulotini ham hisoblashingiz mumkin. Olingan matritsa ga teng bo'lsa, tizim to'g'ri echilgan. Agar u teng bo'lmasa, tenglamalardan birida xatolik bor.

Keling, avval ikkita chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqaylik, chunki u oddiyroq va Kramer qoidasidan qanday to'g'ri foydalanishni tushunishga yordam beradi. Agar siz oddiy va qisqa tenglamalarni tushunsangiz, unda uchta noma'lumli uchta tenglamadan iborat murakkabroq tizimlarni echishingiz mumkin.

Boshqa narsalar qatorida, faqat Kramer qoidasi tufayli hal qilinishi mumkin bo'lgan ikkita o'zgaruvchili tenglamalar tizimlari mavjud.

Shunday qilib, bizga ikkita chiziqli tenglamalar tizimi berilgan:

Birinchidan, biz asosiy determinantni (tizimning determinantini) hisoblaymiz:

Bu shuni anglatadiki, agar bo'lsa, u holda tizimda ko'p echimlar mavjud yoki tizimda echimlar yo'q. Bunday holda, Kramer qoidasidan foydalanishning ma'nosi yo'q, chunki hech qanday yechim bo'lmaydi va siz Gauss usulini eslab qolishingiz kerak, uning yordamida bu misol tez va oson hal qilinadi.

Agar , u holda sistemaning faqat bitta yechimi bor, lekin buning uchun yana ikkita determinantni hisoblash va tizimning ildizlarini topish kerak.

Ko'pincha amalda, kvalifikatsiyalar nafaqat belgilanishi mumkin , balki Lotin harfi, bu ham to'g'ri bo'ladi.

Tenglamaning ildizlarini topish oson, chunki asosiysi formulalarni bilishdir:

Biz ikkita chiziqli tenglamalar tizimini yecha olganimiz sababli, endi biz hech qanday muammosiz hal qila olamiz uchlik tizimi chiziqli tenglamalar va buning uchun biz tizimni ko'rib chiqamiz:

Bu erda elementlarning algebraik to'ldiruvchilari birinchi ustundir. Yechishda qo'shimcha elementlar haqida unutmang. Shunday qilib, chiziqli tenglamalar tizimida siz uchta noma'lumni topishingiz kerak - boshqa ma'lum elementlar bilan.

Noma’lumlar koeffitsientlaridan sistemaning determinantini yaratamiz:

Har bir tenglama aʼzosini mos ravishda, , , – birinchi ustun elementlarining algebraik toʻldiruvchilariga (koeffitsientlari ) koʻpaytiramiz va barcha uch tenglamani qoʻshamiz. Biz olamiz:

Kengayish teoremasiga ko'ra, at koeffitsienti ga teng. Bekor qilish teoremasi bo'yicha va koeffitsientlari nolga teng bo'ladi. O'ng qism almashtirish teoremasi bo'yicha tenglik yangi determinantni beradi, u yordamchi deb ataladi va belgilanadi

Shundan so'ng biz tenglikni yozishimiz mumkin:

Dastlabki tizimning har bir tenglamasini topish va birinchi holatda mos ravishda ga, ikkinchisida - ga ko'paytiramiz va qo'shamiz. Keyinchalik, biz quyidagilarni olamiz:

Agar bo'lsa, natijada biz Kramer formulalarini olamiz:

Bir jinsli tenglamalar tizimini yechish tartibi

Maxsus holat - bir hil tizimlar:

Bir jinsli sistemaning yechimlari orasida nol yechimlar ham, noldan farqli yechimlar ham bo'lishi mumkin.

Teorema

Agar bir jinsli sistemaning (3) determinanti nolga teng bo'lmasa, bunday sistema faqat bitta yechimga ega bo'lishi mumkin.

Haqiqatan ham, yordamchi determinantlar, masalan, nol ustunga ega bo'lganlar va shuning uchun Kramer formulalari orqasida.

Teorema

Agar bir jinsli tizim nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lsa, uning determinanti nolga teng

Darhaqiqat, noma'lumlardan biri, masalan, noldan farq qilsin. Bir jinslilikka ko'ra Tenglik (2) yoziladi: . Bu qayerdan keladi

Kramer usuli yordamida yechimlarga misollar

Keling, misol sifatida Kramer usulidan foydalangan holda yechimni ko'rib chiqaylik va siz hech qanday murakkab narsa yo'qligini ko'rasiz, lekin juda ehtiyot bo'ling, chunki belgilardagi tez-tez xatolar noto'g'ri javobga olib keladi.

1-misol

Vazifa

Yechim

Birinchi narsa matritsaning determinantini hisoblashdir:

Ko'rib turganimizdek, shuning uchun Kramer teoremasiga ko'ra, tizim o'ziga xos echimga ega (tizim izchil). Keyinchalik, yordamchi determinantlarni hisoblashingiz kerak. Buning uchun determinantdan birinchi ustunni erkin koeffitsientlar ustuni bilan almashtiring. Ma'lum bo'lishicha:

Xuddi shunday qolgan determinantlarni topamiz:

Va biz tekshiramiz:

Javob

2-misol

Vazifa

Kramer usuli yordamida tenglamalar tizimini yeching:

Yechim

Biz aniqlovchilarni topamiz:

Javob

= = = = = =

Imtihon

Tenglama yagona yechimga ega.

Javob

3-misol

Vazifa

Tizimni Kramer usuli yordamida yeching

Yechim

Siz tushunganingizdek, avval biz asosiy determinantni topamiz:

Ko'rib turganimizdek, asosiy determinant nolga teng emas va shuning uchun tizim o'ziga xos echimga ega. Endi qolgan determinantlarni hisoblashimiz mumkin:

Kramer formulalaridan foydalanib, biz tenglamaning ildizlarini topamiz:

Yechimning to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qilish uchun quyidagilarni tekshirishingiz kerak:

Ko'rib turganimizdek, echilgan ildizlarni tenglamaga qo'yish orqali biz tenglamalarning to'g'ri yechimini ko'rsatadigan masala boshida bo'lgani kabi javob oldik.

Javob

Tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega: , , .

Tenglamaning yechimlari bo'lmagan misollar mavjud. Bu tizimning determinanti nolga teng, noma'lumlarning aniqlovchilari esa nolga teng bo'lmagan holatlar bo'lishi mumkin. Bunday holda, ular tizimning nomuvofiqligini, ya'ni uning echimlari yo'qligini aytishadi. Keling, bu qanday sodir bo'lishi mumkinligini quyidagi misolda ko'rib chiqaylik.

4-misol

Vazifa

Kramer usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching:

Yechim

Oldingi misollarda bo'lgani kabi, biz tizimning asosiy determinantini topamiz:

Bu sistemada determinant nolga teng, mos ravishda sistema mos kelmaydigan va aniq yoki nomuvofiq va yechimlarga ega emas. Aniqlik kiritish uchun biz ilgari qilganimizdek noma'lumlar uchun determinantlarni topishimiz kerak:

Biz noma'lumlarning determinantlarini topdik va ularning hammasi nolga teng emasligini ko'rdik. Shuning uchun tizim mos kelmaydigan va hech qanday yechimga ega emas.

Javob

Tizimda hech qanday yechim yo'q.

Ko'pincha chiziqli tenglamalar tizimiga oid masalalarda bir xil harflar bo'lmagan tenglamalar mavjud, ya'ni o'zgaruvchilarni bildiruvchi harflardan tashqari, boshqa harflar ham mavjud va ular qandaydir haqiqiy sonni bildiradi. Amalda bunday tenglamalar va tenglamalar tizimlari har qanday hodisa yoki ob'ektlarning umumiy xususiyatlarini izlash muammolariga olib keladi. Ya'ni, siz biron bir narsani ixtiro qilganmisiz yangi material yoki qurilma va uning namunaning kattaligi yoki sonidan qat'iy nazar umumiy bo'lgan xususiyatlarini tavsiflash uchun siz chiziqli tenglamalar tizimini echishingiz kerak, bu erda o'zgaruvchilar uchun ba'zi koeffitsientlar o'rniga harflar mavjud. Keling, ushbu misolni ko'rib chiqaylik.

Kramer formulalaridan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz:

Javob

Va nihoyat, biz to'rtta noma'lumli eng murakkab tenglamalar tizimiga o'tamiz. Yechim printsipi oldingi misollardagi kabi, lekin katta tizim tufayli u chalkash bo'lishi mumkin. Shuning uchun, keling, misol yordamida ushbu tenglamani ko'rib chiqaylik.

Dastlabki determinantda ikkinchi qatorning elementlaridan biz to'rtinchi qatorning elementlarini, uchinchi qatorning elementlaridan esa 2 ga ko'paytiriladigan to'rtinchi qatorning elementlarini ayirdik. to'rtinchi qatordan birinchi qatorning elementlari ikkiga ko'paytiriladi. Dastlabki uchta noma'lum uchun dastlabki determinantlarni o'zgartirish xuddi shu sxema bo'yicha amalga oshirildi. Endi siz noma'lumlar uchun determinantlarni topishingiz mumkin:

To'rtinchi noma'lum uchun determinantni o'zgartirish uchun biz birinchi qatorning elementlaridan to'rtinchi qatorning elementlarini ayirdik.

Endi Kramer formulalaridan foydalanib, quyidagilarni topishingiz kerak:

Javob

Shunday qilib, chiziqli tenglamalar tizimining ildizlarini topdik:

Keling, xulosa qilaylik

Kramer usulidan foydalanib, agar determinant nolga teng bo'lmasa, chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish mumkin. Ushbu usul noma'lum o'zgaruvchilarni topish kerak bo'lganda, Kramer formulalari tufayli bir xil tartibdagi matritsalarning determinantlarini topishga imkon beradi. Agar barcha erkin shartlar nolga teng bo'lsa, unda ularning determinantlari nolga teng, chunki ular nol elementli ustunni o'z ichiga oladi. Va, albatta, agar determinantlar nolga teng bo'lsa, tizimni 2007 yildan boshlab Excelda Gauss usuli Cramer usuli yordamida hal qilish yaxshiroqdir (XLSX)

Kramer usuli - teorema, yechimlarga misollar yangilangan: 2019 yil 22-noyabr tomonidan: Ilmiy maqolalar.Ru

Matritsalar. Matritsalar ustida amallar. Matritsalar ustida amallarning xossalari. Matritsalar turlari.

Matritsalar (va shunga mos ravishda matematik bo'lim - matritsa algebrasi) amaliy matematikada muhim ahamiyatga ega, chunki ular muhim qismni juda oddiy shaklda yozishga imkon beradi matematik modellar ob'ektlar va jarayonlar. "Matritsa" atamasi 1850 yilda paydo bo'lgan. Matritsalar birinchi bo'lib eslatib o'tilgan qadimgi Xitoy, keyinchalik arab matematiklari tomonidan.

Matritsa A=A mn tartib m*n deyiladi m - qatorlar va n - ustunlarni o'z ichiga olgan to'rtburchaklar jadvali.

Matritsa elementlari aij, buning uchun i=j diagonal va shakl deb ataladi asosiy diagonali.

Kvadrat matritsa (m=n) uchun bosh diagonal a 11, a 22,..., a nn elementlaridan hosil bo‘ladi.

Matritsa tengligi.

A=B, agar matritsa buyurtma qilsa A Va B bir xil va a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Matritsalar ustida amallar.

1. Matritsalarni qo'shish - elementlar bo'yicha operatsiya

Matritsani ayirish - elementlar bo'yicha operatsiya

3. Matritsa va sonning ko‘paytmasi element bo‘yicha amaldir

4. Ko‘paytirish A*B matritsalar qoidaga muvofiq qatordan ustunga(A matritsa ustunlari soni B matritsasining qatorlari soniga teng bo'lishi kerak)

A mk *B kn =C mn va har bir element ij bilan matritsalar Cmn A matritsaning i-qatori elementlari va B matritsaning j-ustunining mos keladigan elementlari ko‘paytmalari yig‘indisiga teng.

Keling, misol yordamida matritsalarni ko'paytirish amalini ko'rsatamiz:

6. A matritsaning transpozitsiyasi. Transpozitsiya qilingan matritsa A T yoki A bilan belgilanadi.

Qator va ustunlar almashtirildi

Misol

Matritsalar ustida amallarning xossalari

(A+B)+C=A+(B+C)

l(A+B)=lA+lB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

l(AB)=(lA)B=A(lB)

A(BC)=(AB)C

Matritsalar turlari

1. To'rtburchaklar: m Va n- ixtiyoriy musbat butun sonlar

2. Kvadrat: m=n

3. Matritsa qatori: m=1. Masalan, (1 3 5 7) - ko'pgina amaliy masalalarda bunday matritsa vektor deb ataladi.

4. Matritsa ustuni: n=1. Masalan

5. Diagonal matritsa: m=n Va a ij =0, Agar i≠j. Masalan

6. Identifikatsiya matritsasi: m=n Va

7. Nol matritsa: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Uchburchak matritsa: asosiy diagonal ostidagi barcha elementlar 0 ga teng.

9. Kvadrat matritsa: m=n Va a ij =a ji(ya'ni, teng elementlar asosiy diagonalga nisbatan nosimmetrik joylarda joylashgan) va shuning uchun A"=A

Masalan,

Teskari matritsa- bunday matritsa A−1, asl matritsaga ko'paytirilganda A identifikatsiya matritsasi hosil bo'ladi E:

Kvadrat matritsa teskari bo'ladi, agar u yagona bo'lmasa, ya'ni uning determinanti nolga teng bo'lmasa. Kvadrat bo'lmagan matritsalar va yagona matritsalar uchun teskari matritsalar mavjud emas. Biroq, bu tushunchani umumlashtirish va ko'p xossalari bo'yicha teskarilarga o'xshash psevdoteskari matritsalarni kiritish mumkin.

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechishga misollar matritsa usuli.

Keling, misollar yordamida matritsa usulini ko'rib chiqaylik. Ba'zi misollarda biz matritsalarning determinantlarini hisoblash jarayonini batafsil tasvirlab bermaymiz.

Misol.

Yordamida teskari matritsa chiziqli tenglamalar tizimining yechimini toping

.

Yechim.

Matritsa ko'rinishida asl tizim qaerda, deb yoziladi . Keling, asosiy matritsaning determinantini hisoblaymiz va uning noldan farqli ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Aks holda tizimni matritsa usuli yordamida yecha olmaymiz. Bizda ... bor , shuning uchun matritsa uchun A teskari matritsani topish mumkin. Shunday qilib, agar biz teskari matritsani topsak, SLAE ning kerakli yechimini quyidagicha aniqlaymiz. Shunday qilib, vazifa teskari matritsani qurishga qisqartirildi. Keling, uni topamiz.

Teskari matritsani quyidagi formula yordamida topish mumkin:

, bu yerda A matritsaning determinanti, matritsaning mos elementlarining algebraik toʻldiruvchilarining koʻchirilgan matritsasi.

Teskari matritsa tushunchasi faqat kvadrat matritsalar uchun mavjud, matritsalar “ikkidan ikki”, “uchdan uch” va hokazo.

Polar koordinatalar. Qutb koordinata sistemasida M nuqtaning holati

M

Kosmosdagi TO'G'RI burchakli KOORDINATLAR

STREYT

1. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi. X va y ga nisbatan birinchi darajali har qanday tenglama, ya'ni quyidagi shakldagi tenglama:

(1) Ax+Bu+C=0 chaqiriladi. to'g'ri chiziq tenglamasi bo'yicha jamoalar (+ ≠0), A, B, C - DOIMIY KOEFFICIENTLAR.

IKKINCHI TARTIBLI Egri chiziqlar

1. Doira. Doira - bu tekislikdagi teng masofadagi nuqtalar to'plami -

berilgan nuqtadan (markazdan) teng masofada. Agar r aylana radiusi va C (a; b) nuqtasi uning markazi bo'lsa, aylana tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Giperbola. Giperbola - bu tekislikdagi nuqtalar to'plami, mutlaq

berilgan ikkita nuqtagacha bo'lgan masofalar farqining kattaligi, fo-

dona, doimiy qiymat mavjud (u 2a bilan belgilanadi) va bu doimiy markazlar orasidagi masofadan kamroq. Agar giperbolaning fokuslarini F1 (c; 0) va F2(- c; 0) nuqtalarga joylashtirsak, giperbolaning kanonik tenglamasini olamiz.

Kosmosdagi ANALITIK GEOMETRIYA

YASSI VA TO'G'RI

normal vektor deb ataladigan tekislik.

Ikkinchi tartibli sirt

Ikkinchi tartibli sirt- to'rtburchaklar koordinatalari shakl tenglamasini qanoatlantiradigan uch o'lchovli fazodagi nuqtalarning geometrik joylashuvi

bunda , , , , koeffitsientlarining kamida bittasi noldan farq qiladi.

Ikkinchi tartibli sirtlarning turlari

Silindrsimon yuzalar

Sirt deyiladi generatrix bilan silindrsimon sirt, agar bu sirtning biron bir nuqtasi uchun generatrixga parallel ravishda bu nuqtadan o'tadigan to'g'ri chiziq butunlay sirtga tegishli bo'lsa.

Teorema (silindrsimon yuzaning tenglamasi haqida).
Agar ba'zi bir Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimida sirt tenglamaga ega bo'lsa, u holda o'qga parallel bo'lgan generatrixli silindrsimon sirtdir.

Tekislikdagi tenglama bilan aniqlangan egri chiziq deyiladi hidoyat silindrsimon sirt.

Agar silindrsimon yuzaning yo'nalishi ikkinchi tartibli egri chiziq bilan berilgan bo'lsa, unda bunday sirt deyiladi. ikkinchi tartibli silindrsimon sirt .

Elliptik silindr:	Parabolik silindr:	Giperbolik silindr:
Bir juft mos keladigan qatorlar:	Tasodifiy samolyotlar juftligi:	Kesishuvchi tekisliklar juftligi:

Konussimon yuzalar

Konussimon sirt.

Asosiy maqola:Konussimon sirt

Sirt deyiladi nuqtada tepaga ega bo'lgan konusning yuzasi, agar bu sirtning biron bir nuqtasi uchun to'g'ri chiziq o'tadigan va to'liq shu sirtga tegishli bo'lsa.

Funktsiya chaqiriladi bir hil tartib , agar quyidagilar to'g'ri bo'lsa:

Teorema (konussimon sirt tenglamasi bo'yicha).
Agar ba'zi dekart to'rtburchaklar koordinata sistemasida sirt tenglama bilan berilgan bo'lsa , bu yerda bir jinsli funksiya, u holda koordinata boshida tepasi bo‘lgan konussimon sirt.

Agar sirt ikkinchi tartibli bir jinsli algebraik ko‘phad bo‘lgan funksiya bilan aniqlansa, u deyiladi. ikkinchi tartibli konusning yuzasi .

· Kanonik tenglama ikkinchi tartibli konus quyidagi shaklga ega:

Inqilob yuzalari]

Sirt deyiladi eksa atrofida aylanish yuzasi, agar biron bir nuqta uchun bu sirtning markazi va radiusi bo'lgan tekislikda shu nuqtadan o'tadigan doira , butunlay shu sirtga tegishli.

Teorema (inqilob sirtining tenglamasi haqida).
Agar ba'zi dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimida sirt tenglama bilan berilgan bo'lsa, u holda o'q atrofida aylanish yuzasi bo'ladi.

Ellipsoid:	Bir varaqli giperboloid:	Ikki varaqli giperboloid:	Elliptik paraboloid:

Agar yuqorida sanab o'tilgan yuzalar inqilob yuzalari bo'lsa.

Elliptik paraboloid

Elliptik paraboloidning tenglamasi

Agar bo'lsa, elliptik paraboloid - bu parametri parabolaning aylanishidan hosil bo'lgan aylanish yuzasi. , berilgan parabolaning cho'qqisi va fokusidan o'tuvchi vertikal o'q atrofida.

Elliptik paraboloidning tekislik bilan kesishishi ellipsdir.

Elliptik paraboloidning tekislik bilan kesishishi yoki parabola.

Giperbolik paraboloid]

Giperbolik paraboloid.

Giperbolik paraboloid tenglamasi shaklga ega

Giperbolik paraboloidning tekislik bilan kesishishi giperboladir.

Giperbolik paraboloidning tekislik bilan kesishishi yoki parabola.

Geometrik o'xshashligi tufayli giperbolik paraboloid ko'pincha "egar" deb ataladi.

Markaziy yuzalar

Agar ikkinchi tartibli sirtning markazi mavjud bo'lsa va yagona bo'lsa, uning koordinatalarini tenglamalar tizimini yechish orqali topish mumkin:

Shunday qilib, determinantning tegishli elementining minoriga berilgan belgi quyidagi jadval bilan aniqlanadi:

Uchinchi tartibli determinantni ifodalovchi yuqoridagi tenglikda,

o'ng tomonda determinantning 1-qatoridagi elementlarning ko'paytmalari va ularning algebraik to'ldiruvchilari yig'indisi joylashgan.

Teorema 1. Uchinchi tartibli aniqlovchi ko'paytmalar yig'indisiga teng

uning har qanday satrlari yoki ustunlari elementlarini algebraik to'ldiruvchiga aylantiradi.

Bu teorema determinantning qiymatini hisoblash imkonini beradi, unga muvofiq ochib beradi

uning har qanday satr yoki ustunlari elementlari.

Teorema 2. Har qanday satr (ustun) elementlarining ko'paytmalari yig'indisi

boshqa qator (ustun) elementlarining algebraik to'ldiruvchisi determinanti nolga teng.

Determinantlarning xossalari.

1°. Determinant satrlari ustun bilan almashtirilsa, determinant o'zgarmaydi

tsami va ustunlar mos keladigan qatorlardir.

2°. Har qanday satr (yoki ustun) elementlarining umumiy omili mumkin

determinant belgisidan tashqari qabul qilinadi.

3°. Agar determinantning bir qator (ustun) elementlari mos ravishda

boshqa satr (ustun) elementlariga teng bo'lsa, determinant nolga teng bo'ladi.

4°. Ikki qatorni (ustunlarni) qayta tartiblashda determinant belgisini o'zgartiradi

qarama-qarshi.

5°. Agar bir qator (ustun) elementlari bo'lsa, determinant o'zgarmaydi.

bir xil songa ko'paytiriladigan boshqa qatorning (ustunning) mos keladigan elementlarini qo'shing (determinantning parallel qatorlarining chiziqli birikmasi haqidagi teorema).

Uchta noma'lumli uchta chiziqli tenglamalar tizimini yechish.

Kramer formulalari yordamida topilgan

D ≠0 (agar D = 0 bo'lsa, dastlabki tizim noaniq yoki nomuvofiq bo'ladi) deb taxmin qilinadi.

Agar tizim bir hil bo'lsa, ya'ni shaklga ega bo'lsa

va uning determinanti nolga teng bo'lsa, u yagona yechimga ega bo'ladi x = 0,

Agar bir jinsli sistemaning determinanti nolga teng bo'lsa, sistema qisqaradi

yoki ikkita mustaqil tenglamaga (uchinchisi - ularning natijasi) yoki to

bir tenglama (qolgan ikkitasi uning natijalari). Birinchi holat

kichiklar orasida bir jinsli sistemaning determinanti mavjud bo'lganda yuzaga keladi

kamida bittasi noldan farq qiladi, ikkinchisi bu aniqlovchining barcha kichiklari nolga teng bo'lganda. Ikkala holatda ham bir hil tizim son-sanoqsiz yechimlarga ega.

Uchinchi tartibli determinantni hisoblang

RCB HIMOYA HARBIY UNIVERSITETI KOSTROMA FILIALI

Qo'shinlarni boshqarishni avtomatlashtirish bo'limi

Faqat o'qituvchilar uchun

"Ma'qullayman"

9-sonli kafedra mudiri

Polkovnik YAKOVLEV A.B.

"____"______________ 2004 yil

dotsent A.I.SMIRNOVA

“SARALAMALAR.

CHIZIQLI TENGLAMALAR TIZIMLARINI YECHISH”.

2-sonli MA'ruza / 1

9-sonli kafedra majlisida muhokama qilingan

"____"___________ 2004 yil

Bayonnoma raqami ___________

Kostroma, 2004 yil.

Kirish

1. Ikkinchi va uchinchi tartibli aniqlovchilar.

2. Determinantlarning xossalari. Parchalanish teoremasi.

3. Kramer teoremasi.

Xulosa

Adabiyot

1. V.E. Schneider va boshqalar. Qisqa kurs Oliy matematika, I jild, Ch. 2, 1-band.

2. V.S. Shchipachev, Oliy matematika, 10-bob, 2-band.

KIRISH

Ma'ruzada ikkinchi va uchinchi darajali determinantlar va ularning xossalari muhokama qilinadi. Shuningdek, determinantlar yordamida chiziqli tenglamalar tizimini echishga imkon beruvchi Kramer teoremasi. Hisoblashda aniqlovchilardan keyinroq “Vektor algebrasi” mavzusida ham foydalaniladi vektor mahsuloti vektorlar.

1-o'quv savoli IKKINCHI VA UCHINCHILARNING determinantlari

Buyurtma

Shaklning to'rtta raqamidan iborat jadvalni ko'rib chiqing

Jadvaldagi raqamlar ikkita indeksli harf bilan ko'rsatilgan. Birinchi indeks satr raqamini, ikkinchisi ustun raqamini ko'rsatadi.

TA’RIF 1.Ikkinchi tartibli determinant chaqirdiifodamehribon:

(1)

Raqamlar A 11, …, A 22 determinantning elementlari deyiladi.

Elementlar tomonidan yaratilgan diagonal A 11 ; A 22 asosiy deb ataladi va elementlar tomonidan tashkil etilgan diagonal A 12 ; A 21 - yonma-yon.

Shunday qilib, ikkinchi tartibli determinant asosiy va ikkilamchi diagonallar elementlarining ko'paytmalari orasidagi farqga teng.

Javob raqam ekanligini unutmang.

MISOLLAR. Hisoblash:

Endi uchta qator va uchta ustunda yozilgan to'qqiz raqamdan iborat jadvalni ko'rib chiqing:

TA'RIF 2. Uchinchi tartibli determinant shaklning ifodasi deyiladi:

Elementlar A 11; A 22 ; A 33 - asosiy diagonalni hosil qiladi.

Raqamlar A 13; A 22 ; A 31 - yon diagonal hosil qiling.

Keling, ortiqcha va minus atamalarning qanday hosil bo'lishini sxematik tarzda tasvirlaylik:

" + " " – "

Plyus quyidagilarni o'z ichiga oladi: asosiy diagonaldagi elementlarning mahsuloti, qolgan ikkita shart asosiy diagonalga parallel bo'lgan uchburchaklar cho'qqilarida joylashgan elementlarning mahsulotidir.

Minus atamalar ikkilamchi diagonalga nisbatan bir xil sxema bo'yicha tuzilgan.

Uchinchi tartibli determinantni hisoblash uchun ushbu qoida deyiladi

T reugolnikov qoidasi.

MISOLLAR. Uchburchak qoidasi yordamida hisoblang:

Izoh. Determinantlar determinantlar deb ham ataladi.

2-o'quv savoli AYTIRGANLARNING XUSUSIYATLARI.

KEYANISH TEOREMASI

Mulk 1. Determinantning satrlari mos ustunlar bilan almashtirilsa, uning qiymati o'zgarmaydi.

.

Ikkala determinantni ochib, biz tenglikning haqiqiyligiga amin bo'lamiz.

1-xususiyat determinant satrlari va ustunlarining tengligini o'rnatadi. Shuning uchun biz satrlar va ustunlar uchun determinantning barcha boshqa xususiyatlarini shakllantiramiz.

Mulk 2. Ikki qatorni (yoki ustunni) qayta tartiblashda determinant o'zining mutlaq qiymatini saqlab, o'z belgisini qarama-qarshi tomonga o'zgartiradi..

.

Mulk 3. Qator elementlarining umumiy omili(yoki ustun)aniqlovchi belgi sifatida olinishi mumkin.

.

Mulk 4. Agar determinant ikkita bir xil satr (yoki ustun) bo'lsa, u nolga teng.

Bu xususiyat to'g'ridan-to'g'ri tekshirish orqali isbotlanishi mumkin yoki siz 2 xususiyatdan foydalanishingiz mumkin.

Determinantni D bilan belgilaymiz. Ikkita bir xil birinchi va ikkinchi qatorlar qayta joylashtirilganda u o'zgarmaydi, lekin ikkinchi xususiyatga ko'ra u belgini o'zgartirishi kerak, ya'ni.

D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

Mulk 5. Agar satrning barcha elementlari bo'lsa(yoki ustun)nolga teng bo'lsa, determinant nolga teng.

Bu xususiyat mulk 3 qachon maxsus holat sifatida qaralishi mumkin

Mulk 6. Ikki qatorning elementlari bo'lsa(yoki ustunlar)determinantlar proportsional, keyin determinant nolga teng.

.

To'g'ridan-to'g'ri tekshirish yoki 3 va 4 xususiyatlar yordamida isbotlanishi mumkin.

Mulk 7. Agar satr (yoki ustun) elementlariga boshqa satrning (yoki ustunning) mos keladigan elementlari bir xil songa ko'paytirilsa, determinantning qiymati o'zgarmaydi.

.

To'g'ridan-to'g'ri tekshirish bilan tasdiqlangan.

Ushbu xususiyatlardan foydalanish ba'zi hollarda determinantlarni, ayniqsa uchinchi tartibni hisoblash jarayonini osonlashtirishi mumkin.

Keyingi ishlar uchun bizga kichik va algebraik to'ldiruvchi tushunchalari kerak bo'ladi. Uchinchi tartibni aniqlash uchun ushbu tushunchalarni ko'rib chiqamiz.

TA’RIF 3. Kichik uchinchi tartibli determinantning berilgan elementining kesishmasida joylashgan satr va ustunni kesib tashlash orqali berilgan elementdan olingan ikkinchi tartibli aniqlovchi deyiladi.

Kichik element Aij bilan belgilanadi Mij. Shunday qilib, element uchun A 11 kichik

U uchinchi tartibli determinantda birinchi qator va birinchi ustunni kesib tashlash orqali olinadi.

TA’rif 4. Determinant elementining algebraik to'ldiruvchisi ga ko'paytirilgan kichik deb atashadi(-1)k, Qayerdak- ushbu element kesishgan joyda joylashgan satr va ustun raqamlarining yig'indisi.

Elementning algebraik to‘ldiruvchisi Aij bilan belgilanadi Aij.

Shunday qilib, Aij =

.

Keling, elementlar uchun algebraik qo'shimchalarni yozamiz A 11 va A 12.

. .

Qoidani eslab qolish foydalidir: determinant elementining algebraik to'ldiruvchisi uning ishorali minoriga teng. ortiqcha, agar element paydo bo'lgan satr va ustun raqamlari yig'indisi bo'lsa hatto, va belgi bilan minus, agar bu miqdor g'alati.

MISOL. Determinantning birinchi qatori elementlari uchun kichik va algebraik to‘ldiruvchini toping:

Ko'rinib turibdiki, minorlar va algebraik to'ldiruvchilar faqat belgi bilan farq qilishi mumkin.

Keling, muhim teoremani isbotsiz ko'rib chiqaylik - determinant kengayish teoremasi.

KEYANISH TEOREMASI

Aniqlovchi har qanday satr yoki ustun elementlari va ularning algebraik to'ldiruvchilari ko'paytmalari yig'indisiga teng.

Bu teoremadan foydalanib, uchinchi tartibli determinantning kengaytmasini birinchi qator bo‘ylab yozamiz.

.

Kengaytirilgan shaklda:

.

Uchinchi tartibli determinantni hisoblashda oxirgi formuladan asosiy sifatida foydalanish mumkin.

Kengayish teoremasi uchinchi darajali determinantning hisobini uchta ikkinchi darajali determinantning hisobiga kamaytirishga imkon beradi.

Parchalanish teoremasi uchinchi tartibli determinantlarni hisoblashning ikkinchi usulini beradi.

MISOLLAR. Kengayish teoremasi yordamida determinantni hisoblang.