Uchinchi tartibli tenglamalar sistemalarini yechish Kramer qoidasi. Chiziqli tenglamalar
Chiziqli tenglamalar tizimi mustaqil o'zgaruvchilar soni qancha tenglamalarni o'z ichiga oladi, ya'ni. shaklga ega
Bunday tizimlar chiziqli tenglamalar kvadrat deyiladi. Tizimning mustaqil o'zgaruvchilari koeffitsientlaridan tashkil topgan determinant (1.5) tizimning asosiy determinanti deb ataladi. Biz uni belgilaymiz Yunoncha harf D. Shunday qilib
. (1.6)
Agar asosiy determinantda ixtiyoriy ( j th) ustun, uni tizimning bepul a'zolari ustuni bilan almashtiring (1.5), keyin biz ko'proq narsani olishimiz mumkin n yordamchi determinantlar:
(j = 1, 2, …, n). (1.7)
Kramer qoidasi chiziqli tenglamalarning kvadratik sistemalarini yechish quyidagicha. Agar (1.5) sistemaning asosiy determinanti D nolga teng bo'lmasa, u holda sistemaning yagona yechimi mavjud bo'lib, uni quyidagi formulalar yordamida topish mumkin:
(1.8)
1.5-misol. Tenglamalar sistemasini Kramer usuli yordamida yeching
.
Keling, tizimning asosiy determinantini hisoblaylik:
D¹0 dan beri tizim formulalar (1.8) yordamida topiladigan noyob yechimga ega:
Shunday qilib,
Matritsa harakatlari
1. Matritsani songa ko‘paytirish. Matritsani songa ko'paytirish amali quyidagicha aniqlanadi.
2. Matritsani songa ko'paytirish uchun uning barcha elementlarini shu raqamga ko'paytirish kerak. Ya'ni
. (1.9)
1.6-misol. 
.
Matritsa qo'shish.
Bu amal faqat bir xil tartibdagi matritsalar uchun kiritiladi.
Ikki matritsani qo'shish uchun bitta matritsaning elementlariga boshqa matritsaning mos keladigan elementlarini qo'shish kerak:
(1.10)
Matritsa qo‘shish amali assotsiativlik va kommutativlik xossalariga ega.
1.7-misol. 
.
Matritsalarni ko'paytirish.
Agar matritsa ustunlari soni A matritsa qatorlari soniga mos keladi IN, keyin bunday matritsalar uchun ko'paytirish amali kiritiladi:
2 
Shunday qilib, matritsani ko'paytirishda A o'lchamlari m´ n matritsaga IN o'lchamlari n´ k matritsani olamiz BILAN o'lchamlari m´ k. Bunda matritsaning elementlari BILAN quyidagi formulalar bo'yicha hisoblanadi:
Muammo 1.8. Agar iloji bo'lsa, matritsalar ko'paytmasini toping AB Va BA:
Yechim. 1) Ish topish AB, sizga matritsa qatorlari kerak A matritsa ustunlariga ko'paytiring B:
2) San'at asari BA mavjud emas, chunki matritsaning ustunlar soni B matritsa qatorlari soniga mos kelmaydi A.
Teskari matritsa. Chiziqli tenglamalar sistemalarini matritsali usulda yechish
Matritsa A- 1 kvadrat matritsaning teskarisi deyiladi A agar tenglik bajarilsa:
qayerdan orqali I matritsa bilan bir xil tartibdagi o'ziga xoslik matritsasini bildiradi A:
.
Kvadrat matritsa teskari bo'lishi uchun uning determinanti nolga teng bo'lmasligi zarur va etarli. Teskari matritsa quyidagi formula bo'yicha topiladi:
, (1.13)
Qayerda A ij- elementlarga algebraik qo'shimchalar aij matritsalar A(matritsa satrlariga algebraik qo'shimchalar mavjudligiga e'tibor bering A teskari matritsada mos ustunlar shaklida joylashtirilgan).
1.9-misol. Teskari matritsani toping A- 1 dan matritsaga
.
Teskari matritsani (1.13) formula bo'yicha topamiz, bu holat uchun n= 3 quyidagicha ko'rinadi:
.
Keling, det topamiz A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Dastlabki matritsaning determinanti noldan farq qilganligi sababli, teskari matritsa mavjud.
1) Algebraik qo‘shimchalarni toping A ij:
Topish qulayligi uchun teskari matritsa, biz asl matritsaning satrlariga algebraik qo'shimchalarni mos keladigan ustunlarga joylashtirdik.
Olingan algebraik qo'shimchalardan biz yangi matritsa tuzamiz va uni aniqlovchi detga bo'lamiz. A. Shunday qilib, biz teskari matritsani olamiz:
Bosh determinanti nolga teng boʻlmagan chiziqli tenglamalarning kvadratik sistemalarini teskari matritsa yordamida yechish mumkin. Buning uchun (1.5) sistema matritsa shaklida yoziladi:
Qayerda 
Chapdagi tenglikning ikkala tomonini (1.14) ga ko'paytirish A- 1, biz tizimning yechimini olamiz:
, qayerda
Shunday qilib, yechim topish uchun kvadrat tizimi, siz tizimning asosiy matritsasiga teskari matritsani topishingiz va uni o'ngdagi bo'sh a'zolarning ustun matritsasiga ko'paytirishingiz kerak.
Muammo 1.10. Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching
teskari matritsa yordamida.
Yechim. Biz tizimni matritsa shaklida yozamiz: ,
Qayerda 
sistemaning asosiy matritsasi, noma’lumlar ustuni va erkin a’zolar ustuni. Tizimning asosiy determinanti bo'lgani uchun 
, keyin tizimning asosiy matritsasi A teskari matritsaga ega A-1 . Teskari matritsani topish uchun A-1 , matritsaning barcha elementlarining algebraik to'ldiruvchilarini hisoblang A:
Olingan raqamlardan biz matritsa tuzamiz (bundan tashqari, matritsa qatorlariga algebraik qo'shimchalar A tegishli ustunlarga yozing) va uni D determinantiga bo'ling. Shunday qilib, biz teskari matritsani topdik:
(1.15) formula bo'yicha tizimning yechimini topamiz:
Shunday qilib,
Oddiy Iordaniya istisnolari bilan chiziqli tenglamalar tizimini yechish
Chiziqli tenglamalarning ixtiyoriy (kvadrat bo'lishi shart emas) tizimi berilsin:
(1.16)
Tizimga yechim topish talab qilinadi, ya'ni. tizimning barcha tengliklarini qanoatlantiradigan shunday o'zgaruvchilar to'plami (1.16). IN umumiy holat sistema (1.16) faqat bitta yechimga emas, balki cheksiz ko'p yechimlarga ham ega bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, u hech qanday yechimga ega bo'lmasligi mumkin.
Bunday muammolarni hal qilishda maktab kursidan yaxshi ma'lum bo'lgan noma'lumlarni yo'q qilish usuli qo'llaniladi, bu oddiy Iordaniyani yo'q qilish usuli deb ham ataladi. Bu usulning mohiyati shundan iboratki, (1.16) sistemaning tenglamalaridan birida o'zgaruvchilardan biri boshqa o'zgaruvchilar bilan ifodalanadi. Keyin bu o'zgaruvchi tizimning boshqa tenglamalariga almashtiriladi. Natijada bitta tenglama va dastlabki tizimdan bitta kamroq o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tizim. O'zgaruvchi ifodalangan tenglama esga olinadi.
Bu jarayon tizimda oxirgi tenglama qolguncha takrorlanadi. Noma'lumlarni yo'q qilish jarayonida ba'zi tenglamalar, masalan, haqiqiy identifikatsiyaga aylanishi mumkin. Bunday tenglamalar tizimdan chiqarib tashlanadi, chunki ular o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun amal qiladi va shuning uchun tizimning echimiga ta'sir qilmaydi. Agar noma'lumlarni yo'q qilish jarayonida hech bo'lmaganda bitta tenglama o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun (masalan, ) qondirib bo'lmaydigan tenglikka aylansa, tizimda yechim yo'q degan xulosaga kelamiz.
Agar echish jarayonida nomuvofiq tenglamalar paydo bo'lmasa, unda qolgan o'zgaruvchilardan biri oxirgi tenglamadan topiladi. Agar oxirgi tenglamada faqat bitta o'zgaruvchi qolsa, u holda u raqam bilan ifodalanadi. Agar oxirgi tenglamada boshqa o'zgaruvchilar qolsa, u holda ular parametrlar hisoblanadi va ular orqali ifodalangan o'zgaruvchi bu parametrlarning funktsiyasi bo'ladi. Keyin "teskari harakat" deb ataladigan narsa amalga oshiriladi. Topilgan o'zgaruvchi oxirgi yodlangan tenglamaga almashtiriladi va ikkinchi o'zgaruvchi topiladi. Keyin topilgan ikkita o'zgaruvchi oxirgidan oldingi yodlangan tenglamaga almashtiriladi va uchinchi o'zgaruvchi topiladi va hokazo, birinchi yodlangan tenglamagacha.
Natijada, biz tizimning yechimini olamiz. Agar topilgan o'zgaruvchilar raqamlar bo'lsa, bu yechim yagona bo'ladi. Agar birinchi topilgan o'zgaruvchi, keyin esa qolganlari parametrlarga bog'liq bo'lsa, u holda tizim cheksiz ko'p echimlarga ega bo'ladi (har bir parametr to'plami yangi yechimga mos keladi). Muayyan parametrlar to'plamiga qarab tizimning echimini topishga imkon beradigan formulalar tizimning umumiy yechimi deb ataladi.
1.11-misol.
x
Birinchi tenglamani yod olgandan keyin 
va ikkinchi va uchinchi tenglamalarga o'xshash atamalarni keltirib, biz tizimga kelamiz:
Ekspress y ikkinchi tenglamadan va uni birinchi tenglamaga almashtiring:
Ikkinchi tenglamani eslang va birinchisidan biz topamiz z:
Teskari harakatni amalga oshirib, biz ketma-ket topamiz y Va z. Buni amalga oshirish uchun biz birinchi navbatda oxirgi yodlangan tenglamani almashtiramiz, undan topamiz y:
.
Keyin biz birinchi yodlangan tenglamani almashtiramiz qaerdan topamiz x:
Muammo 1.12. Noma'lumlarni yo'q qilish orqali chiziqli tenglamalar tizimini yeching:
. (1.17)
Yechim. Birinchi tenglamadan o'zgaruvchini ifodalaylik x va uni ikkinchi va uchinchi tenglamalarga almashtiring:
.
Birinchi tenglamani eslang 
Bu sistemada birinchi va ikkinchi tenglamalar bir-biriga zid keladi. Haqiqatan ham, ifodalash y 
, biz 14 = 17 ni olamiz. Bu tenglik o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun qanoatlanmaydi. x, y, Va z. Binobarin, tizim (1.17) mos kelmaydi, ya'ni. yechimi yo‘q.
O'quvchilarga asl tizimning asosiy determinanti (1.17) nolga teng ekanligini mustaqil ravishda tekshirish taklif etiladi.
Tizimdan (1.17) faqat bitta bepul atama bilan farq qiladigan tizimni ko'rib chiqing.
Muammo 1.13. Noma'lumlarni yo'q qilish orqali chiziqli tenglamalar tizimini yeching:
. (1.18)
Yechim. Avvalgidek, biz birinchi tenglamadan o'zgaruvchini ifodalaymiz x va uni ikkinchi va uchinchi tenglamalarga almashtiring:
.
Birinchi tenglamani eslang va biz ikkinchi va uchinchi tenglamalarda o'xshash atamalarni keltiramiz. Biz tizimga kelamiz:
ifodalash y birinchi tenglamadan va uni ikkinchi tenglamaga almashtirish , biz 14 = 14 identifikatsiyani olamiz, bu tizimning yechimiga ta'sir qilmaydi va shuning uchun uni tizimdan chiqarib tashlash mumkin.
Oxirgi yodlangan tenglikda, o'zgaruvchi z parametr sifatida qabul qilinadi. Ishonamizki . Keyin
O'rinbosar y Va z birinchi yodlangan tenglikka va toping x:
.
Shunday qilib, (1.18) sistemada cheksiz yechimlar to‘plami mavjud va parametrning ixtiyoriy qiymatini tanlash orqali (1.19) formulalardan istalgan yechim topish mumkin. t:
(1.19)
Shunday qilib, sistemaning yechimlari, masalan, quyidagi o'zgaruvchilar to'plami (1; 2; 0), (2; 26; 14) va boshqalar. Formulalar (1.19) (1.18) tizimning umumiy (har qanday) yechimini ifodalaydi. ).
Dastlabki tizim (1.16) etarli bo'lgan taqdirda katta miqdorda tenglamalar va noma'lumlar, oddiy Iordaniya bartaraf etishning belgilangan usuli og'ir ko'rinadi. Biroq, unday emas. Bir bosqichda tizim koeffitsientlarini qayta hisoblash algoritmini olish kifoya. umumiy ko'rinish va masalaning yechimini maxsus Iordaniya jadvallari shaklida rasmiylashtirish.
Chiziqli shakllar (tenglamalar) tizimi berilsin:
, (1.20)
Qayerda x j- mustaqil (kerakli) o'zgaruvchilar; aij- doimiy koeffitsientlar
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Tizimning o'ng qismlari y i (i = 1, 2,…, m) ham o‘zgaruvchi (bog‘liq), ham doimiy bo‘lishi mumkin. Noma'lumlarni yo'q qilish orqali ushbu tizimga yechim topish talab etiladi.
Keling, bundan keyin "oddiy Iordaniya istisnolarining bir qadami" deb ataladigan quyidagi operatsiyani ko'rib chiqaylik. O'zboshimchalikdan ( r th) tenglik, biz ixtiyoriy o'zgaruvchini ifodalaymiz ( x s) va boshqa barcha tengliklarni almashtiring. Albatta, bu faqat agar mumkin bo'lsa a rs¹ 0. Koeffitsient a rs hal qiluvchi (ba'zan yo'naltiruvchi yoki asosiy) element deb ataladi.
Biz quyidagi tizimni olamiz:
. (1.21)
Kimdan s sistemaning tengligi (1.21), biz keyinchalik o'zgaruvchini topamiz x s(boshqa o'zgaruvchilar topilgandan keyin). S Uchinchi qator eslab qolinadi va keyinchalik tizimdan chiqariladi. Qolgan tizimda bitta tenglama va dastlabki tizimdan kamroq mustaqil o'zgaruvchi bo'ladi.
Olingan sistemaning (1.21) koeffitsientlarini dastlabki sistemaning (1.20) koeffitsientlari boʻyicha hisoblab chiqamiz. dan boshlaylik r th tenglama, o'zgaruvchini ifodalagandan keyin x s qolgan o'zgaruvchilar orqali quyidagicha ko'rinadi:
Shunday qilib, yangi koeffitsientlar r tenglama quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:
(1.23)
Endi yangi koeffitsientlarni hisoblaymiz b ij(i¹ r) ixtiyoriy tenglama. Buning uchun (1.22) da ifodalangan o‘zgaruvchini almashtiramiz. x s V i sistemaning tenglamasi (1.20):
O'xshash shartlarni keltirgandan so'ng biz quyidagilarni olamiz:
(1.24)
Tenglikdan (1.24) biz tizimning qolgan koeffitsientlari (1.21) hisoblangan formulalarni olamiz (bundan tashqari r tenglama):
(1.25)
Chiziqli tenglamalar sistemalarini oddiy iordaniyalik eliminatsiyalar usuli bilan o'zgartirish jadvallar (matritsalar) ko'rinishida keltirilgan. Bu jadvallar "Iordaniya jadvallari" deb ataladi.
Shunday qilib, muammo (1.20) quyidagi Iordaniya jadvali bilan bog'liq:
1.1-jadval
| x 1 | x 2 | … | x j | … | x s | … | x n | |
| y 1 = | a 11 | a 12 | a 1j | a 1s | a 1n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y i= | a i 1 | a i 2 | aij | a hisoblanadi | a in | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y r= | a r 1 | a r 2 | a rj | a rs | a rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n= | a m 1 | a m 2 | a mj | a ms | amn |
Jordan 1.1-jadvalda tizimning o'ng qismlari (1.20) yoziladigan chap bosh ustun va mustaqil o'zgaruvchilar yoziladigan yuqori bosh qator mavjud.
Jadvalning qolgan elementlari tizim koeffitsientlarining asosiy matritsasini tashkil qiladi (1.20). Agar matritsani ko'paytirsak A yuqori sarlavha satrining elementlaridan tashkil topgan matritsaga, keyin chap sarlavha ustunining elementlaridan tashkil topgan matritsani olamiz. Ya'ni, mohiyatan Iordaniya jadvali chiziqli tenglamalar tizimini yozishning matritsa shaklidir: . Bunday holda, quyidagi Iordaniya jadvali (1.21) tizimga mos keladi:
1.2-jadval
| x 1 | x 2 | … | x j | … | y r | … | x n | |
| y 1 = | b 11 | b 12 | b 1 j | b 1 s | b 1 n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y i = | b i 1 | b i 2 | b ij | b hisoblanadi | b in | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| x s = | br 1 | br 2 | b rj | brs | b rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n = | b m 1 | b m 2 | bmj | b ms | bmn |
Ruxsat beruvchi element a rs qalin shrift bilan ta’kidlaymiz. Eslatib o'tamiz, Iordaniya istisnolarining bir bosqichini amalga oshirish uchun hal qiluvchi element nolga teng bo'lmasligi kerak. Ruxsat beruvchi elementni o'z ichiga olgan jadval qatori ruxsat beruvchi qator deb ataladi. Yoqish elementini o'z ichiga olgan ustun yoqish ustuni deb ataladi. Berilgan jadvaldan keyingi jadvalga o'tishda bitta o'zgaruvchi ( x s) jadvalning yuqori sarlavha satridan chap sarlavha ustuniga va aksincha, tizimning bo'sh a'zolaridan biri ( y r) jadvalning chap sarlavha ustunidan yuqori sarlavha qatoriga o'tkaziladi.
Keling, (1.23) va (1.25) formulalardan kelib chiqadigan Iordaniya jadvalidan (1.1) jadvalga (1.2) o'tishda koeffitsientlarni qayta hisoblash algoritmini tavsiflaymiz.
1. Faollashtiruvchi element teskari raqam bilan almashtiriladi:
2. Ruxsat beruvchi chiziqning qolgan elementlari ruxsat beruvchi elementga bo'linadi va ishorani qarama-qarshi tomonga o'zgartiradi: 
3. Yoqish ustunining qolgan elementlari yoqish elementiga bo'linadi: 
4. Yechish qatori va yechish ustuniga kiritilmagan elementlar formulalar bo‘yicha qayta hisoblab chiqiladi: 
Oxirgi formulani eslab qolish oson, agar siz kasrni tashkil etuvchi elementlarni sezsangiz 
, chorrahada joylashgan i-oh va r-chi qatorlar va j th va s-chi ustunlar (yechish qatori, yechish ustuni va qayta hisoblab chiqiladigan element chorrahasida joylashgan satr va ustun). Aniqroq aytganda, formulani yodlashda 
quyidagi diagrammadan foydalanishingiz mumkin:
Iordaniya istisnolarining birinchi bosqichini bajarib, ustunlarda joylashgan 1.3-jadvalning istalgan elementi x 1 ,…, x 5 (barcha ko'rsatilgan elementlar nolga teng emas). Siz faqat oxirgi ustundagi faollashtiruvchi elementni tanlashingiz kerak emas, chunki mustaqil o'zgaruvchilarni topish kerak x 1 ,…, x 5 . Biz, masalan, koeffitsientni tanlaymiz 1 o'zgaruvchi bilan x 1.3-jadvalning uchinchi qatorida 3 (yoqish elementi qalin qilib ko'rsatilgan). 1.4-jadvalga o'tayotganda, o'zgaruvchi x Yuqori sarlavha qatoridagi 3 raqami chap sarlavha ustunining (uchinchi qator) doimiy 0 ga almashtiriladi. Shu bilan birga, o'zgaruvchan x 3 qolgan o'zgaruvchilar bilan ifodalanadi.
ip x 3 (1.4-jadval) oldindan eslab qolgan holda 1.4-jadvaldan chiqarib tashlash mumkin. 1.4-jadval, shuningdek, sarlavhaning yuqori satrida nol bo'lgan uchinchi ustunni ham o'z ichiga olmaydi. Gap shundaki, koeffitsientlardan qat'i nazar berilgan ustun b i 3 har bir tenglamaning unga mos keladigan barcha shartlari 0 b i 3 ta tizim nolga teng bo'ladi. Shuning uchun bu koeffitsientlarni hisoblash mumkin emas. Bitta o'zgaruvchini yo'q qilish x 3 va tenglamalardan birini eslab, biz 1.4-jadvalga mos keladigan tizimga kelamiz (chiziq kesib tashlangan holda) x 3). 1.4-jadvalda hal qiluvchi element sifatida tanlash b 14 = -5, 1.5-jadvalga o'ting. 1.5-jadvalda biz birinchi qatorni eslaymiz va to'rtinchi ustun bilan birga jadvaldan chiqarib tashlaymiz (yuqorida nol bilan).
1.5-jadval 1.6-jadval
Oxirgi 1.7-jadvaldan biz quyidagilarni topamiz: x 1 = - 3 + 2x 5 .
Topilgan o'zgaruvchilarni ketma-ket yodlangan satrlarga almashtirib, qolgan o'zgaruvchilarni topamiz:
Shunday qilib, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. o'zgaruvchan x 5 , siz o'zboshimchalik bilan qiymatlarni belgilashingiz mumkin. Ushbu o'zgaruvchi parametr sifatida ishlaydi x 5 = t. Biz tizimning mosligini isbotladik va uni topdik umumiy qaror:
x 1 = - 3 + 2t
x 2 = - 1 - 3t
x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t
x 5 = t
Parametr berish t turli ma'nolar, biz dastlabki tizimga cheksiz ko'p echimlarni olamiz. Shunday qilib, masalan, tizimning yechimi quyidagi o'zgaruvchilar to'plamidir (- 3; - 1; - 2; 4; 0).
Kramer usuli chiziqli tenglamalar tizimini yechishda determinantlardan foydalanishga asoslangan. Bu yechim jarayonini sezilarli darajada tezlashtiradi.
Kramer usulidan har bir tenglamada qancha noma’lum bo‘lsa, shuncha chiziqli tenglamalar sistemasini yechish mumkin. Agar sistemaning determinanti nolga teng bo'lmasa, u holda yechimda Kramer usulidan foydalanish mumkin, agar u nolga teng bo'lsa, unday emas. Bundan tashqari, yagona yechimga ega chiziqli tenglamalar tizimini yechishda Kramer usulidan foydalanish mumkin.
Ta'rif. Noma'lumlar koeffitsientlaridan tuzilgan determinant tizimning determinanti deb ataladi va (delta) bilan belgilanadi.
Aniqlovchilar
Tegishli noma'lumlardagi koeffitsientlarni erkin shartlar bilan almashtirish orqali olinadi:
;
.
Kramer teoremasi. Agar sistemaning determinanti nolga teng bo'lmasa, chiziqli tenglamalar sistemasi bitta yechimga ega bo'lib, noma'lum determinantlar nisbatiga teng bo'ladi. Maxraj sistemaning aniqlovchisi, hisoblagich esa sistemaning aniqlovchisidan koeffitsientlarni noma’lum bilan erkin shartlar bilan almashtirish orqali olingan aniqlovchi hisoblanadi. Bu teorema har qanday tartibli chiziqli tenglamalar tizimi uchun amal qiladi.
1-misol Chiziqli tenglamalar tizimini yeching:
Ga binoan Kramer teoremasi bizda ... bor:
Demak, (2) sistemaning yechimi:
onlayn kalkulyator, Kramerning yechim usuli.
Chiziqli tenglamalar tizimini echishda uchta holat
dan ko'rinib turganidek Kramer teoremalari, chiziqli tenglamalar tizimini echishda uchta holat yuzaga kelishi mumkin:
Birinchi holat: chiziqli tenglamalar tizimi yagona yechimga ega
(tizim izchil va aniq)
Ikkinchi holat: chiziqli tenglamalar tizimi cheksiz ko'p echimlarga ega
(tizim izchil va noaniq)
** 
,
bular. noma'lumlar va erkin hadlar koeffitsientlari proportsionaldir.
Uchinchi holat: chiziqli tenglamalar tizimining yechimlari yo'q
(tizim mos kelmaydi)
Shunday qilib, tizim m bilan chiziqli tenglamalar n o'zgaruvchilar deyiladi mos kelmaydigan u hech qanday yechimlari bo'lmasa, va qo'shma agar u kamida bitta yechimga ega bo'lsa. Bitta yechimga ega bo'lgan qo'shma tenglamalar tizimi deyiladi aniq, va bir nechta noaniq.
Chiziqli tenglamalar sistemalarini Kramer usulida yechishga misollar
Tizimga ruxsat bering
.
Kramer teoremasi asosida
………….
,
Qayerda 
-
tizim identifikatori. Qolgan determinantlar ustunni tegishli o'zgaruvchining (noma'lum) koeffitsientlari bilan erkin a'zolar bilan almashtirish orqali olinadi:
2-misol
.
Shunday qilib, tizim aniq. Uning yechimini topish uchun determinantlarni hisoblaymiz
Kramer formulalari bo'yicha biz quyidagilarni topamiz:
Demak, (1; 0; -1) tizimning yagona yechimidir.
3 X 3 va 4 X 4 tenglamalar tizimlarining yechimlarini tekshirish uchun siz onlayn kalkulyatordan, Kramer echish usulidan foydalanishingiz mumkin.
Agar bir yoki bir nechta tenglamalarda chiziqli tenglamalar tizimida o'zgaruvchilar bo'lmasa, determinantda ularga mos keladigan elementlar nolga teng! Bu keyingi misol.
3-misol Chiziqli tenglamalar tizimini Kramer usulida yeching:
.
Yechim. Biz tizimning determinantini topamiz:
Tenglamalar tizimiga va tizimning determinantiga diqqat bilan qarang va determinantning bir yoki bir nechta elementlari nolga teng bo'lgan savolga javobni takrorlang. Demak, determinant nolga teng emas, demak, sistema aniq. Uning yechimini topish uchun noma’lumlar uchun determinantlarni hisoblaymiz
Kramer formulalari bo'yicha biz quyidagilarni topamiz:
Demak, sistemaning yechimi (2; -1; 1) bo'ladi.
3 X 3 va 4 X 4 tenglamalar tizimlarining yechimlarini tekshirish uchun siz onlayn kalkulyatordan, Kramer echish usulidan foydalanishingiz mumkin.
Sahifaning yuqorisi
Biz birgalikda Cramer usuli yordamida tizimlarni hal qilishda davom etamiz
Yuqorida aytib o'tilganidek, agar tizimning determinanti nolga teng bo'lsa va noma'lumlar uchun determinantlar nolga teng bo'lmasa, tizim mos kelmaydi, ya'ni uning yechimlari yo'q. Keling, quyidagi misol bilan tushuntiraylik.
6-misol Chiziqli tenglamalar tizimini Kramer usulida yeching:
Yechim. Biz tizimning determinantini topamiz:
Tizimning determinanti nolga teng, shuning uchun chiziqli tenglamalar tizimi mos kelmaydigan va aniq, yoki mos kelmaydigan, ya'ni uning yechimlari yo'q. Aniqlik uchun biz noma'lumlar uchun determinantlarni hisoblaymiz
Noma'lumlar uchun determinantlar nolga teng emas, shuning uchun tizim nomuvofiqdir, ya'ni uning yechimlari yo'q.
3 X 3 va 4 X 4 tenglamalar tizimlarining yechimlarini tekshirish uchun siz onlayn kalkulyatordan, Kramer echish usulidan foydalanishingiz mumkin.
Chiziqli tenglamalar tizimiga oid masalalarda o'zgaruvchilarni bildiruvchi harflardan tashqari, boshqa harflar ham mavjud. Bu harflar ba'zi raqamlarni, ko'pincha haqiqiy raqamni anglatadi. Amalda bunday tenglamalar va tenglamalar sistemalari har qanday hodisa va jismlarning umumiy xossalarini topish masalalariga olib keladi. Ya'ni, o'zingiz ixtiro qildingizmi? yangi material yoki qurilma va uning hajmi yoki nusxalari sonidan qat'iy nazar umumiy bo'lgan xususiyatlarini tavsiflash uchun chiziqli tenglamalar tizimini echish kerak, bu erda o'zgaruvchilar uchun ba'zi koeffitsientlar o'rniga harflar mavjud. Misollar uchun uzoqdan izlash shart emas.
Keyingi misol shunga o'xshash masala uchun, faqat tenglamalar, o'zgaruvchilar va ba'zi haqiqiy sonlarni bildiruvchi harflar soni ortadi.
8-misol Chiziqli tenglamalar tizimini Kramer usulida yeching:
Yechim. Biz tizimning determinantini topamiz:
Noma'lumlar uchun determinantlarni topish
Tenglamalar soni nolga teng bo'lmagan matritsaning asosiy determinanti bilan noma'lumlar soni bilan bir xil bo'lib, tizimning koeffitsientlari (bunday tenglamalar uchun echim bor va u faqat bitta).
Kramer teoremasi.
Kvadrat sistema matritsasining determinanti nolga teng bo‘lmasa, sistema mos keladi va u bitta yechimga ega bo‘ladi va uni quyidagicha topish mumkin. Kramer formulalari:
qaerda D - tizim matritsasi determinanti,
Δ i- tizim matritsasining determinanti, uning o'rniga i th ustun - o'ng qismlar ustuni.
Tizimning determinanti nolga teng bo'lsa, tizim izchil yoki nomuvofiq bo'lishi mumkin.
Ushbu usul odatda hajmli hisob-kitoblarga ega bo'lgan kichik tizimlar uchun va noma'lumlardan 1 tasini aniqlash kerak bo'lganda qo'llaniladi. Usulning murakkabligi shundaki, ko'plab determinantlarni hisoblash kerak.
Kramer usulining tavsifi.
Tenglamalar tizimi mavjud:
3 ta tenglamalar sistemasini Kramer usuli bilan yechish mumkin, bu 2 ta tenglamalar sistemasi uchun yuqorida muhokama qilingan edi.
Noma'lumlar koeffitsientlaridan determinantni tuzamiz:
Bu bo'ladi tizim kvalifikatsiyasi. Qachon D≠0, shuning uchun tizim mos keladi. Endi biz 3 ta qo'shimcha determinant tuzamiz:
,
,
Biz tizimni hal qilamiz Kramer formulalari:
Tenglamalar sistemalarini Kramer usulida yechishga misollar.
1-misol.
Berilgan tizim:
Keling, buni Kramer usuli bilan hal qilaylik.
Avval siz tizim matritsasining determinantini hisoblashingiz kerak:
Chunki D≠0, demak, Kramer teoremasidan sistema mos va u bitta yechimga ega. Biz qo'shimcha determinantlarni hisoblaymiz. D 1 determinanti D determinantidan uning birinchi ustunini erkin koeffitsientlar ustuniga almashtirish orqali olinadi. Biz olamiz:
Xuddi shu tarzda, ikkinchi ustunni erkin koeffitsientlar ustuni bilan almashtirib, tizim matritsasining determinantidan D 2 determinantini olamiz:
Birinchi bo'limda biz ba'zi nazariy materiallarni, almashtirish usulini, shuningdek, tizim tenglamalarini muddat bo'yicha qo'shish usulini ko'rib chiqdik. Ushbu sahifa orqali saytga kelgan barchaga birinchi qismni o'qishni tavsiya qilaman. Ehtimol, ba'zi tashrif buyuruvchilar materialni juda oddiy deb bilishadi, ammo chiziqli tenglamalar tizimini echish jarayonida men yechim bo'yicha bir qator juda muhim mulohazalar va xulosalar qildim. matematik muammolar umuman.
Va endi biz Kramer qoidasini, shuningdek, teskari matritsa (matritsa usuli) yordamida chiziqli tenglamalar tizimini echishni tahlil qilamiz. Barcha materiallar sodda, batafsil va aniq taqdim etilgan, deyarli barcha o'quvchilar yuqoridagi usullardan foydalangan holda tizimlarni qanday hal qilishni o'rganishlari mumkin.
Biz birinchi navbatda ikkita noma'lum ikkita chiziqli tenglamalar tizimi uchun Kramer qoidasini batafsil ko'rib chiqamiz. Nima uchun? - Hammasidan keyin; axiyri eng oddiy tizim maktab usuli bilan, muddat qo'shish orqali hal qilish mumkin!
Gap shundaki, ba'zan bo'lsa ham, lekin shunday vazifa bor - ikkita noma'lum bo'lgan ikkita chiziqli tenglamalar tizimini Kramer formulalari yordamida hal qilish. Ikkinchidan, oddiyroq misol sizga Kramer qoidasidan murakkabroq holatda - uchta noma'lum uchta tenglamadan iborat tizimdan qanday foydalanishni tushunishga yordam beradi.
Bundan tashqari, ikkita o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar tizimlari mavjud bo'lib, ularni aynan Kramer qoidasiga muvofiq yechish tavsiya etiladi!
Tenglamalar tizimini ko'rib chiqing
Birinchi bosqichda biz determinantni hisoblaymiz, u deyiladi tizimning asosiy hal qiluvchi omili.
Gauss usuli.
Agar bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega va ildizlarni topish uchun biz yana ikkita determinantni hisoblashimiz kerak:
Va
Amalda yuqoridagi determinantlarni ham belgilash mumkin Lotin harfi.
Tenglamaning ildizlari quyidagi formulalar bilan topiladi:
,
7-misol
Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching 
Yechim: Biz tenglamaning koeffitsientlari juda katta ekanligini ko'ramiz, o'ng tomonda bor o'nli kasrlar vergul bilan. Vergul matematikadan amaliy topshiriqlarda juda kam uchraydigan mehmondir, men bu tizimni ekonometrik masaladan oldim.
Bunday tizimni qanday hal qilish mumkin? Siz bitta o'zgaruvchini boshqasi bilan ifodalashga urinib ko'rishingiz mumkin, ammo bu holda siz, albatta, dahshatli tasavvurga ega bo'lgan fraktsiyalarga ega bo'lasiz, ular bilan ishlash juda noqulay va yechim dizayni shunchaki dahshatli ko'rinadi. Siz ikkinchi tenglamani 6 ga ko'paytirishingiz va muddatni ayirish mumkin, ammo bu erda bir xil kasrlar paydo bo'ladi.
Nima qilish kerak? Bunday hollarda Kramerning formulalari yordamga keladi.
;
;
Javob: ,
Ikkala ildizning ham cheksiz dumlari bor va ular taxminan topiladi, bu ekonometriya muammolari uchun juda maqbul (va hatto oddiy).
Bu erda sharhlar kerak emas, chunki vazifa tayyor formulalar bo'yicha hal qilinadi, ammo bitta ogohlantirish bor. Ushbu usuldan foydalanganda, majburiy Topshiriqning fragmenti quyidagi qismdir: "shuning uchun tizim noyob yechimga ega". Aks holda, sharhlovchi sizni Kramer teoremasiga hurmatsizlik qilganingiz uchun jazolashi mumkin.
Kalkulyatorda bajarish qulay bo'lgan tekshirish ortiqcha bo'lmaydi: biz tizimning har bir tenglamasining chap tomonidagi taxminiy qiymatlarni almashtiramiz. Natijada, kichik xato bilan, o'ng tomonda joylashgan raqamlarni olish kerak.
8-misol
Javobingizni oddiy noto'g'ri kasrlarda ifodalang. Chek qiling.
Bu mustaqil yechim uchun misol (nazik dizayn va dars oxirida javob).
Biz uchta noma'lumli uchta tenglamalar tizimi uchun Kramer qoidasini ko'rib chiqishga murojaat qilamiz: 
Biz tizimning asosiy determinantini topamiz: 
Agar bo'lsa, u holda tizim cheksiz ko'p echimlarga ega yoki mos kelmaydigan (echimlari yo'q). Bunday holda, Kramer qoidasi yordam bermaydi, siz Gauss usulidan foydalanishingiz kerak.
Agar bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega va ildizlarni topish uchun biz yana uchta determinantni hisoblashimiz kerak: 
, 
, 
Va nihoyat, javob formulalar bo'yicha hisoblanadi: 
Ko'rib turganingizdek, "uchdan uch" holati "ikkidan ikki" holatidan tubdan farq qilmaydi, erkin atamalar ustuni asosiy determinant ustunlari bo'ylab chapdan o'ngga ketma-ket "yuradi".
9-misol
Tizimni Kramer formulalari yordamida yeching. 
Yechim: Tizimni Kramer formulalari yordamida yechamiz. 
, shuning uchun tizim noyob yechimga ega.
Javob: 
.
Aslida, qaror tayyor formulalar bo'yicha qabul qilinganligi sababli, bu erda yana bir bor izoh berish uchun alohida narsa yo'q. Ammo bir nechta eslatmalar mavjud.
Shunday bo'ladiki, hisob-kitoblar natijasida "yomon" qaytarilmas fraktsiyalar olinadi, masalan: .
Men quyidagi "davolash" algoritmini tavsiya qilaman. Agar qo'lda kompyuter bo'lmasa, biz buni qilamiz:
1) Hisob-kitoblarda xatolik bo'lishi mumkin. "Yomon" otishni o'rganish bilanoq, darhol tekshirishingiz kerak to'g'ri qayta yozilgan shartdir. Agar shart xatosiz qayta yozilgan bo'lsa, unda siz boshqa qatordagi (ustun) kengayish yordamida determinantlarni qayta hisoblashingiz kerak.
2) Agar tekshirish natijasida hech qanday xato topilmagan bo'lsa, unda katta ehtimollik bilan topshiriq shartida xato qilingan. Bunday holda, vazifani oxirigacha xotirjam va EHTIYOT bilan hal qiling, keyin esa tekshirishga ishonch hosil qiling va qarordan keyin uni toza nusxada tuzing. Albatta, kasrli javobni tekshirish yoqimsiz vazifadir, lekin bu har qanday yomon narsa uchun minus qo'yishni yaxshi ko'radigan o'qituvchi uchun qurolsizlantiruvchi dalil bo'ladi. Kasrlar bilan qanday ishlash kerakligi 8-misol uchun javobda batafsil bayon etilgan.
Agar sizning qo'lingizda kompyuteringiz bo'lsa, uni tekshirish uchun avtomatlashtirilgan dasturdan foydalaning, uni darsning boshida bepul yuklab olish mumkin. Aytgancha, dasturni darhol ishlatish eng foydalidir (hatto yechimni boshlashdan oldin), siz xato qilgan oraliq bosqichni darhol ko'rasiz! Xuddi shu kalkulyator tizimning yechimini avtomatik ravishda hisoblab chiqadi matritsa usuli.
Ikkinchi izoh. Vaqti-vaqti bilan tenglamalarda ba'zi o'zgaruvchilar etishmayotgan tizimlar mavjud, masalan: 
Bu erda birinchi tenglamada o'zgaruvchi yo'q, ikkinchisida o'zgaruvchi yo'q. Bunday hollarda asosiy belgilovchini to'g'ri va diqqat bilan yozish juda muhimdir: 
- etishmayotgan o'zgaruvchilar o'rniga nollar qo'yiladi.
Aytgancha, nol joylashgan qatorda (ustun) nol bilan determinantlarni ochish oqilona, chunki hisob-kitoblar sezilarli darajada kamroq.
10-misol
Tizimni Kramer formulalari yordamida yeching. 
Bu o'z-o'zidan qaror qabul qilish uchun namunadir (namunani tugatish va dars oxirida javob).
4 ta noma'lumli 4 ta tenglamalar sistemasi uchun Kramer formulalari o'xshash printsiplarga muvofiq yoziladi. Jonli misolni Determinant xususiyatlari darsida ko'rishingiz mumkin. Determinantning tartibini qisqartirish - beshta 4-tartibli aniqlovchi juda echilishi mumkin. Vazifa allaqachon baxtli talabaning ko'kragidagi professorning tuflisini eslatib tursa-da.
Teskari matritsa yordamida tizimni yechish
Teskari matritsa usuli mohiyatan alohida holatdir matritsa tenglamasi(Ko'rsatilgan darsning 3-misoliga qarang).
Ushbu bo'limni o'rganish uchun determinantlarni kengaytirish, teskari matritsani topish va matritsalarni ko'paytirishni bajarish kerak. Tushuntirish davom etar ekan, tegishli havolalar beriladi.
11-misol
Tizimni matritsa usuli bilan yeching 
Yechim: Biz tizimni matritsa shaklida yozamiz:
, Qayerda 
Iltimos, tenglamalar va matritsalar tizimiga qarang. Elementlarni matritsalarga qanday printsip asosida yozamiz, menimcha, hamma tushunadi. Yagona izoh: agar tenglamalarda ba'zi o'zgaruvchilar etishmayotgan bo'lsa, unda matritsaning tegishli joylariga nollarni qo'yish kerak edi.
Teskari matritsani quyidagi formula bo'yicha topamiz:
, bu erda - matritsaning mos keladigan elementlarining algebraik to'ldiruvchilarining ko'chirilgan matritsasi.
Birinchidan, determinant bilan shug'ullanamiz:
Bu yerda determinant birinchi qatorga kengaytiriladi.
Diqqat! Agar bo'lsa, u holda teskari matritsa mavjud emas va tizimni matritsa usuli bilan yechish mumkin emas. Bunday holda, tizim noma'lumlarni yo'q qilish yo'li bilan hal qilinadi (Gauss usuli).
Endi siz 9 nafar voyaga etmaganlarni hisoblashingiz va ularni voyaga etmaganlar matritsasiga yozishingiz kerak 
Malumot: Chiziqli algebrada qo'sh yozuvlar ma'nosini bilish foydalidir. Birinchi raqam - bu satrning raqami berilgan element. Ikkinchi raqam - element joylashgan ustunning raqami: 
Ya'ni, qo'sh yozuv elementning birinchi qatorda, uchinchi ustunda, masalan, element 3-qatorda, 2-ustunda ekanligini bildiradi.
3 ta noma'lumli 3 ta tenglamalar tizimini ko'rib chiqing
Uchinchi tartibli determinantlardan foydalangan holda, bunday tizimning yechimi ikkita tenglamalar tizimi bilan bir xil shaklda yozilishi mumkin, ya'ni.
(2.4)
agar 0. Bu yerga
Bu bor Kramer qoidasi uchta noma'lumli uchta chiziqli tenglamalar tizimini yechish.
2.3-misol. Kramer qoidasidan foydalanib chiziqli tenglamalar tizimini yeching:
Yechim . Tizimning bosh matritsasining determinantini topish
0 bo'lgani uchun tizim yechimini topish uchun siz Kramer qoidasini qo'llashingiz mumkin, lekin avval yana uchta determinantni hisoblang:
Imtihon:
Shunday qilib, yechim to'g'ri topilgan.
uchun olingan Kramer qoidalari chiziqli tizimlar 2 va 3-tartiblar, xuddi shu qoidalarni har qanday tartibli chiziqli tizimlar uchun shakllantirish mumkinligini ko'rsating. Haqiqatan ham sodir bo'ladi
Kramer teoremasi. Tizimning asosiy matritsasining nolga teng bo'lmagan aniqlovchisi bo'lgan kvadratik chiziqli tenglamalar tizimi (0) bitta va bitta yechimga ega va bu yechim formulalar bilan hisoblanadi
(2.5)
Qayerda – asosiy matritsa determinanti, i – matritsa determinanti, asosiy, almashtirishdan olinganith ustun bo'sh a'zolar ustuni.
E'tibor bering, agar =0 bo'lsa, Kramer qoidasi qo'llanilmaydi. Bu shuni anglatadiki, tizim yoki umuman yechimga ega emas yoki cheksiz ko'p echimlarga ega.
Kramer teoremasini shakllantirgandan so'ng, tabiiy ravishda yuqori tartibli determinantlarni hisoblash masalasi tug'iladi.
2.4. n-tartib aniqlovchilar
Qo'shimcha kichik M ij element a ij o'chirish yo'li bilan berilgandan olingan aniqlovchi deyiladi i-chi qator va j- ustun. Algebraik qo'shish A ij element a ij(-1) belgisi bilan olingan bu elementning minori deyiladi. i + j, ya'ni. A ij = (–1) i + j M ij .
Masalan, elementlarning minorlari va algebraik to`ldiruvchilarini topamiz a 23 va a 31 aniqlovchi
olamiz
Algebraik to'ldiruvchi tushunchasidan foydalanib, biz formula qilishimiz mumkin determinantning kengayish teoremasin-satr yoki ustun bo'yicha tartib.
2.1 teorema. Matritsa determinantiAbir qator (yoki ustun) ning barcha elementlari va ularning algebraik to‘ldiruvchilari mahsuloti yig‘indisiga teng:
(2.6)
Ushbu teorema determinantlarni hisoblashning asosiy usullaridan biri, ya'ni deb ataladigan narsa asosida yotadi. buyurtmani qisqartirish usuli. Aniqlovchining kengayishi natijasida n Har qanday satr yoki ustundagi tartib bo'lsa, biz n ta determinantni olamiz ( n–1)-chi tartib. Bunday determinantlar kamroq bo'lishi uchun eng ko'p nolga ega bo'lgan satr yoki ustunni tanlash tavsiya etiladi. Amalda determinantning kengayish formulasi odatda quyidagicha yoziladi:
bular. algebraik qo'shimchalar kichiklar nuqtai nazaridan aniq yoziladi.
Misollar 2.4. Determinantlarni birinchi navbatda istalgan satr yoki ustunda kengaytirish orqali hisoblang. Odatda bunday hollarda eng ko'p nolga ega ustun yoki qatorni tanlang. Tanlangan satr yoki ustun o'q bilan belgilanadi.
2.5. Determinantlarning asosiy xossalari
Determinantni istalgan satr yoki ustunda kengaytirib, biz n determinantni olamiz ( n–1)-chi tartib. Keyin bu determinantlarning har biri ( n–1)-tartibni aniqlovchilar yig‘indisiga ham ajratish mumkin ( n-2) tartib. Ushbu jarayonni davom ettirib, 1-darajali determinantlarga erishish mumkin, ya'ni. determinanti hisoblanayotgan matritsaning elementlariga. Shunday qilib, 2-tartibli determinantlarni hisoblash uchun siz ikkita hadning yig'indisini, 3-tartibli determinantlar uchun - 6 ta hadning yig'indisini, 4-tartibli determinantlar uchun - 24 ta hadlarni hisoblashingiz kerak bo'ladi. Aniqlovchining tartibi ortishi bilan atamalar soni keskin ortadi. Bu shuni anglatadiki, juda yuqori darajali determinantlarni hisoblash hatto kompyuterning kuchidan ham ancha mashaqqatli vazifaga aylanadi. Biroq, determinantlarni boshqa yo'l bilan, determinantlarning xususiyatlaridan foydalangan holda hisoblash mumkin.
Mulk 1 . Agar unda satrlar va ustunlar almashtirilsa, determinant o'zgarmaydi, ya'ni. matritsani ko'chirishda:
.
Bu xususiyat determinantning satr va ustunlar tengligini bildiradi. Boshqacha qilib aytganda, determinantning ustunlari haqidagi har qanday bayonot uning satrlari uchun to'g'ri va aksincha.
Mulk 2 . Ikki qator (ustun) almashtirilganda determinant belgini o'zgartiradi.
Natija . Agar determinant ikkita bir xil qatorga (ustunlarga) ega bo'lsa, u nolga teng.
Mulk 3 . Har qanday qatordagi (ustundagi) barcha elementlarning umumiy koeffitsienti determinantning belgisidan chiqarilishi mumkin..
Masalan,
Natija . Agar determinantning ba'zi qatori (ustunlari) ning barcha elementlari nolga teng bo'lsa, determinantning o'zi nolga teng bo'ladi..
Mulk 4 . Agar bir qator (ustun) elementlari boshqa qator (ustun) elementlariga qandaydir songa ko‘paytirilsa, determinant o‘zgarmaydi..
Masalan,
Mulk 5 . Matritsa mahsulotining determinanti matritsa determinantlarining mahsulotiga teng:
