Tenglamalar kasr sonlar bo'lib chiqadi. Kasrli tenglamalar yechish qoidalari

Maxrajdagi o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalarni ikki usulda yechish mumkin:

Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish

Proporsiyaning asosiy xossasidan foydalanish

Tanlangan usuldan qat’i nazar, tenglamaning ildizlarini topgach, topilgan haqiqiy qiymatlardan, ya’ni maxrajni $0$ ga aylantirmaydiganlarni tanlash kerak.

1 yo'l. Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish.

1-misol

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Yechim:

1. Tenglamaning o'ng tomonidagi kasrni chap tomonga o'tkazamiz

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Buni to'g'ri bajarish uchun elementlarni tenglamaning boshqa qismiga ko'chirishda ifodalar oldidagi belgi teskari tomonga o'zgarishini unutmang. Bu shuni anglatadiki, agar o'ng tomonda kasr oldida "+" belgisi bo'lsa, chap tomonda uning oldida "-" belgisi bo'ladi, keyin chap tomonda biz farqni olamiz kasrlar.

2. Endi e'tibor bering, kasrlar turli xil maxrajlarga ega, ya'ni ayirmani to'ldirish uchun kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kerak. Umumiy maxraj asl kasrlarning maxrajlaridagi ko'phadlarning ko'paytmasi bo'ladi: $(2x-1)(x+3)$

Bir xil ifodani olish uchun birinchi kasrning soni va maxrajini $(x+3)$ ko’phadga, ikkinchisini esa $(2x-1)$ ko’phadga ko’paytirish kerak.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Birinchi kasrning numeratorida transformatsiyani bajaramiz - ko'phadlarni ko'paytiramiz. Esda tutaylikki, buning uchun birinchi ko'phadning birinchi hadini ikkinchi ko'phadning har bir hadiga ko'paytirish, keyin birinchi ko'phadning ikkinchi hadini ikkinchi ko'phadning har bir hadiga ko'paytirish va natijalarni qo'shish kerak.

\[\left(2x+3\o'ng)\left(x+3\o'ng)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Olingan ifodada o'xshash atamalarni keltiraylik

\[\left(2x+3\o'ng)\left(x+3\o'ng)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Ikkinchi kasrning numeratorida ham xuddi shunday o'zgartirishni amalga oshiramiz - ko'phadlarni ko'paytiramiz

$\left(x-5\right)\left(2x-1\right)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5=(2x)^2-11x+5$

Keyin tenglama quyidagi shaklni oladi:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Endi kasrlar bir xil maxrajga ega, ya'ni siz ayirishingiz mumkin. Eslatib o'tamiz, bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarni birinchi kasrning sonidan ayirishda siz ikkinchi kasrning payini ayirish kerak, bunda maxraj bir xil bo'ladi.

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Keling, ifodani numeratorga aylantiramiz. Oldindan “-” belgisi bo'lgan qavslarni ochish uchun qavs ichidagi atamalar oldidagi barcha belgilarni teskarisiga o'zgartirish kerak.

\[(2x)^2+9x+9-\chap((2x)^2-11x+5\o'ng)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Keling, shunga o'xshash atamalarni keltiraylik

$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\o'ng)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Keyin kasr shaklni oladi

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. Kasr $0$ ga teng, agar uning ayiruvchisi 0 boʻlsa. Shuning uchun kasrning payini $0$ ga tenglashtiramiz.

\[(\rm 20x+4=0)\]

Lineer tenglamani yechamiz:

4. Keling, ildizlardan namuna olamiz. Demak, ildizlar topilganda asl kasrlarning maxrajlari $0$ ga aylanayotganligini tekshirish kerak.

Maxrajlar $0$ ga teng bo'lmasligi shartini qo'yaylik

x$\ne 0,5$ x$\ne -3$

Bu shuni anglatadiki, $-3$ va $0,5$ dan tashqari barcha oʻzgaruvchan qiymatlar qabul qilinadi.

Biz topgan ildiz maqbul qiymatdir, ya'ni uni tenglamaning ildizi deb hisoblash mumkin. Agar topilgan ildiz haqiqiy qiymat bo'lmasa, unda bunday ildiz begona bo'lar edi va, albatta, javobga kiritilmaydi.

Javob:$-0,2.$

Endi biz maxrajda o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamani yechish algoritmini yaratishimiz mumkin.

Maxrajda o‘zgaruvchi bo‘lgan tenglamani yechish algoritmi

Barcha elementlarni tenglamaning o'ng tomonidan chapga siljiting. Bir xil tenglamani olish uchun o'ng tarafdagi iboralar oldidagi barcha belgilarni qarama-qarshi tomonga o'zgartirish kerak.

Agar chap tomonda biz turli xil maxrajlarga ega bo'lgan ifodani olsak, kasrning asosiy xususiyatidan foydalanib, ularni umumiy holatga keltiramiz. Shaxsni o'zgartirishdan foydalangan holda transformatsiyalarni bajaring va $0$ ga teng yakuniy kasrni oling.

Numeratorni $0$ ga tenglashtiring va hosil boʻlgan tenglamaning ildizlarini toping.

Keling, ildizlarni namuna qilib olaylik, ya'ni. $0$ maxrajiga ega bo'lmagan o'zgaruvchilarning haqiqiy qiymatlarini toping.

2-usul. Biz mutanosiblikning asosiy xususiyatidan foydalanamiz

Proporsiyaning asosiy xossasi shundaki, proporsiyaning ekstremal hadlari ko‘paytmasi o‘rta hadlar ko‘paytmasiga teng.

2-misol

Biz ushbu vazifani hal qilish uchun ushbu xususiyatdan foydalanamiz

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Proporsiyaning o‘ta va o‘rta hadlari ko‘paytmasini topib, tenglashtiramiz.

$\chap(2x+3\o'ng)\cdot(\ x+3)=\chap(x-5\o'ng)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

Olingan tenglamani yechib, asl nusxaning ildizlarini topamiz

2. O'zgaruvchining maqbul qiymatlarini topamiz.

Oldingi yechimdan (1-usul) biz $-3$ va $0,5$ dan tashqari har qanday qiymatlar maqbul ekanligini aniqladik.

Keyin topilgan ildiz haqiqiy qiymat ekanligini aniqlab, biz $-0,2$ ildiz bo'lishini aniqladik.

Eng kichik umumiy maxraj soddalashtirish uchun ishlatiladi berilgan tenglama. Bu usul berilgan tenglamani tenglamaning har bir tomoniga bittadan ratsional ifoda bilan yoza olmaganda qo'llaniladi (va ko'paytirishning o'zaro faoliyat usulidan foydalaning). Ushbu usul sizga 3 yoki undan ortiq kasrli ratsional tenglama berilganda qo'llaniladi (ikki kasr bo'lsa, o'zaro faoliyat ko'paytirishni qo'llash yaxshidir).

Kasrlarning eng kichik umumiy maxrajini toping (yoki eng kichik umumiy karrali). NOZ - har bir maxrajga teng bo'linadigan eng kichik son.

• Ba'zida NPD aniq raqamdir. Masalan, tenglama berilgan bo'lsa: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, u holda 3, 2 va 6 sonlarining eng kichik umumiy karrali 6 ga teng ekanligi aniq.
• Agar NCD aniq bo'lmasa, eng katta maxrajning ko'paytmalarini yozing va ular orasidan boshqa maxrajlarning karrali bo'lganini toping. Ko'pincha NODni ikkita maxrajni ko'paytirish orqali topish mumkin. Misol uchun, agar tenglama x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 berilgan bo'lsa, u holda NOS = 8*9 = 72.
• Agar bir yoki bir nechta maxrajda o'zgaruvchi bo'lsa, jarayon biroz murakkablashadi (lekin imkonsiz emas). Bunday holda, NOC har bir maxrajga bo'lingan ifoda (o'zgaruvchini o'z ichiga olgan) hisoblanadi. Masalan, 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) tenglamada NOZ = 3x(x-1), chunki bu ifoda har bir maxrajga bo'linadi: 3x(x-1)/(x) -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Har bir kasrning payini ham, maxrajini ham MOKni har bir kasrning mos keladigan maxrajiga bo'lish natijasiga teng songa ko'paytiring.

• Numerator va maxrajni bir xil songa ko'paytirayotganingiz uchun kasrni 1 ga samarali ko'paytirasiz (masalan, 2/2 = 1 yoki 3/3 = 1).
• O'zgaruvchi maxrajda bo'lganda ham xuddi shunday davom eting. Ikkinchi misolimizda NOZ = 3x(x-1), shuning uchun 5/(x-1) ni (3x)/(3x) ga koʻpaytirsak, 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x 3(x-1)/3(x-1) ga ko'paytiriladi va siz 3(x-1)/3x(x-1) ni olasiz; 2/(3x) (x-1)/(x-1) ga ko'paytirilsa, siz 2(x-1)/3x(x-1) ni olasiz.

x toping. Endi kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirganingizdan so'ng, siz maxrajdan qutulishingiz mumkin. Buning uchun tenglamaning har bir tomonini umumiy maxrajga ko'paytiring. Keyin olingan tenglamani yeching, ya'ni "x" ni toping. Buning uchun tenglamaning bir tomonida o'zgaruvchini ajratib oling.

• Bizning misolimizda: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Bir xil maxrajli 2 ta kasr qo'shishingiz mumkin, shuning uchun tenglamani quyidagicha yozing: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Tenglamaning ikkala tomonini 6 ga ko'paytiring va maxrajlardan xalos bo'ling: 2x+3 = 3x +1. Yeching va x = 2 ni oling.
• Ikkinchi misolimizda (maxrajdagi o‘zgaruvchi bilan) tenglama (umumiy maxrajga qisqartirilgandan keyin) quyidagicha ko‘rinadi: 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Tenglamaning ikkala tomonini N3 ga ko'paytirish orqali siz maxrajdan qutulasiz va quyidagilarga ega bo'lasiz: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) yoki 15x = 3x - 3 + 2x -2, yoki 15x = x - 5 yeching va oling: x = -5/14.

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy:

• kasr ratsional tenglamalar tushunchasini shakllantirish;
• kasr ratsional tenglamalarni yechishning turli usullarini ko'rib chiqish;
• kasr ratsional tenglamalarni yechish algoritmini, shu jumladan kasr nolga teng bo‘lgan shartni ko‘rib chiqish;
• kasr ratsional tenglamalarni algoritm yordamida yechishni o‘rgatish;
• mavzuni o`zlashtirish darajasini test ishini o`tkazish orqali tekshirish.

Rivojlanish:

• olingan bilimlar bilan to'g'ri ishlash va mantiqiy fikrlash qobiliyatini rivojlantirish;
• intellektual qobiliyatlarni va aqliy operatsiyalarni rivojlantirish - tahlil qilish, sintez qilish, taqqoslash va umumlashtirish;
• tashabbusni rivojlantirish, qaror qabul qilish qobiliyati va u erda to'xtab qolmaslik;
• tanqidiy fikrlashni rivojlantirish;
• tadqiqot ko'nikmalarini rivojlantirish.

Tarbiyalash:

• mavzuga kognitiv qiziqishni rivojlantirish;
• qarorlar qabul qilishda mustaqillikni rivojlantirish tarbiyaviy vazifalar;
• yakuniy natijalarga erishish uchun iroda va qat'iyatni tarbiyalash.

Dars turi: dars - yangi materialni tushuntirish.

Darsning borishi

1. Tashkiliy moment.

Salom yigitlar! Doskada tenglamalar yozilgan, ularga diqqat bilan qarang. Bu tenglamalarning barchasini yecha olasizmi? Qaysi biri yo'q va nima uchun?

Chap va o'ng tomonlari kasr ratsional ifodalar bo'lgan tenglamalar kasr ratsional tenglamalar deyiladi. Sizningcha, bugun darsda nimani o'rganamiz? Dars mavzusini shakllantirish. Shunday qilib, daftarlaringizni oching va "Kasr ratsional tenglamalarni yechish" dars mavzusini yozing.

2. Bilimlarni yangilash. Frontal so'rov, sinf bilan og'zaki ish.

Va endi biz o'rganishimiz kerak bo'lgan asosiy nazariy materialni takrorlaymiz yangi mavzu. Iltimos, quyidagi savollarga javob bering:

1. Tenglama nima? ( O'zgaruvchi yoki o'zgaruvchi bilan tenglik.)
2. 1-raqamli tenglama qanday nomlanadi? ( Chiziqli.) Yechim chiziqli tenglamalar. (Noma'lum hamma narsani tenglamaning chap tomoniga, barcha raqamlarni o'ngga o'tkazing. Shunga o'xshash shartlarni keltiring. Noma'lum omilni toping).
3. 3-raqamli tenglama qanday nomlanadi? ( Kvadrat.) Yechimlar kvadrat tenglamalar. (Vyeta teoremasi va uning natijalaridan foydalangan holda formulalar yordamida to'liq kvadratni ajratib olish.)
4. Proporsiya nima? ( Ikki nisbatning tengligi.) Proporsiyaning asosiy xossasi. ( Agar mutanosiblik to‘g‘ri bo‘lsa, uning ekstremal hadlari ko‘paytmasi o‘rta hadlar ko‘paytmasiga teng bo‘ladi.)
5. Tenglamalarni yechishda qanday xossalardan foydalaniladi? ( 1. Agar tenglamadagi hadni belgisini o‘zgartirib, bir qismdan ikkinchi qismga o‘tkazsangiz, berilgan tenglamaga ekvivalent hosil bo‘ladi. 2. Agar tenglamaning ikkala tomoni bir xil nolga teng bo‘lmagan songa ko‘paytirilsa yoki bo‘linsa, berilgan tenglamaga ekvivalent hosil bo‘ladi..)
6. Kasr qachon nolga teng bo'ladi? ( Numerator nolga teng bo'lsa va maxraj nolga teng bo'lmasa, kasr nolga teng..)

3. Yangi materialni tushuntirish.

No2 tenglamani daftar va doskaga yeching.

Javob: 10.

Proporsiyaning asosiy xossasidan foydalanib qanday kasrli ratsional tenglamani yechishga harakat qila olasiz? (№ 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

No4 tenglamani daftaringizga va doskaga yeching.

Javob: 1,5.

Tenglamaning har ikki tomonini maxrajga ko‘paytirish orqali qanday kasrli ratsional tenglamani yechishga urinib ko‘rishingiz mumkin? (№ 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Javob: 3;4.

Endi quyidagi usullardan biri yordamida 7-raqamli tenglamani yechishga harakat qiling.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Javob: 0;5;-2.			Javob: 5;-2.

Nima uchun bu sodir bo'lganini tushuntiring? Nima uchun bir holatda uchta, ikkinchisida ikkita ildiz bor? Ushbu kasr ratsional tenglamaning ildizlari qanday raqamlardan iborat?

Hozirgacha talabalar begona ildiz tushunchasiga duch kelmaganlar, nima uchun bu sodir bo'lganini tushunish juda qiyin. Agar sinfda hech kim bu holatni aniq tushuntira olmasa, o'qituvchi etakchi savollarni beradi.

• No2 va 4 tenglamalar No5,6,7 tenglamalardan qanday farq qiladi? ( No 2 va 4 tenglamalarda maxrajdagi sonlar, 5-7 o'zgaruvchili ifodalar mavjud..)
• Tenglamaning ildizi nima? ( Tenglama rost bo'ladigan o'zgaruvchining qiymati.)
• Raqam tenglamaning ildizi ekanligini qanday aniqlash mumkin? ( Chek qiling.)

Sinov paytida ba'zi talabalar nolga bo'lishlari kerakligini payqashadi. Ular 0 va 5 raqamlari bu tenglamaning ildizi emas degan xulosaga kelishadi. Savol tug'iladi: bu xatoni bartaraf etishga imkon beruvchi kasrli ratsional tenglamalarni echishning bir usuli bormi? Ha, bu usul kasr nolga teng bo'lish shartiga asoslanadi.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Agar x=5 bo'lsa, x(x-5)=0, ya'ni 5 begona ildizdir.

Agar x=-2 bo'lsa, x(x-5)≠0.

Javob: -2.

Shu tarzda kasr ratsional tenglamalarni yechish algoritmini shakllantirishga harakat qilaylik. Bolalar algoritmni o'zlari tuzadilar.

Kasrli ratsional tenglamalarni yechish algoritmi:

1. Hamma narsani chap tomonga o'tkazing.
2. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring.
3. Tizim tuzing: agar hisob nolga teng bo'lsa va maxraj nolga teng bo'lmasa, kasr nolga teng.
4. Tenglamani yeching.
5. Chet ildizlarni istisno qilish uchun tengsizlikni tekshiring.
6. Javobni yozing.

Munozara: agar siz mutanosiblikning asosiy xususiyatidan foydalansangiz va tenglamaning ikkala tomonini umumiy maxrajga ko'paytirsangiz, yechimni qanday rasmiylashtirish kerak. (Yechimga qo'shing: umumiy maxrajni yo'qotadiganlarni uning ildizidan chiqarib tashlang).

4. Yangi materialni dastlabki tushunish.

Juftlikda ishlash. Talabalar tenglama turiga qarab tenglamani yechish usulini o‘zlari tanlaydilar. “Algebra 8” darsligidan topshiriqlar, Yu.N. Makarychev, 2007: No 600(b,c,i); № 601(a,e,g). O'qituvchi topshiriqning bajarilishini nazorat qiladi, yuzaga kelgan savollarga javob beradi va past o'quvchilarga yordam beradi. O'z-o'zini tekshirish: javoblar doskaga yoziladi.

b) 2 – begona ildiz. Javob: 3.

c) 2 – begona ildiz. Javob: 1.5.

a) Javob: -12.5.

g) Javob: 1;1,5.

5. Uy vazifasini belgilash.

1. Darslikdan 25-bandni o‘qing, 1-3-misollarni tahlil qiling.
2. Kasrli ratsional tenglamalarni yechish algoritmini bilib oling.
3. No600 (a, d, e) daftarlarida yechish; № 601(g,h).
4. 696(a) ni hal qilishga harakat qiling (ixtiyoriy).

6. O`rganilgan mavzu bo`yicha nazorat topshirig`ini bajarish.

Ish qog'oz varaqlarida amalga oshiriladi.

Misol topshiriq:

A) Qaysi tenglama kasr ratsional hisoblanadi?

B) Numerator ______________________ va maxraji _______________________ bo'lganda kasr nolga teng.

S) -3 soni 6-raqamli tenglamaning ildizimi?

D) No7 tenglamani yeching.

Topshiriqni baholash mezonlari:

• Agar talaba topshiriqning 90% dan ortig'ini to'g'ri bajargan bo'lsa, "5" beriladi.
• "4" - 75%-89%
• "3" - 50%-74%
• “2” topshiriqni 50% dan kam bajargan talabaga beriladi.
• Jurnalda 2 ball berilmaydi, 3 ball ixtiyoriy.

7. Reflektsiya.

Mustaqil ish varaqlarida:

• 1 - agar dars siz uchun qiziqarli va tushunarli bo'lsa;
• 2 - qiziqarli, ammo aniq emas;
• 3 - qiziq emas, lekin tushunarli;
• 4 - qiziq emas, aniq emas.

8. Darsni yakunlash.

Shunday qilib, bugun darsda biz kasrli ratsional tenglamalar bilan tanishdik, bu tenglamalarni yechish usullarini bilib oldik. turli yo'llar bilan, trening yordamida bilimlarini sinab ko‘rdi mustaqil ish. Mustaqil ishingiz natijalarini keyingi darsda bilib olasiz va uyda o'z bilimlaringizni mustahkamlash imkoniyatiga ega bo'lasiz.

Kasrli ratsional tenglamalarni yechishning qaysi usuli, sizningcha, osonroq, qulayroq va oqilona? Kasrli ratsional tenglamalarni yechish usulidan qat'i nazar, nimani yodda tutish kerak? Kasrli ratsional tenglamalarning "ayyorligi" nima?

Hammaga rahmat, dars tugadi.

Ko'rsatmalar

Ehtimol, bu erda eng aniq nuqta, albatta. Raqamli kasrlar hech qanday xavf tug'dirmaydi (barcha maxrajlar faqat raqamlarni o'z ichiga olgan kasr tenglamalari odatda chiziqli bo'ladi), lekin agar maxrajda o'zgaruvchi bo'lsa, buni hisobga olish va yozish kerak. Birinchidan, maxrajni 0 ga aylantiruvchi x bo'lishi mumkin emasligi va umuman olganda x ning bu songa teng bo'lishi mumkin emasligini alohida ta'kidlash kerak. Agar siz numeratorga almashtirilganda hamma narsa mukammal birlashadi va shartlarni qondiradi. Ikkinchidan, tenglamaning har ikki tomonini ga ko'paytira olmaymiz, bu nolga teng.

Shundan so'ng, bunday tenglama 0 o'ng tomonda qolishi uchun uning barcha shartlarini chap tomonga siljitish uchun qisqartiriladi.

Barcha shartlarni umumiy maxrajga keltirish, kerak bo'lganda sanoqlarni etishmayotgan iboralarga ko'paytirish kerak.
Keyinchalik, hisoblagichda yozilgan odatiy tenglamani echamiz. Biz umumiy omillarni qavs ichidan olib tashlashimiz, qisqartirilgan ko'paytirishdan foydalanishimiz, o'xshashlarini keltirishimiz, kvadrat tenglamaning ildizlarini diskriminant orqali hisoblashimiz va hokazo.

Natijada qavslar ko'paytmasi (x-(i-chi ildiz)) ko'rinishidagi faktorizatsiya bo'lishi kerak. Bu, shuningdek, ildizlari bo'lmagan ko'phadlarni ham o'z ichiga olishi mumkin, masalan, diskriminanti noldan kichik bo'lgan kvadrat trinomiya (agar, albatta, muammo faqat haqiqiy ildizlarni o'z ichiga olmasa, aksariyat hollarda).
Maxrajni koeffitsientlarga ajratish va hisobda mavjud bo'lgan qavslarni topish majburiydir. Agar maxrajda (x-(son)) kabi ifodalar bo‘lsa, umumiy maxrajga keltirishda undagi qavslarni to‘g‘ridan-to‘g‘ri ko‘paytirmay, ularni asl oddiy ifodalarning ko‘paytmasi sifatida qoldirgan ma’qul.
Numerator va maxrajdagi bir xil qavslarni avval yuqorida aytib o'tganimizdek x dagi shartlarni yozib, qisqartirish mumkin.
Javob jingalak qavs ichida, x qiymatlar to'plami sifatida yoki oddiygina sanab o'tilgan holda yoziladi: x1=..., x2=... va hokazo.

Manbalar:

• Kasrli ratsional tenglamalar

Fizika, matematika, kimyo fanlarisiz qila olmaydigan narsa. Hech bo'lmaganda. Keling, ularni hal qilish asoslarini bilib olaylik.

Ko'rsatmalar

Eng umumiy va oddiy tasnifni ular o'z ichiga olgan o'zgaruvchilar soniga va bu o'zgaruvchilarning darajasiga qarab ajratish mumkin.

Tenglamani barcha ildizlari bilan yeching yoki yo'qligini isbotlang.

Har qanday tenglama P dan ortiq ildizga ega emas, bu erda P - berilgan tenglamaning maksimal qiymati.

Ammo bu ildizlarning ba'zilari mos kelishi mumkin. Shunday qilib, masalan, x^2+2*x+1=0 tenglamasi, bu erda ^ daraja ko'rsatish belgisi, (x+1) ifoda kvadratiga, ya'ni ikkita bir xil ko'paytmaga katlanadi. qavslar, ularning har biri yechim sifatida x=- 1 ni beradi.

Agar tenglamada faqat bitta noma'lum bo'lsa, bu siz uning ildizlarini (haqiqiy yoki murakkab) aniq topishingiz mumkinligini anglatadi.

Buning uchun sizga katta ehtimol bilan turli xil transformatsiyalar kerak bo'ladi: qisqartirilgan ko'paytirish, kvadrat tenglamaning diskriminantini va ildizlarini hisoblash, hadlarni bir qismdan ikkinchisiga o'tkazish, umumiy maxrajga kamaytirish, tenglamaning ikkala qismini bir xilga ko'paytirish. ifoda, kvadrat bilan va boshqalar.

Tenglamaning ildizlariga ta'sir qilmaydigan transformatsiyalar bir xil. Ular tenglamani yechish jarayonini soddalashtirish uchun ishlatiladi.

Siz an'anaviy tahlil o'rniga ham foydalanishingiz mumkin grafik usul va bu tenglamani shaklda yozing, so'ngra uni o'rganishni bajaring.

Agar tenglamada bir nechta noma'lum bo'lsa, siz ulardan faqat bittasini boshqasi bilan ifodalay olasiz va shu bilan yechimlar to'plamini ko'rsatasiz. Bu, masalan, noma'lum x va parametr a bo'lgan parametrli tenglamalar. Parametrik tenglamani yechish deganda hamma a uchun x ni a bilan ifodalash, ya'ni barcha mumkin bo'lgan holatlarni ko'rib chiqish tushuniladi.

Agar tenglamada noma'lumlarning hosilalari yoki differentsiallari bo'lsa (rasmga qarang), tabriklaymiz, bu differensial tenglama, va bu erda sizsiz qilolmaysiz oliy matematika).

Manbalar:

• Identifikatsiya o'zgarishlari

Muammoni hal qilish uchun kasrlarda, ular bilan arifmetika qilishni o'rganishingiz kerak. Ular o'nli kasrlar bo'lishi mumkin, lekin ko'pincha hisob va maxrajli tabiiy kasrlar ishlatiladi. Shundan keyingina biz yechimlarga o'tishimiz mumkin matematik muammolar kasr qiymatlari bilan.

Sizga kerak bo'ladi

• - kalkulyator;
• - kasrlarning xossalarini bilish;
• - kasrlar bilan amallarni bajarish qobiliyati.

Ko'rsatmalar

Kasr - bu bir sonni boshqasiga bo'lish uchun belgi. Ko'pincha buni to'liq bajarish mumkin emas, shuning uchun bu harakat tugallanmagan holda qoladi. Bo'linadigan son (u kasr belgisining tepasida yoki oldida paydo bo'ladi) hisoblagich, ikkinchi raqam (kasr belgisi ostida yoki keyin) esa maxraj deb ataladi. Numerator maxrajdan katta bo'lsa, kasr noto'g'ri kasr deyiladi va undan butun qismni ajratish mumkin. Agar ayiruvchi maxrajdan kichik bo'lsa, bunday kasr to'g'ri deyiladi va uning butun qismi 0 ga teng.

Vazifalar bir necha turlarga bo'linadi. Vazifa ularning qaysi biriga tegishli ekanligini aniqlang. Eng oddiy variant kasr sifatida ifodalangan sonning ulushini topishdir. Ushbu muammoni hal qilish uchun bu raqamni kasrga ko'paytirish kifoya. Masalan, 8 tonna kartoshka yetkazib berildi. Birinchi haftada uning jami 3/4 qismi sotilgan. Qancha kartoshka qoldi? Ushbu muammoni hal qilish uchun 8 raqamini 3/4 ga ko'paytiring. 8∙3/4=6 t bo'lib chiqadi.

Agar siz raqamni uning qismi bo'yicha topishingiz kerak bo'lsa, raqamning ma'lum qismini ushbu qismning ulushi sonda qanday ekanligini ko'rsatadigan teskari kasrga ko'paytiring. Masalan, ulardan 8 tasi umumiy o‘quvchilar sonining 1/3 qismini tashkil qiladi. Qanchada? 8 kishi jamining 1/3 qismini tashkil etuvchi qism bo'lgani uchun, u holda 3/1 yoki atigi 3 bo'lgan o'zaro kasrni toping. Keyin sinfdagi o'quvchilar sonini olish uchun 8∙3=24 o'quvchi.

Bir raqamning qaysi qismi boshqa raqamdan ekanligini topish kerak bo'lganda, qismni ifodalovchi sonni butun bo'lgan raqamga bo'ling. Masalan, agar masofa 300 km bo'lsa va mashina 200 km bo'lgan bo'lsa, bu umumiy masofaning necha qismini tashkil qiladi? Yo'lning 200 qismini to'liq yo'l 300 ga bo'ling, kasrni kamaytirgandan so'ng siz natijaga erishasiz. 200/300=2/3.

Ma'lum bo'lgan sonning noma'lum qismini topish uchun butun sonni shartli birlik sifatida qabul qilib, undan ma'lum kasrni ayirish kerak. Misol uchun, agar darsning 4/7 qismi allaqachon o'tgan bo'lsa, hali vaqt bormi? Butun darsni birlik sifatida oling va undan 4/7 ni olib tashlang. 1-4/7=7/7-4/7=3/7 oling.

"Kasr ratsional tenglamalarni yechish"

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy:

kasr ratsional tenglamalar tushunchasini shakllantirish; kasr ratsional tenglamalarni yechishning turli usullarini ko'rib chiqish; kasr ratsional tenglamalarni yechish algoritmini, shu jumladan kasr nolga teng bo‘lgan shartni ko‘rib chiqish; kasr ratsional tenglamalarni algoritm yordamida yechishni o‘rgatish; mavzuni o`zlashtirish darajasini test ishini o`tkazish orqali tekshirish.

Rivojlanish:

olingan bilimlar bilan to'g'ri ishlash va mantiqiy fikrlash qobiliyatini rivojlantirish; intellektual qobiliyatlarni va aqliy operatsiyalarni rivojlantirish - tahlil qilish, sintez qilish, taqqoslash va umumlashtirish; tashabbusni rivojlantirish, qaror qabul qilish qobiliyati va u erda to'xtab qolmaslik; tanqidiy fikrlashni rivojlantirish; tadqiqot ko'nikmalarini rivojlantirish.

Tarbiyalash:

mavzuga kognitiv qiziqishni rivojlantirish; ta'lim muammolarini hal qilishda mustaqillikni tarbiyalash; yakuniy natijalarga erishish uchun iroda va qat'iyatni tarbiyalash.

Dars turi: dars - yangi materialni tushuntirish.

Darsning borishi

1. Tashkiliy moment.

Salom yigitlar! Doskada tenglamalar yozilgan, ularga diqqat bilan qarang. Bu tenglamalarning barchasini yecha olasizmi? Qaysi biri yo'q va nima uchun?

Chap va o'ng tomonlari kasr ratsional ifodalar bo'lgan tenglamalar kasr ratsional tenglamalar deyiladi. Sizningcha, bugun darsda nimani o'rganamiz? Dars mavzusini shakllantirish. Shunday qilib, daftarlaringizni oching va "Kasr ratsional tenglamalarni yechish" dars mavzusini yozing.

2. Bilimlarni yangilash. Frontal so'rov, sinf bilan og'zaki ish.

Va endi biz yangi mavzuni o'rganishimiz kerak bo'lgan asosiy nazariy materialni takrorlaymiz. Iltimos, quyidagi savollarga javob bering:

1. Tenglama deb nimaga aytiladi? ( O'zgaruvchi yoki o'zgaruvchi bilan tenglik.)

2. No1 tenglama qanday nomlanadi? ( Chiziqli.) Chiziqli tenglamalarni yechish usuli. ( Noma'lum hamma narsani tenglamaning chap tomoniga, barcha raqamlarni o'ngga o'tkazing. Shunga o'xshash shartlarni keltiring. Noma'lum omilni toping).

3. No3 tenglama qanday nomlanadi? ( Kvadrat.) Kvadrat tenglamalarni yechish usullari. ( Vyeta teoremasi va uning natijalaridan foydalangan holda formulalar yordamida to'liq kvadratni ajratib olish.)

4. Proporsiya nima? ( Ikki nisbatning tengligi.) Proporsiyaning asosiy xossasi. ( Agar mutanosiblik to‘g‘ri bo‘lsa, uning ekstremal hadlari ko‘paytmasi o‘rta hadlar ko‘paytmasiga teng bo‘ladi.)

5. Tenglamalarni yechishda qanday xossalardan foydalaniladi? ( 1. Agar tenglamadagi hadni belgisini o‘zgartirib, bir qismdan ikkinchi qismga o‘tkazsangiz, berilgan tenglamaga ekvivalent hosil bo‘ladi. 2. Agar tenglamaning ikkala tomoni bir xil nolga teng bo‘lmagan songa ko‘paytirilsa yoki bo‘linsa, berilgan tenglamaga ekvivalent hosil bo‘ladi..)

6. Kasr qachon nolga teng bo'ladi? ( Numerator nolga teng bo'lsa va maxraj nolga teng bo'lmasa, kasr nolga teng..)

3. Yangi materialni tushuntirish.

No2 tenglamani daftar va doskaga yeching.

Javob: 10.

Proporsiyaning asosiy xossasidan foydalanib qanday kasrli ratsional tenglamani yechishga harakat qila olasiz? (№ 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

No4 tenglamani daftaringizga va doskaga yeching.

Javob: 1,5.

Tenglamaning har ikki tomonini maxrajga ko‘paytirish orqali qanday kasrli ratsional tenglamani yechishga urinib ko‘rishingiz mumkin? (№ 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Javob: 3;4.

Endi quyidagi usullardan biri yordamida 7-raqamli tenglamani yechishga harakat qiling.

(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49
Javob: 0;5;-2.			Javob: 5;-2.

Nima uchun bu sodir bo'lganini tushuntiring? Nima uchun bir holatda uchta, ikkinchisida ikkita ildiz bor? Ushbu kasr ratsional tenglamaning ildizlari qanday raqamlardan iborat?

Hozirgacha talabalar begona ildiz tushunchasiga duch kelmaganlar, nima uchun bu sodir bo'lganini tushunish juda qiyin. Agar sinfda hech kim bu holatni aniq tushuntira olmasa, o'qituvchi etakchi savollarni beradi.

No2 va 4 tenglamalar No5,6,7 tenglamalardan qanday farq qiladi? ( No 2 va 4 tenglamalarda maxrajdagi sonlar, 5-7 o'zgaruvchili ifodalar mavjud..) Tenglamaning ildizi nima? ( Tenglama rost bo'ladigan o'zgaruvchining qiymati.) Son tenglamaning ildizi ekanligini qanday aniqlash mumkin? ( Chek qiling.)

Sinov paytida ba'zi talabalar nolga bo'lishlari kerakligini payqashadi. Ular 0 va 5 raqamlari bu tenglamaning ildizi emas degan xulosaga kelishadi. Savol tug'iladi: bu xatoni bartaraf etishga imkon beruvchi kasrli ratsional tenglamalarni echishning bir usuli bormi? Ha, bu usul kasr nolga teng bo'lish shartiga asoslanadi.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Agar x=5 bo'lsa, x(x-5)=0, ya'ni 5 begona ildizdir.

Agar x=-2 bo'lsa, x(x-5)≠0.

Javob: -2.

Shu tarzda kasr ratsional tenglamalarni yechish algoritmini shakllantirishga harakat qilaylik. Bolalar algoritmni o'zlari tuzadilar.

Kasrli ratsional tenglamalarni yechish algoritmi:

1. Hamma narsani chap tomonga o'tkazing.

2. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring.

3. Tizim tuzing: pay nolga teng, maxraj esa nolga teng bo‘lmaganda kasr nolga teng bo‘ladi.

4. Tenglamani yeching.

5. Chet ildizlarni istisno qilish uchun tengsizlikni tekshiring.

6. Javobni yozing.

Munozara: agar siz mutanosiblikning asosiy xususiyatidan foydalansangiz va tenglamaning ikkala tomonini umumiy maxrajga ko'paytirsangiz, yechimni qanday rasmiylashtirish kerak. (Yechimga qo'shing: umumiy maxrajni yo'qotadiganlarni uning ildizidan chiqarib tashlang).

4. Yangi materialni dastlabki tushunish.

Juftlikda ishlash. Talabalar tenglama turiga qarab tenglamani yechish usulini o‘zlari tanlaydilar. “Algebra 8” darsligidan topshiriqlar, 2007: No 000 (b, c, i); № 000(a, d, g). O'qituvchi topshiriqning bajarilishini nazorat qiladi, yuzaga kelgan savollarga javob beradi va past o'quvchilarga yordam beradi. O'z-o'zini tekshirish: javoblar doskaga yoziladi.

b) 2 – begona ildiz. Javob: 3.

c) 2 – begona ildiz. Javob: 1.5.

a) Javob: -12.5.

g) Javob: 1;1,5.

5. Uy vazifasini belgilash.

2. Kasr ratsional tenglamalarni yechish algoritmini bilib oling.

3. No 000 (a, d, e) daftarlarida yechish; № 000 (g, h).

4. 000(a) ni yechishga harakat qiling (ixtiyoriy).

6. O`rganilgan mavzu bo`yicha nazorat topshirig`ini bajarish.

Ish qog'oz varaqlarida amalga oshiriladi.

Misol topshiriq:

A) Qaysi tenglama kasr ratsional hisoblanadi?

B) Numerator ______________________ va maxraji _______________________ bo'lganda kasr nolga teng.

S) -3 soni 6-raqamli tenglamaning ildizimi?

D) No7 tenglamani yeching.

Topshiriqni baholash mezonlari:

Agar talaba topshiriqning 90% dan ortig'ini to'g'ri bajargan bo'lsa, "5" beriladi. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” topshiriqni 50% dan kam bajargan talabaga beriladi. Jurnalda 2 ball berilmaydi, 3 ball ixtiyoriy.

7. Reflektsiya.

Mustaqil ish varaqlarida:

1 - agar dars siz uchun qiziqarli va tushunarli bo'lsa; 2 - qiziqarli, ammo aniq emas; 3 - qiziq emas, lekin tushunarli; 4 - qiziq emas, aniq emas.

8. Darsni yakunlash.

Demak, bugun darsimizda kasr ratsional tenglamalar bilan tanishdik, bu tenglamalarni turli usullarda yechishni o‘rgandik va mustaqil o‘quv ishlari yordamida bilimlarimizni sinab ko‘rdik. Mustaqil ishingiz natijalarini keyingi darsda bilib olasiz va uyda o'z bilimlaringizni mustahkamlash imkoniyatiga ega bo'lasiz.

Kasrli ratsional tenglamalarni yechishning qaysi usuli, sizningcha, osonroq, qulayroq va oqilona? Kasrli ratsional tenglamalarni yechish usulidan qat'i nazar, nimani yodda tutish kerak? Kasrli ratsional tenglamalarning "ayyorligi" nima?

Hammaga rahmat, dars tugadi.