Vektorni asosda kengaytiring. Vektorlarning chiziqli bog'liqligi va chiziqli mustaqilligi

Asos(qadimgi yunoncha tabos, asos) - vektor fazodagi shunday vektorlar to'plami, bu fazoning har qanday vektori ushbu to'plamdagi vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida yagona tarzda ifodalanishi mumkin - bazis vektorlari

R n fazodagi bazis har qanday sistema hisoblanadi n-chiziqli mustaqil vektorlar. Bazisga kiritilmagan R n dan har bir vektor bazaviy vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin, ya'ni. asos bo'yicha kengaytiring.
R n va fazoning asosi bo'lsin. Keyin l 1 , l 2 , …, l n raqamlari mavjud .
Kengayish koeffitsientlari l 1 , l 2 , ..., l n , B bazisdagi vektorning koordinatalari deb ataladi. Agar asos berilgan bo'lsa, u holda vektorning koeffitsientlari yagona aniqlanadi.

Izoh. Har birida n-o'lchovli vektor fazoda siz cheksiz sonli turli asoslarni tanlashingiz mumkin. Turli bazalarda bir xil vektor turli koordinatalarga ega, ammo tanlangan asosda faqat bitta. Misol. vektorni bo'yicha kengaytiring.
Yechim. . Barcha vektorlarning koordinatalarini almashtiring va ular ustida amallarni bajaring:

Koordinatalarni tenglashtirib, biz tenglamalar tizimini olamiz:

Keling, buni hal qilaylik: .
Shunday qilib, biz kengaytmani olamiz: .
Asosda vektor koordinatalariga ega.

Ishning oxiri -

Ushbu mavzu quyidagilarga tegishli:

Vektor tushunchasi. Vektorlar ustida chiziqli amallar

Vektor - bu ma'lum uzunlikka ega bo'lgan yo'naltirilgan segment, ya'ni chegara nuqtalaridan biriga ega bo'lgan ma'lum uzunlikdagi segment.

Agar kerak bo'lsa qo'shimcha material Ushbu mavzu bo'yicha, yoki siz qidirayotgan narsangizni topa olmadingiz, bizning ishlar ma'lumotlar bazasida qidiruvdan foydalanishni tavsiya etamiz:

Qabul qilingan material bilan nima qilamiz:

Agar ushbu material siz uchun foydali bo'lib chiqsa, uni o'z sahifangizga saqlashingiz mumkin ijtimoiy tarmoqlarda:

Rn,
(IQTISODIYOTDA MATEMATIKA)

Vektor parchalanishi

Vektor parchalanishi A komponentlarga - vektorni almashtirish operatsiyasi A yana bir qancha vektorlar ab, a2, a3 va boshqalar qoʻshilganda boshlangʻich vektorni hosil qiladi A; bu holda db a2, a3 va hokazo vektorlar vektorning komponentlari deyiladi A. Boshqacha qilib aytganda, har qanday...
(fizika)

Vektorlar sistemasining asosi va darajasi

Vektorlar tizimini ko'rib chiqing (1.18) Vektorlar tizimining maksimal mustaqil quyi tizimi(1.I8) bu sistemaning ikki shartni qanoatlantiradigan vektorlarining qisman to'plami: 1) bu to'plam vektorlari chiziqli mustaqil; 2) sistemaning har qanday vektori (1.18) shu to'plam vektorlari bilan chiziqli ifodalanadi....
(IQTISODIYOTDA MATEMATIKA)

Vektorning turli koordinatalar sistemalarida tasvirlanishi.

Ort to'plamlari (i, j, k) va (i j, k") bo'lgan ikkita ortogonal to'g'ri chiziqli koordinatalar tizimini ko'rib chiqing va ulardagi a vektorini ifodalang. Shartli ravishda astarlangan vektorlar mos keladi deb faraz qilaylik yangi tizimlar e koordinatalari va zarbalarsiz - eskisi. Keling, vektorni eski va yangi tizimlar o'qlari bo'ylab kengayish sifatida ko'rsatamiz ...

Vektorning ortogonal asosda parchalanishi

Kosmik asosni ko'rib chiqing Rn, unda har bir vektor qolgan bazis vektorlariga ortogonal bo'ladi: Ortogonal asoslar ma'lum va tekislikda va fazoda yaxshi ifodalanadi (1.6-rasm). Bunday turdagi bazalar, birinchi navbatda, kengayish koordinatalari tufayli qulaydir ixtiyoriy vektor qat'iy ...
(IQTISODIYOTDA MATEMATIKA)

Vektorlar va ularning koordinatalar sistemasidagi tasvirlari

Vektor tushunchasi ma'lum bilan bog'liq jismoniy miqdorlar, ular kosmosdagi intensivligi (kattaligi) va yo'nalishi bilan tavsiflanadi. Bunday miqdorlar, masalan, moddiy jismga ta'sir qiluvchi kuch, bu jismning ma'lum bir nuqtasining tezligi, moddiy zarrachaning tezlanishi...
(UZOVLIK MEDIA MEXANIKASI: Stress nazariyasi va asosiy modellari)

Ixtiyoriy elliptik funksiyaning eng oddiy analitik tasvirlari

Elliptik funktsiyani elementar elementlar yig'indisi sifatida ko'rsatish. ruxsat bering / (z) oddiy qutbli jjt bilan s tartibli elliptik funksiyadir, $s, davrlar parallelogrammasida yotadi. Orqali belgilovchi bk funktsiyaning qutbga nisbatan qoldig'i, bizda 2 ?l = 0 (§ 1» 3-bet, teorema ...
(MURAKBEK OʻZGARCHANLAR FUNKSIYALARI NAZARIYASIGA KIRISH)

Vektor hisobi va uning qo'llanilishida katta ahamiyatga ega Berilgan vektorni bir nechta vektorlar yig'indisi sifatida ifodalashdan iborat bo'lgan parchalanish muammosi bor, ular berilgan komponentlar deb ataladi.

vektor. Bu vazifaga ega umumiy holat Agar tarkibiy vektorlarning ba'zi elementlari berilgan bo'lsa, cheksiz miqdordagi echimlar aniq bo'ladi.

2. Parchalanishga misollar.

Keling, parchalanishning bir nechta keng tarqalgan holatlarini ko'rib chiqaylik.

1. Berilgan c vektorni ikkita komponent vektorga ajrating, ulardan biri, masalan, kattaligi va yo'nalishi bo'yicha berilgan.

Muammo ikki vektor o'rtasidagi farqni aniqlashga qisqartiriladi. Haqiqatan ham, agar vektorlar c vektorining komponentlari bo'lsa, u holda tenglik

Bu yerdan ikkinchi komponent vektori aniqlanadi

2. Berilgan c vektorni ikkita komponentga ajrating, ulardan biri berilgan tekislikda, ikkinchisi esa berilgan a chiziqda yotishi kerak.

Komponent vektorlarini aniqlash uchun c vektorni uning boshlanishi berilgan to'g'ri chiziqning tekislik bilan kesishgan nuqtasiga to'g'ri keladigan tarzda harakatlantiramiz (O nuqta - 18-rasmga qarang). c vektorining oxiridan (C nuqta) to'g'ri chiziq chizamiz

tekislik bilan kesishish (B - kesishish nuqtasi), so'ngra C nuqtadan parallel ravishda to'g'ri chiziq chizamiz.

Qidiriladigan va vektorlari, ya'ni tabiiyki, agar a to'g'ri chiziq va tekislik parallel bo'lmasa, ko'rsatilgan parchalanish mumkin bo'ladi.

3. Uchta a, b va c koplanar vektorlar berilgan, vektorlar kollinear emas. c vektorini vektorlarga ajratish talab qilinadi

Berilgan uchta vektorni ham bitta O nuqtaga keltiramiz. Shunda ularning o‘zaro tengligi tufayli ular bir tekislikda joylashadi. Berilgan c vektorda, xuddi diagonaldagi kabi, tomonlari vektorlarning ta'sir chiziqlariga parallel bo'lgan parallelogramma quramiz (19-rasm). Ushbu konstruktsiya har doim mumkin (agar vektorlar kollinear bo'lmasa) va noyobdir. Anjirdan. 19 buni ko'rsatadi

Kosmosning asosi fazoning barcha boshqa vektorlari asosga kiritilgan vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan bunday vektorlar tizimini chaqiring.
Amalda, bularning barchasi juda oddiy. Bazis, qoida tariqasida, tekislikda yoki fazoda tekshiriladi va buning uchun vektorlar koordinatalaridan tashkil topgan ikkinchi, uchinchi tartibli matritsaning determinantini topish kerak. Quyida sxematik tarzda yozilgan vektorlar asos bo'ladigan shartlar

Kimga b vektorini bazis vektorlari nuqtai nazaridan kengaytiring
e,e...,e[n] vektorlarning chiziqli birikmasi e,e...,e[n] ga teng bo'lgan x, ..., x[n] koeffitsientlarini topish kerak. vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Buning uchun vektor tenglamani tizimga aylantirish kerak chiziqli tenglamalar va yechimlarni toping. Uni amalga oshirish ham ancha oson.
Topilgan koeffitsientlar x, ..., x[n] deyiladi bazisdagi b vektorining koordinatalari e,e...,e[n].
Keling, mavzuning amaliy tomoniga o'tamiz.

Bazis vektorlarda vektorning parchalanishi

Vazifa 1. a1, a2 vektorlari tekislikda asos tashkil qiladimi yoki yo'qligini tekshiring

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Yechish: Vektorlar koordinatalaridan determinant tuzing va uni hisoblang

Determinant nolga teng emas, shuning uchun vektorlar chiziqli mustaqil, ya'ni ular asosni tashkil qiladi.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Yechish: Vektorlardan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz

Aniqlovchi 13 ga teng (nolga teng emas) - bundan a1, a2 vektorlari tekislikdagi bazis ekanligi kelib chiqadi.

---=================---

Keling, "Oliy matematika" fanidan IAPM dasturidan namunaviy misollarni ko'rib chiqaylik.

Vazifa 2. a1, a2, a3 vektorlari uch o'lchovli vektor fazoning asosini tashkil etishini va shu asosda b vektorini kengaytirishini ko'rsating (chiziqli tizimni yechishda). algebraik tenglamalar Kramer usulidan foydalaning).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (-3; 1; 2).
Yechish: Birinchidan, a1, a2, a3 vektorlar sistemasini ko‘rib chiqing va A matritsaning determinantini tekshiring.

noldan boshqa vektorlarga qurilgan. Matritsa bitta nol elementni o'z ichiga oladi, shuning uchun determinantni birinchi ustun yoki uchinchi qator uchun jadval sifatida hisoblash maqsadga muvofiqdir.

Hisob-kitoblar natijasida biz aniqlovchi noldan farqli ekanligini aniqladik, shuning uchun a1, a2, a3 vektorlari chiziqli mustaqil.
Ta'rifga ko'ra, vektorlar R3 da asosni tashkil qiladi. B vektorining grafigini bazis jihatidan yozamiz

Tegishli koordinatalari teng bo'lganda vektorlar teng bo'ladi.
Shuning uchun vektor tenglamadan chiziqli tenglamalar sistemasini olamiz

SLAE ni hal qiling Kramer usuli. Buning uchun tenglamalar sistemasini shaklda yozamiz

SLAE ning asosiy determinanti har doim asosiy vektorlardan tashkil topgan determinantga teng

Shuning uchun amalda u ikki marta hisoblanmaydi. Yordamchi aniqlovchilarni topish uchun bosh determinantning har bir ustuni o‘rniga erkin terminlar ustunini qo‘yamiz. Determinantlar uchburchaklar qoidasiga muvofiq hisoblanadi



Topilgan aniqlovchilarni Kramer formulasiga almashtiring



Demak, b vektorining bazis jihatidan kengayishi b=-4a1+3a2-a3 ko'rinishga ega. a1, a2, a3 bazisdagi b vektorining koordinatalari (-4,3, 1) bo'ladi.

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Yechish: Biz vektorlarni asos uchun tekshiramiz - vektorlarning koordinatalaridan determinant tuzamiz va uni hisoblaymiz.

Determinant nolga teng emas, shuning uchun vektorlar kosmosda asosni tashkil qiladi. Berilgan asos bo'yicha b vektorining jadvalini topish qoladi. Buning uchun vektor tenglamasini yozamiz

va chiziqli tenglamalar sistemasiga aylantiriladi

Biz yozamiz matritsa tenglamasi

Keyinchalik, Kramer formulalari uchun biz yordamchi determinantlarni topamiz



Kramer formulalarini qo'llash



Demak, berilgan b vektor ikkita b=-2a1+5a3 bazis vektorlari orqali jadvalga ega va uning bazisdagi koordinatalari b(-2,0, 5) ga teng.