O'nlik kasrga aylantirish. O'nli kasrni tub kasrga va aksincha aylantirish

Matematik-Kalkulyator-Onlayn v.1.0

Kalkulyator quyidagi amallarni bajaradi: qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish, o'nli kasrlar bilan ishlash, ildiz chiqarish, darajaga ko'tarish, foizlarni hisoblash va boshqa amallar.

Yechim:

Matematik kalkulyatordan qanday foydalanish kerak

Kalit	Belgilash	Tushuntirish
5	0-9 raqamlari	Arab raqamlari. Tabiiy butun sonlarni kiritish, nol. Salbiy butun sonni olish uchun siz +/- tugmasini bosishingiz kerak
.	nuqta (vergul)	O'nli kasrni ko'rsatish uchun ajratuvchi. Agar nuqtadan (vergul) oldin raqam bo'lmasa, kalkulyator avtomatik ravishda nuqtadan oldin nolni almashtiradi. Masalan: .5 - 0,5 yoziladi
+	ortiqcha belgisi	Raqamlarni qo'shish (butun, o'nlik)
-	minus belgisi	Raqamlarni ayirish (butun, o'nlik)
÷	bo'linish belgisi	Raqamlarni bo'lish (butun, o'nlik)
X	ko'paytirish belgisi	Raqamlarni ko'paytirish (butun, o'nlik)
√	ildiz	Raqamning ildizini ajratib olish. "Root" tugmasini yana bir marta bosganingizda, natijaning ildizi hisoblanadi. Masalan: 16 ning ildizi = 4; 4 = 2 ning ildizi
x 2	kvadratlashtirish	Raqamni kvadratga solish. "Kvadrat" tugmachasini yana bosganingizda, natija kvadratga aylanadi, masalan: kvadrat 2 = 4; kvadrat 4 = 16
1/x	kasr	O'nli kasrlarda chiqarish. Numerator - 1, maxraj - kiritilgan raqam
%	foiz	Raqamning foizini olish. Ishlash uchun siz quyidagilarni kiritishingiz kerak: foiz hisoblab chiqiladigan raqam, belgi (ortiqcha, minus, bo'lish, ko'paytirish), raqamli shaklda necha foiz, "%" tugmasi
(	ochiq qavs	Hisoblash ustuvorligini belgilash uchun ochiq qavs. Yopiq qavs kerak. Misol: (2+3)*2=10
)	yopiq qavs	Hisoblash ustuvorligini belgilash uchun yopiq qavs. Ochiq qavs kerak
±	ortiqcha minus	Teskari belgi
=	teng	Yechim natijasini ko'rsatadi. Shuningdek, kalkulyator ustidagi "Yechim" maydonida oraliq hisob-kitoblar va natija ko'rsatiladi.
←	belgini o'chirish	Oxirgi belgini olib tashlaydi
BILAN	qayta o'rnatish	Qayta tiklash tugmasi. Kalkulyatorni to'liq "0" holatiga qaytaring

Misollar yordamida onlayn kalkulyatorning algoritmi

Qo'shish.

Tabiiy butun sonlarni qo'shish (5 + 7 = 12)

Butun natural va manfiy sonlarni qo‘shish ( 5 + (-2) = 3 )

O'nli kasrlarni qo'shish (0,3 + 5,2 = 5,5)

Ayirish.

Tabiiy butun sonlarni ayirish ( 7 - 5 = 2 )

Tabiiy va manfiy butun sonlarni ayirish ( 5 - (-2) = 7 )

O'nli kasrlarni ayirish (6,5 - 1,2 = 4,3)

Ko'paytirish.

Tabiiy butun sonlar mahsuloti (3 * 7 = 21)

Tabiiy va manfiy butun sonlar hosilasi ( 5 * (-3) = -15 )

O'nli kasrlar mahsuloti (0,5 * 0,6 = 0,3)

Bo'lim.

Tabiiy butun sonlarni bo'lish (27/3 = 9)

Tabiiy va manfiy butun sonlarni bo'lish (15 / (-3) = -5)

O'nli kasrlarning bo'linishi (6,2 / 2 = 3,1)

Raqamning ildizini ajratib olish.

Butun sonning ildizini chiqarish ( root(9) = 3)

O'nli kasrlarning ildizini chiqarish (ildiz (2,5) = 1,58)

Raqamlar yig'indisining ildizini chiqarish (ildiz (56 + 25) = 9)

Raqamlar orasidagi farqning ildizini chiqarish (ildiz (32 – 7) = 5)

Raqamni kvadratga solish.

Butun sonni kvadratlash ( (3) 2 = 9 )

Kvadrat o'nli kasrlar ((2,2)2 = 4,84)

O'nli kasrlarga o'tkazish.

Raqamning foizlarini hisoblash

230 raqamini 15% ga oshiring ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

510 raqamini 35% ga kamaytiring ( 510 – 510 * 0,35 = 331,5 )

140 sonining 18% (140 * 0,18 = 25,2)

Qaror qabul qilishga urinish matematik muammolar kasrlar bilan, talaba bu muammolarni hal qilish istagi uning uchun etarli emasligini tushunadi. Bilan hisob-kitoblarni bilish kasr sonlar. Ba'zi masalalarda barcha boshlang'ich ma'lumotlar kasr shaklida shartda beriladi. Boshqalarida ularning ba'zilari kasrlar, ba'zilari esa butun sonlar bo'lishi mumkin. Ushbu berilgan qiymatlar bilan har qanday hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun siz avval ularni bitta shaklga keltirishingiz kerak, ya'ni butun sonlarni kasrga aylantirib, keyin hisob-kitoblarni bajarishingiz kerak. Umuman olganda, butun sonni kasrga aylantirish usuli juda oddiy. Buning uchun berilgan sonning o'zini oxirgi kasrning payiga, bittasini esa uning maxrajiga yozish kerak. Ya'ni, agar siz 12 raqamini kasrga aylantirishingiz kerak bo'lsa, natijada olingan kasr 12/1 bo'ladi.

Bunday o'zgartirishlar kasrlarni umumiy maxrajga keltirishga yordam beradi. Bu kasrlarni ayirish yoki qo'shish imkoniyatiga ega bo'lish uchun kerak. Ularni ko'paytirish va bo'lishda umumiy maxraj shart emas. Raqamni kasrga aylantirish va keyin ikkita kasr qo'shish misolini ko'rishingiz mumkin. Aytaylik, siz 12 raqamini va 3/4 kasr sonini qo'shishingiz kerak. Birinchi atama (12-raqam) 12/1 shakliga qisqartiriladi. Biroq, uning maxraji 1 ga teng, ikkinchi hadniki esa 4 ga teng. Bu ikki kasrni qo'shish uchun ularni umumiy maxrajga keltirish kerak. Raqamlardan birining maxraji 1 bo'lganligi sababli, buni qilish odatda oson. Siz ikkinchi raqamning maxrajini olishingiz va unga birinchi raqamni ham, maxrajini ham ko'paytirishingiz kerak.

Ko'paytirish natijasi: 12/1=48/4. Agar siz 48 ni 4 ga bo'lsangiz, siz 12 ni olasiz, ya'ni kasr to'g'ri maxrajga qisqartirilgan. Shu tarzda siz kasrni butun songa qanday aylantirishni ham tushunishingiz mumkin. Bu faqat noto'g'ri kasrlar uchun amal qiladi, chunki ular maxrajdan kattaroq hisoblagichga ega. Bunda sanoqchi maxrajga bo'linadi, agar qoldiq bo'lmasa, butun son bo'ladi. Qolgan qismi bilan kasr kasr bo'lib qoladi, lekin butun qismi ta'kidlangan. Endi ko'rib chiqilayotgan misolda umumiy maxrajga qisqartirish haqida. Agar birinchi hadning maxraji 1 dan boshqa raqamga teng bo‘lsa, birinchi sonning soni va maxraji ikkinchisining maxrajiga, ikkinchisining soni va maxraji birinchisining maxrajiga ko‘paytirilishi kerak edi. .

Ikkala atama ham umumiy maxrajga qisqartiriladi va qo'shishga tayyor. Ma'lum bo'lishicha, bu masalada siz ikkita raqamni qo'shishingiz kerak: 48/4 va 3/4. Bir xil maxrajga ega bo'lgan ikkita kasrni qo'shganda, faqat ularning yuqori qismlarini, ya'ni sanoqlarini yig'ish kerak. Miqdorning maxraji o'zgarishsiz qoladi. Bu misolda 48/4+3/4=(48+3)/4=51/4 bo'lishi kerak. Bu qo'shimchaning natijasi bo'ladi. Ammo matematikada noto'g'ri kasrlarni to'g'ri kasrlarga aylantirish odatiy holdir. Biz yuqorida kasrni qanday qilib raqamga aylantirishni muhokama qildik, ammo bu misolda siz 51/4 kasrdan butun sonni olmaysiz, chunki 51 raqami 4 raqamiga qoldiqsiz bo'linmaydi bu kasrning butun qismi va uning kasr qismi. Butun qism 51 dan kichik bo'lgan birinchi sonni butun songa bo'lish natijasida olingan son bo'ladi.

Ya'ni, qoldiqsiz 4 ga bo'linadigan narsa. 4 ga to'liq bo'linadigan 51 raqamidan oldingi birinchi raqam 48 raqami bo'ladi. 48 ni 4 ga bo'lsa, 12 soni olinadi, bu kerakli kasrning butun qismi 12 bo'lishini anglatadi sonning kasr qismini topish uchun. Kasr qismining maxraji bir xil bo'lib qoladi, ya'ni bu holda 4. Kasrning numeratorini topish uchun asl sondan maxrajga qoldiqsiz bo'lingan sonni ayirish kerak. Ko'rib chiqilayotgan misolda bu 51 raqamidan 48 raqamini ayirishni talab qiladi. Ya'ni kasr qismining soni 3 ga teng. Qo'shish natijasida 12 ta butun va 3/4 bo'ladi. Kasrlarni ayirishda ham xuddi shunday. Aytaylik, 12 butun sonidan 3/4 kasr sonini ayirish kerak. Buning uchun 12 butun soni 12/1 kasrga aylantiriladi va keyin ikkinchi raqam bilan umumiy maxrajga keltiriladi - 48/4.

Xuddi shu tarzda ayirishda ikkala kasrning maxraji o'zgarishsiz qoladi va ayirish ularning soni bilan amalga oshiriladi. Ya'ni, ikkinchi kasrning soni birinchi kasrning sonidan ayiriladi. Bu misolda 48/4-3/4=(48-3)/4=45/4 bo'ladi. Va yana biz noto'g'ri kasrni oldik, uni to'g'ri qismga kamaytirish kerak. Butun qismni ajratish uchun 4 ga qoldiqsiz bo'linadigan 45 gacha bo'lgan birinchi raqamni aniqlang. Bu 44 bo'ladi. Agar 44 soni 4 ga bo'lingan bo'lsa, natija 11 bo'ladi. Bu oxirgi kasrning butun qismi 11 ga teng degan ma'noni anglatadi. Kasr qismida maxraj ham o'zgarishsiz qoldiriladi va raqamdan asl noto'g'ri kasrdan maxrajga qoldiqsiz bo'lingan son ayiriladi. Ya'ni, siz 45 dan 44 ni olib tashlashingiz kerak. Bu kasr qismidagi numerator 1 va 12-3/4 = 11 va 1/4 ga teng degan ma'noni anglatadi.

Agar sizga bitta butun son va bitta kasr son berilsa, lekin uning maxraji 10 bo'lsa, ikkinchi raqamni o'nlik kasrga aylantirish va keyin hisob-kitoblarni amalga oshirish osonroq. Masalan, 12 butun sonini va 3/10 kasr sonini qo'shishingiz kerak. Agar siz 3/10 ni kasr sifatida yozsangiz, siz 0,3 ni olasiz. Endi kasrlarni umumiy maxrajga keltirish, hisob-kitoblarni bajarish, so'ngra butun va kasr qismlarni noto'g'ri kasrdan ajratishdan ko'ra, 0,3 ni 12 ga qo'shib, 2,3 ni olish ancha oson. Kasrlar bilan bog'liq eng oddiy masalalar ham talaba (yoki talaba) butun sonni kasrga aylantirishni biladi deb taxmin qiladi. Bu qoidalar juda oddiy va eslab qolish oson. Ammo ularning yordami bilan kasr sonlarini hisoblashni amalga oshirish juda oson.

Hisob-kitoblarning qulayligi uchun siz oddiy kasrni o'nli kasrga va aksincha aylantirishingiz kerak bo'ladi. Buni qanday qilish haqida ushbu maqolada gaplashamiz. Oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga va aksincha o'tkazish qoidalarini ko'rib chiqamiz, shuningdek, misollar keltiramiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Biz oddiy kasrlarni ma'lum bir ketma-ketlikka rioya qilgan holda o'nli kasrlarga aylantirishni ko'rib chiqamiz. Birinchidan, maxraji 10 ga karrali bo‘lgan oddiy kasrlar qanday qilib o‘nli kasrlarga aylantirilishini ko‘rib chiqamiz: 10, 100, 1000 va hokazo. Bunday maxrajli kasrlar, aslida, o‘nli kasrlarning ancha murakkab yozuvidir.

Keyinchalik, 10 ga karrali emas, har qanday maxrajli oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga qanday aylantirishni ko'rib chiqamiz. E'tibor bering, oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazishda nafaqat chekli o'nli kasrlar, balki cheksiz davriy o'nli kasrlar ham olinadi.

Keling, boshlaymiz!

10, 100, 1000 va hokazo maxrajli oddiy kasrlarni tarjima qilish. o'nli kasrlarga

Avvalo, aytaylik, ba'zi kasrlar o'nlik shaklga o'tkazishdan oldin biroz tayyorgarlikni talab qiladi. Bu nima? Numeratordagi raqamdan oldin siz shunchalik ko'p nol qo'shishingiz kerak, shunda hisoblagichdagi raqamlar soni maxrajdagi nollar soniga teng bo'ladi. Masalan, 3100 kasr uchun hisoblagichdagi 3 ning chap tomoniga 0 raqami bir marta qo'shilishi kerak. 610-qism, yuqorida ko'rsatilgan qoidaga ko'ra, o'zgartirishga muhtoj emas.

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik, shundan so'ng biz birinchi navbatda foydalanish uchun qulay bo'lgan qoidani shakllantiramiz, lekin kasrlarni aylantirishda ko'p tajriba yo'q. Shunday qilib, hisoblagichga nollarni qo'shgandan keyin 1610000 kasr 001510000 kabi ko'rinadi.

Maxraji 10, 100, 1000 va hokazo bo'lgan oddiy kasrni qanday aylantirish mumkin. kasrga?

Oddiy to'g'ri kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish qoidasi

1. 0 ni yozing va undan keyin vergul qo'ying.
2. Biz nollarni qo'shgandan so'ng olingan raqamdan raqamni yozamiz.

Endi misollarga o'tamiz.

1-misol: Kasrlarni o‘nli kasrlarga o‘tkazish

39100 kasrni kasrga aylantiramiz.

Birinchidan, biz kasrga qaraymiz va hech qanday tayyorgarlik harakatlarini bajarishning hojati yo'qligini ko'ramiz - hisoblagichdagi raqamlar soni maxrajdagi nollar soniga to'g'ri keladi.

Qoidaga rioya qilib, biz 0 yozamiz, undan keyin kasrni qo'yamiz va raqamdan raqamni yozamiz. Biz 0,39 o'nlik kasrni olamiz.

Keling, ushbu mavzu bo'yicha boshqa misolning echimini ko'rib chiqaylik.

2-misol. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

105 10000000 kasrni kasr shaklida yozamiz.

Maxrajdagi nollar soni 7 ta, hisoblagich esa faqat uchta raqamdan iborat. Numeratordagi sondan oldin yana 4 ta nol qo'shamiz:

0000105 10000000

Endi biz 0 ni yozamiz, undan keyin kasrni qo'yamiz va raqamdan raqamni yozamiz. Biz 0,0000105 o'nlik kasrni olamiz.

Barcha misollarda ko'rib chiqilgan kasrlar oddiy to'g'ri kasrlardir. Lekin qanday qilib noto'g'ri kasrni o'nli kasrga aylantirasiz? Darhol aytaylik, bunday kasrlar uchun nol qo'shib tayyorgarlik ko'rishning hojati yo'q. Keling, qoida tuzamiz.

Oddiy noto'g'ri kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish qoidasi

1. Numeratordagi raqamni yozing.
2. Asl kasrning maxrajida nol bo'lsa, o'ng tomonda shuncha sonni ajratish uchun kasrdan foydalanamiz.

Quyida ushbu qoidadan qanday foydalanishga misol keltirilgan.

Misol 3. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

56888038009 100000 kasrni oddiy tartibsiz kasrdan o'nli kasrga aylantiramiz.

Birinchidan, hisoblagichdan raqamni yozamiz:

Endi o'ng tomonda biz beshta raqamni kasr nuqtasi bilan ajratamiz (maxrajdagi nol soni beshta). Biz olamiz:

Tabiiyki, keyingi savol tug'iladi: aralash sonni o'nli kasrga qanday aylantirish kerak, agar uning kasr qismining maxraji 10, 100, 1000 va boshqalar bo'lsa. Bunday sonni o'nli kasrga aylantirish uchun siz quyidagi qoidadan foydalanishingiz mumkin.

Aralash sonlarni o'nli kasrlarga o'tkazish qoidasi

1. Agar kerak bo'lsa, sonning kasr qismini tayyorlaymiz.
2. Biz asl raqamning butun qismini yozamiz va undan keyin vergul qo'yamiz.
3. Biz qo'shilgan nollar bilan birga kasr qismining numeratoridan raqamni yozamiz.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

4-misol: Aralash sonlarni o‘nli kasrlarga aylantirish

23 17 10000 aralash sonini o'nli kasrga aylantiramiz.

Kasr qismida bizda 17 10000 ifodasi mavjud. Keling, uni tayyorlaymiz va hisoblagichning chap tomoniga yana ikkita nol qo'shamiz. Biz olamiz: 0017 10000.

Endi sonning butun qismini yozamiz va undan keyin vergul qo'yamiz: 23, . .

O'nli kasrdan keyin raqamni nol bilan birga yozing. Biz natijaga erishamiz:

23 17 10000 = 23 , 0017

Oddiy kasrlarni chekli va cheksiz davriy kasrlarga aylantirish

Albatta, siz maxraji 10, 100, 1000 va boshqalarga teng bo'lmagan o'nli va oddiy kasrlarga o'tkazishingiz mumkin.

Ko'pincha kasrni osongina yangi maxrajga qisqartirish mumkin, keyin esa ushbu maqolaning birinchi xatboshida ko'rsatilgan qoidadan foydalaning. Misol uchun, 25 kasrning payini va maxrajini 2 ga ko'paytirish kifoya va biz 410 kasrni olamiz, bu kasr 0,4 ga osonlik bilan aylanadi.

Biroq, kasrni o'nli kasrga aylantirishning bu usuli har doim ham qo'llanilmaydi. Quyida ko'rib chiqilgan usulni qo'llashning iloji bo'lmasa, nima qilish kerakligini ko'rib chiqamiz.

Kasrni o'nli kasrga o'tkazishning tubdan yangi usuli bu hisobni maxrajga ustun bilan bo'lishdir. Bu operatsiya natural sonlarni ustun bilan bo'lishga juda o'xshaydi, lekin o'ziga xos xususiyatlarga ega.

Bo'lishda hisoblagich o'nli kasr sifatida ifodalanadi - vergul sonning oxirgi raqamining o'ng tomoniga qo'yiladi va nollar qo'shiladi. Olingan qismda, hisoblagichning butun qismining bo'linishi tugagach, o'nli nuqta qo'yiladi. Bu usul qanday aniq ishlashi misollarni ko'rib chiqqandan keyin aniq bo'ladi.

Misol 5. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

621 4 oddiy kasrni o'nlik shaklga o'tkazamiz.

O'nli kasrdan keyin bir necha nol qo'shib, hisoblagichdan olingan 621 raqamini o'nli kasr sifatida ko'rsatamiz. 621 = 621,00

Endi ustun yordamida 621,00 ni 4 ga ajratamiz. Bo'linishning dastlabki uchta bosqichi natural sonlarni bo'lish bilan bir xil bo'ladi va biz olamiz.

Dividendda o'nli kasrga yetib, qolgan qismi noldan farq qiladigan bo'lsa, biz bo'linmaga kasrni qo'yamiz va bo'linishni davom ettiramiz, endi dividenddagi vergulga e'tibor bermaymiz.

Natijada, 621 4 oddiy kasrni teskari aylantirish natijasi bo'lgan 155, 25 o'nli kasrni olamiz.

621 4 = 155 , 25

Materialni mustahkamlash uchun yana bir misolni ko'rib chiqaylik.

Misol 6. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

21 800 oddiy kasrni teskari hisoblaymiz.

Buning uchun 21 000 kasrni 800 ga bo'linib, ustunga bo'ling. Butun qismning bo'linishi birinchi bosqichda tugaydi, shuning uchun darhol biz qismga kasrni qo'yamiz va nolga teng qoldiq olinmaguncha dividenddagi vergulga e'tibor bermasdan, bo'linishni davom ettiramiz.

Natijada, biz oldik: 21,800 = 0,02625.

Ammo bo'lish paytida biz hali ham 0 qoldig'ini ololmasak-chi. Bunday hollarda bo'linishni cheksiz davom ettirish mumkin. Biroq, ma'lum bir qadamdan boshlab, qoldiqlar vaqti-vaqti bilan takrorlanadi. Shunga ko'ra, qismdagi raqamlar takrorlanadi. Bu oddiy kasrning o'nlik cheksiz davriy kasrga aylantirilishini anglatadi. Keling, buni bir misol bilan tushuntirib beraylik.

Misol 7. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

19 44 oddiy kasrni kasrga aylantiramiz. Buning uchun ustunga bo'linishni amalga oshiramiz.

Ko'ramiz, bo'linish paytida 8 va 36 qoldiqlari takrorlanadi. Bunday holda, 1 va 8 raqamlari qismda takrorlanadi. Bu o'nlik kasrdagi davr. Yozishda bu raqamlar qavs ichiga joylashtiriladi.

Shunday qilib, dastlabki oddiy kasr cheksiz davriy o'nli kasrga aylanadi.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Keling, qaytarilmas oddiy kasrni ko'raylik. U qanday shaklda bo'ladi? Qaysi oddiy kasrlar chekli o‘nli kasrlarga, qaysilari cheksiz davriy kasrlarga aylantiriladi?

Birinchidan, aytaylik, agar kasrni 10, 100, 1000... maxrajlaridan biriga qisqartirish mumkin bo'lsa, u holda u oxirgi o'nlik kasr shakliga ega bo'ladi. Kasrni bu maxrajlardan biriga kamaytirish uchun uning maxraji 10, 100, 1000 va hokazo sonlarning kamida bittasiga boʻluvchi boʻlishi kerak. Raqamlarni tub omillarga ajratish qoidalaridan raqamlarning bo'luvchisi 10, 100, 1000 va boshqalar ekanligi kelib chiqadi. tub omillarga ajratilganda faqat 2 va 5 raqamlarini o'z ichiga olishi kerak.

Keling, aytilganlarni umumlashtiramiz:

1. Oddiy kasrni oxirgi kasrga qisqartirish mumkin, agar uning maxraji 2 va 5 ning tub koeffitsientlariga ajratilsa.
2. Agar maxrajning kengayishida 2 va 5 raqamlaridan tashqari boshqa tub sonlar bo'lsa, kasr cheksiz davriy o'nli kasr ko'rinishiga keltiriladi.

Keling, misol keltiraylik.

Misol 8. Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

Ushbu kasrlarning qaysi biri 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 oxirgi o'nli kasrga, qaysi biri faqat davriy kasrga aylantiriladi. Keling, kasrni o'nli kasrga to'g'ridan-to'g'ri aylantirmasdan, bu savolga javob beraylik.

47 20 kasr, ko'rish oson bo'lganidek, pay va maxrajni 5 ga ko'paytirish orqali yangi maxraj 100 ga kamayadi.

47 20 = 235 100. Bundan xulosa qilamizki, bu kasr oxirgi o'nli kasrga aylantiriladi.

7 12 kasrning maxrajini koeffitsientga ajratganda 12 = 2 · 2 · 3 hosil bo‘ladi. Bosh koeffitsient 3 2 va 5 dan farq qilganligi sababli, bu kasrni chekli o'nli kasr sifatida ifodalash mumkin emas, lekin cheksiz davriy kasr ko'rinishiga ega bo'ladi.

21 56 kasr, birinchi navbatda, qisqartirilishi kerak. 7 ga kamaytirilgandan so'ng biz kamaytirilmaydigan kasr 3 8 ni olamiz, uning maxraji koeffitsientlarga ajratilib, 8 = 2 · 2 · 2 ni beradi. Shuning uchun u oxirgi o'nlik kasrdir.

31 17 kasrda maxrajni faktorlarga ajratish tub son 17 ning o'zi hisoblanadi. Shunga ko'ra, bu kasr cheksiz davriy o'nli kasrga aylantirilishi mumkin.

Oddiy kasrni cheksiz va davriy bo'lmagan o'nli kasrga aylantirib bo'lmaydi

Yuqorida biz faqat chekli va cheksiz davriy kasrlar haqida gapirdik. Lekin har qanday oddiy kasrni cheksiz davriy bo'lmagan kasrga aylantirish mumkinmi?

Biz javob beramiz: yo'q!

Muhim!

Cheksiz kasrni o'nli kasrga o'tkazishda natijada chekli kasr yoki cheksiz davriy kasr hosil bo'ladi.

Bo'linishning qolgan qismi har doim bo'luvchidan kichik bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, bo'linish teoremasiga ko'ra, qandaydir natural sonni q soniga bo'lsak, bo'linishning qolgan qismi har qanday holatda ham q-1 dan katta bo'lishi mumkin emas. Bo'linish tugagandan so'ng, quyidagi holatlardan biri mumkin:

1. Biz 0 ning qoldig'ini olamiz va bu erda bo'linish tugaydi.
2. Biz qoldiqni olamiz, bu keyingi bo'linishda takrorlanadi, natijada cheksiz davriy kasr hosil bo'ladi.

Kasrni kasrga o'tkazishda boshqa variantlar bo'lishi mumkin emas. Yana aytaylik, cheksiz davriy kasrdagi davr uzunligi (raqamlar soni) har doim mos keladigan oddiy kasrning maxrajidagi raqamlar sonidan kichik bo'ladi.

O'nli kasrlarni kasrga o'tkazish

Endi o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirishning teskari jarayonini ko'rib chiqish vaqti keldi. Keling, uchta bosqichni o'z ichiga olgan tarjima qoidasini tuzamiz. O'nli kasrni oddiy kasrga qanday o'tkazish mumkin?

O'nli kasrlarni oddiy kasrlarga o'tkazish qoidasi

1. Numeratorda biz vergulni va chapdagi barcha nollarni, agar mavjud bo'lsa, tashlab, asl o'nlik kasrdan raqamni yozamiz.
2. Maxrajda biz asl o'nlik kasrda o'nli kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, bittadan keyin shuncha nol yozamiz.
3. Agar kerak bo'lsa, olingan oddiy fraktsiyani kamaytiring.

Keling, misollar yordamida ushbu qoidaning qo'llanilishini ko'rib chiqaylik.

Misol 8. O'nli kasrlarni oddiy kasrlarga o'tkazish

Keling, 3.025 raqamini oddiy kasr sifatida tasavvur qilaylik.

1. Biz vergulni tashlab, o'nli kasrning o'zini raqamga yozamiz: 3025.
2. Maxrajda biz bitta, undan keyin esa uchta nol yozamiz - bu kasrdan keyin asl kasrda qancha raqam bor: 3025 1000.
3. Olingan kasr 3025 1000 ni 25 ga kamaytirish mumkin, natijada: 3025 1000 = 121 40.

Misol 9. O'nli kasrlarni oddiy kasrlarga o'tkazish

0,0017 kasrni o'nlik kasrdan oddiy kasrga aylantiramiz.

1. Numeratorda biz chap tomonda vergul va nollarni tashlab, 0,0017 kasrni yozamiz. 17 bo'ladi.
2. Biz maxrajga bitta yozamiz va undan keyin to'rtta nol yozamiz: 17 10000. Bu fraktsiya kamaytirilmaydi.

Agar o'nli kasrda butun son bo'lsa, unda bunday kasr darhol aralash songa aylantirilishi mumkin. Buni qanday qilish kerak?

Keling, yana bir qoidani tuzamiz.

O'nli kasrlarni aralash sonlarga o'tkazish qoidasi.

1. Kasrdagi kasrdan oldingi son aralash sonning butun qismi sifatida yoziladi.
2. Numeratorda biz kasrdagi kasrdan keyin raqamni yozamiz, agar mavjud bo'lsa, chapdagi nollarni tashlab qo'yamiz.
3. Kasr qismining maxrajiga kasr qismidagi o'nlik nuqtadan keyin qancha raqam bo'lsa, bitta va shuncha nol qo'shamiz.

Keling, bir misol keltiraylik

10-misol. O'nli kasrni aralash songa aylantirish

155, 06005 kasrni aralash son sifatida tasavvur qilaylik.

1. 155 raqamini butun qism sifatida yozamiz.
2. Numeratorda biz noldan voz kechib, kasrdan keyin raqamlarni yozamiz.
3. Biz maxrajga bir va besh nol yozamiz

Keling, aralash raqamni o'rganamiz: 155 6005 100000

Kasr qismini 5 ga qisqartirish mumkin. Biz uni qisqartiramiz va yakuniy natijaga erishamiz:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Cheksiz davriy o'nli kasrlarni kasrga aylantirish

Davriy o‘nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirish misollarini ko‘rib chiqamiz. Boshlashdan oldin, keling, aniqlab olaylik: har qanday davriy o'nli kasr oddiy kasrga aylantirilishi mumkin.

Eng oddiy holat - kasr davri nolga teng bo'lganda. Nol davriga ega bo'lgan davriy kasr oxirgi o'nli kasr bilan almashtiriladi va bunday kasrni teskari o'zgartirish jarayoni oxirgi o'nli kasrni teskarisiga qisqartiradi.

Misol 11. Davriy o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish

3, 75 (0) davriy kasrni teskari aylantiramiz.

O'ngdagi nollarni olib tashlasak, biz oxirgi o'nlik kasr 3.75 ni olamiz.

Oldingi paragraflarda muhokama qilingan algoritmdan foydalanib, ushbu kasrni oddiy kasrga aylantirib, biz quyidagilarni olamiz:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Agar kasr davri noldan farq qilsa-chi? Davriy qismni geometrik progressiyaning hadlari yig'indisi deb hisoblash kerak, bu esa kamayadi. Buni misol bilan tushuntiramiz:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Cheksiz kamayib boruvchi geometrik progressiyaning hadlar yig'indisi formulasi mavjud. Progressiyaning birinchi hadi b va maxraji q 0 ga teng bo'lsa< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Keling, ushbu formuladan foydalangan holda bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Misol 12. Davriy o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish

Bizda davriy kasr 0, (8) bo'lsin va biz uni oddiy kasrga aylantirishimiz kerak.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Bu erda bizda birinchi had 0, 8 va maxraj 0, 1 bo'lgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya mavjud.

Keling, formulani qo'llaymiz:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Bu talab qilinadigan oddiy kasr.

Materialni birlashtirish uchun boshqa misolni ko'rib chiqing.

Misol 13. Davriy o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish

0, 43 (18) kasrni teskari hisoblaymiz.

Avval kasrni cheksiz yig'indi sifatida yozamiz:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Keling, qavs ichidagi atamalarni ko'rib chiqaylik. Ushbu geometrik progressiyani quyidagicha ifodalash mumkin:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Natijani yakuniy kasrga 0, 43 = 43 100 qo'shamiz va natijani olamiz:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Ushbu kasrlarni qo'shib, kamaytirgandan so'ng, biz yakuniy javobni olamiz:

0 , 43 (18) = 19 44

Ushbu maqolani yakunlash uchun biz davriy bo'lmagan cheksiz o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirib bo'lmasligini aytamiz.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Ushbu maqolada biz qanday qilib ko'rib chiqamiz kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish, shuningdek, teskari jarayonni ko'rib chiqing - o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirish. Bu erda biz kasrlarni aylantirish qoidalarini ko'rsatamiz va beramiz batafsil yechimlar tipik misollar.

Sahifani navigatsiya qilish.

Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

Keling, biz bilan shug'ullanadigan ketma-ketlikni belgilaylik kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish.

Birinchidan, maxrajlari 10, 100, 1000, ... bo‘lgan kasrlarni o‘nli kasr sifatida qanday ifodalashni ko‘rib chiqamiz. Bu o'nli kasrlar mohiyatan 10, 100, ... bo'lgan oddiy kasrlarni yozishning ixcham shakli ekanligi bilan izohlanadi.

Shundan so'ng, biz davom etamiz va har qanday oddiy kasrni (faqat maxrajlari 10, 100, ... bo'lganlarni emas) o'nli kasr sifatida qanday yozishni ko'rsatamiz. Oddiy kasrlarga shu tarzda ishlov berilsa, ham chekli o'nli kasrlar, ham cheksiz davriy o'nli kasrlar olinadi.

Endi hamma narsa haqida tartibda gaplashaylik.

Maxraji 10, 100, ... bo‘lgan oddiy kasrlarni o‘nli kasrlarga o‘tkazish

Ba'zi to'g'ri kasrlar o'nli kasrlarga o'tkazishdan oldin "oldindan tayyorgarlikni" talab qiladi. Bu oddiy kasrlar uchun amal qiladi, ularning sonidagi raqamlar soni maxrajdagi nol sonidan kichikdir. Misol uchun, 2/100 oddiy kasr birinchi navbatda o'nli kasrga o'tkazish uchun tayyorlanishi kerak, lekin 9/10 kasr hech qanday tayyorgarlikni talab qilmaydi.

To'g'ri oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish uchun "oldindan tayyorlash" hisoblagichning chap tomoniga shunchalik ko'p nol qo'shishdan iborat bo'lib, u erdagi raqamlarning umumiy soni maxrajdagi nollar soniga teng bo'ladi. Misol uchun, nollarni qo'shgandan keyin kasr o'xshash bo'ladi.

To'g'ri kasrni tayyorlaganingizdan so'ng, uni kasrga aylantirishni boshlashingiz mumkin.

beraylik maxraji 10 yoki 100 yoki 1000 ... boʻlgan toʻgʻri oddiy kasrni oʻnli kasrga aylantirish qoidasi. U uch bosqichdan iborat:

• 0 yozing;
• undan keyin biz kasr nuqtasini qo'yamiz;
• Numeratordan raqamni yozamiz (agar biz ularni qo'shsak, qo'shilgan nollar bilan birga).

Keling, misollarni yechishda ushbu qoidaning qo'llanilishini ko'rib chiqaylik.

Misol.

37/100 to'g'ri kasrni o'nli kasrga aylantiring.

Yechim.

Maxrajda ikkita nolga ega bo'lgan 100 raqami mavjud. Numerator 37 raqamini o'z ichiga oladi, uning yozuvi ikkita raqamga ega, shuning uchun bu kasrni o'nlik kasrga aylantirish uchun tayyorlanish shart emas.

Endi biz 0 ni yozamiz, o'nli kasrni qo'yamiz va hisoblagichdan 37 raqamini yozamiz va o'nlik kasr 0,37 ni olamiz.

Javob:

0,37 .

10, 100, ... numeratorlari bo'lgan to'g'ri oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish ko'nikmalarini mustahkamlash uchun biz boshqa misolning yechimini tahlil qilamiz.

Misol.

107/10 000 000 to'g'ri kasrni o'nli kasr shaklida yozing.

Yechim.

Numeratordagi raqamlar soni 3 ga, maxrajdagi nollar soni esa 7 ga teng, shuning uchun bu oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun tayyorlash kerak. Numeratorning chap tomoniga 7-3=4 nol qo'shishimiz kerak, shunda u erdagi raqamlarning umumiy soni maxrajdagi nollar soniga teng bo'ladi. olamiz.

Faqat kerakli o'nli kasrni yaratish qoladi. Buning uchun birinchidan, biz 0 yozamiz, ikkinchidan, vergul qo'yamiz, uchinchidan, raqamdan raqamni 0000107 nol bilan birga yozamiz, natijada bizda 0,0000107 o'nlik kasr mavjud.

Javob:

0,0000107 .

Noto'g'ri kasrlar o'nli kasrlarga o'tkazishda hech qanday tayyorgarlikni talab qilmaydi. Quyidagilarga rioya qilish kerak maxrajlari 10, 100, ... bo‘lgan noto‘g‘ri kasrlarni o‘nli kasrlarga o‘tkazish qoidalari:

• numeratordan raqamni yozing;
• Asl kasrning maxrajida nol bo'lsa, o'ng tomonda shuncha sonni ajratish uchun kasrdan foydalanamiz.

Keling, misolni yechishda ushbu qoidaning qo'llanilishini ko'rib chiqaylik.

Misol.

56,888,038,009/100,000 noo'rin kasrni o'nli kasrga aylantiring.

Yechim.

Birinchidan, biz raqamni 56888038009 raqamidan yozamiz, ikkinchidan, o'ngdagi 5 ta raqamni o'nli kasr bilan ajratamiz, chunki asl kasrning maxrajida 5 ta nol bor. Natijada bizda 568880.38009 o'nlik kasr mavjud.

Javob:

568 880,38009 .

Aralash sonni kasr qismining maxraji 10 yoki 100 yoki 1000, ... bo'lgan o'nli kasrga aylantirish uchun siz aralash sonni noto'g'ri oddiy kasrga aylantirib, keyin hosil bo'lgan kasrni o'zgartirishingiz mumkin. kasrni o'nli kasrga. Ammo siz quyidagilarni ham ishlatishingiz mumkin kasr maxraji 10 yoki 100 yoki 1000 ... boʻlgan aralash sonlarni oʻnli kasrlarga aylantirish qoidasi:

• agar kerak bo'lsa, biz numeratorning chap tomoniga kerakli sondagi nollarni qo'shib, asl aralash sonning kasr qismini "oldindan tayyorlash" ni bajaramiz;
• asl aralash sonning butun qismini yozing;
• kasr nuqtasini qo'ying;
• Numeratordan raqamni qo'shilgan nollar bilan birga yozamiz.

Keling, aralash sonni o'nli kasr sifatida ko'rsatish uchun barcha kerakli qadamlarni bajargan misolni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Aralash sonni kasrga aylantiring.

Yechim.

Kasr qismining maxrajida 4 ta nol bor va hisoblagich 2 ta raqamdan iborat 17 raqamini o'z ichiga oladi, shuning uchun biz raqamning chap tomoniga ikkita nol qo'shishimiz kerak, shunda u erdagi raqamlar soni soniga teng bo'ladi. maxrajdagi nollar. Buni qilgandan so'ng, hisoblagich 0017 bo'ladi.

Endi biz asl sonning butun qismini, ya'ni 23 raqamini yozamiz, o'nli kasrni qo'yamiz, shundan so'ng biz raqamdan raqamni qo'shilgan nollar bilan birga yozamiz, ya'ni 0017 va biz kerakli o'nli kasrni olamiz. kasr 23.0017.

Keling, butun yechimni qisqacha yozamiz: .

Albatta, avval aralash sonni noto'g'ri kasr sifatida ifodalash va keyin uni o'nli kasrga aylantirish mumkin edi. Ushbu yondashuv bilan yechim quyidagicha ko'rinadi: .

Javob:

23,0017 .

Kasrlarni chekli va cheksiz davriy o'nli kasrlarga aylantirish

Faqat maxrajlari 10, 100, ... bo‘lgan oddiy kasrlarni emas, balki boshqa maxrajli oddiy kasrlarni ham o‘nli kasrlarga aylantirish mumkin. Endi biz buni qanday qilishni aniqlaymiz.

Ayrim hollarda dastlabki oddiy kasr 10, yoki 100 yoki 1000, ... maxrajlaridan biriga osonlik bilan qisqartiriladi (oddiy kasrni yangi maxrajga olib kelishga qarang), shundan so‘ng hosil bo‘lgan kasrni ifodalash qiyin emas. o'nlik kasr sifatida. Masalan, 2/5 kasrni maxraji 10 bo'lgan kasrga qisqartirish mumkinligi aniq, buning uchun pay va maxrajni 2 ga ko'paytirish kerak, bu esa 4/10 kasrni beradi. oldingi paragrafda muhokama qilingan qoidalar osonlik bilan o'nlik kasr 0, 4 ga aylantiriladi.

Boshqa hollarda, oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirishning boshqa usulini qo'llashingiz kerak, biz hozir ko'rib chiqamiz.

Oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun kasrning soni maxrajga bo'linadi, hisoblagich birinchi navbatda o'nli kasrdan keyin istalgan sonli nol bilan teng o'nli kasr bilan almashtiriladi (bu haqda biz teng va bo'limda gaplashdik. teng bo'lmagan o'nli kasrlar). Bunday holda, bo'lish natural sonlar ustuniga bo'linish bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi va dividendning butun qismining bo'linishi tugagach, qismda kasr qo'yiladi. Bularning barchasi quyida keltirilgan misollarning echimlaridan aniq bo'ladi.

Misol.

621/4 kasrni kasrga aylantiring.

Yechim.

621 numeratoridagi sonni o'nli kasr sifatida ifodalaymiz, undan keyin kasr va bir nechta nollarni qo'shamiz. Birinchidan, 2 ta raqamni 0 qo'shamiz, keyinroq, agar kerak bo'lsa, har doim ko'proq nol qo'shishimiz mumkin. Shunday qilib, bizda 621.00 bor.

Endi 621 000 sonini ustun bilan 4 ga ajratamiz. Dastlabki uchta qadam natural sonlarni ustunga bo'lishdan farq qilmaydi, shundan so'ng biz quyidagi rasmga erishamiz:

Dividenddagi kasr nuqtasiga shunday etib boramiz, qolgan qismi esa noldan farq qiladi. Bunday holda, biz kasrni qismga qo'yamiz va vergullarga e'tibor bermasdan, ustunga bo'linishni davom ettiramiz:

Bu bo'linishni yakunlaydi va natijada biz dastlabki oddiy kasrga mos keladigan 155,25 o'nli kasrni olamiz.

Javob:

155,25 .

Materialni birlashtirish uchun boshqa misolning yechimini ko'rib chiqing.

Misol.

21/800 kasrni kasrga aylantiring.

Yechim.

Bu oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun 21000... o'nlik kasr ustuni bilan 800 ga bo'lamiz. Birinchi qadamdan so'ng, biz qismga kasr nuqtasini qo'yishimiz kerak va keyin bo'linishni davom ettiramiz:

Nihoyat, biz qolgan 0 ni oldik, bu 21/400 oddiy kasrni o'nlik kasrga aylantirishni yakunlaydi va biz o'nlik kasr 0,02625 ga keldik.

Javob:

0,02625 .

Numeratorni oddiy kasrning maxrajiga bo'lganda, biz hali ham 0 ning qoldig'ini ololmasligimiz mumkin. Bunday hollarda bo'linish cheksiz davom ettirilishi mumkin. Biroq, ma'lum bir qadamdan boshlab, qoldiqlar vaqti-vaqti bilan takrorlana boshlaydi va qismdagi raqamlar ham takrorlanadi. Bu asl kasr cheksiz davriy o'nli kasrga aylantirilganligini anglatadi. Buni misol bilan ko'rsatamiz.

Misol.

19/44 kasrni kasr shaklida yozing.

Yechim.

Oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun ustunga bo'linishni bajaring:

Bo'linish paytida 8 va 36 qoldiqlari takrorlana boshlaganligi allaqachon aniq bo'lib, bo'linishda 1 va 8 raqamlari takrorlanadi. Shunday qilib, dastlabki oddiy kasr 19/44 davriy o'nli kasrga aylantiriladi 0,43181818...=0,43(18).

Javob:

0,43(18) .

Ushbu fikrni yakunlash uchun biz qaysi oddiy kasrlarni chekli o'nli kasrlarga va qaysilarini faqat davriy kasrlarga aylantirish mumkinligini aniqlaymiz.

Oldimizda kamaytirilmaydigan oddiy kasr bo'lsin (agar kasr kamaytiriladigan bo'lsa, avval kasrni kamaytiramiz) va biz uni qaysi o'nli kasrga aylantirish mumkinligini aniqlashimiz kerak - chekli yoki davriy.

Ko'rinib turibdiki, agar oddiy kasrni 10, 100, 1000, ... maxrajlaridan biriga qisqartirish mumkin bo'lsa, unda hosil bo'lgan kasrni oldingi bandda muhokama qilingan qoidalarga muvofiq osonlik bilan yakuniy o'nli kasrga aylantirish mumkin. Ammo maxrajlarga 10, 100, 1000 va hokazo. Hamma oddiy kasrlar berilmaydi. Faqat maxrajlari 10, 100, ... sonlaridan kamida bittasi bo'lgan kasrlarni bunday maxrajlarga keltirish mumkin va qanday sonlar 10, 100, ... ning bo'luvchisi bo'lishi mumkin? 10, 100, ... raqamlari bu savolga javob berishga imkon beradi va ular quyidagicha: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1000 = 2 2 2 5 5 5, .... Bundan kelib chiqadiki, bo'luvchilar 10, 100, 1000 va hokazo. Faqat tub omillarga bo'linishida faqat 2 va (yoki) 5 raqamlari bo'lgan raqamlar bo'lishi mumkin.

Endi oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish haqida umumiy xulosa chiqarishimiz mumkin:

• agar maxrajni tub ko'rsatkichlarga ajratishda faqat 2 va (yoki) 5 raqamlari bo'lsa, u holda bu kasr yakuniy o'nli kasrga aylantirilishi mumkin;
• agar maxrajning kengayishida ikkilik va beshlikdan tashqari boshqa tub sonlar bo'lsa, u holda bu kasr cheksiz o'nli davriy kasrga aylanadi.

Misol.

Oddiy kasrlarni o'nli kasrga o'tkazmasdan, ayting-chi, 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 kasrlarning qaysi biri oxirgi o'nli kasrga, qaysi biri faqat davriy kasrga aylantirilishi mumkin.

Yechim.

47/20 kasrning maxraji 20=2·2·5 kabi tub ko‘paytmalarga ajratiladi. Bu kengaytirish faqat ikki va besh o'z ichiga oladi, shuning uchun bu kasr 10, 100, 1000, ... (bu misolda, maxraj 100) biriga kamaytirilishi mumkin, shuning uchun, yakuniy o'nlik kasr aylantirilishi mumkin.

7/12 kasr maxrajining tub ko'paytmalarga bo'linishi 12=2·2·3 ko'rinishga ega. U 2 va 5 dan farqli 3 ning tub koeffitsientini o'z ichiga olganligi sababli, bu kasrni chekli o'nli kasr sifatida ifodalash mumkin emas, lekin davriy o'nli kasrga aylantirilishi mumkin.

Fraksiya 21/56 - kontraktil, qisqargandan keyin u 3/8 shaklini oladi. Maxrajni tub ko'rsatkichlarga ko'paytirish 2 ga teng uchta omilni o'z ichiga oladi, shuning uchun oddiy kasr 3/8 va shuning uchun teng kasr 21/56 yakuniy o'nli kasrga aylantirilishi mumkin.

Nihoyat, 31/17 kasr maxrajining kengayishi 17 ning o'zi, shuning uchun bu kasrni cheklangan o'nli kasrga aylantirib bo'lmaydi, lekin cheksiz davriy kasrga aylantirilishi mumkin.

Javob:

47/20 va 21/56 sonli o'nli kasrga aylantirilishi mumkin, lekin 7/12 va 31/17 faqat davriy kasrga aylantirilishi mumkin.

Oddiy kasrlar cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlarga aylanmaydi

Oldingi paragrafdagi ma’lumotlar “Kasrning sonini maxrajga bo‘lish natijasida cheksiz davriy bo‘lmagan kasr hosil bo‘lishi mumkinmi?” degan savol tug‘iladi.

Javob: yo'q. Oddiy kasrni o'zgartirganda, natija chekli o'nli kasr yoki cheksiz davriy o'nli kasr bo'lishi mumkin. Keling, nima uchun bunday ekanligini tushuntirib beraylik.

Qoldiqqa boʻlinish teoremasidan maʼlum boʻladiki, qoldiq har doim boʻluvchidan kichik boʻladi, yaʼni baʼzi bir butun sonni q butun soniga boʻlsak, qolgan 0, 1, 2 sonlaridan faqat bittasi boʻlishi mumkin. , ..., q−1. Bundan kelib chiqadiki, ustun oddiy kasr hisobining butun qismini q maxrajiga bo'lishni tugatgandan so'ng, q dan ortiq bo'lmagan bosqichda quyidagi ikkita holatdan biri yuzaga keladi:

• yoki biz 0 ning qoldig'ini olamiz, bu bo'linishni tugatadi va biz oxirgi o'nli kasrni olamiz;
• yoki biz ilgari paydo bo'lgan qoldiqni olamiz, shundan so'ng qolganlar oldingi misoldagi kabi takrorlana boshlaydi (chunki teng sonlarni q ga bo'lishda yuqorida aytib o'tilgan bo'linish teoremasidan kelib chiqadigan teng qoldiqlar olinadi), bu cheksiz davriy kasrga olib keladi.

Boshqa variantlar bo'lishi mumkin emas, shuning uchun oddiy kasrni o'nli kasrga o'tkazishda cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrni olish mumkin emas.

Ushbu bandda keltirilgan mulohazalardan, shuningdek, o'nli kasr davrining uzunligi har doim mos keladigan oddiy kasrning maxraji qiymatidan kichik ekanligi kelib chiqadi.

O'nli kasrlarni kasrga o'tkazish

Endi o'nli kasrni oddiy kasrga qanday aylantirishni aniqlaymiz. Yakuniy kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirishdan boshlaylik. Shundan so'ng, biz cheksiz davriy o'nli kasrlarni invertatsiya qilish usulini ko'rib chiqamiz. Xulosa qilib aytganda, cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirishning mumkin emasligi haqida gapiraylik.

Keyingi o‘nli kasrlarni kasrga o‘tkazish

Yakuniy kasr sifatida yozilgan kasrni olish juda oddiy. Yakuniy kasrni oddiy kasrga aylantirish qoidasi uch bosqichdan iborat:

• birinchidan, agar mavjud bo'lsa, o'nli kasrni va chapdagi barcha nollarni chiqarib tashlagan holda, berilgan o'nli kasrni hisoblagichga yozing;
• ikkinchidan, maxrajga bittadan yozing va asl kasrdagi kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, shuncha nol qo'shing;
• uchinchidan, agar kerak bo'lsa, hosil bo'lgan fraktsiyani kamaytiring.

Keling, misollarning yechimlarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

3.025 kasrni kasrga aylantiring.

Yechim.

Agar dastlabki o'nlik kasrdan kasrni olib tashlasak, biz 3025 raqamini olamiz. Chap tomonda biz bekor qiladigan nol yo'q. Shunday qilib, biz kerakli kasrning soniga 3,025 yozamiz.

Biz maxrajga 1 raqamini yozamiz va uning o'ng tomoniga 3 ta nol qo'shamiz, chunki asl kasrda kasrdan keyin 3 ta raqam mavjud.

Shunday qilib, biz 3,025/1,000 oddiy kasrni oldik. Bu kasrni 25 ga kamaytirish mumkin, biz olamiz .

Javob:

.

Misol.

0,0017 o'nli kasrni kasrga aylantiring.

Yechim.

O'nli kasrsiz asl kasr 00017 ga o'xshaydi, chapdagi nollarni tashlab, biz kerakli oddiy kasrning hisobi bo'lgan 17 raqamini olamiz.

Biz maxrajda to'rt nol bilan bittasini yozamiz, chunki asl kasr kasrdan keyin 4 ta raqamga ega.

Natijada, biz 17/10 000 oddiy kasrga egamiz. Bu kasr kamaytirilmaydi va o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish tugallangan.

Javob:

.

Dastlabki yakuniy o'nlik kasrning butun qismi nolga teng bo'lsa, uni oddiy kasrni chetlab o'tib, darhol aralash raqamga aylantirish mumkin. beraylik yakuniy o‘nli kasrni aralash songa o‘tkazish qoidasi:

• kasrdan oldingi raqam kerakli aralash sonning butun qismi sifatida yozilishi kerak;
• kasr qismining numeratorida chapdagi barcha nollarni tashlaganingizdan so'ng, asl o'nlik kasrning kasr qismidan olingan raqamni yozishingiz kerak;
• kasr qismining maxrajiga 1 raqamini yozish kerak, unga o'ngga dastlabki o'nli kasrdagi kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, shuncha nol qo'shing;
• agar kerak bo'lsa, olingan aralash sonning kasr qismini kamaytiring.

O'nli kasrni aralash songa o'tkazish misolini ko'rib chiqamiz.

Misol.

152.06005 o'nli kasrni aralash son sifatida ifodalang

Barcha kasrlar ikki turga bo'linadi: oddiy va o'nlik. Ushbu turdagi kasrlar oddiy deyiladi: 9/8,3/4,1/2,1 3/4. Ularda yuqori raqam (numerator) va pastki raqam (maxraj) mavjud. Numerator maxrajdan kichik bo'lsa, kasr to'g'ri, aks holda kasr noto'g'ri deyiladi; 1 7/8 kabi kasrlar butun qismdan (1) va kasr qismdan (7/8) iborat va aralash deyiladi.

Shunday qilib, kasrlar:

1. Oddiy
   1. To'g'ri
   2. Noto'g'ri
   3. Aralash
2. O'nlik

Kasrdan kasr qanday yasaladi

Asosiy maktab matematika kursi kasrni o'nli kasrga aylantirishni o'rgatadi. Hammasi juda oddiy: siz hisoblagichni maxrajga "qo'lda" bo'lishingiz kerak yoki agar siz dangasa bo'lsangiz, mikrokalkulyatordan foydalaning. Misol: 2/5=0,4;3/4=0,75; 1/2=0,5. Noto'g'ri kasrni o'nli kasrga aylantirish unchalik qiyin emas. Misol: 1 3/4= 7/4= 1,75. Oxirgi natijani bo'linmasdan olish mumkin, agar biz 3/4 = 0,75 ekanligini hisobga olsak va bittasini qo'shsak: 1 + 0,75 = 1,75.

Biroq, barcha oddiy kasrlar juda oddiy emas. Masalan, 1/3 qismini oddiy kasrlardan o'nli kasrlarga aylantirishga harakat qilaylik. Hatto matematikada C darajasiga ega bo'lgan (besh ballli tizimdan foydalangan holda) ham bo'linish qancha davom etmasin, nol va verguldan keyin cheksiz sonli uchlik 1/3 = 0,3333 bo'lishini payqaydi. . Bu tarzda o'qish odatiy holdir: nol nuqta, davrda uchta. Shunga mos ravishda quyidagicha yoziladi: 1/3=0,(3). Agar siz 5/6 ni o'nlik kasrga aylantirmoqchi bo'lsangiz, xuddi shunday holat yuzaga keladi: 5/6=0,8(3). Bunday kasrlar cheksiz davriy deyiladi. 3/7 kasrga misol: 3/7= 0,42857142857142857142857142857143…, ya’ni 3/7=0.(428571).

Shunday qilib, oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish natijasida siz quyidagilarni olishingiz mumkin:

1. davriy bo'lmagan o'nli kasr;
2. davriy kasr.

Shuni ta'kidlash kerakki, cheksiz davriy bo'lmagan kasrlar ham mavjud bo'lib, ular quyidagi amallarni bajarish orqali olinadi: n-chi ildizni olish, logarifm, potentsiyalash. Masalan, √3= 1,732050807568877… . Mashhur raqam p≈ 3,1415926535897932384626433832795…. .

Endi 3 ni 0,(3) ga ko‘paytiramiz: 3×0,(3)=0,(9)=1. Ma’lum bo‘lishicha, 0,(9) yozuv birligining yana bir shaklidir. Xuddi shunday, 9=9/9,16=16,0 va hokazo.

Ushbu maqolaning sarlavhasida berilgan savolga qarama-qarshi bo'lgan savol ham qonuniydir: "o'nlik kasrni oddiy kasrga qanday aylantirish kerak". Bu savolga javob misol bilan berilgan: 0,5= 5/10=1/2. Oxirgi misolda biz 5/10 kasrning payini va maxrajini 5 ga kamaytirdik. Ya'ni o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish uchun uni maxraji 10 bo'lgan kasr sifatida ko'rsatish kerak.

Kasrlar nima ekanligi haqida ushbu videoni tomosha qilish qiziqarli bo'ladi:

O'nli kasrni oddiy kasrga qanday aylantirish haqida ma'lumot olish uchun bu yerga qarang: