Bernoulli sxemasi. Muammoni hal qilishga misollar

1

1. Bogolyubov A.N. Matematika. Mexanika: biografik qo'llanma. - Kiev: Naukova Dumka, 1983 yil.

2. Gulay T.A., Dolgopolova A.F., Litvin D.B. Qishloq xo'jaligi universitetlarining iqtisodiy yo'nalishlari talabalari tomonidan o'rganiladigan matematika fanlari bo'limlarining ustuvorligini tahlil qilish va baholash // Stavropol APK'ning axborotnomasi. - 2013. - 1-son (9). - B. 6-10.

3. Dolgopolova A.F., Gulay T.A., Litvin D.B. Qo'llash istiqbollari matematik usullar iqtisodiy tadqiqotlarda // Agrar fan, ijodkorlik, o'sish. - 2013. - S. 255-257.

Matematikada ko'pincha muammolar mavjud katta miqdorda bir xil holat, sinov yoki tajribaning takrorlanishi. Har bir test natijasi avvalgisidan butunlay boshqacha natija sifatida qabul qilinadi. Natijalarga bog'liqlik ham kuzatilmaydi. Sinov natijasida elementar oqibatlarning bir nechta imkoniyatlarini ajratish mumkin: hodisaning paydo bo'lishi (A) yoki A ni to'ldiradigan hodisaning paydo bo'lishi.

U holda R(A) hodisasining yuzaga kelish ehtimoli muntazam va r (0) ga teng deb faraz qilishga harakat qilaylik.<р<1).

Bunday qiyinchilikka misollar tanga tashlash, qorong'u sumkadan qora va oq to'plarni olish yoki qora va oq quyonlarni tug'ish kabi ko'plab vazifalar bo'lishi mumkin.

Bunday tajriba takroriy mustaqil test konfiguratsiyasi yoki Bernulli sxemasi deb ataladi.

Jeykob Bernulli farmatsevt oilasida tug'ilgan. Ota o‘g‘liga tibbiyot yo‘lini o‘rgatmoqchi bo‘lgan, biroq J. Bernulli matematikaga o‘zi qiziqib qolgan va keyinchalik bu uning kasbiga aylangan. U ehtimollar va sonlar nazariyasi, qatorlar va differensial hisoblash mavzularidagi ishlarda turli sovrinlarga ega. Gyuygensning "Qimor o'yinlarida hisob-kitoblar to'g'risida" asarlaridan birining ehtimollik nazariyasini o'rganib, Jeykob bunga qiziqib qoldi. Ushbu kitobda "ehtimollik" tushunchasining aniq ta'rifi ham yo'q edi. Aynan J. Bernulli ehtimollar nazariyasining zamonaviy tushunchalarini matematikaga kiritgan. Bernulli ham birinchi bo'lib katta sonlar qonunining o'z versiyasini ifodalagan. Yoqub nomi turli asarlar, teoremalar va sxemalar bilan amalga oshiriladi: "Bernulli raqamlari", "Bernulli ko'phadli", "Bernulli differentsial tenglamasi", "Bernulli taqsimoti" va "Bernulli tenglamasi".

Keling, takrorlashga qaytaylik. Yuqorida aytib o'tilganidek, turli xil testlar natijasida ikkita natija bo'lishi mumkin: yoki A hodisasi paydo bo'ladi yoki bu hodisaning aksi. Bernulli sxemasining o'zi tipik erkin tajribalarning n-sonini ishlab chiqarishni bildiradi va bu tajribalarning har birida bizga kerak bo'lgan A hodisasi paydo bo'lishi mumkin (bu hodisaning ehtimoli ma'lum: P (A) \u003d p), A hodisasiga qarama-qarshi hodisaning ehtimoli q \u003d P ( A) = 1-p bilan ko'rsatilgan. Noma'lum sonni sinab ko'rganda, A hodisasining aynan k marta sodir bo'lish ehtimolini aniqlash kerak.

Bernulli sxemasidan foydalangan holda muammolarni hal qilishda asosiy shart - doimiylikni esdan chiqarmaslik kerak. Busiz sxema barcha ma'nosini yo'qotadi.

Ushbu sxema turli darajadagi murakkablikdagi muammolarni hal qilish uchun ishlatilishi mumkin: oddiy (bir xil tanga) dan murakkabgacha (qiziqish). Biroq, ko'pincha Bernoulli sxemasi turli xil mahsulotlarning xususiyatlarini nazorat qilish va turli xil mexanizmlarga ishonch bilan bog'liq bo'lgan muammolarni hal qilishda qo'llaniladi. Faqatgina muammoni hal qilish uchun, ishni boshlashdan oldin, barcha shartlar va qadriyatlar oldindan ma'lum bo'lishi kerak.

Ehtimollar nazariyasidagi barcha muammolar sharoitlarda doimiylikka kamaymaydi. Misol tariqasida qora va oq rangli to'plarni qorong'i sumkada olsak ham: bitta to'p chizilganda, sumkadagi to'plar soni va ranglarining nisbati o'zgargan, ya'ni ehtimolning o'zi o'zgargan.

Ammo, agar bizning shartlarimiz o'zgarmas bo'lsa, u holda bizdan A hodisasi n ta mumkin bo'lgandan to'liq k marta sodir bo'lishining kerakli ehtimolligini aniq aniqlashimiz mumkin.

Bu fakt Jeykob Bernulli tomonidan teoremaga jamlangan va keyinchalik uning nomi bilan mashhur bo'lgan. «Bernulli teoremasi» ehtimollar nazariyasining asosiy teoremalaridan biridir. U birinchi marta J. Bernullining "Taxminlar san'ati" asarida nashr etilgan. Bu teorema nima? «Agar har bir sinovda A hodisaning ro‘y berish ehtimoli p o‘zgarmas bo‘lsa, u holda bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan n ta sinovda hodisaning k marta sodir bo‘lish ehtimoli Pk,n quyidagicha bo‘ladi: , bu yerda q=1-p. ”.

Formulaning samaradorligini isbotlashda topshiriqlar berilishi mumkin.

№1 vazifa:

Saqlash oyiga n ta shisha idishdan k buziladi. Tasodifiy m banka oldi. Shu bankalar orasida l sinib ketmasligi ehtimolini toping. n=250, k=10, m=8, l=4.

Yechim: Bizda qiymatlarga ega Bernulli sxemasi mavjud:

p=10/250=0,04 (banklarning sinishi ehtimoli);

n=8 (sinovlar soni);

k=8-4=4 (singan bankalar soni).

Biz Bernulli formulasidan foydalanamiz

Olingan:

Javob: 0,0141

Vazifa №2:

Ishlab chiqarishda nuqsonli mahsulotni ishlab chiqarish ehtimoli 0,2 ga teng. Ushbu ishlab chiqarish korxonasida ishlab chiqarilgan 10 ta mahsulotdan aynan k ning yaxshi holatda bo'lishi ehtimolini toping. k = 0, 1, 10 uchun yechimni ishga tushiring.

Bizni A hodisasi qiziqtiradi - p=1-0,2=0,8 ehtimollik bilan soatiga bir marta sodir bo'ladigan xizmat ko'rsatadigan qismlarni ishlab chiqarish. Berilgan hodisaning k marta sodir bo'lish ehtimolini topishimiz kerak. A hodisasi "A emas" hodisasiga qarama-qarshidir, ya'ni. noto'g'ri mahsulotni ishlab chiqarish.

Shuning uchun bizda: n=10; p=0,8; q=0,2.

Natijada ishlab chiqarilgan 10 ta mahsulotdan barcha mahsulotlar nosoz (k=0), bitta mahsulot yaxshi holatda (k=1), nosozlari umuman yo‘qligi (k=10) ehtimoli topiladi. :

Xulosa o‘rnida shuni ta’kidlashni istardimki, hozirgi zamonda ko‘plab olimlar “Bernulli formulasi” tabiat qonunlariga to‘g‘ri kelmasligini va uni qo‘llashda qo‘llamasdan muammolarni hal qilish mumkinligini isbotlashga harakat qilmoqda. Albatta, bu mumkin, ehtimollik nazariyasidagi ko'pgina muammolarni Bernulli formulasisiz bajarish mumkin, asosiysi katta hajmdagi raqamlarda chalkashmaslikdir.

Bibliografik havola

Xomutova E.A., Kalinichenko V.A. EHTIMOLLAR NAZARIYASIDA BERNULLI FORMULA // Xalqaro talabalar ilmiy xabarnomasi. - 2015. - No 3-4 .;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (kirish sanasi: 03/12/2019). "Tabiiy tarix akademiyasi" nashriyoti tomonidan chop etilgan jurnallarni e'tiboringizga havola qilamiz.

Ushbu darsda biz sinovlar takrorlanganda mustaqil sinovlarda sodir bo'ladigan hodisaning ehtimolini topamiz. . Sinovlar mustaqil deb ataladi, agar har bir sinovning u yoki bu natijasining ehtimoli boshqa sinovlarning natijalariga bog'liq bo'lmasa. . Mustaqil testlar bir xil sharoitlarda ham, turli sharoitlarda ham amalga oshirilishi mumkin. Birinchi holda, barcha sud jarayonlarida hodisaning yuzaga kelish ehtimoli bir xil bo'lsa, ikkinchi holatda u suddan sudgacha farq qiladi.

Mustaqil qayta testlarga misollar :

• qurilma tugunlaridan biri yoki ikki yoki uchta tugun ishlamay qoladi va har bir tugunning ishdan chiqishi boshqa tugunga bog'liq emas va bir tugunning ishdan chiqish ehtimoli barcha testlarda doimiydir;
• ma'lum bir doimiy texnologik sharoitlarda ishlab chiqarilgan qism yoki uch, to'rt, besh qism nostandart bo'lib chiqishi va bir qismi boshqa qismdan qat'i nazar, nostandart bo'lib chiqishi mumkin va bu qismning nostandart bo'lishi ehtimoli. nostandart bo'lib chiqish barcha testlarda doimiydir;
• nishonga bir nechta o'q otishdan bir, uch yoki to'rtta o'q boshqa zarbalar natijasidan qat'iy nazar nishonga tegdi va nishonga tegish ehtimoli barcha sinovlarda doimiy bo'ladi;
• tanga kiritilganda, boshqa tangalar kiritilganidan qat'i nazar, mashina bir, ikki yoki boshqa marta to'g'ri ishlaydi va mashinaning to'g'ri ishlashi ehtimoli barcha sinovlarda doimiy bo'ladi.

Ushbu hodisalarni bitta sxema bilan tasvirlash mumkin. Har bir hodisa har bir sinovda bir xil ehtimollik bilan sodir bo'ladi, agar oldingi sinovlar natijalari ma'lum bo'lsa, bu o'zgarmaydi. Bunday testlar mustaqil deb ataladi va sxema deyiladi Bernoulli sxemasi . Taxminlarga ko'ra, bunday testlar istalgancha takrorlanishi mumkin.

Agar ehtimollik p voqea A Har bir sinovda doimiy bo'lsa, unda ehtimollik n mustaqil test hodisasi A keladi m marta, joylashgan Bernoulli formulasi :

(qaerda q= 1 – p- voqea sodir bo'lmasligi ehtimoli)

Keling, vazifani qo'yaylik - bu turdagi voqea sodir bo'lish ehtimolini topish n mustaqil sinovlar keladi m bir marta.

Bernoulli formulasi: muammolarni hal qilish misollari

1-misol Tasodifiy tanlangan besh qismdan ikkitasi standart bo'lish ehtimolini toping, agar har bir qismning standart bo'lish ehtimoli 0,9 bo'lsa.

Yechim. Hodisa ehtimoli LEKIN, tasodifiy olingan qism standart bo'lishidan iborat p=0,9 va uning nostandart bo'lish ehtimoli q=1–p=0,1. Muammoning holatida ko'rsatilgan hodisa (biz uni belgilaymiz DA) agar, masalan, dastlabki ikki qism standart bo'lsa va keyingi uchtasi nostandart bo'lsa paydo bo'ladi. Ammo voqea DA birinchi va uchinchi qismlar standart bo'lsa va qolganlari nostandart bo'lsa yoki ikkinchi va beshinchi qismlar standart bo'lsa va qolganlari nostandart bo'lsa ham sodir bo'ladi. Voqea sodir bo'lishi uchun boshqa imkoniyatlar mavjud. DA. Ularning har biri olingan besh qismdan ikkitasi, beshdan istalgan o'rinni egallagani standart bo'lib chiqishi bilan tavsiflanadi. Shuning uchun, hodisaning yuzaga kelishi uchun turli xil imkoniyatlarning umumiy soni DA ikkita standart qismni beshta joyga joylashtirish imkoniyatlari soniga teng, ya'ni. besh elementning birikmalari soniga ikkiga teng va .

Har bir imkoniyatning ehtimoli, ehtimollarni ko'paytirish teoremasiga ko'ra, besh omilning ko'paytmasiga teng bo'lib, ulardan ikkitasi standart qismlarning ko'rinishiga mos keladigan 0,9 ga, qolgan uchtasi esa bo'lmaganlarning ko'rinishiga mos keladi. -standart qismlar, 0,1 ga teng, ya'ni. bu ehtimollik. Ushbu o'nta imkoniyat mos kelmaydigan hodisalar bo'lgani uchun, qo'shish teoremasi bo'yicha, hodisaning ehtimolligi DA, biz belgilaymiz

2-misol Mashinaning bir soat ichida ishchining e'tiborini talab qilish ehtimoli 0,6 ga teng. Mashinalardagi nosozliklar mustaqil deb faraz qilsak, bir soat davomida ishchining e'tiborini u xizmat ko'rsatadigan to'rtta mashinadan biri talab qilish ehtimolini toping.

Yechim. Foydalanish Bernulli formulasi da n=4 , m=1 , p=0,6 va q=1–p=0,4 ga erishamiz

3-misol Avtobazaning normal ishlashi uchun chiziqda kamida sakkizta vagon bo'lishi kerak va ularning o'ntasi bor. Har bir avtomobilning chiziqqa chiqmaslik ehtimoli 0,1 ga teng. Deponing keyingi sutkada normal ishlashi ehtimolini toping.

Yechim. Autobase yaxshi ishlaydi (hodisa F) agar yoki sakkiztasi qatorga kirsa (hodisa LEKIN), yoki to'qqiz (hodisa DA), yoki barcha o'nta avtomobil hodisasi (voqea C). Ehtimollarni qo'shish teoremasiga ko'ra,

Biz har bir atamani topamiz Bernulli formulasiga muvofiq. Bu yerda n=10 , m=8; 10 va p\u003d 1-0,1 \u003d 0,9, chunki p avtomobilning chiziqqa kirish ehtimolini anglatishi kerak; keyin q=0,1. Natijada, biz olamiz

4-misol Xaridorga 41 o'lchamdagi erkaklar poyabzali kerak bo'lishi ehtimoli 0,25 ga teng bo'lsin. Oltita xaridordan kamida ikkitasiga 41 o'lchamdagi poyabzal kerak bo'lishi ehtimolini toping.

A hodisasiga nisbatan n ta sinov o'tkazilsin. Quyidagi hodisalar bilan tanishtiramiz: Ak -- A hodisasi k-chi sinov davomida amalga oshirildi, $ k=1,2,\dots , n$. U holda $\bar(A)_(k) $ qarama-qarshi hodisa (A hodisasi k-sinovda sodir bo'lmagan, $k=1,2,\dots , n$).

Tengdosh va mustaqil sinovlar nima

Ta'rif

Agar $A1, A2, \dots , An$ hodisalarining ehtimolliklari bir xil boʻlsa, testlar A hodisasiga nisbatan bir xil turdagi deb ataladi: $P(A1)=P(A2)= \nuqta =P(An) $ (ya'ni, bitta sinovda A hodisasining yuzaga kelish ehtimoli barcha sinovlarda doimiydir).

Shubhasiz, bu holatda qarama-qarshi hodisalarning ehtimoli ham mos keladi: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar() A) _(n))$.

Ta'rif

$A1, A2, \dots , An$ hodisalari mustaqil bo'lsa, sinovlar A hodisaga nisbatan mustaqil deyiladi.

Ushbu holatda

Bunda har qanday Ak hodisasi $\bar(A)_(k) $ bilan almashtirilganda tenglik saqlanib qoladi.

A hodisasiga nisbatan bir qator n ta o'xshash mustaqil sinovlar o'tkazilsin. Biz yozuvni olib boramiz: p - bitta testda A hodisasining ehtimoli; q - qarama-qarshi hodisaning ehtimoli. Shunday qilib, har qanday k uchun P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ va p+q=1.

Bir qator n ta sinovda A hodisasining aynan k marta sodir bo'lish ehtimoli (0 ≤ k ≤ n) formula bilan hisoblanadi:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

Tenglik (1) Bernulli formulasi deb ataladi.

Bir xil turdagi n ta mustaqil sinovlar seriyasida A hodisasining kamida k1 marta va ko'pi bilan k2 marta sodir bo'lish ehtimoli quyidagi formula bilan hisoblanadi:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

Bernulli formulasini n ning katta qiymatlari uchun qo'llash noqulay hisob-kitoblarga olib keladi, shuning uchun bu holatlarda boshqa formulalardan - asimptotiklardan foydalanish yaxshiroqdir.

Bernulli sxemasini umumlashtirish

Bernulli sxemasini umumlashtirishni ko'rib chiqing. Agar ketma-ket n ta mustaqil sinovdan iborat bo'lsa, ularning har biri m juftlik mos kelmaydigan va mumkin bo'lgan natijaga ega bo'lgan Ak mos ehtimolliklari bilan Rk= rk(Ak). U holda polinom taqsimot formulasi to'g'ri bo'ladi:

1-misol

Epidemiya paytida grippni yuqtirish ehtimoli 0,4 ni tashkil qiladi. Kompaniyaning 6 nafar xodimidan kasal bo'lish ehtimolini toping

1. aniq 4 nafar xodim;
2. xodimlar soni 4 tadan oshmasligi kerak.

Yechim. 1) Shubhasiz, bu masalani hal qilish uchun Bernulli formulasi qo'llaniladi, bu erda n=6; k=4; p=0,4; q=1-p=0,6. (1) formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \taxminan 0,138$.

Bu masalani hal qilish uchun (2) formula qo'llaniladi, bu erda k1=0 va k2=4. Bizda ... bor:

\[\begin(massiv)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0,4^(0) \cdot 0,6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0,4 ^(1) \cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0,4^(2) \cdot 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0,4^(3) \ cdot 0,6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \ taxminan 0,959.) \end(massiv)\]

Shuni ta'kidlash kerakki, bu vazifani qarama-qarshi hodisa yordamida hal qilish osonroq - 4 dan ortiq xodim kasal bo'lib qoldi. Keyin qarama-qarshi hodisalar ehtimoli bo'yicha (7) formulani hisobga olgan holda, biz quyidagilarni olamiz:

Javob: $\ $0,959.

2-misol

Bir urnada 20 ta oq va 10 ta qora shar bor. 4 ta shar chiqariladi va har bir chiqarilgan to'p keyingisini tortib olishdan oldin urnaga qaytariladi va idishdagi sharlar aralashtiriladi. 1-rasmda chizilgan to'rtta shardan 2 ta oq shar bo'lish ehtimolini toping.

1-rasm.

Yechim. A hodisasi shunday bo'lsin -- oq shar chizilgan. Keyin $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) ehtimolliklari. $.

Bernulli formulasiga ko'ra, talab qilinadigan ehtimollik $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac) (1)( 3) \right)^(2) =\frac(8)(27) $.

Javob: $\frac(8)(27) $.

3-misol

5 nafar farzandli oilada 3 nafardan ortiq qiz bo‘lmasligi ehtimolini aniqlang. O'g'il va qiz tug'ilish ehtimoli bir xil deb taxmin qilinadi.

Yechim. Qiz tug'ilish ehtimoli $\qisman =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-o'g'il tug'ilish ehtimoli. Oilada uch nafardan ortiq qiz bo‘lmaydi, ya’ni oilada bitta, ikki yoki uchta qiz tug‘ilgan yoki hamma o‘g‘il bola tug‘ilgan.

Oilada qizlar yo‘qligi, bir, ikki yoki uchta qiz tug‘ilishi ehtimolini toping: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

Demak, kerakli ehtimollik $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .

Javob: $\frac(13)(16)$.

4-misol

Birinchi o'q otuvchi birinchi o'nlikka 0,6 ehtimollik bilan, to'qqiztasiga 0,3 ehtimollik bilan va sakkiztasiga 0,1 ehtimol bilan kirishi mumkin. 10 ta o'q bilan u o'nta olti marta, to'qqizta uch marta va sakkizta sakkiz marta urish ehtimoli qanday?

Binom taqsimotini ko'rib chiqing, uning matematik kutilishini, dispersiyasini, rejimini hisoblang. MS EXCEL ning BINOM.DIST() funksiyasidan foydalanib, taqsimot funksiyasi va ehtimollik zichligi grafiklarini chizamiz. Keling, p taqsimot parametrini, taqsimotning matematik kutilishini va standart og'ishni taxmin qilaylik. Bernulli taqsimotini ham ko'rib chiqing.

Ta'rif. Ular ushlab tursin n testlar, ularning har birida faqat 2 ta hodisa ro'y berishi mumkin: hodisa "muvaffaqiyatli" ehtimollik bilan p yoki hodisa "muvaffaqiyatsizligi" ehtimoli bilan q =1-p (deb atalmish Bernoulli sxemasi,Bernullisinovlar).

Aniq olish ehtimoli x bularda muvaffaqiyat n testlar quyidagilarga teng:

Namunadagi muvaffaqiyatlar soni x ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchidir Binomiy taqsimot(inglizcha) binomtarqatish) p va n– bu taqsimotning parametrlari.

Murojaat qilish uchun buni eslang Bernoulli sxemalari va mos ravishda binomial taqsimot, quyidagi shartlar bajarilishi kerak:

• har bir sinov shartli ravishda "muvaffaqiyat" va "muvaffaqiyatsizlik" deb ataladigan ikkita natijaga ega bo'lishi kerak.
• har bir test natijasi oldingi testlar natijalariga bog'liq bo'lmasligi kerak (test mustaqilligi).
• muvaffaqiyat darajasi p barcha testlar uchun doimiy bo'lishi kerak.

MS EXCEL da binomial taqsimot

MS EXCEL da, 2010 versiyasidan boshlab, uchun Binomiy taqsimot BINOM.DIST() funksiyasi mavjud, inglizcha nomi BINOM.DIST(), bu sizga namunaning aniq bo'lish ehtimolini hisoblash imkonini beradi. X"muvaffaqiyatlar" (ya'ni. ehtimollik zichligi funksiyasi p(x), yuqoridagi formulaga qarang) va integral taqsimot funksiyasi(namuna bo'lish ehtimoli x yoki kamroq "muvaffaqiyatlar", shu jumladan 0).

MS EXCEL 2010 dan oldin EXCELda BINOMDIST() funksiyasi mavjud bo‘lib, u ham hisoblash imkonini beradi. tarqatish funktsiyasi va ehtimollik zichligi p(x). BINOMDIST() moslik uchun MS EXCEL 2010 da qoldirilgan.

Misol fayli grafiklarni o'z ichiga oladi ehtimollik taqsimoti zichligi va .

Binomiy taqsimot belgiga ega B(n; p) .

Eslatma: Qurilish uchun integral taqsimot funksiyasi mukammal moslashtirilgan diagramma turi Jadval, uchun tarqatish zichligi – Guruhlash bilan gistogramma. Chizmalarni qurish haqida ko'proq ma'lumot olish uchun Grafiklarning asosiy turlari maqolasini o'qing.

Eslatma: Misol faylida formulalarni yozish qulayligi uchun Parametrlar uchun nomlar yaratilgan Binomiy taqsimot: n va p.

Misol faylida MS EXCEL funksiyalaridan foydalangan holda turli ehtimollik hisoblari ko'rsatilgan:

Yuqoridagi rasmda ko'rinib turganidek, taxmin qilinadi:

• Namuna olingan cheksiz populyatsiyada 10% (yoki 0,1) yaxshi elementlar (parametr) mavjud. p, uchinchi funktsiya argumenti =BINOM.DIST() )
• 10 ta elementdan iborat namunada bo'lish ehtimolini hisoblash uchun (parametr n, funktsiyaning ikkinchi argumenti) aniq 5 ta haqiqiy element bo'ladi (birinchi argument), siz formulani yozishingiz kerak: =BINOM.DIST(5, 10, 0,1, FALSE)
• Oxirgi, to'rtinchi element o'rnatiladi = FALSE, ya'ni. funktsiya qiymati qaytariladi tarqatish zichligi.

Agar to'rtinchi argumentning qiymati = TRUE bo'lsa, BINOM.DIST() funksiyasi qiymatni qaytaradi. integral taqsimot funksiyasi yoki oddiygina tarqatish funktsiyasi. Bunday holda, siz namunadagi yaxshi narsalar sonining ma'lum bir diapazondan, masalan, 2 yoki undan kam (shu jumladan 0) bo'lish ehtimolini hisoblashingiz mumkin.

Buning uchun siz formulani yozishingiz kerak:
= BINOM.DIST(2, 10, 0,1, TRUE)

Eslatma: X ning butun bo'lmagan qiymati uchun, . Masalan, quyidagi formulalar bir xil qiymatni qaytaradi:
=BINOM.DIST( 2 ; o'nta; 0,1; TO'G'RI)
=BINOM.DIST( 2,9 ; o'nta; 0,1; TO'G'RI)

Eslatma: Misol faylida ehtimollik zichligi va tarqatish funktsiyasi ta'rifi va COMBIN() funksiyasi yordamida ham hisoblangan.

Tarqatish ko'rsatkichlari

DA varaqdagi fayl namunasi Misol Ba'zi taqsimlash ko'rsatkichlarini hisoblash uchun formulalar mavjud:

• =n*p;
• (kvadrat standart og'ish) = n*p*(1-p);
• = (n+1)*p;
• =(1-2*p)*ROOT(n*p*(1-p)).

Biz formulani olamiz matematik kutish Binomiy taqsimot foydalanish Bernoulli sxemasi.

Ta'rifga ko'ra, tasodifiy o'zgaruvchi X in Bernoulli sxemasi(Bernulli tasodifiy o'zgaruvchisi) ega tarqatish funktsiyasi:

Bu tarqatish deyiladi Bernoulli taqsimoti.

Eslatma: Bernoulli taqsimoti- maxsus holat Binomiy taqsimot n=1 parametr bilan.

Muvaffaqiyat ehtimoli har xil bo'lgan 100 ta raqamdan iborat 3 ta massiv hosil qilaylik: 0,1; 0,5 va 0,9. Buning uchun oynada Tasodifiy raqamlarni yaratish Har bir p ehtimollik uchun quyidagi parametrlarni o'rnating:

Eslatma: Agar siz parametrni o'rnatsangiz Tasodifiy tarqalish (Tasodifiy urug'), keyin siz yaratilgan raqamlarning ma'lum bir tasodifiy to'plamini tanlashingiz mumkin. Masalan, ushbu parametrni =25 o'rnatish orqali siz turli xil kompyuterlarda bir xil tasodifiy sonlar to'plamini yaratishingiz mumkin (agar, albatta, boshqa tarqatish parametrlari bir xil bo'lsa). Variant qiymati 1 dan 32 767 gacha butun sonlarni qabul qilishi mumkin. Variant nomi Tasodifiy tarqalish chalkashtirib yuborishi mumkin. deb tarjima qilsak yaxshi bo'lardi Raqamni tasodifiy raqamlar bilan o'rnating.

Natijada, bizda 100 ta raqamdan iborat 3 ta ustun bo'ladi, ular asosida, masalan, muvaffaqiyat ehtimolini taxmin qilishimiz mumkin. p formula bo'yicha: Muvaffaqiyatlar soni/100(sm. Bernoulli yaratish misoli fayl varaqasi).

Eslatma: Uchun Bernoulli taqsimoti p=0,5 bilan siz =RANDBETWEEN(0;1) formulasidan foydalanishingiz mumkin, bu ga mos keladi.

Tasodifiy raqamlarni yaratish. Binomiy taqsimot

Aytaylik, namunada 7 ta nuqsonli element bor. Bu nuqsonli mahsulotlar ulushi o'zgarganligi "juda ehtimol" ekanligini anglatadi. p, bu bizning ishlab chiqarish jarayonimizning o'ziga xos xususiyati. Garchi bu holat "juda ehtimol" bo'lsa-da, ehtimol (alfa xavfi, 1-toifa xato, "noto'g'ri signal") p o'zgarishsiz qoldi va nuqsonli mahsulotlar sonining ko'payishi tasodifiy tanlab olish bilan bog'liq.

Quyidagi rasmda ko'rinib turibdiki, 7 - bir xil qiymatda p=0,21 bo'lgan jarayon uchun maqbul bo'lgan nuqsonli mahsulotlar soni. Alfa. Bu shuni ko'rsatadiki, agar namunadagi nuqsonli elementlar chegarasi oshib ketgan bo'lsa, p"ehtimol" ko'paygan. "Ehtimol" iborasi nuqsonli mahsulotlar foizining chegaradan yuqori bo'lishi faqat tasodifiy sabablarga bog'liq bo'lishining atigi 10% (100% -90%) ehtimoli borligini anglatadi.

Shunday qilib, namunadagi nuqsonli mahsulotlarning chegaradan oshib ketishi jarayon buzilganligi va b ishlab chiqarishni boshlaganligi haqida signal bo'lishi mumkin. haqida nuqsonli mahsulotlarning yuqori foizi.

Eslatma: MS EXCEL 2010 dan oldin EXCEL da BINOM.INV() ga ekvivalent bo'lgan CRITBINOM() funksiyasi mavjud edi. CRITBINOM() moslik uchun MS EXCEL 2010 va undan yuqori versiyalarida qoldirilgan.

Binom taqsimotining boshqa taqsimotlar bilan aloqasi

Agar parametr n Binomiy taqsimot cheksizlikka intiladi va p 0 ga intiladi, keyin bu holatda Binomiy taqsimot taxmin qilish mumkin.
Yaqinlashganda shartlarni shakllantirish mumkin Puasson taqsimoti yaxshi ishlaydi:

• p<0,1 (kamroq p va boshqalar n, yaqinlik qanchalik aniq bo'lsa);
• p>0,9 (buni hisobga olgan holda q=1- p, bu holda hisob-kitoblar yordamida amalga oshirilishi kerak q(a X bilan almashtirish kerak n- x). Shuning uchun, kamroq q va boshqalar n, yaqinlik qanchalik aniq bo'lsa).

0,1 da<=p<=0,9 и n*p>10 Binomiy taqsimot taxmin qilish mumkin.

O'z navbatida, Binomiy taqsimot populyatsiya soni N ga teng bo'lganda yaxshi taxminiy ko'rsatkich bo'lib xizmat qilishi mumkin Gipergeometrik taqsimot namuna hajmi n dan ancha katta (ya'ni, N>>n yoki n/N<<1).

Yuqoridagi taqsimotlarning o'zaro bog'liqligi haqida ko'proq maqolada o'qishingiz mumkin. U yerda ham yaqinlashtirishga misollar keltirilib, qachon va qanday aniqlik bilan mumkin bo‘lgan shartlar tushuntiriladi.

MASLAHAT: MS EXCEL ning boshqa distributivlari haqida maqolada o'qishingiz mumkin.

Bernulli sxemasi bo'yicha n ta tajriba muvaffaqiyatli bo'lish ehtimoli bilan amalga oshiriladi p. X muvaffaqiyatlar soni bo'lsin. X tasodifiy o'zgaruvchisi (0,1,2,...,n) diapazoniga ega. Ushbu qiymatlarning ehtimolliklarini quyidagi formula bo'yicha topish mumkin: , bu erda C m n - n dan m gacha bo'lgan kombinatsiyalar soni.
Tarqatish seriyasi quyidagi shaklga ega:

x	0	1	...	m	n
p	(1-p)n	np(1-p) n-1	...	C m n p m (1-p) n-m	p n

Ushbu taqsimot qonuni binomial deb ataladi.

Xizmat topshirig'i. Qurilish uchun onlayn kalkulyator ishlatiladi binomial taqsimot qatori va qatorning barcha xarakteristikalarini hisoblash: matematik kutish, dispersiya va standart og'ish. Qaror bilan hisobot Word formatida tuziladi (misol).

Sinovlar soni: n= , Ehtimollik p =
Kichik p ehtimollik va ko'p sonli n bilan (np Puasson formulasi.

Video ko'rsatma

Bernoulli test sxemasi

Binomial qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning raqamli xarakteristikalari

X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi, binomial qonun bo'yicha taqsimlanadi.
M[X]=np

X tasodifiy miqdorning dispersiyasi, binomial qonun bo'yicha taqsimlanadi.
D[X]=npq

№1 misol. Mahsulot har birida p = 0,3 ehtimollik bilan nuqsonli bo'lishi mumkin. To'plamdan uchta element tanlanadi. X - tanlanganlar orasida nuqsonli qismlar soni. Toping (barcha javoblarni o'nli kasrlar shaklida kiriting): a) taqsimot X seriyasi; b) taqsimot funksiyasi F(x) .
Yechim. X tasodifiy o'zgaruvchisi diapazonga ega (0,1,2,3).
X taqsimot qatorini topamiz.
P 3 (0) = (1-p) n = (1-0,3) 3 = 0,34
P 3 (1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0,3) 3-1 = 0,44

P 3 (3) = p n = 0,3 3 = 0,027

x i	0	1	2	3
pi	0.34	0.44	0.19	0.027

Matematik kutilma M[X]= np = 3*0,3 = 0,9 formula bilan topiladi.
Imtihon: m = ∑ x i p i.
Matematik kutish M[X].
M[x] = 0*0,34 + 1*0,44 + 2*0,19 + 3*0,027 = 0,9
Dispersiya D[X]=npq = 3*0,3*(1-0,3) = 0,63 formula bilan topiladi.
Imtihon: d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Dispersiya D[X].
D[X] = 0 2 *0,34 + 1 2 *0,44 + 2 2 *0,19 + 3 2 *0,027 - 0,9 2 = 0,63
Standart og'ish s(x).

Tarqatish funksiyasi F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3)) = 1

1. Bir sinovda sodir bo'ladigan hodisaning ehtimoli 0,6 ga teng. 5 ta test o'tkaziladi. X tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini tuzing - hodisaning sodir bo'lish soni.
2. To'rtta o'q bilan zarbalar sonining X tasodifiy o'zgaruvchisini taqsimlash qonunini tuzing, agar bitta o'q bilan nishonga tegish ehtimoli 0,8 bo'lsa.
3. Tanga 7 marta tashlanadi. Gerb ko'rinishlari sonining matematik kutilishi va dispersiyasini toping. Eslatma: bu erda gerbning paydo bo'lish ehtimoli p = 1/2 (chunki tanganing ikki tomoni bor).

№2 misol. Bitta sinovda sodir bo'ladigan hodisaning ehtimoli 0,6 ga teng. Bernulli teoremasini qo'llagan holda, mustaqil sinovlar sonini aniqlang, ulardan boshlab hodisa chastotasining mutlaq qiymatdagi ehtimolidan chetga chiqish ehtimoli 0,1 dan kichik, 0,97 dan katta. (Javob: 801)

№3 misol. Talabalar informatika darsida testlarni bajaradilar. Ish uchta vazifadan iborat. Yaxshi baho olish uchun kamida ikkita masalaga to‘g‘ri javob topish kerak. Har bir masala 5 ta javobga ega, ulardan faqat bittasi to'g'ri. Talaba tasodifiy javobni tanlaydi. Uning yaxshi baho olish ehtimoli qanday?
Yechim. Savolga to'g'ri javob berish ehtimoli: p=1/5=0,2; n=3.
Ushbu ma'lumotlar kalkulyatorga kiritilishi kerak. Javob uchun P(2)+P(3) ga qarang.

4-misol. Otuvchining nishonga bir marta zarba berish ehtimoli (m+n)/(m+n+2) ga teng. n + 4 ta o'q uzildi. Uning ikki martadan ko'p bo'lmagan o'tkazib yuborish ehtimolini toping.

Eslatma. Uning ikki martadan ko'p bo'lmagan o'tkazib yuborish ehtimoli quyidagi hodisalarni o'z ichiga oladi: hech qachon P(4), bir marta P(3), ikki marta P(2) ni o'tkazib yubormaydi.

Misol raqami 5. Agar 4 ta samolyot uchsa, muvaffaqiyatsiz samolyotlar sonining ehtimollik taqsimotini aniqlang. Samolyotning ishlamay qolish ehtimoli R=0,99. Har bir navbatda muvaffaqiyatsiz bo'lgan samolyotlar soni binomial qonunga muvofiq taqsimlanadi.