Ta'rif: X0 nuqtasi funktsiyaning mahalliy maksimal (yoki minimal) nuqtasi deb ataladi, agar x0 nuqtasining ba'zi bir qo'shnilarida funktsiya eng katta (yoki eng kichik) qiymatni qabul qilsa, ya'ni. x0 nuqtaning ba'zi qo'shnilaridan barcha x uchun f(x) f(x0) (yoki f(x) f(x0)) sharti bajariladi.

Mahalliy maksimal yoki minimal nuqtalar umumiy nom bilan birlashtiriladi - funktsiyaning mahalliy ekstremum nuqtalari.

E'tibor bering, mahalliy ekstremal nuqtalarda funktsiya faqat ma'lum bir mahalliy mintaqada maksimal yoki minimal qiymatga etadi. Umaxumin qiymatiga ko'ra holatlar bo'lishi mumkin.

Funksiyaning mahalliy ekstremumi mavjudligining zaruriy belgisi

Teorema . Agar y = f(x) uzluksiz funksiya x0 nuqtada bo'lsa mahalliy ekstremal, keyin bu nuqtada birinchi hosila nolga teng yoki mavjud emas, ya'ni. birinchi turdagi kritik nuqtalarda mahalliy ekstremum paydo bo'ladi.

Mahalliy ekstremal nuqtalarda yoki tangens 0x o'qiga parallel yoki ikkita tangens mavjud (rasmga qarang). E'tibor bering, muhim nuqtalar mahalliy ekstremal uchun zarur, ammo etarli shart emas. Mahalliy ekstremum faqat birinchi turdagi kritik nuqtalarda paydo bo'ladi, lekin barcha muhim nuqtalarda mahalliy ekstremum paydo bo'lmaydi.

Masalan: y = x3 kubik parabolasi x0 = 0 kritik nuqtaga ega, bunda hosila y/(0)=0, lekin x0=0 kritik nuqta ekstremum nuqta emas va unda burilish nuqtasi mavjud (pastga qarang).

Funksiyaning mahalliy ekstremumi mavjudligining etarli belgisi

Teorema . Agar argument birinchi turdagi kritik nuqtadan chapdan o'ngga o'tganda, birinchi hosila y / (x)

belgisini “+” dan “-” ga o‘zgartiradi, keyin bu kritik nuqtadagi uzluksiz funksiya y(x) mahalliy maksimalga ega bo‘ladi;

belgisini “-” dan “+” ga o‘zgartiradi, keyin uzluksiz funksiya y(x) ushbu muhim nuqtada mahalliy minimumga ega bo‘ladi

belgisini o'zgartirmaydi, keyin bu tanqidiy nuqtada mahalliy ekstremum yo'q, bu erda burilish nuqtasi mavjud.

Mahalliy maksimal uchun ortib borayotgan funktsiya hududi (y/0) kamayuvchi funksiya mintaqasi (y/0) bilan almashtiriladi. Mahalliy minimal uchun kamayuvchi funktsiya hududi (y/0) o'sish funksiyasi (y/0) mintaqasi bilan almashtiriladi.

Misol: y = x3 + 9x2 + 15x - 9 funksiyani monotonlik, ekstremum uchun tekshirib, funksiya grafigini tuzing.

(y/) hosilasini aniqlab, uni nolga tenglashtirib, birinchi turdagi kritik nuqtalarni topamiz: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

Diskriminant yordamida kvadrat uchburchakni yechamiz:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1.

2) Son o'qini kritik nuqtalari bo'lgan 3 ta mintaqaga ajratamiz va ulardagi hosila (y/) belgilarini aniqlaymiz. Ushbu belgilar yordamida biz funktsiyalarning monotonlik (o'sish va kamayish) sohalarini topamiz va belgilarni o'zgartirib, biz mahalliy ekstremum nuqtalarini (maksimal va minimal) aniqlaymiz.

Tadqiqot natijalarini jadval shaklida taqdim etamiz, undan quyidagi xulosalar chiqarish mumkin:

• 1. y /(-10) 0 oraliqda funksiya monoton ravishda ortadi (y hosilasining belgisi shu oraliqda olingan x = -10 nazorat nuqtasi yordamida baholandi);
• 2. (-5 ; -1) y /(-2) 0 oraliqda funksiya monoton ravishda kamayadi (y hosilasining belgisi shu oraliqda olingan x = -2 nazorat nuqtasi yordamida baholandi);
• 3. y /(0) 0 oraliqda funksiya monoton ravishda ortadi (y hosilasining belgisi shu oraliqda olingan x = 0 nazorat nuqtasi yordamida baholandi);
• 4. X1k = -5 kritik nuqtadan o'tganda hosila belgisini “+” dan “-” ga o'zgartiradi, shuning uchun bu nuqta mahalliy maksimal nuqta hisoblanadi.
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. X2k = -1 kritik nuqtadan o'tganda hosila belgisini “-” dan “+” ga o'zgartiradi, shuning uchun bu nuqta mahalliy minimal nuqta hisoblanadi.
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x -5 (-5 ; -1) -1

3) Biz nazorat nuqtalarida funktsiya qiymatlarining qo'shimcha hisob-kitoblaridan foydalangan holda tadqiqot natijalari asosida grafik tuzamiz:

Oxy to'rtburchaklar koordinata tizimini qurish;

Koordinatalar bo'yicha maksimal (-5; 16) va minimal (-1;-16) nuqtalarini ko'rsatamiz;

grafikni aniqlashtirish uchun biz nazorat nuqtalarida funksiyaning qiymatini hisoblaymiz, ularni maksimal va minimal nuqtalarning chap va o'ng tomonida va o'rtacha oraliq ichida tanlaymiz, masalan: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6 )-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) va (0;-9) - grafikni qurish uchun biz chizadigan hisoblangan nazorat nuqtalari;

Grafikni maksimal nuqtada yuqoriga qaragan egri konveks va minimal nuqtada pastga qarab va hisoblangan nazorat nuqtalaridan o'tuvchi konveks shaklida ko'rsatamiz.

>> Ekstrema

Funktsiyaning ekstremumi

Ekstremumning ta'rifi

Funktsiya y = f(x) deyiladi ortib boradi (kamaymoqda) ma'lum bir oraliqda, agar x 1 uchun< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

Agar y = f (x) differensiallanuvchi funksiya oraliqda ortib (kamaysa), uning shu f intervaldagi hosilasi " (x)> 0

(f"(x)< 0).

Nuqta x O chaqirdi mahalliy maksimal nuqta (minimal) f (x) funksiya, agar nuqtaning qo'shnisi bo'lsa x o, f (x) tengsizligi to'g'ri bo'lgan barcha nuqtalar uchun≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o )).

Maksimal va minimal nuqtalar deyiladi ekstremal nuqtalar, va bu nuqtalardagi funktsiyaning qiymatlari uning ekstremal.

Ekstremal nuqtalar

Ekstremum uchun zarur shart-sharoitlar . Agar nuqta x O f (x) funksiyaning ekstremum nuqtasi, u holda f yoki f " (x o ) = 0 yoki f(x o ) mavjud emas. Bunday nuqtalar deyiladi tanqidiy, funktsiyaning o'zi esa kritik nuqtada aniqlanadi. Funktsiyaning ekstremalini uning kritik nuqtalari orasidan izlash kerak.

Birinchi etarli shart. Mayli x O - tanqidiy nuqta. Agar f" (x ) nuqtadan o'tayotganda x O ortiqcha belgisini minusga, keyin nuqtaga o'zgartiradi x o funksiya maksimalga ega, aks holda u minimalga ega. Agar kritik nuqtadan o'tayotganda hosila belgisini o'zgartirmasa, u holda nuqtada x O ekstremal yo'q.

Ikkinchi etarli shart. f(x) funksiyasi bo'lsin
f" (x ) nuqtaga yaqin joyda x O va nuqtaning o'zida ikkinchi hosila x o. Agar f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o f (x) funksiyaning mahalliy minimal (maksimal) nuqtasidir. Agar =0 bo'lsa, siz birinchi etarli shartdan foydalanishingiz yoki yuqoriroq shartlarni kiritishingiz kerak.

Segmentda y = f (x) funktsiya o'zining minimal yoki maksimal qiymatiga kritik nuqtalarda yoki segmentning uchlarida erishishi mumkin.

3.22-misol.

Yechim. Chunki f " (

Funksiyaning ekstremumini topish masalalari

3.23-misol. a

Yechim. x Va y y
0 ≤ x≤
> 0 va qachon x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funktsiyalari kv. birliklar).

3.24-misol. p ≈

Yechim. p p
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

3.22-misol.f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 funksiyaning ekstremal qismini toping.

Yechim. Chunki f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), keyin funksiyaning kritik nuqtalari x 1 = 2 va x 2 = 3. Ekstrema faqat shu nuqtalarda bo'lishi mumkin. X 1 = 2 nuqtadan o'tganda hosila ishorasini plyusdan minusga o'zgartirganligi sababli, bu nuqtada funktsiya maksimalga ega bo'ladi. X 2 = 3 nuqtadan o'tayotganda hosila o'z belgisini minusdan plyusga o'zgartiradi, shuning uchun x 2 = 3 nuqtada funktsiya minimumga ega. Nuqtalardagi funktsiya qiymatlarini hisoblab chiqdik
x 1 = 2 va x 2 = 3 bo'lsa, biz funktsiyaning ekstremalini topamiz: maksimal f (2) = 14 va minimal f (3) = 13.

3.23-misol.Tosh devor yaqinida to'rtburchaklar maydonni qurish kerak, shunda u uch tomondan simli to'r bilan o'ralgan va to'rtinchi tomoni devorga tutashgan. Buning uchun bor a to'rning chiziqli metrlari. Qaysi nisbatda sayt eng katta maydonga ega bo'ladi?

Yechim.Platformaning tomonlarini bilan belgilaymiz x Va y. Saytning maydoni S = xy. Mayli y- bu devorga ulashgan tomonning uzunligi. Keyin shart bo'yicha 2x + y = a tengligi bajarilishi kerak. Shuning uchun y = a - 2x va S = x (a - 2x), bu erda
0 ≤ x≤ a /2 (hududning uzunligi va kengligi salbiy bo'lishi mumkin emas). S " = a - 4x, a - 4x = 0 da x = a/4, qaerdan
y = a - 2 × a/4 =a/2. Chunki x = a /4 - bu nuqtadan o'tganda hosilaning belgisi o'zgaradimi yoki yo'qligini tekshiramiz. x a /4 S "da> 0 va qachon x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funktsiyalari S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2/8 (kv. birliklar). S uzluksiz bo'lgani uchun va uning S(0) va S(a /2) uchlaridagi qiymatlari nolga teng bo'lgani uchun topilgan qiymat shunday bo'ladi. eng yuqori qiymat funktsiyalari. Shunday qilib, masalaning berilgan shartlarida saytning eng qulay tomonlar nisbati y = 2x.

3.24-misol.V=16 sig'imli yopiq silindrsimon tank ishlab chiqarish talab qilinadi p ≈ 50 m 3. Tankning o'lchamlari (radiusi R va balandligi H) qanday bo'lishi kerak, shuning uchun uni ishlab chiqarish uchun eng kam miqdordagi material ishlatiladi?

Yechim.Silindrning umumiy sirt maydoni S = 2 ga teng p R(R+H). Biz silindrning hajmini bilamiz V = p R 2 N Þ N = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. Shunday qilib, S(R) = 2 p (R 2 +16/R). Ushbu funktsiyaning hosilasini topamiz:
S"(R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). S" (R) = 0 da R 3 = 8, shuning uchun,
R = 2, H = 16/4 = 4.

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Aytishlaricha, $f$ bor mahalliy maksimal$x_(0) \E$ nuqtasida, agar $x_(0)$ nuqtaning $U$ qo'shnisi bo'lsa, shundayki hamma $x \da U$da $f\chap (x\o'ng) tengsizlik bo'ladi. ) \leqslant f qanoatlantirildi \left(x_(0)\right)$.

Mahalliy maksimal deyiladi qattiq , agar $U$ qoʻshnisi $x_(0)$ dan farq qiladigan $x \da U$ hamma uchun $f\left(x\oʻng) boʻlishi uchun tanlanishi mumkin boʻlsa.< f\left(x_{0}\right)$.

Ta'rif
$E \subset \mathbb(R)^(n)$ ochiq to'plamda $f$ haqiqiy funksiya bo'lsin. Aytishlaricha, $f$ bor mahalliy minimal$x_(0) \E$ nuqtasida, agar $x_(0)$ nuqtaning $U$ qo'shnisi bo'lsa, shundayki $f\left(x\right) \geqslant f tengsizlik barcha $ uchun amal qiladi. x \in U$ \left(x_(0)\right)$.

Agar $U$ qoʻshnisi $x_(0)$ dan farq qiladigan $x \in U$ uchun $f\left(x\right) > f\left(x_) boʻlishi uchun tanlanishi mumkin boʻlsa, mahalliy minimum qattiq deb ataladi. ( 0)\o'ng)$.

Mahalliy ekstremum mahalliy minimal va mahalliy maksimal tushunchalarini birlashtiradi.

teorema ( zarur shart differensiallanuvchi funktsiyaning ekstremumi)
$E \subset \mathbb(R)^(n)$ ochiq to'plamda $f$ haqiqiy funksiya bo'lsin. Agar $x_(0) \E$ nuqtasida $f$ funksiyasi shu nuqtada lokal ekstremumga ega bo'lsa, $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Nolga teng differentsial hamma nolga teng ekanligiga teng, ya'ni. $$\displaystyle\frac(\qisman f)(\qisman x_(i))\chap(x_(0)\o'ng)=0.$$

Bir o'lchovli holatda bu -. $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$ ni belgilaymiz, bu yerda $h$ ixtiyoriy vektor. $\phi$ funktsiyasi mutlaq qiymatda etarlicha kichik bo'lgan $t$ qiymatlari uchun aniqlanadi. Bundan tashqari, ga nisbatan u farqlanadi va $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
$f$ x $0$ nuqtasida mahalliy maksimal bo'lsin. Demak, $t = 0$ da $\phi$ funksiyasi lokal maksimalga ega va Ferma teoremasi boʻyicha $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
Shunday qilib, biz $df \left(x_(0)\right) = 0$ ni oldik, ya'ni. $x_(0)$ nuqtadagi $f$ funksiyasi har qanday $h$ vektorida nolga teng.

Ta'rif
Differensial nolga teng bo'lgan nuqtalar, ya'ni. barcha qisman hosilalari nolga teng bo'lganlar statsionar deyiladi. Kritik nuqtalar$f$ funksiyalari $f$ farqlanmaydigan yoki nolga teng bo'lgan nuqtalardir. Agar nuqta statsionar bo'lsa, bundan funktsiyaning bu nuqtada ekstremum borligi kelib chiqmaydi.

1-misol.
$f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$ bo'lsin. Keyin $\displaystyle\frac(\qisman f)(\qisman x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\qisman f)(\qisman y) = 3 \cdot y^(2) )$, shuning uchun $\left(0,0\right)$ statsionar nuqtadir, lekin bu nuqtada funktsiyaning ekstremumi yo'q. Haqiqatan ham, $f \left(0,0\right) = 0$, lekin $\left(0,0\right)$ nuqtaning istalgan qo'shnisida funktsiya ham ijobiy, ham salbiy qiymatlarni qabul qilishini ko'rish oson.

2-misol.
$f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ funksiyaning kelib chiqishida statsionar nuqta bor, lekin bu nuqtada ekstremum yo‘qligi aniq.

Teorema (ekstremum uchun yetarli shart).
$F$ funksiyasi $E \subset \mathbb(R)^(n)$ ochiq to'plamda ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi bo'lsin. $x_(0) \da E$ statsionar nuqta va $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \ekviv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1) bo‘lsin. ) ^n \frac(\qisman^(2) f)(\qisman x_(i) \qisman x_(j)) \left(x_(0)\o'ng)h^(i)h^(j).$ $ Keyin

1. agar $Q_(x_(0))$ – bo‘lsa, $x_(0)$ nuqtadagi $f$ funksiyasi lokal ekstremumga ega bo‘ladi, ya’ni, agar shakl musbat aniqlangan bo‘lsa, minimumga, agar shakl bo‘lsa, maksimalga ega. salbiy aniqlik;
2. agar $Q_(x_(0))$ kvadrat shakli aniqlanmagan bo'lsa, $x_(0)$ nuqtadagi $f$ funksiyasi ekstremumga ega emas.

Kengayishni Teylor formulasiga muvofiq ishlatamiz (12,7 s. 292). $x_(0)$ nuqtadagi birinchi tartibli qisman hosilalar nolga teng ekanligini hisobga olsak, $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ ni olamiz. o'ng) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\qisman^(2) f)(\qisman x_(i) \qisman x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ bu yerda $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ va $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ uchun $h \rightarrow 0$, keyin o'ng tomoni etarlicha kichik uzunlikdagi har qanday $h$ vektori uchun ijobiy bo'ladi.
Shunday qilib, biz shunday xulosaga keldikki, $x_(0)$ nuqtaning ma'lum bir qo'shnisida $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ tengsizlik faqat $ bo'lganda amal qiladi. x \neq x_ (0)$ (biz $x=x_(0)+h$\o'ngga qo'yamiz). Demak, $x_(0)$ nuqtada funksiya qat’iy lokal minimumga ega va shu tariqa teoremamizning birinchi qismi isbotlangan.
Keling, $Q_(x_(0))$ noaniq shakl deb faraz qilaylik. Keyin $h_(1)$, $h_(2)$ vektorlari borki, $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \chap(h_(2)\o'ng)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. Keyin $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) ni olamiz. \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\o'ng) \o'ng] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Etarlicha kichik $t>0$ uchun o'ng qo'l tomoni ijobiy. Bu shuni anglatadiki, $x_(0)$ nuqtaning istalgan qo'shnisida $f$ funktsiyasi $f \left(x\right)$ $f \left(x_(0)\right)$ dan katta qiymatlarni oladi.
Xuddi shunday, biz $x_(0)$ nuqtaning istalgan qo'shnisida $f$ funktsiyasi $f \left(x_(0)\right)$ dan kichik qiymatlarni olishini topamiz. Bu avvalgisi bilan birgalikda $x_(0)$ nuqtada $f$ funksiyasi ekstremumga ega emasligini bildiradi.

$\left(x_(0),y_(0)\oʻng nuqtaning baʼzi qoʻshnilarida aniqlangan ikkita oʻzgaruvchining $f \left(x,y\right)$ funksiyasi uchun ushbu teoremaning maxsus holatini koʻrib chiqamiz. )$ va birinchi va ikkinchi tartiblarning uzluksiz qisman hosilalariga ega. $\left(x_(0),y_(0)\right)$ statsionar nuqta deb faraz qiling va $$\displaystyle a_(11)= \frac(\qisman^(2) f)(\qisman x ^) ni belgilang. (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\o'ng), a_(12)=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman x \qisman y) \left(x_( 0) ), y_(0)\o'ng), a_(22)=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman y^(2)) \chap(x_(0), y_(0)\o'ng ) .$$ U holda oldingi teorema quyidagi shaklni oladi.

Teorema
$\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$ boʻlsin. Keyin:

1. agar $\Delta>0$ boʻlsa, $f$ funksiyasi $\left(x_(0),y_(0)\right)$ nuqtada lokal ekstremumga ega, yaʼni $a_(11)> minimal boʻlsa. 0$ va maksimal, agar $a_(11)<0$;
2. agar $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Muammoni hal qilishga misollar

Ko'p o'zgaruvchilar funksiyasining ekstremumini topish algoritmi:

1. Statsionar nuqtalarni topish;
2. Barcha statsionar nuqtalarda 2-tartibli differentsialni toping
3. Ko'p o'zgaruvchilar funksiyasining ekstremumining etarli shartidan foydalanib, biz har bir statsionar nuqtada 2-tartibli differentsialni ko'rib chiqamiz.

1. Ekstremum $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ funksiyasini o‘rganing.
   Yechim

   1-tartibli qisman hosilalarni topamiz: $$\displaystyle \frac(\qisman f)(\qisman x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\qisman) f)(\qisman y)=24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x.$$ Tizimni tuzamiz va yechamiz: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\qisman f)(\qisman x) = 0\\\frac(\qisman f)(\qisman y)= 0\end(holatlar) \O'ng strelka \boshlash(holatlar)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(holatlar) \Oʻng tomon \begin(holatlar)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(holatlar)$$ 2-tenglamadan $x=4 \cdot y^(2)$ ifodalaymiz - uni 1-tenglamaga almashtiramiz: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Natijada 2 ta statsionar nuqta olinadi:
   1) $y=0 \O'ng strelka x = 0, M_(1) = \left(0, 0\o'ng)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \O‘ng strelka y^(3)=\frac(1)(8) \O‘ng strelka y = \frac(1)(2) \O‘ng strelka x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\o'ng)$
   Ekstremum uchun etarli shart qanoatlanganligini tekshirib ko'ramiz:
   $$\displaystyle \frac(\qisman^(2) f)(\qisman x^(2))=6 \cdot x; \frac(\qisman^(2) f)(\qisman x \qisman y)=-6; \frac(\qisman^(2) f)(\qisman y^(2))=48 \cdot y$$
   1) $M_(1)= \left(0,0\right)$ nuqtasi uchun:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman x^(2)) \left(0,0\o'ng)=0; B_(1)=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman x \qisman y) \left(0,0\o'ng)=-6; C_(1)=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman y^(2)) \left(0,0\o'ng)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) $M_(2)$ nuqtasi uchun:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\o'ng)=6; B_(2)=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman x \qisman y) \left(1,\frac(1)(2)\o'ng)=-6; C_(2)=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\o'ng)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, yaʼni $M_(2)$ nuqtada ekstremum mavjud va $A_(2)> boʻlgani uchun 0$, keyin bu minimal.
   Javob: $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ nuqtasi $f$ funksiyasining minimal nuqtasidir.
   

2. $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ ekstremum uchun funktsiyani o'rganing.
   Yechim

   Statsionar nuqtalarni topamiz: $$\displaystyle \frac(\qisman f)(\qisman x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\qisman f)(\qisman y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Keling, tizimni tuzamiz va hal qilamiz: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\qisman f)(\qisman x)= 0\\\frac(\qisman f)(\qisman y)= 0\end(holatlar) ) \ O'ngga strelka \begin(holatlar)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(holatlar) \O'ngga \begin(holatlar) y = 2\\y + x = 1\end(holatlar) \O'ng strelka x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ statsionar nuqtadir.
   Ekstremum uchun yetarli shart bajarilganligini tekshiramiz: $$\displaystyle A=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman x \qisman y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman y^(2)) \left(-1,2\o'ng)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Javob: haddan tashqari holatlar yo'q.
   

Vaqt chegarasi: 0

Navigatsiya (faqat ish raqamlari)

4 ta vazifadan 0 tasi bajarildi

Ma'lumot

O'qigan mavzuingiz bo'yicha bilimingizni sinab ko'rish uchun ushbu testdan o'ting: Ko'p o'zgaruvchilar funksiyalarining mahalliy ekstremasi.

Siz allaqachon sinovdan o'tgansiz. Siz uni qayta boshlay olmaysiz.

Sinov yuklanmoqda...

Sinovni boshlash uchun tizimga kirishingiz yoki ro'yxatdan o'tishingiz kerak.

Buni boshlash uchun siz quyidagi testlarni bajarishingiz kerak:

Natijalar

To'g'ri javoblar: 4 tadan 0

Sizning vaqtingiz:

Vaqt tugadi

Siz 0 balldan 0 ball oldingiz (0)

Natijangiz peshqadamlar ro‘yxatida qayd etildi

1. Javob bilan
2. Ko'rish belgisi bilan

1/4 vazifa

1 .

Ballar soni: 1

Ekstrema uchun $f$ funktsiyasini o'rganing: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

To'g'ri


Noto'g'ri


1. 2/4 vazifa

   2 .

   Ballar soni: 1

   $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ funktsiyasi ekstremumga egami?

Funksiya ichki nuqtada mavjud deyiladi
mintaqa D mahalliy maksimal(minimal), agar nuqtaning shunday qo'shnisi bo'lsa
, har bir nuqta uchun
tengsizlikni ushlab turadigan

Agar funktsiya nuqtada bo'lsa
mahalliy maksimal yoki mahalliy minimal, keyin biz bu nuqtada bor, deb aytish mahalliy ekstremal(yoki shunchaki ekstremal).

Teorema (ekstremum mavjudligi uchun zaruriy shart). Differensiallanuvchi funksiya nuqtada ekstremumga yetsa
, keyin funksiyaning har bir birinchi tartibli qisman hosilasi bu vaqtda u nolga aylanadi.

Barcha birinchi tartibli qisman hosilalar yo'q bo'lib ketadigan nuqtalar deyiladi funktsiyaning statsionar nuqtalari
. Bu nuqtalarning koordinatalarini sistemasini yechish orqali topish mumkin

.

tenglamalar

Differensiallanuvchi funktsiyada ekstremum mavjudligi uchun zarur shartni qisqacha quyidagicha ifodalash mumkin: Ayrim nuqtalarda ba'zi qisman hosilalar cheksiz qiymatlarga ega yoki mavjud bo'lmagan holatlar mavjud (qolganlari nolga teng). Bunday nuqtalar deyiladi Funktsiyaning muhim nuqtalari.

Bu nuqtalar, xuddi statsionar bo'lgani kabi, ekstremum uchun "shubhali" deb hisoblanishi kerak. Ikki o'zgaruvchining funktsiyasi bo'lsa, ekstremum uchun zaruriy shart, ya'ni ekstremum nuqtadagi qisman hosilalarning (differensial) nolga tengligi geometrik talqinga ega:
yuzasiga teguvchi tekislik
.

ekstremal nuqtada tekislikka parallel bo'lishi kerak

20. Ekstremumning mavjudligi uchun etarli shartlar
Bir nuqtada ekstremum mavjudligi uchun zarur shartning bajarilishi u erda ekstremum mavjudligini kafolatlamaydi. Misol tariqasida biz hamma joyda differentsiallanuvchi funksiyani olamiz
.
Uning qisman hosilalari ham, funksiyaning o'zi ham nuqtada yo'qoladi
.

Biroq, bu nuqtaning har qanday mahallasida ham ijobiy (katta
) va salbiy (kichikroq
) ushbu funktsiyaning qiymatlari. Shuning uchun, bu nuqtada, ta'rifga ko'ra, hech qanday ekstremum kuzatilmaydi. Shuning uchun, ekstremum ekanligiga shubha qilingan nuqta o'rganilayotgan funktsiyaning ekstremum nuqtasi bo'lgan etarli shartlarni bilish kerak.
Ikki o‘zgaruvchili funksiya holatini ko‘rib chiqamiz. Faraz qilaylik, funksiya

,
.

aniqlangan, uzluksiz va qaysidir nuqtaga yaqin joyda ikkinchi tartibgacha davomiy qisman hosilalarga ega.

Teorema (, bu funksiyaning statsionar nuqtasidir, ya'ni shartlarni qanoatlantiradi
Keling, quyidagi belgini kiritamiz:
ekstremumning mavjudligi uchun etarli sharoitlar
). Funktsiyaga ruxsat bering

yuqoridagi shartlarni qanoatlantiradi, ya'ni: statsionar nuqtaning ba'zi qo'shnilarida farqlanadi
va nuqtaning o'zida ikki marta differensiallanadi
.
Keyin agar

Bo'lgan holatda keyin funksiya
nuqtada

yetadi keyin funksiya
.

mahalliy maksimal
da
Vaminimal(mahalliy minimal Umuman olganda, funktsiya uchun nuqtada mavjudligi uchun etarli shart(mahalliy maksimal

) hisoblanadi

Teorema . ijobiy
salbiy

) ikkinchi differentsialning aniqligi.
Boshqacha qilib aytganda, quyidagi bayonot haqiqatdir. minimal Agar nuqtada funktsiya uchun bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan har qanday uchun
).

, keyin bu nuqtada funksiya mavjudFunksiyaning mahalliy ekstremum nuqtalarini toping

Yechim. Funksiyaning qisman hosilalarini topib, ularni nolga tenglashtiramiz:

Ushbu tizimni yechishda biz ikkita mumkin bo'lgan ekstremal nuqtani topamiz:

Bu funksiya uchun ikkinchi tartibli qisman hosilalarni topamiz:

Birinchi statsionar nuqtada, shuning uchun va
Shu sababli, ushbu bosqichda qo'shimcha tadqiqotlar talab etiladi. Funktsiya qiymati
bu nuqtada nolga teng:
Keyingisi,

da

A

da

Shuning uchun, nuqtaning har qanday mahallasida
funktsiyasi
katta qiymatlarni qabul qiladi
, va kichikroq
, va shuning uchun, nuqtada
funktsiyasi
, ta'rifiga ko'ra, mahalliy ekstremum yo'q.

Ikkinchi statsionar nuqtada



shuning uchun, shuning uchun, beri
keyin nuqtada
funksiya mahalliy maksimalga ega.

Funktsiyaning ma'lum bir nuqtada o'zgarishi nolga moyil bo'lgan argumentning o'sishiga funktsiyaning o'sishi chegarasi sifatida aniqlanadi. Uni topish uchun hosilalar jadvalidan foydalaning. Masalan, y = x3 funksiyaning hosilasi y’ = x2 ga teng bo'ladi.

Bu hosilani nolga tenglashtiring (bu holda x2=0).

Berilgan o'zgaruvchining qiymatini toping. Bu berilgan hosila 0 ga teng bo'lgan qiymatlar bo'ladi. Buning uchun ifodadagi x o'rniga ixtiyoriy raqamlarni almashtiring, bunda butun ifoda nolga aylanadi. Masalan:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

Olingan qiymatlarni koordinata chizig'ida chizing va olingan qiymatlarning har biri uchun lotin belgisini hisoblang. Koordinata chizig'ida nuqtalar ko'rsatilgan bo'lib, ular boshlang'ich sifatida qabul qilinadi. Intervallardagi qiymatni hisoblash uchun mezonlarga mos keladigan ixtiyoriy qiymatlarni almashtiring. Masalan, -1 oralig'idan oldingi funksiya uchun -2 qiymatini tanlashingiz mumkin. -1 dan 1 gacha bo'lgan qiymatlar uchun siz 0 ni, 1 dan katta qiymatlar uchun esa 2 ni tanlashingiz mumkin. Ushbu raqamlarni hosila bilan almashtiring va hosilaning belgisini toping. Bunday holda, x = -2 bo'lgan hosila -0,24 ga teng bo'ladi, ya'ni. salbiy va bu oraliqda minus belgisi bo'ladi. Agar x=0 bo'lsa, u holda qiymat 2 ga teng bo'ladi va bu oraliqda belgi qo'yiladi. Agar x=1 bo'lsa, hosila ham -0,24 ga teng bo'ladi va minus qo'yiladi.

Agar koordinata chizig'idagi nuqtadan o'tayotganda hosila o'z belgisini minusdan plyusga o'zgartirsa, bu minimal nuqta, agar plyusdan minusga bo'lsa, bu maksimal nuqtadir.

Mavzu bo'yicha video

Foydali maslahat

Loyini topish uchun kerakli qiymatlarni hisoblaydigan va natijani ko'rsatadigan onlayn xizmatlar mavjud. Bunday saytlarda siz 5-tartibga qadar derivativlarni topishingiz mumkin.

Manbalar:

• lotinlarni hisoblash xizmatlaridan biri
• funktsiyaning maksimal nuqtasi

Funksiyaning maksimal nuqtalari minimal nuqtalar bilan birgalikda ekstremum nuqtalar deyiladi. Bu nuqtalarda funktsiya o'z harakatini o'zgartiradi. Ekstremalar cheklangan raqamli intervallarda aniqlanadi va har doim mahalliy bo'ladi.

Ko'rsatmalar

Mahalliy ekstremallarni topish jarayoni funksiya deyiladi va funksiyaning birinchi va ikkinchi hosilalarini tahlil qilish orqali amalga oshiriladi. Tadqiqotni boshlashdan oldin, belgilangan argument qiymatlari diapazoni haqiqiy qiymatlarga tegishli ekanligiga ishonch hosil qiling. Masalan, F=1/x funksiya uchun x=0 argumenti haqiqiy emas. Yoki Y=tg(x) funksiya uchun argument x=90° qiymatiga ega bo‘la olmaydi.

Y funksiyasi butun berilgan oraliqda differentsiallanishiga ishonch hosil qiling. Y ning birinchi hosilasini toping." Shubhasiz, mahalliy maksimal nuqtaga yetguncha funktsiya ortib boradi, maksimaldan o'tganda esa funksiya kamayib boradi. Birinchi hosila o'zining fizik ma'nosiga ko'ra funktsiyaning o'zgarish tezligini tavsiflaydi. Funktsiya ortib borayotgan bo'lsa-da, bu jarayonning tezligi mahalliy maksimaldan o'tishda pasaya boshlaydi va funktsiyaning o'zgarish tezligi salbiy bo'ladi nolgacha bo'lgan funktsiya mahalliy maksimal nuqtada sodir bo'ladi.