Ikkinchi tartibli chiziqlar.
Ellips va uning kanonik tenglamasi. Doira

To'liq o'rganishdan keyin tekislikdagi to'g'ri chiziqlar Biz ikki o'lchovli dunyo geometriyasini o'rganishni davom ettirmoqdamiz. Qoziqlar ikki baravar ko'paydi va men sizni ellipslar, giperbolalar, parabolalarning odatiy vakillari bo'lgan go'zal galereyasiga tashrif buyurishga taklif qilaman. ikkinchi tartibli qatorlar. Ekskursiya allaqachon boshlangan va birinchi qisqacha ma'lumot muzeyning turli qavatlaridagi butun ko'rgazma haqida:

Algebraik chiziq haqida tushuncha va uning tartibi

Samolyotdagi chiziq deyiladi algebraik, agar ichida afin koordinatalar tizimi uning tenglamasi ko'rinishga ega bo'ladi, bu erda ko'phad ko'rinishdagi hadlardan tashkil topgan ( – haqiqiy son, – manfiy bo'lmagan butun sonlar).

Ko'rib turganingizdek, algebraik chiziq tenglamasi sinuslar, kosinuslar, logarifmlar va boshqa funktsional go'zalliklarni o'z ichiga olmaydi. Faqat X va Y mavjud manfiy bo'lmagan butun sonlar daraja.

Chiziq tartibi unga kiritilgan shartlarning maksimal qiymatiga teng.

Tegishli teoremaga ko'ra, algebraik chiziq tushunchasi, shuningdek, uning tartibi tanlovga bog'liq emas. afin koordinatalar tizimi, shuning uchun mavjud bo'lish qulayligi uchun biz keyingi barcha hisob-kitoblar quyidagicha amalga oshiriladi deb taxmin qilamiz. Dekart koordinatalari.

Umumiy tenglama ikkinchi tartib qatori shaklga ega , bu erda - ixtiyoriy haqiqiy sonlar (Uni ikki omil bilan yozish odatiy holdir), va koeffitsientlar bir vaqtning o'zida nolga teng emas.

Agar bo'lsa, tenglama ga soddalashadi , va agar koeffitsientlar bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmasa, bu aniq "tekis" chiziqning umumiy tenglamasi, ifodalaydi birinchi navbatdagi qator.

Ko'pchilik yangi atamalarning ma'nosini tushunishdi, ammo shunga qaramay, materialni 100% o'zlashtirish uchun biz barmoqlarimizni rozetkaga yopishtiramiz. Chiziq tartibini aniqlash uchun siz takrorlashingiz kerak barcha shartlar uning tenglamalari va ularning har biri uchun toping darajalar yig'indisi kiruvchi o'zgaruvchilar.

Masalan:

atama 1-darajali "x" ni o'z ichiga oladi;
atama 1-darajali "Y" ni o'z ichiga oladi;
Terminda o'zgaruvchilar yo'q, shuning uchun ularning kuchlari yig'indisi nolga teng.

Endi tenglama nima uchun chiziqni belgilashini aniqlaylik ikkinchi buyurtma:

atama 2-darajali "x" ni o'z ichiga oladi;
yig'indisi o'zgaruvchilarning vakolatlari yig'indisiga ega: 1 + 1 = 2;
atama 2-darajali "Y" ni o'z ichiga oladi;
boshqa barcha shartlar - Ozroq daraja.

Maksimal qiymat: 2

Agar biz tenglamamizga qo'shimcha ravishda qo'shsak, u allaqachon aniqlanadi uchinchi darajali qator. Ko'rinib turibdiki, 3-darajali chiziqli tenglamaning umumiy shakli o'zgaruvchilarning vakolatlari yig'indisi uchtaga teng bo'lgan "to'liq" atamalarni o'z ichiga oladi:
, bu erda koeffitsientlar bir vaqtning o'zida nolga teng emas.

O'z ichiga olgan bir yoki bir nechta mos shartlarni qo'shsangiz , keyin biz allaqachon gaplashamiz 4-tartibdagi qatorlar, va hokazo.

Biz 3, 4 va undan yuqori darajali algebraik chiziqlarni bir necha marta uchratishimiz kerak, xususan, ular bilan tanishishda. qutbli koordinatalar tizimi.

Biroq, keling, umumiy tenglamaga qaytaylik va uning eng oddiy maktab o'zgarishlarini eslaylik. Misol tariqasida, tenglamasini osonlikcha qisqartirish mumkin bo'lgan parabola o'zini ko'rsatadi umumiy ko'rinish, va ekvivalent tenglamaga ega bo'lgan giperbola. Biroq, hamma narsa unchalik silliq emas ...

Umumiy tenglamaning muhim kamchiligi shundaki, u qaysi chiziqni aniqlaganligi deyarli har doim ham aniq emas. Hatto eng oddiy holatda ham, bu giperbola ekanligini darhol anglay olmaysiz. Bunday tartiblar faqat maskaradda yaxshi, shuning uchun ehtiyot bo'ling analitik geometriya tipik muammo hisoblanadi 2-tartibli chiziq tenglamasini kanonik shaklga keltirish.

Tenglamaning kanonik shakli nima?

Bu tenglamaning umumiy qabul qilingan standart shakli bo'lib, bir necha soniya ichida u qanday geometrik ob'ektni aniqlagani aniq bo'ladi. Bundan tashqari, kanonik shakl ko'pchilikni hal qilish uchun juda qulaydir amaliy vazifalar. Shunday qilib, masalan, kanonik tenglamaga ko'ra "tekis" tekis, birinchidan, bu to'g'ri chiziq ekanligi darhol aniq bo'ladi, ikkinchidan, unga tegishli nuqta va yo'nalish vektori osongina ko'rinadi.

Har qanday bo'lishi aniq 1-tartib qatori to'g'ri chiziqdir. Ikkinchi qavatda bizni endi qorovul emas, balki to'qqizta haykaldan iborat ancha xilma-xil jamoa kutmoqda:

Ikkinchi tartibli chiziqlarning tasnifi

Maxsus harakatlar to'plamidan foydalanib, ikkinchi darajali chiziqning har qanday tenglamasi quyidagi shakllardan biriga qisqartiriladi:

(va musbat haqiqiy sonlar)

1) – ellipsning kanonik tenglamasi;

2) – giperbolaning kanonik tenglamasi;

3) – parabolaning kanonik tenglamasi;

4) – xayoliy ellips;

5) – kesishuvchi chiziqlar juftligi;

6) - juftlik xayoliy kesishuvchi chiziqlar (boshida bitta haqiqiy kesishish nuqtasi bilan);

7) – bir juft parallel chiziqlar;

8) - juftlik xayoliy parallel chiziqlar;

9) - bir-biriga mos keladigan juft chiziqlar.

Ba'zi o'quvchilarda ro'yxat to'liq emas degan taassurot paydo bo'lishi mumkin. Masalan, 7-bandda tenglama juftlikni belgilaydi bevosita, o'qiga parallel va savol tug'iladi: ordinata o'qiga parallel bo'lgan chiziqlarni aniqlaydigan tenglama qayerda? Javob: bu kanonik hisoblanmaydi. To'g'ri chiziqlar 90 gradusga aylantirilgan bir xil standart holatni ifodalaydi va tasnifdagi qo'shimcha yozuv ortiqcha, chunki u tubdan yangi narsa keltirmaydi.

Shunday qilib, to'qqiz va faqat to'qqiz bor har xil turlari 2-tartibdagi chiziqlar, lekin amalda ular ko'pincha topiladi ellips, giperbola va parabola.

Keling, avval ellipsni ko'rib chiqaylik. Odatdagidek, men mavjud bo'lgan fikrlarga e'tibor qarataman katta ahamiyatga ega Muammolarni hal qilish uchun va agar sizga formulalarni batafsil chiqarish, teoremalarni isbotlash kerak bo'lsa, masalan, Bazylev/Atanasyan yoki Aleksandrovning darsligiga murojaat qiling.

Ellips va uning kanonik tenglamasi

Imlo... iltimos, "ellipsni qanday qurish kerak", "ellips va oval o'rtasidagi farq" va "ellipsning ekssentrikligi" bilan qiziqqan ba'zi Yandex foydalanuvchilarining xatolarini takrorlamang.

Ellipsning kanonik tenglamasi , bu erda musbat haqiqiy sonlar va . Men ellipsning ta'rifini keyinroq shakllantiraman, ammo hozircha suhbat do'konidan tanaffus qilish va umumiy muammoni hal qilish vaqti keldi:

Ellipsni qanday qurish mumkin?

Ha, uni oling va shunchaki chizib oling. Vazifa tez-tez sodir bo'ladi va talabalarning katta qismi rasmni to'g'ri bajara olmaydi:

1-misol

Tenglama bilan berilgan ellipsni tuzing

Yechim: Birinchidan, tenglamani kanonik shaklga keltiramiz:

Nega olib keling? Kanonik tenglamaning afzalliklaridan biri shundaki, u bir zumda aniqlash imkonini beradi ellipsning uchlari nuqtalarda joylashgan. Bu nuqtalarning har birining koordinatalari tenglamani qanoatlantirishini tushunish oson.

Ushbu holatda :


Chiziq segmenti chaqirdi asosiy o'q ellips;
chiziq segmenti – kichik o'q;
raqam chaqirdi yarim asosiy shaft ellips;
raqam – kichik o'q.
bizning misolimizda: .

Muayyan ellips qanday ko'rinishini tezda tasavvur qilish uchun uning kanonik tenglamasining "a" va "be" qiymatlariga qarang.

Hammasi yaxshi, silliq va chiroyli, lekin bitta ogohlantirish bor: dastur yordamida chizilgan rasmni chizganman. Va siz har qanday dastur yordamida rasm chizishingiz mumkin. Biroq, qattiq haqiqatda stolda katakli qog'oz bor va sichqonlar bizning qo'limizda aylana bo'ylab raqsga tushishadi. Badiiy iste'dodli odamlar, albatta, bahslashishlari mumkin, lekin sizda ham sichqonlar bor (garchi kichikroq bo'lsa ham). Insoniyat chizg'ich, kompas, transportyor va boshqa oddiy chizmalarni ixtiro qilgani bejiz emas.

Shuning uchun biz faqat uchlarini bilgan holda ellipsni aniq chizishimiz dargumon. Agar ellips kichik bo'lsa, masalan, yarim o'qlar bilan yaxshi. Shu bilan bir qatorda, siz o'lchovni va shunga mos ravishda chizilgan o'lchamlarini kamaytirishingiz mumkin. Lekin ichida umumiy holat Qo'shimcha nuqtalarni topish juda ma'qul.

Ellipsni qurishda ikkita yondashuv mavjud - geometrik va algebraik. Men kompas va o'lchagich yordamida qurilishni yoqtirmayman, chunki algoritm eng qisqa emas va chizilgan sezilarli darajada chalkash. Qachon favqulodda, darslikka murojaat qiling, lekin aslida algebra vositalaridan foydalanish ancha oqilona. Loyihadagi ellips tenglamasidan biz tezda ifodalaymiz:

Keyin tenglama ikkita funktsiyaga bo'linadi:
– ellipsning yuqori yoyini aniqlaydi;
– ellipsning pastki yoyini belgilaydi.

Kanonik tenglama bilan aniqlangan ellips koordinata o'qlariga nisbatan, shuningdek, koordinataga nisbatan simmetrikdir. Va bu ajoyib - simmetriya deyarli har doim bepul narsalarning xabarchisi. Shubhasiz, 1-koordinatali chorak bilan shug'ullanish kifoya, shuning uchun biz funktsiyaga muhtojmiz . Bu abscissalar bilan qo'shimcha nuqtalarni topishni iltimos qiladi . Kalkulyatorda uchta SMS xabarni bosing:

Albatta, agar hisob-kitoblarda jiddiy xatolikka yo'l qo'yilgan bo'lsa, bu qurilish paytida darhol aniq bo'lishi ham yoqimli.

Chizmadagi nuqtalarni belgilang (qizil rang), nosimmetrik nuqtalar qolgan yoylarda (ko'k rang) va butun kompaniyani chiziq bilan ehtiyotkorlik bilan ulang:


Dastlabki eskizni juda nozik chizish yaxshidir va shundan keyingina qalam bilan bosim o'tkazing. Natijada juda yaxshi ellips bo'lishi kerak. Aytgancha, bu egri chiziq nima ekanligini bilmoqchimisiz?

Ellipsning ta'rifi. Ellips fokuslari va ellips ekssentrikligi

Ellips ovalning alohida holatidir. "Oval" so'zini filist ma'nosida tushunmaslik kerak ("bola oval chizdi" va hokazo). Bu batafsil formulaga ega bo'lgan matematik atama. Ushbu darsning maqsadi analitik geometriyaning standart kursida deyarli e'tiborga olinmaydigan ovallar va ularning har xil turlari nazariyasini ko'rib chiqish emas. Va hozirgi ehtiyojlarga ko'ra, biz darhol ellipsning qat'iy ta'rifiga o'tamiz:

Ellips tekislikning barcha nuqtalari to'plami bo'lib, ularning har biriga berilgan ikkita nuqtadan masofalar yig'indisi deyiladi. nayranglar ellips - doimiy miqdor, son uzunligiga teng bu ellipsning asosiy o'qi: .
Shu bilan birga, fokuslar orasidagi masofalar kichikroq berilgan qiymat: .

Endi hamma narsa aniqroq bo'ladi:

Tasavvur qiling ko'k nuqta ellips bo'ylab "sayohat qiladi". Shunday qilib, ellipsning qaysi nuqtasini olishimizdan qat'iy nazar, segmentlar uzunligi yig'indisi doimo bir xil bo'ladi:

Keling, bizning misolimizda yig'indining qiymati haqiqatan ham sakkizga teng ekanligiga ishonch hosil qilaylik. Ellipsning o'ng cho'qqisiga "um" nuqtasini aqliy ravishda qo'ying, keyin: , tekshirish kerak bo'lgan narsa.

Uni chizishning yana bir usuli ellipsning ta'rifiga asoslanadi. Oliy matematika, ba'zida kuchlanish va stressning sababi, shuning uchun yana bir tushirish seansini o'tkazish vaqti keldi. Iltimos, whatman qog'ozini yoki katta karton varaqni olib, stolga ikkita mix bilan mahkamlang. Bu hiylalar bo'ladi. Chiqib ketgan tirnoq boshlariga yashil ipni bog'lab, qalam bilan oxirigacha torting. Qalam chizig'i ellipsga tegishli bo'lgan ma'lum bir nuqtada tugaydi. Endi qalamni qog'oz varag'i bo'ylab harakatlantiring, yashil ipni mahkam torting. Boshlanish nuqtasiga qaytguningizcha jarayonni davom ettiring ... ajoyib ... chizmani shifokor va o'qituvchi tekshirishi mumkin =)

Ellips fokuslarini qanday topish mumkin?

Yuqoridagi misolda men "tayyor" markazlashtirilgan nuqtalarni tasvirladim va endi biz ularni geometriyaning chuqurligidan qanday chiqarishni o'rganamiz.

Agar ellips kanonik tenglama bilan berilgan bo'lsa, uning o'choqlari koordinatalariga ega , bu qayerda har bir fokusdan ellipsning simmetriya markazigacha bo'lgan masofa.

Hisob-kitoblar oddiydan ko'ra sodda:

! Fokuslarning o'ziga xos koordinatalarini "tse" ma'nosi bilan aniqlab bo'lmaydi! Takror aytamanki, bu Har bir fokusdan markazgacha DISTANCE(umumiy holatda aynan kelib chiqishida joylashgan bo'lishi shart emas).
Va shuning uchun fokuslar orasidagi masofani ham ellipsning kanonik holatiga bog'lab bo'lmaydi. Boshqacha qilib aytganda, ellips boshqa joyga ko'chirilishi mumkin va qiymat o'zgarishsiz qoladi, fokuslar esa tabiiy ravishda o'z koordinatalarini o'zgartiradi. Iltimos, o'ylab ko'ring bu daqiqa mavzuni keyingi o'rganish jarayonida.

Ellips ekssentrikligi va uning geometrik ma'nosi

Ellipsning eksantrikligi bu diapazonda qiymatlarni qabul qila oladigan nisbatdir.

Bizning holatda:

Keling, ellipsning shakli uning ekssentrikligiga qanday bog'liqligini bilib olaylik. Buning uchun chap va o'ng burchaklarni mahkamlang ko'rib chiqilayotgan ellipsning, ya'ni yarim katta o'qning qiymati doimiy bo'lib qoladi. Shunda ekssentriklik formulasi quyidagi shaklni oladi: .

Keling, ekssentriklik qiymatini birlikka yaqinlashtirishni boshlaylik. Bu faqat agar mumkin bo'lsa. Bu nima degani? ... nayranglarni eslang . Bu shuni anglatadiki, ellips o'choqlari abscissa o'qi bo'ylab yon cho'qqilarga "bir-biridan uzoqlashadi". Va "yashil segmentlar kauchuk emas" ekan, ellips muqarrar ravishda tekislasha boshlaydi va o'qga bog'langan ingichka va ingichka kolbasaga aylanadi.

Shunday qilib, ellipsning ekssentriklik qiymati birlikka qanchalik yaqin bo'lsa, ellips shunchalik cho'ziladi.

Endi qarama-qarshi jarayonni modellashtiramiz: ellipsning o'choqlari markazga yaqinlashib, bir-biriga qarab yurishdi. Bu shuni anglatadiki, "ce" qiymati kamroq va kamroq bo'ladi va shunga mos ravishda eksantriklik nolga intiladi: .
Bunday holda, "yashil segmentlar", aksincha, "olomonga aylanadi" va ular ellips chizig'ini yuqoriga va pastga "itarish" ni boshlaydilar.

Shunday qilib, Eksantriklik qiymati nolga qanchalik yaqin bo'lsa, ellips shunchalik o'xshash bo'ladi... o'choqlar kelib chiqishida muvaffaqiyatli birlashganda cheklovchi holatga qarang:

Doira ellipsning alohida holatidir

Darhaqiqat, yarim o'qlarning tengligi holatida ellipsning kanonik tenglamasi shaklni oladi, bu maktabdan yaxshi ma'lum bo'lgan "a" radiusining kelib chiqishida markazga ega bo'lgan aylana tenglamasiga refleksli aylanadi.

Amalda, "gapiruvchi" "er" harfi bilan belgi ko'proq qo'llaniladi: . Radius - bu segmentning uzunligi bo'lib, aylananing har bir nuqtasi markazdan radius masofasi bilan chiqariladi.

E'tibor bering, ellipsning ta'rifi to'liq to'g'ri bo'lib qoladi: fokuslar bir-biriga to'g'ri keladi va aylananing har bir nuqtasi uchun mos keladigan segmentlar uzunliklarining yig'indisi doimiydir. Fokuslar orasidagi masofa bo'lgani uchun, u holda har qanday doiraning ekssentrisiteti nolga teng.

Doira qurish oson va tez, shunchaki kompasdan foydalaning. Biroq, ba'zida uning ba'zi nuqtalarining koordinatalarini aniqlash kerak bo'ladi, bu holda biz tanish yo'ldan boramiz - biz tenglamani quvnoq Matanov shakliga keltiramiz:

– yuqori yarim doira funksiyasi;
- pastki yarim doira funktsiyasi.

Shundan so'ng biz topamiz kerakli qiymatlar, farqlash, integratsiyalash va boshqa yaxshi narsalarni qiling.

Maqola, albatta, faqat ma'lumot uchun, lekin sevgisiz dunyoda qanday yashash mumkin? Mustaqil hal qilish uchun ijodiy vazifa

2-misol

Ellipsning kanonik tenglamasini tuzing, agar uning fokuslari va yarim kichik o'qlaridan biri ma'lum bo'lsa (markazi boshlang'ichda). Chizmada cho'qqilarni, qo'shimcha nuqtalarni toping va chiziq chizing. Eksantriklikni hisoblang.

Dars oxiridagi yechim va chizma

Keling, amalni qo'shamiz:

Ellipsni aylantirish va parallel aylantirish

Keling, ellipsning kanonik tenglamasiga, aniqrog'i, bu egri chiziq haqida birinchi marta tilga olinganidan beri siri qiziquvchan ongni qiynab kelayotgan holatga qaytaylik. Shunday qilib, biz ellipsga qaradik , lekin amalda tenglamaga erishish mumkin emasmi? ? Axir, bu erda ham ellipsga o'xshaydi!

Bunday tenglama kamdan-kam uchraydi, lekin u uchraydi. Va u aslida ellipsni belgilaydi. Keling, sirni aniqlaymiz:

Qurilish natijasida bizning mahalliy ellipsimiz 90 gradusga aylantirildi. Ya'ni, - Bu kanonik bo'lmagan kirish ellips . Yozib oling!- tenglama boshqa ellipsni belgilamaydi, chunki o'qda ellipsning ta'rifini qondiradigan nuqtalar (fokuslar) yo'q.

Ellipsning kanonik tenglamasi shaklga ega

bu erda a - yarim katta o'q; b - yarim kichik o'q. F1(c,0) va F2(-c,0) − c nuqtalari deyiladi

a, b - ellipsning yarim o'qlari.

Agar kanonik tenglamasi ma'lum bo'lsa, ellipsning fokuslarini, ekssentrikliklarini, direktrisalarini topish.

Giperbolaning ta'rifi. Giperbola fokuslari.

Ta'rif. Giperbola - bu tekislikdagi nuqtalar to'plami bo'lib, ular uchun fokuslar deb ataladigan ikkita berilgan nuqtadan masofalar farqining moduli fokuslar orasidagi masofadan kichik bo'lgan doimiy qiymatdir.

Ta'rifi bo'yicha |r1 – r2|= 2a. F1, F2 - giperbolaning fokuslari. F1F2 = 2c.

Giperbolaning kanonik tenglamasi. Giperbolaning yarim o'qlari. Agar uning kanonik tenglamasi ma'lum bo'lsa, giperbola qurish.

Kanonik tenglama:

Giperbolaning yarim katta o'qi giperbolaning musbat va ikkita shoxlari orasidagi minimal masofaning yarmiga teng. salbiy tomonlari eksa (kelib chiqishiga nisbatan chap va o'ng). Ijobiy tomonda joylashgan filial uchun yarim o'q quyidagilarga teng bo'ladi:

Agar uni konus kesimi va ekssentrisitet orqali ifodalasak, ifoda quyidagi shaklni oladi:

Agar giperbolaning kanonik tenglamasi ma'lum bo'lsa, uning fokuslarini, ekssentrisitetini, direktrisalarini topish.

Giperbolaning ekssentrikligi

Ta'rif. Bu nisbat giperbolaning ekssentrikligi deyiladi, bu erda c -

fokuslar orasidagi masofaning yarmi va haqiqiy yarim o'qdir.

c2 – a2 = b2 ekanligini hisobga olib:

Agar a = b, e = bo'lsa, giperbola teng tomonli (teng tomonli) deyiladi.

Giperbolaning direktrisalari

Ta'rif. Giperbolaning haqiqiy o'qiga perpendikulyar bo'lgan va markazga nisbatan simmetrik ravishda undan a/e masofada joylashgan ikkita to'g'ri chiziq giperbolaning direktrikslari deyiladi. Ularning tenglamalari: .

Teorema. Agar r giperbolaning ixtiyoriy M nuqtasidan istalgan fokusgacha bo'lgan masofa bo'lsa, d - bir xil nuqtadan ushbu fokusga mos keladigan direktrisagacha bo'lgan masofa, u holda r/d nisbati ekssentrisitetga teng doimiy qiymatdir.

Parabolaning ta'rifi. Parabolaning fokussi va direktrisasi.

Parabola. Parabola - bu nuqtalarning joylashuvi, ularning har biri ma'lum bir qo'zg'almas nuqtadan va ma'lum bir qo'zg'almas chiziqdan bir xil masofada joylashgan. Ta'rifda ko'rsatilgan nuqta parabolaning fokusi, to'g'ri chiziq esa uning to'g'ridan-to'g'ri yo'nalishi deb ataladi.

Parabolaning kanonik tenglamasi. Parabola parametri. Parabolaning qurilishi.

To'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi parabolaning kanonik tenglamasi: (yoki, agar o'qlar almashtirilsa).

p parametrining berilgan qiymati uchun parabola qurish quyidagi ketma-ketlikda amalga oshiriladi:

Parabolaning simmetriya o‘qini chizib, uning ustiga KF=p segmentini chizamiz;

Directrix DD1 simmetriya o'qiga perpendikulyar K nuqta orqali o'tkaziladi;

Parabolaning 0 cho'qqisini olish uchun KF segmenti yarmiga bo'linadi;

1, 2, 3, 5, 6 ixtiyoriy nuqtalar seriyasi yuqoridan ular orasidagi asta-sekin ortib borayotgan masofa bilan o'lchanadi;

Bu nuqtalar orqali parabola o'qiga perpendikulyar yordamchi to'g'ri chiziqlar o'tkazing;

Yordamchi chiziqlarda seriflar to'g'ri chiziqdan direktrisagacha bo'lgan masofaga teng radius bilan amalga oshiriladi;

Olingan nuqtalar silliq egri chiziq bilan bog'langan.

Ta'rif 7.1. F 1 va F 2 sobit ikkita nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisi berilgan doimiy qiymat bo'lgan tekislikdagi barcha nuqtalar to'plami deyiladi. ellips.

Ellipsning ta'rifi uning geometrik qurilishining quyidagi usulini beradi. Biz tekislikda ikkita F 1 va F 2 nuqtalarni o'rnatamiz va manfiy bo'lmagan doimiy qiymatni 2a bilan belgilaymiz. F 1 va F 2 nuqtalari orasidagi masofa 2c bo'lsin. Tasavvur qilaylik, uzunligi 2a bo'lgan cho'zilmaydigan ip F 1 va F 2 nuqtalarida, masalan, ikkita igna yordamida o'rnatiladi. Bu faqat ≥ c uchun mumkinligi aniq. Ipni qalam bilan tortib, ellips bo'ladigan chiziq torting (7.1-rasm).

Shunday qilib, tasvirlangan to'plam bo'sh emas, agar a ≥ c bo'lsa. a = c bo'lsa, ellips F 1 va F 2 uchlari bo'lgan segmentdir va c = 0 bo'lganda, ya'ni. Agar ellips ta'rifida ko'rsatilgan qo'zg'almas nuqtalar bir-biriga to'g'ri kelsa, u a radiusli doiradir. Ushbu buzuq holatlardan voz kechsak, biz, qoida tariqasida, a > c > 0 deb taxmin qilamiz.

Ellipsning 7.1 ta'rifidagi F 1 va F 2 sobit nuqtalari (7.1-rasmga qarang) deyiladi. ellips o'choqlari, ular orasidagi masofa, 2c bilan ko'rsatilgan, - fokus uzunligi, va ellipsdagi ixtiyoriy M nuqtani uning fokuslari bilan tutashtiruvchi F 1 M va F 2 M segmentlari fokus radiuslari.

Ellipsning shakli fokus masofasi bilan to'liq aniqlanadi |F 1 F 2 | = 2c va parametr a, va uning tekislikdagi holati - F 1 va F 2 nuqtalari juftligi.

Ellipsning ta'rifidan kelib chiqadiki, u F 1 va F 2 fokuslaridan o'tuvchi chiziqqa nisbatan, shuningdek F 1 F 2 segmentini yarmiga bo'luvchi va unga perpendikulyar bo'lgan chiziqqa nisbatan simmetrikdir. (7.2-rasm, a). Bu qatorlar deyiladi ellips o'qlari. Ularning kesishish nuqtasi O ellipsning simmetriya markazi bo'lib, u deyiladi ellipsning markazi, va ellipsning simmetriya o'qlari bilan kesishish nuqtalari (7.2, a-rasmdagi A, B, C va D nuqtalari) - ellipsning uchlari.

a raqami deyiladi ellipsning yarim katta o'qi, va b = √(a 2 - c 2) - uning kichik o'q. Ko'rinib turibdiki, c > 0 uchun yarim katta o'q a ellips markazidan ellips fokuslari bilan bir xil o'qda joylashgan cho'qqilarigacha bo'lgan masofaga teng (A va B cho'qqilari). 7.2-rasm, a) va yarim kichik o'q b markaz ellipsdan uning boshqa ikkita cho'qqigacha bo'lgan masofaga teng (7.2, a-rasmda C va D cho'qqilari).

Ellips tenglamasi. Fokuslar F 1 va F 2 nuqtalarda, katta o‘q 2a bo‘lgan tekislikdagi bir necha ellipsni ko‘rib chiqamiz. 2c fokus uzunligi bo'lsin, 2c = |F 1 F 2 |

Tekislikda Oksi to'rtburchak koordinatalar tizimini tanlaylik, shunda uning kelib chiqishi ellips markaziga to'g'ri keladi va fokuslari yon tomonda bo'ladi. x o'qi(7.2-rasm, b). Bunday koordinatalar tizimi deyiladi kanonik ko'rib chiqilayotgan ellips uchun va mos keladigan o'zgaruvchilar kanonik.

Tanlangan koordinatalar tizimida fokuslar F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) koordinatalariga ega. Nuqtalar orasidagi masofa formulasidan foydalanib |F 1 M| shartini yozamiz + |F 2 M| = 2a koordinatalarda:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Bu tenglama noqulay, chunki u ikkita kvadrat radikalni o'z ichiga oladi. Shunday qilib, keling, uni o'zgartiraylik. (7.2) tenglamadagi ikkinchi radikalni ga o'tkazamiz o'ng tomon va uning kvadrati:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.

Qavslarni ochib, shunga o'xshash atamalarni keltirgandan so'ng, biz olamiz

√((x + c) 2 + y 2) = a + ex

bu erda e = c/a. Ikkinchi radikalni olib tashlash uchun kvadratlashtirish operatsiyasini takrorlaymiz: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2eax + e 2 x 2 yoki kiritilgan e parametrining qiymatini hisobga olgan holda, (a 2 - c 2) ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. a 2 - c 2 = b 2 > 0 bo'lgani uchun

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

(7.4) tenglama ellipsda yotgan barcha nuqtalarning koordinatalari bilan qanoatlantiriladi. Ammo bu tenglamani chiqarishda asl tenglamaning (7.2) ekvivalent bo'lmagan o'zgarishlari ishlatilgan - kvadrat radikallarni olib tashlaydigan ikkita kvadrat. Agar ikkala tomonda ham bir xil belgiga ega bo'lgan miqdorlar bo'lsa, tenglamani kvadratga aylantirish ekvivalent transformatsiya hisoblanadi, lekin biz buni o'zgartirishlarimizda tekshirmadik.

Quyidagilarni hisobga olsak, transformatsiyalarning ekvivalentligini tekshirishdan qochishimiz mumkin. F 1 va F 2 nuqtalari juftligi, |F 1 F 2 | = 2c, tekislikda bu nuqtalarda o'choqlari bo'lgan ellipslar oilasini belgilaydi. F 1 F 2 segmentining nuqtalaridan tashqari tekislikning har bir nuqtasi ko'rsatilgan oilaning ellipslariga tegishli. Bunday holda, ikkita ellips kesishmaydi, chunki fokus radiuslarining yig'indisi o'ziga xos ellipsni aniqlaydi. Shunday qilib, tasvirlangan kesishmalarsiz ellipslar oilasi F 1 F 2 segmentining nuqtalaridan tashqari butun tekislikni qamrab oladi. a parametrining berilgan qiymati bilan koordinatalari (7.4) tenglamani qanoatlantiradigan nuqtalar to'plamini ko'rib chiqamiz. Ushbu to'plamni bir nechta ellipslar orasida taqsimlash mumkinmi? To'plamning ba'zi nuqtalari yarim katta o'qi a bo'lgan ellipsga tegishli. Bu to'plamda yarim katta o'qi a bo'lgan ellipsda yotgan nuqta bo'lsin. Keyin bu nuqtaning koordinatalari tenglamaga bo'ysunadi

bular. (7.4) va (7.5) tenglamalar mavjud umumiy yechimlar. Biroq, tizim mavjudligini tekshirish oson

ã ≠ a uchun yechimlari yo‘q. Buning uchun, masalan, x ni birinchi tenglamadan chiqarib tashlash kifoya:

bu transformatsiyalardan keyin tenglamaga olib keladi

ã ≠ a uchun yechimlari yo'q, chunki . Demak, (7.4) yarim katta o'qi a > 0 va yarim kichik o'qi b =√(a 2 - c 2) > 0 bo'lgan ellips tenglamasi deyiladi. kanonik ellips tenglamasi.

Ellips ko'rinishi. Yuqorida muhokama qilingan ellipsni qurishning geometrik usuli bu haqda etarli tasavvur beradi ko'rinish ellips. Lekin ellips shaklini uning kanonik tenglamasi (7.4) yordamida ham o‘rganish mumkin. Masalan, y ≥ 0 deb faraz qilib, y ni x orqali ifodalash mumkin: y = b√(1 - x 2 /a 2) va bu funktsiyani o'rganib chiqib, uning grafigini qurishingiz mumkin. Ellipsni qurishning yana bir usuli bor. Ellipsning (7.4) kanonik koordinata sistemasining boshida markazi bo‘lgan a radiusli aylana x 2 + y 2 = a 2 tenglama bilan tasvirlangan. Agar u bo'ylab a/b > 1 koeffitsienti bilan siqilgan bo'lsa y o'qi, keyin siz x 2 + (ya/b) 2 = a 2 tenglamasi bilan tavsiflangan egri chiziqni olasiz, ya'ni ellips.

Izoh 7.1. Agar bir xil doira a/b omil bilan siqilsa

Ellips ekssentrikligi. Ellipsning fokus uzunligining uning katta o'qiga nisbati deyiladi ellipsning ekssentrikligi va e bilan belgilanadi. Berilgan ellips uchun

kanonik tenglama (7.4), e = 2c/2a = c/a. Agar (7.4) da a va b parametrlar a tengsizlik bilan bog'langan bo'lsa

c = 0 bo'lganda, ellips aylanaga aylanganda va e = 0. Boshqa hollarda, 0.

(7.3) tenglama (7.4) tenglamaga ekvivalent, chunki (7.4) va (7.2) tenglamalar ekvivalentdir. Demak, ellips tenglamasi ham (7.3) ga teng. Bundan tashqari, (7.3) munosabat qiziqarli, chunki u |F 2 M| uzunligi uchun oddiy, radikalsiz formulani beradi. ellipsning M(x; y) nuqtasining fokus radiuslaridan biri: |F 2 M| = a + ex.

Ikkinchi fokus radiusi uchun shunga o'xshash formulani simmetriya mulohazalari yoki takroriy hisoblar orqali olish mumkin, bunda (7.2) kvadrat tenglamadan oldin birinchi radikal ikkinchisiga emas, balki o'ng tomonga o'tkaziladi. Demak, ellipsning istalgan M(x; y) nuqtasi uchun (7.2-rasmga qarang).

|F 1 M | = a - ex, |F 2 M| = a + ex, (7.6)

va bu tenglamalarning har biri ellips tenglamasidir.

7.1-misol. Yarim katta o'qi 5 va ekssentrisiteti 0,8 bo'lgan ellipsning kanonik tenglamasini topamiz va uni tuzamiz.

Ellipsning yarim katta o'qini a = 5 va ekssentrikligi e = 0,8 ni bilib, biz uning yarim kichik o'qini topamiz. b = √(a 2 - c 2) va c = ea = 4 bo'lgani uchun b = √(5 2 - 4 2) = 3. Demak, kanonik tenglama x 2 /5 2 + y 2 /3 ko'rinishga ega. 2 = 1. Ellipsni qurish uchun tomonlari ellipsning simmetriya o'qlariga parallel va mos keladigan o'qlariga teng bo'lgan kanonik koordinatalar tizimining boshida joylashgan to'rtburchaklar chizish qulaydir (1-rasm). 7.4). Bu to'rtburchak bilan kesishadi

ellipsning A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3) cho’qqilaridagi o’qlari va ellipsning o’zi unga chizilgan. Shaklda. 7.4, shuningdek, ellipsning F 1,2 (±4; 0) fokuslarini ko'rsatadi.

Ellipsning geometrik xossalari.(7.6) dagi birinchi tenglamani |F 1 M| shaklida qayta yozamiz = (a/e - x)e. E'tibor bering, a > c uchun a/e - x qiymati musbat, chunki F 1 fokusi ellipsga tegishli emas. Bu qiymat d vertikal chiziqqa bo'lgan masofani ifodalaydi: bu chiziqning chap tomonida yotgan M(x; y) nuqtadan x = a/e. Ellips tenglamasini quyidagicha yozish mumkin

|F 1 M|/(a/e - x) = e

Bu shuni anglatadiki, bu ellips tekislikning M(x; y) nuqtalaridan iborat bo'lib, ular uchun fokus radiusi F 1 M uzunligining d to'g'ri chiziqqa bo'lgan masofaga nisbati e ga teng doimiy qiymat bo'ladi (1-rasm). 7.5).

d to'g'ri chiziq "juft"ga ega - ellips markaziga nisbatan d ga simmetrik bo'lgan vertikal to'g'ri chiziq d x = -a/e tenglama bilan berilgan d ga nisbatan ellips quyidagicha tasvirlangan. d ga nisbatan xuddi shunday. Ikkala qator d va d" deyiladi ellipsning direktrisalari. Ellipsning direktrisalari uning o'choqlari joylashgan ellipsning simmetriya o'qiga perpendikulyar bo'lib, ellips markazidan a/e = a 2 /c masofada joylashgan (7.5-rasmga qarang).

Direktrisadan unga eng yaqin fokusgacha bo'lgan masofa p deyiladi ellipsning fokus parametri. Ushbu parametr tengdir

p = a/e - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c

Ellipsning yana bir muhim geometrik xossasi bor: fokus radiuslari F 1 M va F 2 M M nuqtadagi ellipsga teginish bilan teng burchaklar hosil qiladi (7.6-rasm).

Bu xususiyat aniq jismoniy ma'noga ega. Agar yorug'lik manbai F 1 fokusiga joylashtirilsa, u holda bu fokusdan chiqadigan nur ellipsdan aks etgandan so'ng, ikkinchi fokus radiusi bo'ylab ketadi, chunki aks etgandan keyin u ko'zgudan oldingi kabi egri burchak ostida bo'ladi. Shunday qilib, F 1 fokusidan chiqadigan barcha nurlar ikkinchi fokus F 2da to'planadi va aksincha. Ushbu talqinga asoslanib, bu xususiyat deyiladi ellipsning optik xususiyati.

Algebra va geometriya bo'yicha ma'ruzalar. Semestr 1.

Ma’ruza 15. Ellips.

15-bob. Ellips.

1-band. Asosiy ta'riflar.

Ta'rif. Ellips - bu samolyotning GMT, fokuslar deb ataladigan tekislikning ikkita sobit nuqtasigacha bo'lgan masofalar yig'indisi doimiy qiymatdir.

Ta'rif. Tekislikning ixtiyoriy M nuqtasidan ellips fokusigacha bo'lgan masofa M nuqtaning fokus radiusi deyiladi.

Belgilar:
- ellips o'choqlari;
- M nuqtaning fokus radiuslari.

Ellipsning ta'rifiga ko'ra, M nuqta ellips nuqtasidir, agar va faqat bo'lsa
- doimiy qiymat. Bu doimiy odatda 2a bilan belgilanadi:

. (1)

e'tibor bering, bu
.

Ellipsning ta'rifiga ko'ra, uning o'choqlari sobit nuqtalardir, shuning uchun ular orasidagi masofa ham berilgan ellips uchun doimiy qiymatdir.

Ta'rif. Ellips fokuslari orasidagi masofa fokus uzunligi deyiladi.

Belgilash:
.

Uchburchakdan
shunga amal qiladi
, ya'ni.

.

ga teng sonni b bilan belgilaymiz
, ya'ni.

. (2)

Ta'rif. Munosabat

(3)

ellipsning ekssentrikligi deyiladi.

Keling, ellips uchun kanonik deb ataydigan koordinatalar tizimini ushbu tekislikka kiritaylik.

Ta'rif. Ellipsning o'choqlari joylashgan o'qga fokus o'qi deyiladi.

Ellips uchun kanonik PDSC quramiz, 2-rasmga qarang.

Biz fokus o'qini abscissa o'qi sifatida tanlaymiz va ordinat o'qini segmentning o'rtasidan o'tkazamiz.
fokus o'qiga perpendikulyar.

Keyin fokuslar koordinatalariga ega bo'ladi
,
.

2-band. Ellipsning kanonik tenglamasi.

Teorema. Ellips uchun kanonik koordinatalar tizimida ellips tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

. (4)

Isbot. Biz isbotlashni ikki bosqichda bajaramiz. Birinchi bosqichda ellipsda yotgan har qanday nuqtaning koordinatalari (4) tenglamani qanoatlantirishini isbotlaymiz. Ikkinchi bosqichda (4) tenglamaning har qanday yechimi ellipsda yotgan nuqtaning koordinatalarini berishini isbotlaymiz. Bu erdan (4) tenglama koordinata tekisligining ellipsda yotgan nuqtalari bilan qanoatlantirilishi kelib chiqadi. Bundan va egri chiziq tenglamasini aniqlashdan (4) tenglama ellips tenglamasi ekanligi kelib chiqadi.

1) M(x, y) nuqta ellipsning nuqtasi bo'lsin, ya'ni. uning fokus radiuslarining yig'indisi 2a ga teng:

.

Ikki nuqta orasidagi masofa formulasidan foydalanamiz koordinata tekisligi va berilgan M nuqtaning fokus radiuslarini topish uchun ushbu formuladan foydalaning:

,
, biz qaerdan olamiz:

Keling, bitta ildizni tenglikning o'ng tomoniga o'tkazamiz va uni kvadratga aylantiramiz:

Qisqartirib, biz quyidagilarni olamiz:

Biz shunga o'xshashlarni taqdim etamiz, 4 ga kamaytiramiz va radikalni olib tashlaymiz:

.

Kvadratlashtirish

Qavslarni oching va qisqartiring
:

qayerdan olamiz:

Tenglikdan (2) foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

.

Oxirgi tenglikni bo'lish
, biz tenglikni olamiz (4) va hokazo.

2) Endi juft sonlar (x, y) (4) tenglamani qanoatlantirsin va M(x, y) Oxy koordinata tekisligidagi mos nuqta bo‘lsin.

Keyin (4) dan quyidagicha:

.

Ushbu tenglikni M nuqtaning fokus radiuslari ifodasiga almashtiramiz:

.

Bu erda biz (2) va (3) tenglikdan foydalandik.

Shunday qilib,
. Xuddi shunday,
.

Endi e'tibor bering, (4) tenglikdan kelib chiqadi

yoki
va boshqalar.
, keyin tengsizlik quyidagicha bo'ladi:

.

Bu erdan, o'z navbatida, shunday bo'ladi

yoki
Va

,
. (5)

Tengliklardan (5) shunday kelib chiqadi
, ya'ni. M(x, y) nuqta ellips nuqtasi va hokazo.

Teorema isbotlangan.

Ta'rif. (4) tenglama ellipsning kanonik tenglamasi deyiladi.

Ta'rif. Ellips uchun kanonik koordinata o'qlari ellipsning bosh o'qlari deb ataladi.

Ta'rif. Ellips uchun kanonik koordinatalar tizimining kelib chiqishi ellips markazi deb ataladi.

3-band. Ellipsning xossalari.

Teorema. (Elipsning xususiyatlari.)

1. Ellips uchun kanonik koordinatalar tizimida hamma narsa

ellipsning nuqtalari to'rtburchakda joylashgan

,
.

2. Nuqtalar yotadi

3. Ellips - ga nisbatan simmetrik bo'lgan egri chiziq

ularning asosiy o'qlari.

4. Ellipsning markazi uning simmetriya markazidir.

Isbot. 1, 2) Ellipsning kanonik tenglamasidan darhol kelib chiqadi.

3, 4) M(x, y) ellipsning ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsin. U holda uning koordinatalari (4) tenglamani qanoatlantiradi. Lekin u holda nuqtalarning koordinatalari ham (4) tenglamani qanoatlantiradi va demak, teorema bayonotlari kelib chiqadigan ellips nuqtalaridir.

Teorema isbotlangan.

Ta'rif. 2a kattalik ellipsning katta o'qi, a kattaligi ellipsning yarim katta o'qi deyiladi.

Ta'rif. 2b kattalik ellipsning kichik o'qi, b miqdori ellipsning yarim kichik o'qi deyiladi.

Ta'rif. Ellipsning asosiy o'qlari bilan kesishgan nuqtalari ellipsning cho'qqilari deyiladi.

Izoh. Ellipsni quyidagicha qurish mumkin. Samolyotda biz "fokus nuqtalariga mixni bolg'acha uramiz" va ularga ip uzunligini mahkamlaymiz
. Keyin qalam olib, ipni cho'zish uchun ishlatamiz. Keyin qalam chizig'ini tekislik bo'ylab harakatlantiramiz, ipning tarangligiga ishonch hosil qilamiz.

Eksantriklik ta'rifidan kelib chiqadiki

Keling, a raqamini tuzatamiz va c raqamini nolga yo'naltiramiz. Keyin soat
,
Va
. Biz chegarada olamiz

yoki
- aylana tenglamasi.

Keling, endi to'g'ridan-to'g'ri
. Keyin
,
va biz chegarada ellipsning to'g'ri chiziq segmentiga aylanishini ko'ramiz
3-rasmdagi yozuvda.

4-band. Ellipsning parametrik tenglamalari.

Teorema. Mayli
- ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Keyin tenglamalar tizimi

,
(6)

ellips uchun kanonik koordinatalar tizimidagi ellipsning parametrik tenglamalari.

Isbot. (6) tenglamalar sistemasi (4) tenglamaga ekvivalent ekanligini isbotlash kifoya, ya'ni. ular bir xil echimlarga ega.

1) (x, y) (6) sistemaning ixtiyoriy yechimi bo'lsin. Birinchi tenglamani a ga, ikkinchisini b ga bo'ling, ikkala tenglamaning kvadratiga qo'shing va qo'shing:

.

Bular. (6) sistemaning har qanday yechimi (x, y) (4) tenglikni qanoatlantiradi.

2) Aksincha, (x, y) juftligi (4) tenglamaning yechimi bo'lsin, ya'ni.

.

Bu tenglikdan koordinatali nuqta kelib chiqadi
markazi koordinatali birlik radiusi boʻlgan doira ustida yotadi, yaʼni. trigonometrik doiradagi ma'lum burchak mos keladigan nuqta
:

Sinus va kosinusning ta'rifidan darhol shundan kelib chiqadi

,
, Qayerda
, shundan kelib chiqadiki, juftlik (x, y) (6) sistemaning yechimi va hokazo.

Teorema isbotlangan.

Izoh. Ellipsni a radiusli aylananing abscissa o'qiga qarab bir xil "siqilishi" natijasida olish mumkin.

Mayli
– markazi koordinatali aylana tenglamasi. Doiraning abscissa o'qiga "siqilishi" quyidagi qoida bo'yicha amalga oshiriladigan koordinata tekisligini o'zgartirishdan boshqa narsa emas. Har bir M(x, y) nuqta uchun bir xil tekislikdagi nuqtani bog'laymiz
, Qayerda
,
- siqish nisbati.

Ushbu transformatsiya bilan aylananing har bir nuqtasi bir xil abscissaga ega, ammo kichikroq ordinataga ega bo'lgan tekislikning boshqa nuqtasiga "o'tadi". Yangi nuqta orqali nuqtaning eski ordinatasini ifodalaymiz:

va aylanalarni tenglamaga almashtiring:

.

Bu erdan biz olamiz:

. (7)

Bundan kelib chiqadiki, agar «siqilish» transformatsiyasidan oldin M(x, y) nuqta aylana ustida yotsa, ya'ni. uning koordinatalari aylananing tenglamasini qanoatlantirdi, so'ngra "siqilish" transformatsiyasidan keyin bu nuqta nuqtaga "aylandi"
, uning koordinatalari ellips tenglamasini (7) qanoatlantiradi. Agar biz yarim o'qli ellips tenglamasini olishni istasak, u holda biz siqish koeffitsientini olishimiz kerak.

.

5-band. Ellipsga teginish.

Teorema. Mayli
– ellipsning ixtiyoriy nuqtasi

.

Keyin nuqtadagi bu ellipsga teginish tenglamasi
shaklga ega:

. (8)

Isbot. Tegish nuqtasi koordinata tekisligining birinchi yoki ikkinchi choragida joylashgan vaziyatni ko'rib chiqish kifoya:
. Yuqori yarim tekislikdagi ellips tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

. (9)

Funksiya grafigining tangens tenglamasidan foydalanamiz
nuqtada
:

Qayerda
– berilgan funksiyaning nuqtadagi hosilasining qiymati
. Birinchi chorakdagi ellipsni (8) funktsiya grafigi sifatida ko'rish mumkin. Keling, uning hosilasi va teginish nuqtasidagi qiymatini topamiz:

,

. Bu erda biz tangens nuqtasi ekanligidan foydalandik
ellipsning nuqtasidir va shuning uchun uning koordinatalari (9) ellips tenglamasini qanoatlantiradi, ya'ni.

.

Biz hosilaning topilgan qiymatini tangens tenglamaga (10) almashtiramiz:

,

qayerdan olamiz:

Bu quyidagilarni nazarda tutadi:

Keling, bu tenglikni ga ajratamiz
:

.

Shuni ta'kidlash kerak
, chunki nuqta
ellipsga tegishli va uning koordinatalari uning tenglamasini qanoatlantiradi.

Tangens tenglama (8) koordinata tekisligining uchinchi yoki to'rtinchi choragida yotgan teginish nuqtasida ham xuddi shunday tarzda isbotlangan.

Va nihoyat, biz (8) tenglama nuqtalarda tangens tenglamani berishini osongina tekshirishimiz mumkin
,
:

yoki
, Va
yoki
.

Teorema isbotlangan.

6-band. Ellipsning ko'zgu xususiyati.

Teorema. Ellipsning tangensi teginish nuqtasining fokus radiuslari bilan teng burchaklarga ega.

Mayli
- aloqa nuqtasi,
,
– tangens nuqtasining fokus radiuslari, P va Q – nuqtadagi ellipsga chizilgan tangensdagi fokuslarning proyeksiyalari.
.

Teorema shuni bildiradi

. (11)

Bu tenglikni fokusdan chiqarilgan ellipsdagi yorug'lik nurining tushish va aks etish burchaklarining tengligi sifatida talqin qilish mumkin. Bu xususiyat ellipsning oyna xossasi deyiladi:

Ellipsning ko'zgusidan aks etgandan so'ng, ellipsning fokusidan chiqarilgan yorug'lik nuri ellipsning boshqa fokusidan o'tadi.

Teoremaning isboti. Burchaklar tengligini (11) isbotlash uchun uchburchaklarning o'xshashligini isbotlaymiz
Va
, unda tomonlar
Va
o'xshash bo'ladi. Uchburchaklar to'g'ri burchakli bo'lgani uchun, tenglikni isbotlash kifoya

Ellips - bu tekislikdagi nuqtalarning geometrik joylashuvi, ularning har biridan berilgan ikkita F_1 nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisi va F_2 - bu berilgan nuqtalar orasidagi masofadan (2c) kattaroq (2a) doimiy qiymat (2-rasm). 3.36, a). Bu geometrik ta'rifni ifodalaydi ellipsning fokus xususiyati.

Ellipsning fokus xususiyati

F_1 va F_2 nuqtalar ellips fokuslari deyiladi, ular orasidagi masofa 2c=F_1F_2 fokus masofasi, F_1F_2 segmentining o'rta O - ellips markazi, 2a soni - ellipsning asosiy o'qi uzunligi. ellips (mos ravishda, a soni ellipsning yarim katta o'qidir). Ellipsning ixtiyoriy M nuqtasini uning fokuslari bilan tutashtiruvchi F_1M va F_2M segmentlari M nuqtaning fokal radiuslari deyiladi. Ellipsning ikkita nuqtasini tutashtiruvchi segmentga ellips akkordi deyiladi.

e=\frac(c)(a) nisbat ellipsning ekssentrisiteti deyiladi. Ta'rifdan (2a>2c) 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Ellipsning geometrik ta'rifi, uning fokus xususiyatini ifodalash, uning analitik ta'rifiga - ellipsning kanonik tenglamasi bilan berilgan chiziqqa tengdir:

Haqiqatan ham, to'rtburchaklar koordinatalar tizimini joriy qilaylik (3.36c-rasm). Koordinatalar sistemasining boshi sifatida ellipsning O markazini olamiz; fokuslardan (fokus o'qi yoki ellipsning birinchi o'qi) o'tadigan to'g'ri chiziqni abtsissa o'qi sifatida olamiz (undagi musbat yo'nalish F_1 nuqtadan F_2 nuqtaga); fokus o'qiga perpendikulyar bo'lgan va ellipsning markazidan (ellipsning ikkinchi o'qi) ordinata o'qi sifatida o'tadigan to'g'ri chiziqni olamiz (ordinata o'qi bo'yicha yo'nalish, to'g'ri to'rtburchaklar koordinata tizimi Oxy to'g'ri bo'lishi uchun tanlangan) .

Ellipsning fokus xususiyatini ifodalovchi geometrik ta’rifidan foydalanib tenglama tuzamiz. Tanlangan koordinatalar tizimida biz fokuslarning koordinatalarini aniqlaymiz F_1(-c,0),~F_2(c,0). Ellipsga tegishli ixtiyoriy M(x,y) nuqta uchun bizda:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Ushbu tenglikni koordinata shaklida yozsak, biz quyidagilarni olamiz:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Biz ikkinchi radikalni o'ng tomonga siljitamiz, tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz va shunga o'xshash shartlarni keltiramiz:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Chapga o'q ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

4 ga bo'linib, biz tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz:

a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Chap oʻq~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Belgilangan holda b=\sqrt(a^2-c^2)>0, olamiz b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Ikkala tomonni a^2b^2\ne0 ga bo'lib, ellipsning kanonik tenglamasiga erishamiz:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Shuning uchun tanlangan koordinatalar tizimi kanonikdir.

Agar ellips fokuslari bir-biriga to'g'ri kelsa, u holda ellips aylana bo'ladi (3.36,6-rasm), chunki a=b. Bunday holda, nuqtada kelib chiqishi bo'lgan har qanday to'rtburchaklar koordinatalar tizimi kanonik bo'ladi O\ekviv F_1\ekviv F_2, va x^2+y^2=a^2 tenglama markazi O nuqtada va radiusi a ga teng bo'lgan aylana tenglamasidir.

Mulohazalarni teskari tartibda amalga oshirsak, koordinatalari (3.49) tenglamani qanoatlantiradigan barcha nuqtalar va faqat ular ellips deb ataladigan nuqtalar joylashuviga tegishli ekanligini ko'rsatish mumkin. Boshqacha qilib aytganda, ellipsning analitik ta'rifi uning geometrik ta'rifiga ekvivalent bo'lib, ellipsning fokus xususiyatini ifodalaydi.

Ellipsning rejissyorlik xususiyati

Ellipsning direktrisalari kanonik koordinatalar sistemasidan bir xil \frac(a^2)(c) masofada joylashgan ordinata o‘qiga parallel bo‘lgan ikkita to‘g‘ri chiziqdir. c=0 da, ellips aylana bo‘lganda, direktrikslar bo‘lmaydi (direktrisalar cheksizlikda deb taxmin qilishimiz mumkin).

Eksentrikligi 0 bo'lgan ellips tekislikdagi nuqtalar joylashuvi, ularning har biri uchun masofaning ma'lum F nuqtaga (fokus) ma'lum nuqtadan o'tmaydigan ma'lum to'g'ri chiziqqa (to'g'ri chiziq) masofaga nisbati doimiy va ekssentrisitetga teng. e ( ellipsning rejissyorlik xususiyati). Bu erda F va d ellips fokuslaridan biri va uning direktrisalaridan biri bo'lib, kanonik koordinatalar tizimining ordinat o'qining bir tomonida joylashgan, ya'ni. F_1,d_1 yoki F_2,d_2 .

Aslida, masalan, fokus F_2 va d_2 directrix (3.37,6-rasm) uchun shart \frac(r_2)(\rho_2)=e koordinata shaklida yozilishi mumkin:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\o'ng)

Mantiqsizlikdan qutulish va almashtirish e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, kanonik ellips tenglamasiga kelamiz (3.49). Shunga o'xshash mulohazalarni F_1 va direktor uchun ham amalga oshirish mumkin d_1\kolon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Ellipsning qutbli koordinatalar sistemasidagi tenglamasi

F_1r\varphi qutbli koordinatalar sistemasidagi ellips tenglamasi (3.37-rasm, c va 3.37 (2)) shaklga ega.

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

bu yerda p=\frac(b^2)(a) ellipsning fokus parametri.

Aslida, qutb koordinata sistemasining qutbi sifatida ellipsning chap fokusi F_1, qutb o‘qi sifatida esa F_1F_2 nurini tanlaylik (3.37-rasm, v). U holda ixtiyoriy M(r,\varphi) nuqta uchun ellipsning geometrik ta'rifiga (fokal xususiyatiga) ko'ra, bizda r+MF_2=2a bo'ladi. M(r,\varphi) va F_2(2c,0) nuqtalari orasidagi masofani ifodalaymiz (qarang):

\begin(hizalangan)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(hizalangan)

Demak, koordinata shaklida F_1M+F_2M=2a ellips tenglamasi ko‘rinishga ega bo‘ladi.

r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Biz tenglamaning radikal, kvadratini ajratib olamiz, 4 ga bo'lamiz va shunga o'xshash shartlarni keltiramiz:

r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Qutb radiusi r ni ifodalang va almashtirishni bajaring e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \to'rt \Chap o'q \to'rt r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \to'rt \chapga o'q \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Ellips tenglamasidagi koeffitsientlarning geometrik ma'nosi

Ellipsning (3.37a-rasmga qarang) koordinata o‘qlari (ellips cho‘qqilari) bilan kesishgan nuqtalarini topamiz. Tenglamaga y=0 ni qo‘yib, ellipsning abtsissa o‘qi bilan (fokal o‘qi bilan) kesishish nuqtalarini topamiz: x=\pm a. Demak, ellips ichida joylashgan fokus o'qi segmentining uzunligi 2a ga teng. Bu segment, yuqorida aytib o'tilganidek, ellipsning katta o'qi deb ataladi va a soni ellipsning yarim katta o'qidir. x=0 ni almashtirsak, y=\pm b ni olamiz. Demak, ellipsning ikkinchi o'qining ellips ichida joylashgan segmentining uzunligi 2b ga teng. Bu segment ellipsning kichik o'qi deb ataladi va b soni ellipsning yarim kichik o'qidir.

Haqiqatan ham, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, va b=a tenglik faqat c=0 holatda, ellips aylana bo'lganda olinadi. Munosabat k=\frac(b)(a)\leqslant1 ellipsning siqilish nisbati deyiladi.

Eslatmalar 3.9

1. x=\pm a,~y=\pm b to'g'ri chiziqlar koordinata tekisligidagi asosiy to'rtburchakni cheklaydi, uning ichida ellips (3.37, a rasmga qarang).

2. Ellipsni quyidagicha belgilash mumkin doirani diametriga siqish natijasida olingan nuqtalarning joylashuvi.

Haqiqatan ham, Oksi to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi aylana tenglamasi x^2+y^2=a^2 bo'lsin. 0 koeffitsienti bilan x o'qiga siqilganda

\begin(holatlar)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(holatlar)

Tenglamaga x=x" va y=\frac(1)(k)y" aylanalarni qo'yib, M(x,y" nuqtaning M"(x",y") tasvirining koordinatalari tenglamasini olamiz. ):

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\o'ng)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

chunki b=k\cdot a . Bu ellipsning kanonik tenglamasi.

3. Koordinata o‘qlari (kanonik koordinatalar sistemasi) ellipsning simmetriya o‘qlari (ellipsning asosiy o‘qlari deb ataladi), uning markazi esa simmetriya markazidir.

Haqiqatan ham, agar M(x,y) nuqta ellipsga tegishli bo'lsa. u holda koordinata o'qlariga nisbatan M nuqtaga simmetrik M"(x,-y) va M""(-x,y) nuqtalar ham xuddi shu ellipsga tegishlidir.

4. Qutb koordinata sistemasidagi ellips tenglamasidan r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(3.37-rasm, v ga qarang), fokus parametrining geometrik ma'nosi aniqlangan - bu markaz o'qiga perpendikulyar bo'lgan fokus orqali o'tadigan ellips akkordining yarmi uzunligidir (r=p da \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Eksentriklik e ellips shaklini, ya'ni ellips va aylana orasidagi farqni xarakterlaydi. Qanchalik katta bo'lsa, ellips shunchalik cho'zilgan va e nolga qanchalik yaqin bo'lsa, ellips aylanaga shunchalik yaqin bo'ladi (3.38a-rasm). Haqiqatan ham, e=\frac(c)(a) va c^2=a^2-b^2 ekanligini hisobga olsak, biz olamiz

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\chap(\frac(a)(b)\o‘ng )\^2=1-k^2, !}

bu erda k - ellipsning siqilish koeffitsienti, 0

6. Tenglama \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 da a

7. Tenglama \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b markazi O"(x_0,y_0) nuqtada bo'lgan ellipsni aniqlaydi, uning o'qlari koordinata o'qlariga parallel (3.38-rasm, c). Bu tenglama parallel ko'chirish (3.36) yordamida kanonik tenglamaga keltiriladi.

a=b=R bo'lganda tenglama (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 markazi O nuqtada bo'lgan R radiusli doirani tasvirlaydi"(x_0,y_0) .

Ellipsning parametrik tenglamasi

Ellipsning parametrik tenglamasi kanonik koordinatalar tizimida shaklga ega

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(holatlar)0\leqslant t<2\pi.

Darhaqiqat, ushbu ifodalarni (3.49) tenglamaga almashtirib, biz asosiy trigonometrik o'ziga xoslikka erishamiz. \cos^2t+\sin^2t=1.

3.20-misol. Ellips chizish \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 kanonik koordinatalar tizimida Oksi. Yarim o'qlarni, fokus uzunligini, ekssentrisitetni, siqilish nisbatini, fokus parametrini, direktrisa tenglamalarini toping.

Yechim. Berilgan tenglamani kanonik tenglama bilan solishtirib, yarim o'qlarni aniqlaymiz: a=2 - yarim katta o'q, b=1 - ellipsning yarim kichik o'qi. Tomonlari 2a=4,~2b=2 boʻlgan bosh toʻgʻri toʻrtburchakni markazi koordinata boshida boʻlgan holda quramiz (3.39-rasm). Ellipsning simmetriyasini hisobga olgan holda, biz uni asosiy to'rtburchakka joylashtiramiz. Agar kerak bo'lsa, ellipsning ba'zi nuqtalarining koordinatalarini aniqlang. Masalan, ellips tenglamasiga x=1 ni qo‘yib, olamiz

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \to'rt \chap o'ng \to'rt y^2=\frac(3)(4) \to'rt \chap o'q \ to'rtlik y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Shuning uchun, koordinatali nuqtalar \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\o'ng)- ellipsga tegishli.

Siqish nisbatini hisoblash k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); fokus uzunligi 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ekssentriklik e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); fokus parametri p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Direktrisa tenglamalarini tuzamiz: x = \ pm \ frac (a ^ 2) (c) ~ \ Chap o'q ~ x = \ pm \ frac (4) (\ sqrt (3)).