X vektorining vektor parchalanishini yozing. Vektorlarning chiziqli bog'liqligi va chiziqli mustaqilligi

27.09.2019 | Yurisprudensiya

Asos(qadimgi yunoncha tabos, asos) - vektor fazodagi vektorlar to'plami, shunday qilib, bu fazodagi har qanday vektor ushbu to'plamdagi vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida yagona tarzda ifodalanishi mumkin - bazis vektorlari

Rn fazodagi bazis har qanday sistema hisoblanadi n-chiziqli mustaqil vektorlar. Bazisga kiritilmagan R n dan har bir vektor bazaviy vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin, ya'ni. asosga yoyilgan.
R n va fazoning asosi bo'lsin. Keyin l 1, l 2, …, l n raqamlari mavjud .
Kengayish koeffitsientlari l 1, l 2, ..., l n B bazisdagi vektor koordinatalari deb ataladi. Agar asos berilgan bo'lsa, vektor koeffitsientlari yagona aniqlanadi.

Izoh. Har birida n-o'lchovli vektor fazoda siz cheksiz sonli turli asoslarni tanlashingiz mumkin. Turli bazalarda bir xil vektor turli koordinatalarga ega, ammo ular tanlangan asosda yagonadir. Misol. Vektorni uning asosiga kengaytiring.
Yechim. . Keling, barcha vektorlarning koordinatalarini almashtiramiz va ular ustida amallarni bajaramiz:

Koordinatalarni tenglashtirib, biz tenglamalar tizimini olamiz:

Keling, buni hal qilaylik: .
Shunday qilib, biz parchalanishni olamiz: .
Asosda vektor koordinatalariga ega.

Ishning oxiri -

Ushbu mavzu bo'limga tegishli:

Vektor tushunchasi. Vektorlar ustida chiziqli amallar

Vektor - bu ma'lum uzunlikka ega bo'lgan yo'naltirilgan segment, ya'ni chegara nuqtalaridan biriga ega bo'lgan ma'lum uzunlikdagi segment.

Agar kerak bo'lsa qo'shimcha material Ushbu mavzu bo'yicha, yoki siz qidirayotgan narsangizni topa olmadingiz, bizning ishlar ma'lumotlar bazasida qidiruvdan foydalanishni tavsiya etamiz:

Qabul qilingan material bilan nima qilamiz:

Agar ushbu material siz uchun foydali bo'lsa, uni ijtimoiy tarmoqlardagi sahifangizga saqlashingiz mumkin:

D. 2-1 Vektor algebrasining asosiy tushunchalari. Vektorlar ustida chiziqli amallar.

Vektorning bazis bo'yicha parchalanishi.

Vektor algebrasining asosiy tushunchalari

Vektor - bu uzunligi va yo'nalishi bir xil bo'lgan barcha yo'naltirilgan segmentlar to'plami.
.

Xususiyatlari:

Chiziqli operatsiyalar vektorlar ustida

Paralelogramma qoidasi:

BILAN ummat ikkita vektor Va vektor deb ataladi , ularning umumiy kelib chiqishidan kelib chiqqan va vektorlarga qurilgan parallelogrammaning diagonali Va ikkala tomondan.

Ko'pburchak qoidasi:

Istalgan miqdordagi vektorlar yig'indisini qurish uchun vektorning 1-sonining oxiriga 2-ning boshini, 2-ning oxiriga - 3-ning boshiga va hokazolarni qo'yish kerak. Olingan poliliniyani yopuvchi vektor yig'indisidir. Uning boshlanishi 1-ning boshiga, oxiri esa oxirgisining oxiriga to'g'ri keladi.

Xususiyatlari:

Vektor mahsuloti raqam uchun , shartlarni qanoatlantiradigan vektor:
.

Xususiyatlari:

Farqi bo'yicha vektorlar Va vektor deb ataladi , vektor yig'indisiga teng va vektorga qarama-qarshi vektor , ya'ni.
.

- qarama-qarshi element (vektor) qonuni.

Vektorning bazisga parchalanishi

Vektorlar yig'indisi o'ziga xos tarzda aniqlanadi
(va faqat ). Teskari operatsiya, vektorning bir nechta komponentlarga bo'linishi noaniqdir: Buni bir ma'noli qilish uchun, ko'rib chiqilayotgan vektor parchalanadigan yo'nalishlarni ko'rsatish kerak yoki ular aytganidek, ko'rsatish kerak. asos.

Asosni aniqlashda vektorlarning mos kelmasligi va kollinear emasligi talabi muhim ahamiyatga ega. Ushbu talabning ma'nosini tushunish uchun vektorlarning chiziqli bog'liqligi va chiziqli mustaqilligi tushunchalarini ko'rib chiqish kerak.

Shaklning ixtiyoriy ifodasi: , deyiladi chiziqli birikma vektorlar
.

Bir nechta vektorlarning chiziqli birikmasi deyiladi ahamiyatsiz, agar uning barcha koeffitsientlari nolga teng bo'lsa.

Vektorlar
chaqiriladi chiziqli bog'liq, agar ushbu vektorlarning nolga teng bo'lmagan chiziqli birikmasi bo'lsa:
(1), taqdim etilgan
.
Agar tenglik (1) faqat hamma uchun amal qilsa
bir vaqtning o'zida nolga teng, keyin nolga teng bo'lmagan vektorlar bo'ladi.

chiziqli mustaqil Isbotlash oson:.

har qanday ikkita kollinear vektor chiziqli bog'liq va har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektor chiziqli mustaqildir

Keling, isbotni birinchi bayonotdan boshlaylik. Va Vektorlarga ruxsat bering
kollinear. Keling, ular chiziqli bog'liqligini ko'rsataylik. Haqiqatan ham, agar ular kollinear bo'lsa, unda ular bir-biridan faqat raqamli omil bilan farqlanadi, ya'ni.
, shuning uchun Va . Olingan chiziqli kombinatsiya aniq ahamiyatsiz va "0" ga teng bo'lgani uchun vektorlar

chiziqli bog'liq. Va Keling, ikkita kollinear bo'lmagan vektorni ko'rib chiqaylik

Faraz qilaylik, ular chiziqli bog'liq. Keyin ahamiyatsiz bo'lmagan chiziqli birikma bo'lishi kerak
. Buni taxmin qilaylik
, Keyin
. Olingan tenglik vektorlarni bildiradi Va Bizning dastlabki taxminimizdan farqli o'laroq, ular bir-biriga mos keladi.

Xuddi shunday isbotlashimiz mumkin: har qanday uchta koplanar vektor chiziqli bog'liq va har qanday ikkita koplanar bo'lmagan vektor chiziqli mustaqildir.

Bazis tushunchasiga va vektorni ma'lum bir asosda parchalash muammosiga qaytsak, shuni aytishimiz mumkinki, tekislikdagi va fazodagi asos chiziqli mustaqil vektorlar to'plamidan hosil bo'ladi. Bu asos tushunchasi umumiydir, chunki u har qanday o'lchamdagi fazoga taalluqlidir.

Bunday ifoda:
, vektor parchalanishi deyiladi vektorlar bo'yicha ,…,.

Agar biz uch o'lchovli fazoda asosni ko'rib chiqsak, u holda vektorning parchalanishi asosida
bo'ladi
, Qayerda
-vektor koordinatalari.

Ixtiyoriy vektorni ma'lum asosda parchalash masalasida quyidagi bayonot juda muhimdir: har qanday vektorma'lum bir asosda noyob tarzda kengaytirilishi mumkin
. Boshqacha aytganda, koordinatalar
har qanday vektor uchun asosga nisbatan
aniq belgilanadi.

Kosmosda va tekislikda asosning kiritilishi har bir vektorni belgilash imkonini beradi tartiblangan uchlik (juft) raqamlar - uning koordinatalari. Geometrik jismlar va raqamlar o'rtasida bog'lanishni o'rnatishga imkon beradigan bu juda muhim natija fizik jismlarning holati va harakatini analitik tasvirlash va o'rganish imkonini beradi.

Nuqta va bazis to'plami deyiladi koordinata tizimi.

Agar asosni tashkil etuvchi vektorlar birlik va juft perpendikulyar bo'lsa, u holda koordinatalar tizimi deyiladi. to'rtburchaklar, va asos ortonormal.

L. 2-2 Vektorlar mahsuloti

Vektorning bazisga parchalanishi

Vektorni ko'rib chiqing
, uning koordinatalari bilan berilgan:
.

- vektor komponentlar bazis vektorlarining yo'nalishlari bo'ylab
.

Shaklni ifodalash
vektor parchalanishi deb ataladi asosida
.

Xuddi shunday tarzda biz parchalanishimiz mumkin asosida
vektor
:

Ko'rib chiqilayotgan vektor tomonidan hosil qilingan burchaklarning kosinuslari bazis vektorlari bilan
chaqiriladi yo'nalish kosinuslari

;
;
.

Vektorlarning nuqta mahsuloti.

Ikki vektorning nuqta mahsuloti Va bu vektorlarning modullari va ular orasidagi burchak kosinuslarining mahsulotiga teng sondir

Ikki vektorning skalyar ko'paytmasini ushbu vektorlardan birining moduli va ikkinchi vektorning birinchi vektor yo'nalishiga ortogonal proyeksiyasining ko'paytmasi deb hisoblash mumkin.
.

Xususiyatlari:

Agar vektorlarning koordinatalari ma'lum bo'lsa
Va
, keyin vektorlarni bazisga ajratgandan so'ng
:
Va
, topamiz

, chunki
,
, Bu

Vektorlarning perpendikulyar bo'lish sharti:
.

Rektorlarning oʻzaro muvofiqligi sharti:
.

Vektorlarning vektor mahsuloti

yoki

Vektor bo'yicha vektor mahsuloti vektorga bunday vektor deyiladi
, bu shartlarga javob beradi:

Xususiyatlari:

Ko'rib chiqilgan algebraik xususiyatlar bizga analitik ifodani topishga imkon beradi vektor mahsuloti ortonormal asosdagi komponent vektorlarining koordinatalari orqali.

Berilgan:
Va
.

chunki ,
,
,
,
,
,
, Bu

. Bu formulani uchinchi tartibli determinant shaklida qisqaroq yozish mumkin:

Vektorlarning aralash mahsuloti

Uch vektorning aralash mahsuloti ,Va vektor mahsulotiga teng sondir
, vektorga ko'paytiriladigan skalyar .

Quyidagi tenglik to'g'ri:
, shuning uchun aralash mahsulot yoziladi
.

Ta'rifdan kelib chiqqan holda, uchta vektorning aralash mahsulotining natijasi sondir. Bu raqam aniq geometrik ma'noga ega:

Aralash mahsulot moduli
umumiy kelib chiqishiga qisqartirilgan vektorlarga qurilgan parallelepiped hajmiga teng ,Va .

Aralash mahsulotning xususiyatlari:

Agar vektorlar ,,ortonormal asosda belgilangan
uning koordinatalari, aralash mahsulotni hisoblash formula bo'yicha amalga oshiriladi

Haqiqatan ham, agar
, Bu

;
;
, Keyin
.

Agar vektorlar ,,koplanar, keyin vektor mahsuloti
vektorga perpendikulyar . Va aksincha, agar
, u holda parallelepipedning hajmi nolga teng va bu faqat vektorlar koplanar (chiziqli bog'liq) bo'lsa mumkin.

Shunday qilib, uchta vektor, agar ularning aralash mahsuloti nolga teng bo'lsa, koplanar hisoblanadi.

Kosmosning asosi ular fazodagi barcha boshqa vektorlar asosga kiritilgan vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan vektorlar tizimini chaqirishadi.
Amalda, bularning barchasi juda sodda tarzda amalga oshiriladi. Bazis, qoida tariqasida, tekislikda yoki fazoda tekshiriladi va buning uchun vektor koordinatalaridan tashkil topgan ikkinchi, uchinchi tartibli matritsaning determinantini topish kerak. Quyida sxematik tarzda yozilgan vektorlar asos bo'ladigan shartlar

Kimga b vektorini bazis vektorlariga kengaytiring
e,e...,e[n] vektorlarning chiziqli birikmasi e,e...,e[n] ga teng bo'lgan x, ..., x[n] koeffitsientlarini topish kerak. vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Buning uchun vektor tenglamani tizimga aylantirish kerak chiziqli tenglamalar va yechimlarni toping. Buni amalga oshirish ham juda oddiy.
Topilgan koeffitsientlar x, ..., x[n] deyiladi bazisdagi b vektorining koordinatalari e,e...,e[n].
Keling, mavzuning amaliy tomoniga o'tamiz.

Vektorning bazis vektorlarga parchalanishi

Vazifa 1. a1, a2 vektorlari tekislikda asos tashkil qiladimi yoki yo'qligini tekshiring

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Yechish: Vektorlarning koordinatalaridan determinant tuzamiz va uni hisoblaymiz

Determinant nolga teng emas, shuning uchun vektorlar chiziqli mustaqil, ya'ni ular asosni tashkil qiladi.

2) a1 (2; -3), a2 (5;-1)
Yechish: Vektorlardan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz

Determinant 13 ga teng (nolga teng emas) - bundan kelib chiqadiki, a1, a2 vektorlari tekislikdagi bazisdir.

---=================---

"Oliy matematika" fanidan MAUP dasturidan tipik misollarni ko'rib chiqamiz.

Vazifa 2. a1, a2, a3 vektorlari uch o'lchovli vektor fazoning asosini tashkil etishini va shu asosga ko'ra b vektorini kengaytirishini ko'rsating (chiziqli tizimni yechishda). algebraik tenglamalar Kramer usulidan foydalaning).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (-3; 1; 2).
Yechish: Birinchidan, a1, a2, a3 vektorlar sistemasini ko‘rib chiqing va A matritsaning determinantini tekshiring.

nolga teng bo'lmagan vektorlar asosida qurilgan. Matritsa bitta nol elementni o'z ichiga oladi, shuning uchun determinantni birinchi ustun yoki uchinchi qatorda jadval sifatida hisoblash ko'proq mos keladi.

Hisob-kitoblar natijasida biz aniqlovchi noldan farqli ekanligini aniqladik, shuning uchun a1, a2, a3 vektorlari chiziqli mustaqildir.
Ta'rifga ko'ra, vektorlar R3 da asosni tashkil qiladi. b vektorining grafigini asos qilib yozamiz

Tegishli koordinatalari teng bo'lganda vektorlar teng bo'ladi.
Shuning uchun vektor tenglamadan chiziqli tenglamalar sistemasini olamiz

Keling, SLAE ni hal qilaylik Kramer usuli. Buning uchun tenglamalar sistemasini shaklda yozamiz

SLAE ning asosiy determinanti har doim asosiy vektorlardan tashkil topgan determinantga teng

Shuning uchun amalda u ikki marta hisoblanmaydi. Yordamchi aniqlovchilarni topish uchun bosh determinantning har bir ustuni o‘rniga erkin shartlar ustunini qo‘yamiz. Aniqlovchilar uchburchak qoidasi yordamida hisoblanadi

Topilgan aniqlovchilarni Kramer formulasiga almashtiramiz

Demak, b vektorning bazis jihatidan kengayishi b=-4a1+3a2-a3 ko'rinishga ega. a1, a2, a3 bazisdagi b vektorning koordinatalari (-4,3, 1) bo'ladi.

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Yechish: Biz vektorlarni asos uchun tekshiramiz - vektorlarning koordinatalaridan determinant tuzamiz va uni hisoblaymiz.

Determinant nolga teng emas, shuning uchun vektorlar kosmosda asosni tashkil qiladi. Bu asos orqali b vektorining jadvalini topish qoladi. Buning uchun vektor tenglamasini yozamiz

va chiziqli tenglamalar sistemasiga aylantiriladi

Keling, yozamiz matritsa tenglamasi

Keyinchalik, Kramer formulalari uchun yordamchi determinantlarni topamiz

Biz Kramer formulalarini qo'llaymiz

Demak, berilgan b vektor ikkita b=-2a1+5a3 bazis vektorlari orqali jadvalga ega va uning bazisdagi koordinatalari b(-2,0, 5) ga teng.