Berilganiga teskari matritsaning elementini qanday topish mumkin. Teskari matritsa va uning xossalari

Har bir 2x2 matritsaning ta'rifini toping. Har qanday matritsaning har bir elementi, shu jumladan transpoze qilingani, mos keladigan 2x2 matritsa bilan bog'langan. Muayyan elementga mos keladigan 2x2 matritsani topish uchun berilgan element joylashgan satr va ustunni kesib tashlang, ya'ni dastlabki 3x3 matritsaning beshta elementini kesib tashlashingiz kerak. To'rtta element kesilmagan holda qoladi, ular mos keladigan 2x2 matritsaning elementlari.

• Masalan, ikkinchi qator va birinchi ustunning kesishmasida joylashgan element uchun 2x2 matritsani topish uchun ikkinchi qator va birinchi ustundagi beshta elementni kesib tashlang. Qolgan to'rtta element mos keladigan 2x2 matritsaning elementlari.
• Har bir 2x2 matritsaning determinantini toping. Buning uchun asosiy diagonal elementlarining mahsulotidan ikkilamchi diagonal elementlarining mahsulotini ayirish kerak (rasmga qarang).
• 3x3 matritsaning muayyan elementlariga mos keladigan 2x2 matritsalar haqida batafsil ma'lumotni Internetda topish mumkin.

Kofaktor matritsasini yarating. Ilgari olingan natijalarni yangi kofaktor matritsasi shaklida yozing. Buning uchun 3x3 matritsaning mos elementi joylashgan har bir 2x2 matritsaning topilgan determinantini yozing. Misol uchun, agar siz (1,1) element uchun 2x2 matritsani ko'rib chiqayotgan bo'lsangiz, uning determinantini (1,1) pozitsiyasiga yozing. Keyin rasmda ko'rsatilgan ma'lum bir sxema bo'yicha mos keladigan elementlarning belgilarini o'zgartiring.

• Belgilarni o'zgartirish sxemasi: birinchi qatorning birinchi elementining belgisi o'zgarmaydi; birinchi qatorning ikkinchi elementining belgisi teskari; birinchi qatorning uchinchi elementining belgisi o'zgarmaydi va shunga o'xshash satr bo'yicha. E'tibor bering, diagrammada ko'rsatilgan "+" va "-" belgilari (rasmga qarang) tegishli elementning ijobiy yoki salbiy bo'lishini ko'rsatmaydi. Bunday holda, "+" belgisi elementning belgisi o'zgarmasligini va "-" belgisi element belgisining o'zgarishini bildiradi.
• Kofaktor matritsalari haqida batafsil ma'lumotni Internetda topish mumkin.
• Shunday qilib, siz asl matritsaning qo'shma matritsasini topasiz. U ba'zan murakkab konjugat matritsa deb ataladi. Bunday matritsa adj(M) bilan belgilanadi.

Qo'shma matritsaning har bir elementini uning determinantiga bo'ling. Teskari matritsa mavjudligini tekshirish uchun M matritsaning determinanti boshida hisoblab chiqilgan. Endi qo'shma matritsaning har bir elementini shu determinantga bo'ling. Har bir bo'linish operatsiyasining natijasini mos keladigan element joylashgan joyga yozing. Shunday qilib, siz matritsani asl nusxaga teskarisini topasiz.

• Rasmda ko'rsatilgan matritsaning determinanti 1. Shunday qilib, bu erda qo'shni matritsa teskari matritsadir (chunki har qanday son 1 ga bo'linganda u o'zgarmaydi).
• Baʼzi manbalarda boʻlish amali 1/det(M) ga koʻpaytirish amali bilan almashtiriladi. Biroq, yakuniy natija o'zgarmaydi.

Teskari matritsani yozing. Katta matritsaning o'ng yarmida joylashgan elementlarni teskari matritsa bo'lgan alohida matritsa sifatida yozing.

Asl matritsani kalkulyator xotirasiga kiriting. Buning uchun, agar mavjud bo'lsa, Matritsa tugmasini bosing. Texas Instruments kalkulyatori uchun 2 va Matritsa tugmalarini bosishingiz kerak bo'lishi mumkin.

Tahrirlash menyusini tanlang. Buni kalkulyator klaviaturasining yuqori qismida joylashgan o‘q tugmalari yoki tegishli funksiya tugmasi yordamida bajaring (tugmaning joylashuvi kalkulyator modeliga qarab o‘zgaradi).

Matritsa yozuvini kiriting. Ko'pgina grafik kalkulyatorlar 3-10 matritsalar bilan ishlashi mumkin, ularni belgilash mumkin A-J harflari. Odatda, asl matritsani belgilash uchun [A] ni tanlash kifoya. Keyin Enter tugmasini bosing.

Matritsa hajmini kiriting. Ushbu maqola 3x3 matritsalar haqida gapiradi. Lekin grafik kalkulyatorlar katta matritsalar bilan ishlashi mumkin. Qatorlar sonini kiriting, Enter tugmasini bosing, so'ng ustunlar sonini kiriting va yana Enter tugmasini bosing.

Har bir matritsa elementini kiriting. Kalkulyator ekranida matritsa ko'rsatiladi. Agar siz ilgari kalkulyatorga matritsa kiritgan bo'lsangiz, u ekranda paydo bo'ladi. Kursor matritsaning birinchi elementini ajratib ko'rsatadi. Birinchi element uchun qiymatni kiriting va Enter tugmasini bosing. Kursor avtomatik ravishda keyingi matritsa elementiga o'tadi.

Matritsalar bilan amallar haqida suhbatni davom ettiramiz. Ya'ni, ushbu ma'ruzani o'rganish davomida siz teskari matritsani qanday topishni o'rganasiz. O'rganing. Matematika qiyin bo'lsa ham.

Teskari matritsa nima? Bu erda biz teskari raqamlar bilan taqqoslashimiz mumkin: masalan, optimistik raqam 5 va uning teskari raqamini ko'rib chiqing. Bu sonlarning ko'paytmasi bittaga teng: . Matritsalar bilan hamma narsa o'xshash! Matritsa va uning teskari matritsasining mahsuloti - ga teng. identifikatsiya matritsasi, bu raqamli birlikning matritsa analogidir. Biroq, birinchi navbatda, birinchi navbatda, muhim amaliy masalani hal qilaylik, ya'ni bu juda teskari matritsani qanday topishni o'rganamiz.

Teskari matritsani topish uchun nimani bilishingiz va nima qila olishingiz kerak? Siz qaror qabul qila olishingiz kerak saralash. Bu nima ekanligini tushunishingiz kerak matritsa va ular bilan ba'zi harakatlarni bajara olish.

Teskari matritsani topishning ikkita asosiy usuli mavjud:
yordamida algebraik qo'shimchalar Va elementar transformatsiyalardan foydalanish.

Bugun biz birinchi, oddiyroq usulni o'rganamiz.

Keling, eng dahshatli va tushunarsizidan boshlaylik. Keling, ko'rib chiqaylik kvadrat matritsa. Teskari matritsani quyidagi formula yordamida topish mumkin:

Matritsaning determinanti qayerda, matritsaning mos elementlarining algebraik to'ldiruvchilarining ko'chirilgan matritsasi.

Teskari matritsa tushunchasi faqat kvadrat matritsalar uchun mavjud, matritsalar “ikkidan ikki”, “uchdan uch” va hokazo.

Belgilar: Siz allaqachon sezganingizdek, teskari matritsa yuqori chiziq bilan belgilanadi

Keling, eng oddiy holatdan boshlaylik - ikki-ikki matritsa. Ko'pincha, albatta, "uchdan uch" talab qilinadi, lekin shunga qaramay, men o'zlashtirish uchun oddiyroq vazifani o'rganishni tavsiya qilaman. umumiy tamoyil yechimlar.

Misol:

Matritsaning teskarisini toping

Keling, qaror qilaylik. Harakatlar ketma-ketligini nuqtama-nuqtaga ajratish qulay.

1) Avval matritsaning determinantini topamiz.

Agar ushbu harakatni tushunishingiz yaxshi bo'lmasa, materialni o'qing Determinantni qanday hisoblash mumkin?

Muhim! Agar matritsaning determinanti teng bo'lsa NO- teskari matritsa MAVJUD EMAS.

Ko'rib chiqilayotgan misolda, ma'lum bo'lishicha, hamma narsa tartibda ekanligini anglatadi.

2) Voyaga etmaganlar matritsasini toping.

Muammoni hal qilish uchun voyaga etmagan bola nima ekanligini bilish shart emas, ammo maqolani o'qish tavsiya etiladi. Determinantni qanday hisoblash mumkin.

Voyaga etmaganlar matritsasi matritsa bilan bir xil o'lchamlarga ega, ya'ni bu holda.
Faqat to'rtta raqamni topib, yulduzcha o'rniga qo'yish kerak.

Keling, matritsamizga qaytaylik
Keling, avval yuqori chap elementni ko'rib chiqaylik:

Uni qanday topish mumkin kichik?
Va bu shunday amalga oshiriladi: ushbu element joylashgan qator va ustunni aqliy ravishda kesib tashlang:

Qolgan raqam ushbu elementning kichik qismi, biz voyaga etmaganlar matritsasida yozamiz:

Quyidagi matritsa elementini ko'rib chiqing:

Ushbu element paydo bo'lgan qator va ustunni aqliy ravishda kesib tashlang:

Qolgan narsa bu elementning kichik qismi bo'lib, biz matritsamizda yozamiz:

Xuddi shunday, biz ikkinchi qatorning elementlarini ko'rib chiqamiz va ularning kichiklarini topamiz:


Tayyor.

Bu oddiy. Voyaga etmaganlar matritsasida sizga kerak BELGILARI O'ZGARTIRISh ikkita raqam:

Bu men aylantirgan raqamlar!

– matritsaning mos elementlarining algebraik qo‘shimchalari matritsasi.

Va shunchaki...

4) Algebraik qo‘shimchalarning ko‘chirilgan matritsasini toping.

– matritsaning mos elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarining ko‘chirilgan matritsasi.

5) Javob.

Keling, formulamizni eslaylik
Hammasi topildi!

Shunday qilib, teskari matritsa:

Javobni shunday qoldirgan ma'qul. KERAK EMAS matritsaning har bir elementini olganingizdek 2 ga bo'ling kasr sonlar. Ushbu nuance xuddi shu maqolada batafsilroq muhokama qilinadi. Matritsalar bilan amallar.

Yechimni qanday tekshirish mumkin?

Matritsani ko'paytirishni bajarishingiz kerak yoki

Imtihon:

Yuqorida aytib o'tilgan qabul qilingan identifikatsiya matritsasi bo'yicha birlari bo'lgan matritsadir asosiy diagonali va boshqa joylarda nollar.

Shunday qilib, teskari matritsa to'g'ri topildi.

Agar siz harakatni amalga oshirsangiz, natijada identifikatsiya matritsasi ham bo'ladi. Bu matritsalarni ko'paytirish kommutativ bo'lgan bir nechta holatlardan biridir, batafsil ma'lumotni maqolada topishingiz mumkin. Matritsalar ustida amallarning xossalari. Matritsali ifodalar. Shuni ham yodda tutingki, tekshirish paytida doimiy (kasr) oldinga keltiriladi va eng oxirida - matritsani ko'paytirishdan keyin qayta ishlanadi. Bu standart texnika.

Keling, amaliyotda keng tarqalgan holatga o'tamiz - uch-uch matritsa:

Misol:

Matritsaning teskarisini toping

Algoritm "ikkidan ikkiga" ishi bilan mutlaqo bir xil.

Teskari matritsani quyidagi formula yordamida topamiz: , bu yerda matritsaning mos elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarining ko‘chirilgan matritsasi.

1) Matritsaning aniqlovchisini toping.

Bu erda determinant ochiladi birinchi qatorda.

Bundan tashqari, buni unutmang, bu hamma narsa yaxshi degan ma'noni anglatadi - teskari matritsa mavjud.

2) Voyaga etmaganlar matritsasini toping.

Voyaga etmaganlar matritsasi "uchdan uch" o'lchamiga ega , va biz to'qqizta raqamni topishimiz kerak.

Men bir nechta voyaga etmaganlarni batafsil ko'rib chiqaman:

Quyidagi matritsa elementini ko'rib chiqing:

Ushbu element joylashgan qator va ustunni aqliy ravishda kesib tashlang:

Qolgan to'rtta raqamni "ikkidan ikkiga" determinantga yozamiz.

Bu ikki-ikki determinant va bu elementning kichik qismidir. Buni hisoblash kerak:


Mana, voyaga yetmaganlar topildi, biz buni voyaga etmaganlar matritsasiga yozamiz:

Ehtimol, taxmin qilganingizdek, siz to'qqizta ikki-ikki determinantni hisoblashingiz kerak. Jarayon, albatta, zerikarli, lekin ish eng og'ir emas, bundan ham yomoni bo'lishi mumkin.

Xo'sh, birlashtirish uchun - rasmlarda boshqa kichikni toping:

Qolgan voyaga etmaganlarni o'zingiz hisoblashga harakat qiling.

Yakuniy natija:
– matritsaning mos elementlarining minorlari matritsasi.

Voyaga etmaganlarning barchasi salbiy bo'lib chiqishi shunchaki baxtsiz hodisadir.

3) Algebraik qo‘shimchalar matritsasini toping.

Voyaga etmaganlar matritsasida bu zarur BELGILARI O'ZGARTIRISh qat'iy quyidagi elementlar uchun:

Ushbu holatda:

Biz "to'rtdan to'rtga" matritsa uchun teskari matritsani topishni ko'rib chiqmaymiz, chunki bunday vazifani faqat sadist o'qituvchi berishi mumkin (talaba uchun bitta "to'rtdan to'rt" determinantni va 16 ta "uchdan uch" determinantni hisoblashi mumkin. ). Mening amaliyotimda faqat bitta bunday holat va mijoz bor edi sinov ishi Mening azobim uchun juda qimmat to'landi =).

Bir qator darsliklar va qo'llanmalarda siz teskari matritsani topish uchun biroz boshqacha yondashuvni topishingiz mumkin, ammo men yuqorida ko'rsatilgan yechim algoritmidan foydalanishni tavsiya qilaman. Nega? Chunki hisoblar va belgilarda chalkashib ketish ehtimoli ancha past.

Teskari matritsani topish.

Ushbu maqolada biz teskari matritsa tushunchasini, uning xossalarini va topish usullarini tushunamiz. Keling, berilgan uchun teskari matritsani qurish kerak bo'lgan misollarni echish haqida batafsil to'xtalib o'tamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Teskari matritsa - ta'rifi.

Algebraik to'ldiruvchilardan matritsa yordamida teskari matritsani topish.

Teskari matritsaning xossalari.

Gauss-Jordan usuli yordamida teskari matritsani topish.

Chiziqli algebraik tenglamalarning mos tizimlarini yechish orqali teskari matritsaning elementlarini topish.

Teskari matritsa - ta'rifi.

Teskari matritsa tushunchasi faqat determinanti nolga teng bo'lmagan kvadrat matritsalar uchun, ya'ni yagona bo'lmagan kvadrat matritsalar uchun kiritiladi.

Ta'rif.

Matritsamatritsaning teskarisi deyiladi, agar tengliklar to'g'ri bo'lsa, determinanti noldan farq qiladi , Qayerda E– birlik tartib matritsasi n yoqilgan n.

Algebraik to'ldiruvchilardan matritsa yordamida teskari matritsani topish.

Berilgan matritsa uchun teskari matritsani qanday topish mumkin?

Birinchidan, bizga tushunchalar kerak transpozitsiyalangan matritsa, matritsa kichik va matritsa elementining algebraik to‘ldiruvchisi.

Ta'rif.

Kichikkth buyurtma matritsalar A buyurtma m yoqilgan n tartib matritsasining determinanti hisoblanadi k yoqilgan k, bu matritsa elementlaridan olinadi A tanlanganda joylashgan k chiziqlar va k ustunlar. ( k eng kichik raqamdan oshmaydi m yoki n).

Kichik (n-1)-chi bundan mustasno barcha qatorlar elementlaridan tashkil topgan tartib i-chi, va barcha ustunlar bundan mustasno jth, kvadrat matritsa A buyurtma n yoqilgan n deb belgilaymiz.

Boshqacha qilib aytganda, minor kvadrat matritsadan olinadi A buyurtma n yoqilgan n elementlarni kesib tashlash orqali i-chi chiziqlar va jth ustun.

Masalan, yozaylik, kichik 2 matritsadan olingan tartib uning ikkinchi, uchinchi qatorlari va birinchi, uchinchi ustunlari elementlarini tanlash . Matritsadan olingan minorni ham ko'rsatamiz ikkinchi qatorni va uchinchi ustunni kesib tashlash orqali . Keling, bu voyaga etmaganlarning qurilishini ko'rsatamiz: va .

Ta'rif.

Algebraik to‘ldiruvchi kvadrat matritsaning elementi kichik deyiladi (n-1)-chi matritsadan olingan tartib A, uning elementlarini kesib tashlash i-chi chiziqlar va jth ustun bilan ko'paytiriladi.

Elementning algebraik to'ldiruvchisi sifatida belgilanadi. Shunday qilib, .

Masalan, matritsa uchun elementning algebraik to'ldiruvchisi .

Ikkinchidan, biz bo'limda muhokama qilgan determinantning ikkita xususiyati kerak bo'ladi matritsaning determinantini hisoblash:

Determinantning ana shu xossalari asosida ta'rif matritsani songa ko'paytirish amallari va teskari matritsa tushunchasi to'g'ri: , bu yerda elementlari algebraik to‘ldiruvchi bo‘lgan ko‘chirilgan matritsa.

Matritsa haqiqatan ham matritsaning teskarisi A, chunki tengliklar qondiriladi . Keling, ko'rsataylik

Keling, tuzamiz teskari matritsani topish algoritmi tenglikdan foydalanish .

Teskari matritsani topish algoritmini misol yordamida ko‘rib chiqamiz.

Misol.

Matritsa berilgan . Teskari matritsani toping.

Yechim.

Matritsaning determinantini hisoblaymiz A, uni uchinchi ustun elementlariga ajratish:

Determinant nolga teng, shuning uchun matritsa A qaytariladigan.

Algebraik qo‘shimchalar matritsasi topilsin:

Shunung uchun

Matritsani algebraik qo‘shimchalardan ko‘chiramiz:

Endi teskari matritsani quyidagicha topamiz :

Natijani tekshiramiz:

Tengliklar qanoatlansa, shuning uchun teskari matritsa to'g'ri topilgan.

Teskari matritsaning xossalari.

Teskari matritsa tushunchasi, tenglik , matritsalar ustida amallar ta’riflari va matritsa determinantining xossalari quyidagilarni asoslashga imkon beradi. teskari matritsaning xossalari:

Chiziqli algebraik tenglamalarning mos tizimlarini yechish orqali teskari matritsaning elementlarini topish.

Kvadrat matritsa uchun teskari matritsani topishning boshqa usulini ko‘rib chiqamiz A buyurtma n yoqilgan n.

Bu usul yechimga asoslangan n bilan chiziqli bir jinsli algebraik tenglamalar sistemalari n noma'lum. Ushbu tenglamalar sistemasidagi noma'lum o'zgaruvchilar teskari matritsaning elementlari hisoblanadi.

Fikr juda oddiy. Teskari matritsani deb belgilaymiz X, ya'ni, . Chunki teskari matritsaning ta'rifi bo'yicha, keyin

Tegishli elementlarni ustunlar bo'yicha tenglashtirib, biz olamiz n chiziqli tenglamalar tizimlari

Biz ularni istalgan usulda yechamiz va topilgan qiymatlardan teskari matritsa hosil qilamiz.

Keling, ushbu usulni misol bilan ko'rib chiqaylik.

Misol.

Matritsa berilgan . Teskari matritsani toping.

Yechim.

Qabul qilaylik . Tenglik bizga uchta chiziqli bir hil bo'lmagan algebraik tenglamalar tizimini beradi:

Biz ushbu tizimlarning yechimini tasvirlamaymiz, agar kerak bo'lsa, bo'limga qarang chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish.

Birinchi tenglamalar sistemasidan ikkinchisidan - , uchinchisidan - . Demak, kerakli teskari matritsa shaklga ega . Natija to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qilish uchun uni tekshirishni tavsiya etamiz.

Xulosa qiling.

Biz teskari matritsa tushunchasini, uning xossalarini va uni topishning uchta usulini ko‘rib chiqdik.

Teskari matritsa usuli yordamida yechimlar misoli

1-mashq. Teskari matritsa usuli yordamida SLAE ni yeching. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4

Shaklning boshlanishi

Shaklning oxiri

Yechim. Matritsani quyidagicha yozamiz: Vektor B: B T = (1,2,3,4) (1,1) uchun asosiy determinant Kichik: = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Minor (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Kichik uchun (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Kichik (4,1): = 3 (3 2-) 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Minorning aniqlovchisi ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Transpozitsiyalangan matritsa Algebraik qo‘shimchalar ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5) 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7) 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4) -5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 ( 7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4,3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3) 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Teskari matritsa Natijalar vektori X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

Shuningdek qarang teskari matritsa usuli yordamida SLAE larning yechimlari onlayn. Buning uchun ma'lumotlaringizni kiriting va batafsil sharhlar bilan yechimni oling.

Vazifa 2. Tenglamalar tizimini matritsa shaklida yozing va uni teskari matritsa yordamida yeching. Olingan eritmani tekshiring. Yechim:xml:xls

2-misol. Tenglamalar tizimini matritsa shaklida yozing va teskari matritsa yordamida yeching. Yechim:xml:xls

Misol. Uchta noma'lumli uchta chiziqli tenglamalar tizimi berilgan. Majburiy: 1) yordamida uning yechimini toping Kramer formulalari; 2) tizimni matritsa shaklida yozing va uni matritsa hisobi yordamida yeching. Ko'rsatmalar. Kramer usuli bilan yechilgandan so'ng, "Manba ma'lumotlar uchun teskari matritsa usuli bilan yechish" tugmachasini toping. Siz tegishli yechimni olasiz. Shunday qilib, siz yana ma'lumotlarni to'ldirishingiz shart emas. Yechim. Noma’lumlar uchun koeffitsientlar matritsasini A bilan belgilaymiz; X - noma'lumlar matritsasi-ustunlari; B - erkin a'zolarning matritsa ustuni:

V vektor B: B T =(4,-3,-3) Ushbu yozuvlarni hisobga olgan holda, bu tenglamalar tizimi quyidagi matritsa ko'rinishini oladi: A*X = B. Agar A matritsa birlik bo'lmasa (uning determinanti nolga teng emas) , u holda A -1 teskari matritsaga ega... Tenglamaning ikkala tomonini A -1 ga ko'paytirsak, biz quyidagilarga erishamiz: A -1 *A*X = A -1 *B, A -1 *A = E. Bu tenglik deyiladi chiziqli tenglamalar sistemasi yechimining matritsali yozuvi. Tenglamalar sistemasi yechimini topish uchun A -1 teskari matritsani hisoblash kerak. Agar A matritsaning determinanti nolga teng bo'lmasa, tizim yechimga ega bo'ladi. Keling, asosiy determinantni topamiz. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Demak, determinant 14 ≠ 0, shuning uchun biz yechimni davom ettiring. Buning uchun teskari matritsani algebraik qo‘shimchalar orqali topamiz. Keling, yagona bo'lmagan A matritsaga ega bo'lsin:

Biz algebraik to'ldiruvchilarni hisoblaymiz.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 =-1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Imtihon. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 dok:xml:xls Javob: -1,1,2.

n-tartibli kvadrat matritsa bo'lsin

A -1 matritsasi deyiladi teskari matritsa A matritsaga nisbatan, agar A*A -1 = E bo'lsa, bu erda E - n-tartibning o'ziga xos matritsasi.

Identifikatsiya matritsasi- shunday kvadrat matritsa, unda asosiy diagonal bo'ylab yuqori chap burchakdan pastki o'ng burchakka o'tadigan barcha elementlar bir, qolganlari esa nolga teng, masalan:

teskari matritsa mavjud bo'lishi mumkin faqat kvadrat matritsalar uchun bular. satrlar va ustunlar soni mos keladigan matritsalar uchun.

Teskari matritsaning mavjudligi sharti uchun teorema

Matritsa teskari matritsaga ega bo'lishi uchun uning yagona bo'lmagan bo'lishi zarur va etarli.

A = (A1, A2,...A n) matritsasi deyiladi degenerativ bo'lmagan, agar ustun vektorlari chiziqli mustaqil bo'lsa. Matritsaning chiziqli mustaqil ustun vektorlari soni matritsaning darajasi deb ataladi. Shuning uchun biz teskari matritsa mavjud bo'lishi uchun matritsaning darajasi uning o'lchamiga teng bo'lishi zarur va etarli ekanligini aytishimiz mumkin, ya'ni. r = n.

Teskari matritsani topish algoritmi

1. Gauss usuli yordamida tenglamalar sistemasini yechish jadvaliga A matritsasini yozing va unga E matritsasini o‘ng tomondan (tenglamalarning o‘ng tomonlari o‘rniga) belgilang.
2. Jordan transformatsiyalaridan foydalanib, A matritsasini birlik ustunlaridan iborat matritsaga keltiring; bu holda, bir vaqtning o'zida E matritsasini o'zgartirish kerak.
3. Agar kerak bo'lsa, oxirgi jadvalning satrlarini (tenglamalarini) shunday o'zgartiringki, dastlabki jadvalning A matritsasi ostida siz E identifikatsiya matritsasini olasiz.
4. Dastlabki jadvalning E matritsasi ostidagi oxirgi jadvalda joylashgan A -1 teskari matritsasini yozing.

A matritsa uchun A -1 teskari matritsani toping

Yechish: A matritsani yozamiz va E matritsani o’ngga belgilaymiz.Jordan o’zgarishlaridan foydalanib, A matritsani E matritsaga keltiramiz. Hisoblashlar 31.1-jadvalda keltirilgan.

Dastlabki A matritsa va A teskari matritsani -1 ko'paytirish orqali hisob-kitoblarning to'g'riligini tekshiramiz.

Matritsani ko'paytirish natijasida identifikatsiya matritsasi olingan. Shuning uchun hisob-kitoblar to'g'ri bajarildi.

Javob:

Matritsali tenglamalarni yechish

Matritsali tenglamalar quyidagicha ko'rinishi mumkin:

AX = B, HA = B, AXB = C,

Bu erda A, B, C - belgilangan matritsalar, X - kerakli matritsa.

Matritsali tenglamalar tenglamani teskari matritsalarga ko‘paytirish yo‘li bilan yechiladi.

Masalan, tenglamadan matritsani topish uchun ushbu tenglamani chap tomonga ko'paytirish kerak.

Shuning uchun tenglamaning yechimini topish uchun teskari matritsani topish va uni tenglamaning o'ng tomonidagi matritsaga ko'paytirish kerak.

Boshqa tenglamalar ham xuddi shunday yechiladi.

AX = B tenglamani yeching, agar

Yechim: Teskari matritsa teng bo'lgani uchun (1-misolga qarang)

Iqtisodiy tahlilda matritsa usuli

Boshqalar bilan bir qatorda ular ham qo'llaniladi matritsa usullari . Bu usullar chiziqli va vektor-matritsali algebraga asoslangan. Bunday usullar murakkab va ko'p o'lchovli iqtisodiy hodisalarni tahlil qilish maqsadlarida qo'llaniladi. Ko'pincha, ushbu usullar tashkilotlar va ularning tarkibiy bo'linmalari faoliyatini qiyosiy baholash zarur bo'lganda qo'llaniladi.

Matritsali tahlil usullarini qo'llash jarayonida bir necha bosqichlarni ajratib ko'rsatish mumkin.

Birinchi bosqichda iqtisodiy ko'rsatkichlar tizimi shakllantirilmoqda va uning asosida dastlabki ma'lumotlar matritsasi tuziladi, bu jadval bo'lib, unda tizim raqamlari uning alohida qatorlarida ko'rsatiladi. (i = 1,2,.....,n), va vertikal ustunlarda - ko'rsatkichlar soni (j = 1,2,....,m).

Ikkinchi bosqichda Har bir vertikal ustun uchun mavjud indikator qiymatlarining eng kattasi aniqlanadi, u bitta sifatida olinadi.

Shundan so'ng, ushbu ustunda aks ettirilgan barcha summalar bo'linadi eng yuqori qiymat va matritsa hosil bo'ladi standartlashtirilgan koeffitsientlar.

Uchinchi bosqichda matritsaning barcha komponentlari kvadratga teng. Agar ular turli xil ahamiyatga ega bo'lsa, unda har bir matritsa ko'rsatkichiga ma'lum bir og'irlik koeffitsienti beriladi k. Ikkinchisining qiymati ekspert xulosasi bilan belgilanadi.

Oxirgisida, to'rtinchi bosqich reyting qiymatlari topildi Rj ortishi yoki kamayishi tartibiga ko‘ra guruhlanadi.

Belgilangan matritsa usullari, masalan, qachon qo'llanilishi kerak qiyosiy tahlil har xil investitsiya loyihalari, shuningdek, tashkilotlarning boshqa iqtisodiy ko'rsatkichlarini baholashda.