Ikkinchi tartibli va undan yuqori tartibli differensial tenglamalar.
bilan ikkinchi tartibli chiziqli DE doimiy koeffitsientlar.
Yechim misollari.

Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar va yuqori tartibli differensial tenglamalarni ko'rib chiqishga o'tamiz. Agar sizda differentsial tenglama nima ekanligi haqida noaniq tasavvurga ega bo'lsangiz (yoki u nima ekanligini umuman tushunmasangiz), men darsdan boshlashni maslahat beraman. Birinchi tartibli differensial tenglamalar. Yechim misollari. Birinchi tartibli diffurlarning ko'plab yechim tamoyillari va asosiy tushunchalari avtomatik ravishda yuqori tartibli differensial tenglamalarga kengaytiriladi, shuning uchun birinchi tartibli tenglamalarni tushunish juda muhim.

Ko'pgina o'quvchilar 2, 3 va boshqa buyruqlar DE juda qiyin va o'zlashtirib bo'lmaydigan narsa, degan noto'g'ri fikrga ega bo'lishi mumkin. Bu unday emas . Diffuzlarni yechishni o'rganing yuqori tartib"oddiy" 1-darajali DE'lardan ko'ra murakkabroq. Va ba'zi joylarda bu osonroq, chunki qarorlarda maktab o'quv dasturining materiallari faol qo'llaniladi.

Eng mashhur ikkinchi tartibli differensial tenglamalar. Ikkinchi tartibli differentsial tenglamaga Majburiy ikkinchi hosilani o'z ichiga oladi va kiritilmagan

Shuni ta'kidlash kerakki, chaqaloqlarning ba'zilari (va hatto bir vaqtning o'zida) tenglamadan mahrum bo'lishi mumkin, otaning uyda bo'lishi muhimdir. Eng ibtidoiy ikkinchi tartibli differentsial tenglama quyidagicha ko'rinadi:

Amaliy topshiriqlarda uchinchi darajali differensial tenglamalar kamroq tarqalgan, Davlat Dumasidagi sub'ektiv kuzatishlarimga ko'ra, ular 3-4% ovoz olishadi.

Uchinchi tartibli differentsial tenglamaga Majburiy uchinchi hosilani o'z ichiga oladi va kiritilmagan yuqori darajadagi hosilalar:

Uchinchi tartibli eng oddiy differensial tenglama quyidagicha ko'rinadi: - dadam uyda, barcha bolalar sayrga chiqishdi.

Xuddi shunday, 4, 5 va undan yuqori darajali differensial tenglamalar ham aniqlanishi mumkin. Amaliy muammolarda bunday DE juda kam uchraydi, ammo men tegishli misollar berishga harakat qilaman.

Amaliy masalalarda taklif qilinadigan yuqori tartibli differensial tenglamalarni ikkita asosiy guruhga bo'lish mumkin.

1) Birinchi guruh - deb atalmish pastki tartibli tenglamalar. Uchib kiring!

2) ikkinchi guruh - chiziqli tenglamalar doimiy koeffitsientlar bilan yuqori buyurtmalar. Buni biz hozir ko'rib chiqishni boshlaymiz.

Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar
doimiy koeffitsientlar bilan

Nazariy va amaliyotda bunday tenglamalarning ikki turi ajralib turadi - bir jinsli tenglama Va bir jinsli bo'lmagan tenglama.

Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli bir hil DE quyidagi shaklga ega:
, bu erda va doimiylar (raqamlar) va o'ng tomonda - qat'iy nol.

Ko'rib turganingizdek, bir hil tenglamalarda alohida qiyinchiliklar yo'q, asosiysi shundaki to'g'ri qaror qabul qiling kvadrat tenglama .

Ba'zan nostandart bir hil tenglamalar mavjud, masalan, shakldagi tenglama , bu erda ikkinchi hosilada ba'zi bir doimiy , birlikdan farqli (va, albatta, noldan farq qiladi). Yechim algoritmi umuman o'zgarmaydi, xarakterli tenglamani xotirjamlik bilan tuzish va uning ildizlarini topish kerak. Agar xarakteristik tenglama bo'lsa ikki xil haqiqiy ildizga ega bo'ladi, masalan: , Bu umumiy qaror odatiy tarzda yozilgan: .

Ba'zi hollarda, vaziyatdagi xato tufayli, "yomon" ildizlar paydo bo'lishi mumkin, masalan . Nima qilish kerak, javob quyidagicha yozilishi kerak:

Kabi "yomon" konjugat murakkab ildizlar bilan muammo ham yo'q, umumiy yechim:

Ya'ni, umumiy yechim har qanday holatda ham mavjud. Chunki har qanday kvadrat tenglama ikkita ildizga ega.

Yakuniy xatboshida, men va'da qilganimdek, biz qisqacha ko'rib chiqamiz:

Oliy tartibli chiziqli bir jinsli tenglamalar

Hammasi juda, juda o'xshash.

Uchinchi tartibli chiziqli bir hil tenglama quyidagi ko'rinishga ega:
, doimiylar qayerda.
Uchun berilgan tenglama xarakterli tenglamani tuzib, uning ildizlarini ham topish kerak. Ko'pchilik taxmin qilganidek, xarakterli tenglama quyidagicha ko'rinadi:
, va u Nima bo'lganda ham Unda bor aniq uchta ildiz.

Masalan, barcha ildizlar haqiqiy va aniq bo'lsin: , u holda umumiy yechimni quyidagicha yozish mumkin:

Agar bir ildiz haqiqiy, qolgan ikkitasi konjugat kompleks bo'lsa, umumiy yechimni quyidagicha yozamiz:

Har uch ildiz ko'paytmali (bir xil) bo'lganda alohida holat. 3-tartibdagi eng oddiy bir jinsli DEni yolg'iz ota bilan ko'rib chiqamiz: . Xarakteristik tenglama uchta tasodifiy nol ildizga ega. Umumiy yechimni quyidagicha yozamiz:

Agar xarakteristik tenglama bo'lsa Masalan, uchta ko'p ildizga ega bo'lsa, umumiy yechim mos ravishda:

9-misol

Uchinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamani yeching

Yechim: Biz xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz:

, - bitta haqiqiy ildiz va ikkita konjugat kompleks ildiz olinadi.

Javob: umumiy qaror

Xuddi shunday, chiziqli bir jinsli tenglamani ham ko'rib chiqishimiz mumkin to'rtinchi tartib doimiy koeffitsientlar bilan: , bu erda doimiylar.

Fizikaning ayrim masalalarida jarayonni tavsiflovchi miqdorlar o‘rtasida to‘g‘ridan-to‘g‘ri bog‘lanishni o‘rnatish mumkin emas. Ammo o'rganilayotgan funksiyalarning hosilalarini o'z ichiga olgan tenglikni olish imkoniyati mavjud. Differensial tenglamalar shunday paydo bo'ladi va noma'lum funktsiyani topish uchun ularni yechish zarurati.

Ushbu maqola hal qilish vazifasiga duch kelganlar uchun mo'ljallangan differensial tenglama, bunda noma'lum funktsiya bitta o'zgaruvchining funktsiyasidir. Nazariya shunday tuzilganki, differensial tenglamalarni nol tushunish bilan siz o'z ishingizni qila olasiz.

Differensial tenglamalarning har bir turi tipik misollar va masalalarning batafsil tushuntirishlari va yechimlari bilan hal qilish usuli bilan bog'liq. Siz shunchaki muammoingizning differentsial tenglamasining turini aniqlashingiz, shunga o'xshash tahlil qilingan misolni topishingiz va shunga o'xshash harakatlarni bajarishingiz kerak.

Differensial tenglamalarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun sizga antiderivativlar to'plamini topish qobiliyati ham kerak bo'ladi ( noaniq integrallar) turli funktsiyalarga ega. Agar kerak bo'lsa, bo'limga murojaat qilishingizni tavsiya qilamiz.

Birinchidan, hosilaga nisbatan yechish mumkin bo‘lgan birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarning turlarini ko‘rib chiqing, so‘ngra ikkinchi tartibli ODElarga o‘tamiz, so‘ngra yuqori tartibli tenglamalarga to‘xtalib, differensial tenglamalar sistemasi bilan yakunlaymiz.

Eslatib o'tamiz, agar y x argumentining funktsiyasi bo'lsa.

Birinchi tartibli differensial tenglamalar.

Shaklning birinchi tartibli eng oddiy differensial tenglamalari.

Keling, bunday DE ning bir nechta misollarini yozamiz .

Differensial tenglamalar hosilaga nisbatan tenglikning ikkala tomonini f(x) ga bo‘lish yo‘li bilan yechish mumkin. Bunday holda, f(x) ≠ 0 uchun asl tenglamaga ekvivalent bo'ladigan tenglamaga erishamiz. Bunday ODElarga misollar.

Agar f(x) va g(x) funktsiyalari bir vaqtning o'zida yo'q bo'lib ketadigan x argumentining qiymatlari mavjud bo'lsa, qo'shimcha echimlar paydo bo'ladi. Tenglamaning qo'shimcha yechimlari berilgan x bu argument qiymatlari uchun belgilangan har qanday funksiyalardir. Bunday differensial tenglamalarga misol qilib keltirish mumkin.

Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar.

Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir hil differensial tenglamalar.

Doimiy koeffitsientlarga ega LODE - differensial tenglamalarning juda keng tarqalgan turi. Ularning yechimi ayniqsa qiyin emas. Avval ildizlar topiladi xarakterli tenglama . Turli xil p va q uchun uchta holat mumkin: xarakterli tenglamaning ildizlari haqiqiy va har xil, haqiqiy va mos kelishi mumkin. yoki murakkab konjugat. Xarakteristik tenglamaning ildizlari qiymatlariga qarab, differentsial tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha yoziladi. , yoki , yoki mos ravishda.

Masalan, doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir hil differensial tenglamani ko'rib chiqing. Uning xarakteristik tenglamasining ildizlari k 1 = -3 va k 2 = 0 dir. Ildizlar haqiqiy va har xil, shuning uchun doimiy koeffitsientli LDE ning umumiy echimi


Doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli bo'lmagan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar.

O'zgarmas koeffitsientlari y bo'lgan ikkinchi tartibli LIDE ning umumiy yechimi mos keladigan LODE ning umumiy yechimi yig'indisi sifatida qidiriladi. va asl nusxaning alohida yechimi bir jinsli bo'lmagan tenglama, ya'ni, . Oldingi paragraf doimiy koeffitsientli bir hil differensial tenglamaning umumiy yechimini topishga bag'ishlangan. Va ma'lum bir yechim asl tenglamaning o'ng tomonida joylashgan f (x) funktsiyasining ma'lum bir shakli uchun noaniq koeffitsientlar usuli yoki ixtiyoriy doimiylarni o'zgartirish usuli bilan aniqlanadi.

Doimiy koeffitsientlarga ega bo'lgan ikkinchi darajali LIDElarga misol sifatida biz taqdim etamiz


Nazariyani tushunish va misollarning batafsil echimlari bilan tanishish uchun biz sizga sahifada doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir hil bo'lmagan differentsial tenglamalarni taklif qilamiz.

Chiziqli bir jinsli differentsial tenglamalar (LODEs) va ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar (LNDE).

Ushbu turdagi differentsial tenglamalarning alohida holati doimiy koeffitsientli LODE va ​​LODE hisoblanadi.

LODE ning ma'lum oraliqdagi umumiy yechimi ushbu tenglamaning ikkita chiziqli mustaqil y 1 va y 2 yechimlarining chiziqli birikmasi bilan ifodalanadi, ya'ni .

Asosiy qiyinchilik bu turdagi differensial tenglamaning chiziqli mustaqil qisman yechimlarini topishdadir. Odatda, aniq echimlar quyidagi chiziqli mustaqil funktsiyalar tizimidan tanlanadi:


Biroq, bu shaklda har doim ham alohida echimlar taqdim etilmaydi.

LODU ga misol .

LIDE ning umumiy yechimi shaklda izlanadi, bu erda mos keladigan LODE ning umumiy yechimi va dastlabki differensial tenglamaning alohida yechimi. Biz hozirgina topish haqida gapirdik, lekin uni ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli yordamida aniqlash mumkin.

LNDE ga misol .

Yuqori tartibli differensial tenglamalar.

Tartibni kamaytirishga ruxsat beruvchi differensial tenglamalar.

Differensial tenglamaning tartibi , kerakli funktsiyani va uning k-1 tartibigacha hosilalarini o'z ichiga olmaydi, ni almashtirish orqali n-k ga qisqartirilishi mumkin.

Bu holda va asl differensial tenglama ga kamayadi. Uning yechimi p(x) topilgach, almashtirishga qaytish va noma'lum funksiyani aniqlash y .

Masalan, differensial tenglama almashtirishdan keyin ajratiladigan tenglamaga aylanadi va uning tartibi uchinchidan birinchisiga kamayadi.

Ko'pincha faqat eslatma differensial tenglamalar talabalarga noqulaylik tug'diradi. Nima uchun bu sodir bo'lmoqda? Ko'pincha, chunki materialning asoslarini o'rganishda bilimda bo'shliq paydo bo'ladi, buning natijasida difursni keyingi o'rganish shunchaki qiynoqlarga aylanadi. Hech narsa aniq emas, nima qilish kerak, qaerdan boshlashni qanday hal qilish kerak?

Biroq, biz sizga difurs ko'rinadigan darajada qiyin emasligini ko'rsatishga harakat qilamiz.

Differensial tenglamalar nazariyasining asosiy tushunchalari

Maktabdan biz noma'lum x ni topishimiz kerak bo'lgan eng oddiy tenglamalarni bilamiz. Aslida differensial tenglamalar faqat ulardan bir oz farq qiladi - o'zgaruvchi o'rniga X funktsiyani topishlari kerak y(x) , bu tenglamani o'ziga xoslikka aylantiradi.

D differensial tenglamalar katta amaliy ahamiyatga ega. Bu atrofimizdagi dunyoga hech qanday aloqasi bo'lmagan mavhum matematika emas. Differensial tenglamalar yordamida ko'plab haqiqiy tabiiy jarayonlar tasvirlangan. Masalan, simli tebranishlar, garmonik osilator harakati, mexanika masalalarida differensial tenglamalar yordamida jismning tezligi va tezlanishi topiladi. Shuningdek DU toping keng qo'llanilishi biologiya, kimyo, iqtisod va boshqa ko'plab fanlar bo'yicha.

Differensial tenglama (DU) y(x) funksiyaning hosilalari, funksiyaning o‘zi, mustaqil o‘zgaruvchilar va boshqa parametrlarni turli kombinatsiyalarda o‘z ichiga olgan tenglamadir.

Differensial tenglamalarning ko'p turlari mavjud: oddiy differensial tenglamalar, chiziqli va chiziqli bo'lmagan, bir jinsli va bir jinsli bo'lmagan, birinchi va yuqori tartibli differensial tenglamalar, qisman differensial tenglamalar va boshqalar.

Differensial tenglamaning yechimi uni o'ziga xoslikka aylantiruvchi funksiyadir. Masofadan boshqarishning umumiy va maxsus echimlari mavjud.

Differensial tenglamaning umumiy yechimi tenglamani o'ziga xoslikka aylantiruvchi umumiy yechimlar to'plamidir. Differensial tenglamaning muayyan yechimi qanoatlantiruvchi yechimdir qo'shimcha shartlar dastlab o'rnating.

Differensial tenglamaning tartibi unga kiritilgan hosilalarning eng yuqori tartibi bilan aniqlanadi.

Oddiy differensial tenglamalar

Oddiy differensial tenglamalar bitta mustaqil o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalar.

Birinchi tartibli eng oddiy oddiy differensial tenglamani ko'rib chiqing. Bu shunday ko'rinadi:

Bu tenglamani oddiygina o'ng tomonini integrallash orqali yechish mumkin.

Bunday tenglamalarga misollar:

Ajraladigan o'zgaruvchan tenglamalar

IN umumiy ko'rinish bu turdagi tenglama quyidagicha ko'rinadi:

Mana bir misol:

Bunday tenglamani echishda siz o'zgaruvchilarni ajratib, uni quyidagi shaklga keltirishingiz kerak:

Shundan so'ng, ikkala qismni birlashtirish va yechim topish qoladi.

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar

Bunday tenglamalar quyidagi shaklda bo'ladi:

Bu yerda p(x) va q(x) mustaqil o‘zgaruvchining ba’zi funksiyalari, y=y(x) esa kerakli funksiyadir. Mana shunday tenglamaga misol:

Bunday tenglamani yechishda ko'pincha ular ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usulidan foydalanadilar yoki kerakli funktsiyani boshqa ikkita y(x)=u(x)v(x) funksiyalarning ko'paytmasi sifatida ifodalaydilar.

Bunday tenglamalarni echish uchun ma'lum tayyorgarlik talab etiladi va ularni "ixtiyoriy ravishda" qabul qilish juda qiyin bo'ladi.

Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan DEni echishga misol

Shunday qilib, biz masofadan boshqarishning eng oddiy turlarini ko'rib chiqdik. Endi ulardan birini ko'rib chiqamiz. Ajraladigan o'zgaruvchilarga ega tenglama bo'lsin.

Birinchidan, biz hosilani ko'proq tanish shaklda qayta yozamiz:

Keyin biz o'zgaruvchilarni ajratamiz, ya'ni tenglamaning bir qismida barcha "o'yinlar" ni, ikkinchisida esa "xes" ni to'playmiz:

Endi ikkala qismni birlashtirish qoladi:

Ushbu tenglamaning umumiy yechimini integrallaymiz va olamiz:

Albatta, differensial tenglamalarni yechish o‘ziga xos san’atdir. Siz tenglamaning qaysi turiga tegishli ekanligini tushunishingiz kerak, shuningdek, uni u yoki bu shaklga keltirish uchun u bilan qanday o'zgarishlarni amalga oshirish kerakligini ko'rishni o'rganishingiz kerak, shunchaki farqlash va integrasiya qilish qobiliyati haqida gapirmang. Va DE ni hal qilishda muvaffaqiyatga erishish uchun (hamma narsada bo'lgani kabi) amaliyot kerak. Va agar sizda bo'lsa bu daqiqa differensial tenglamalar qanday echilishi bilan shug'ullanish uchun vaqt yo'q yoki Koshi muammosi tomoqdagi suyak kabi ko'tarildi yoki siz bilmaysiz, bizning mualliflarimizga murojaat qiling. Qisqa vaqt ichida biz sizga tayyor va batafsil yechim, siz uchun qulay bo'lgan istalgan vaqtda tafsilotlarni tushunish uchun. Shu bilan birga, biz "Differensial tenglamalarni qanday echish kerak" mavzusidagi videoni tomosha qilishni taklif qilamiz:

Ko'rinishdagi tenglama: yuqori tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi, bunda 0, a 1, ... va n o'zgaruvchining x yoki doimiy funksiyalari, 0, a 1, ... va n. va f (x) uzluksiz hisoblanadi.

Agar 0 =1 bo'lsa (agar
keyin bo'linishi mumkin)
tenglama quyidagi shaklni oladi:

Agar
tenglama bir jinsli emas.

tenglama bir hil.

n tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar

Ko'rinishdagi tenglama: n tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar deyiladi.

Ushbu tenglamalar uchun quyidagi teoremalar to'g'ri keladi:

1-teorema: Agar
- yechim , keyin summa
- shuningdek, yechim

Isbot: yig'indini o'rniga qo'ying

Yig'indining har qanday tartibining hosilasi hosilalar yig'indisiga teng bo'lganligi sababli, qavslarni ochish orqali qayta guruhlashingiz mumkin:

chunki y 1 va y 2 yechimdir.

0=0(to‘g‘ri)
miqdori ham qaror hisoblanadi.

teorema isbotlangan.

2-teorema: Agar y 0 - yechim , Bu
- shuningdek, yechim .

Isbot: almashtirish
tenglamaga kiradi

chunki C hosila belgisidan olinadi, demak

chunki yechim, 0=0 (to'g'ri)
Cy 0 ham yechimdir.

teorema isbotlangan.

T1 va T2 oqibatlari: Agar
- yechimlar (*)
chiziqli birikma ham yechim (*) hisoblanadi.

Chiziqli mustaqil va chiziqli bog'liq funktsiyalar tizimi. Vronskiy determinanti va uning xossalari

Ta'rif: Funktsional tizim
- koeffitsientlarning chiziqli birikmasi bo'lsa, chiziqli mustaqil deyiladi
.

Ta'rif: funktsiya tizimi
- koeffitsientlar mavjud bo'lsa, chiziqli bog'liq deyiladi
.

Ikki chiziqli bog'liq funksiyalar tizimini olaylik
chunki
yoki
- holat chiziqli mustaqillik ikkita funksiya.

1)
chiziqli mustaqil

2)
chiziqli bog'liq

3) chiziqli bog'liq

Ta'rif: Funktsiyalar tizimi berilgan
- x o'zgaruvchining funktsiyalari.

Aniqlovchi
-Vronskiy funksiyalar sistemasi uchun determinant
.

Ikki funksiyali tizim uchun Wronskiy determinanti quyidagicha ko'rinadi:

Vronskiy determinantining xususiyatlari:

Teorema: 2-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi haqida.

Agar y 1 va y 2 chiziqli bo'lsa mustaqil yechimlar 2-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama, keyin

umumiy yechim quyidagicha ko'rinadi:

Isbot:
- T1 va T2 oqibatlari to'g'risida qaror.

Agar dastlabki shartlar berilgan bo'lsa Va aniq joylashishi kerak.

- dastlabki shartlar.

Keling, topish uchun tizim yarataylik Va . Buning uchun boshlang'ich shartlarni umumiy yechimga almashtiramiz.

Ushbu tizimning hal qiluvchi omili:
- x 0 nuqtada hisoblangan Vronskiy determinanti

chunki Va chiziqli mustaqil
(2 0 tomonidan)

sistemaning determinanti 0 ga teng bo'lmagani uchun sistemaning yagona yechimi va Va tizimdan shubhasiz.

n tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi

Tenglama n ta chiziqli mustaqil yechimga ega ekanligini ko'rsatish mumkin

Ta'rif: n chiziqli mustaqil yechimlar
n tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama deyiladi asosiy yechim tizimi.

n tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi, ya’ni (*) asosiy yechimlar tizimining chiziqli birikmasidir:

Qayerda
- asosiy yechim tizimi.

Doimiy koeffitsientli 2-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar

Bu shakldagi tenglamalar:
, bu erda p va g raqamlar (*)

Ta'rif: Tenglama
- chaqirdi xarakterli tenglama differensial tenglama (*) oddiy kvadrat tenglama bo'lib, uning yechimi D ga bog'liq, quyidagi holatlar mumkin:

1)D>0
ikkita haqiqiy farqli yechim.

2) D=0
- ko'plikning bitta haqiqiy ildizi 2.

3) D<0
ikkita murakkab konjugat ildizdir.

Ushbu holatlarning har biri uchun biz 2 funktsiyadan tashkil topgan asosiy echimlar tizimini ko'rsatamiz Va .

Biz buni ko'rsatamiz:

1) Va - LNZ

2) Va - yechim (*)

1 ta holatni ko'rib chiqing D>0
- 2 haqiqiy aniq ildiz.

X
xarakterli tenglama:

Keling, FSR sifatida olaylik:

a) LNZni ko'rsatish

b) buni ko'rsating - yechim (*), o'rnini bosuvchi

+p
+g
=0

haqiqiy tenglik

yechim (*)

y 2 uchun xuddi shunday ko'rsatilgan.

Xulosa:
- FSR (*)
umumiy qaror

2 holatni ko'rib chiqing: D=0
- ko'plikning 1 haqiqiy ildizi 2.

Keling, FSR sifatida olaylik:

LNZ:
LNZ bu.

-tenglamani yechish (1-holatga qarang). Keling, buni ko'rsataylik
- yechim.

DUda almashtiring

- yechim.

Xulosa: FSR

Misol:

3 holat: D<0
- 2 ta murakkab konjugat ildiz.

almashtirmoq
xarakterda tenglama

Haqiqiy va xayoliy qismlar 0 ga teng bo'lsa, kompleks son 0 ga teng.

- foydalanamiz.

Keling, buni ko'rsataylik
- FSRni tashkil qiladi.

A) LNZ:

B)
- masofadan boshqarish pulti

haqiqiy tenglik
- DU qarori.

Xuddi shunday, bu ko'rsatilgan ham yechim.

Xulosa: FSR:

Umumiy qaror:

Agar n.o.s.

-keyin avval umumiy yechim toping
, uning hosilasi:
, keyin esa n.u. bu sistemaga almashtiriladi va ular topadilar Va .

Xo'sh:

Hisoblash nazariyasi bir jinsli bo'lmagan differentsial tenglamalar(DU) biz ushbu nashrda bermaymiz, oldingi darslardan savolga javob topish uchun etarli ma'lumotni topishingiz mumkin "Bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamani qanday yechish mumkin?" Bu erda bir jinsli bo'lmagan DE darajasi katta rol o'ynamaydi, bunday DE ning yechimini hisoblash imkonini beradigan usullar unchalik ko'p emas. Misollardagi javoblarni o'qishni osonlashtirish uchun asosiy urg'u faqat hisoblash texnikasi va yakuniy funktsiyani chiqarishni osonlashtiradigan maslahatlarga qaratiladi.

1-misol Differensial tenglamani yeching
Yechim: berilgan uchinchi tartibli bir jinsli differensial tenglama, bundan tashqari, u faqat ikkinchi va uchinchi hosilalarni o'z ichiga oladi va funktsiyaga va uning birinchi hosilasiga ega emas. Bunday hollarda kamaytirish usulidan foydalaning differensial tenglama. Buning uchun parametr kiritiladi - biz p parametri orqali ikkinchi hosilani belgilaymiz

u holda funksiyaning uchinchi hosilasi

Asl bir hil DE shaklga soddalashtiriladi

Keyin biz uni differentsialda yozamiz ajratilgan o'zgaruvchan tenglamaga keltiring va integratsiyalash orqali yechim toping

Parametr funktsiyaning ikkinchi hosilasi ekanligini unutmang

shuning uchun funksiyaning o‘zi formulasini topish uchun topilgan differensial bog‘liqlikni ikki marta integrallaymiz

Funktsiyada eski C 1, C 2, C 3 ixtiyoriy qiymatlarga teng.
Sxema shunday ko'rinadi parametr kiritish orqali bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimini toping. Quyidagi masalalar qiyinroq va ulardan uchinchi tartibli bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamalarni yechish usullarini o'rganasiz. Hisob-kitoblar bo'yicha bir hil va bir hil bo'lmagan DE o'rtasida biroz farq bor, buni hozir ko'rasiz.

2-misol Toping
Yechim: Bizda uchinchi tartib bor. Shuning uchun uning yechimini bir jinsli va bir jinsli bo'lmagan tenglamaning xususiy yechimlarining ikki - yechimlari yig'indisi shaklida izlash kerak.

Avval qaror qilaylik

Ko'rib turganingizdek, u funksiyaning faqat ikkinchi va uchinchi hosilalarini o'z ichiga oladi va funktsiyaning o'zini o'z ichiga olmaydi. Bu tur farq. tenglamalar parametrni kiritish usuli bilan yechiladi o'z navbatida tenglamaning yechimini topishni qisqartiradi va soddalashtiradi. Amalda, bu shunday ko'rinadi: ikkinchi hosila ma'lum bir funktsiyaga teng bo'lsin, keyin uchinchi hosila rasmiy ravishda yozuvga ega bo'ladi.

3-tartibdagi ko'rib chiqilgan bir jinsli DE birinchi tartibli tenglamaga aylantiriladi

o'zgaruvchilarni bo'lish orqali biz integralni topamiz
x*dp-p*dx=0;

Biz bunday muammolarga duch kelganlarni raqamlashni tavsiya qilamiz, chunki 3-darajali differensial tenglamaning yechimi 3 ta doimiy, to'rtinchisi - 4 va keyin analogiya bo'yicha. Endi kiritilgan parametrga qaytamiz: ikkinchi hosila ko'rinishga ega bo'lganligi sababli, funktsiya hosilasiga bog'liq bo'lgandan keyin uni integrallashtiramiz.

va takroriy integratsiya orqali topamiz bir jinsli funktsiyaning umumiy ko'rinishi

Tenglamaning qisman yechimi logarifmga ko'paytiriladigan o'zgaruvchi sifatida yozing. Bundan kelib chiqadiki, DE ning o'ng (bir hil bo'lmagan) qismi -1/x ga teng va ekvivalent yozuvni olish uchun

shaklda yechim izlash kerak

A koeffitsientini toping, buning uchun biz birinchi va ikkinchi tartiblarning hosilalarini hisoblaymiz

Biz topilgan ifodalarni asl differensial tenglamaga almashtiramiz va koeffitsientlarni x ning bir xil darajada tenglashtiramiz:

Po'lat -1/2 ga teng va shaklga ega

Differensial tenglamaning umumiy yechimi topilganlarning yig'indisi sifatida yozing

bu yerda C 1, C 2, C 3 ixtiyoriy konstantalar bo‘lib, Koshi masalasidan aniqlanishi mumkin.

3-misol Uchinchi tartibli DE integralini toping
Yechish: Biz uchinchi tartibli bir jinsli bo‘lmagan DE ning umumiy integralini bir jinsli va qisman bir jinsli bo‘lmagan tenglama yechimining yig‘indisi ko‘rinishida qidiramiz. Birinchidan, har qanday turdagi tenglamalar uchun biz boshlaymiz bir jinsli differensial tenglamani tahlil qilish

Unda hozirgacha noma'lum funktsiyaning faqat ikkinchi va uchinchi hosilalari mavjud. Biz o'zgaruvchilarning o'zgarishini kiritamiz (parametr): ikkinchi hosilani belgilang

Keyin uchinchi hosila

Xuddi shu o'zgarishlar avvalgi vazifada amalga oshirildi. Bu imkon beradi uchinchi tartibli differensial tenglamani shakldagi birinchi tartibli tenglamaga keltiring

Integratsiya orqali biz topamiz

Eslatib o'tamiz, o'zgaruvchilarning o'zgarishiga ko'ra, bu ikkinchi hosiladir

uchinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamaning yechimini topish uchun uni ikki marta integrallash kerak.

O'ng tomonning turiga qarab (bir hil bo'lmagan qism =x+1 ), shaklida tenglamaning qisman yechimi izlanadi

Qisman yechimni qanday ko'rinishda izlash kerakligini qanday bilish kerak Differensial tenglamalar kursining nazariy qismida sizga o'rgatish kerak edi. Agar yo'q bo'lsa, unda biz faqat bunday ifoda qanday funktsiyani tanlashini taklif qilishimiz mumkin, shunda tenglamaga almashtirilganda eng yuqori hosila yoki kichikroq atama tenglamaning bir xil bo'lmagan qismi bilan bir xil tartibda (o'xshash) bo'ladi.

O'ylaymanki, endi ma'lum bir yechimning shakli qayerdan kelganligi sizga aniqroq bo'ldi. A, B koeffitsientlarini toping, buning uchun funksiyaning ikkinchi va uchinchi hosilalarini hisoblaymiz

va differentsial tenglamaga almashtiring. O'xshash atamalarni guruhlab, chiziqli tenglamani olamiz

undan, o'zgaruvchining teng kuchlari uchun tenglamalar tizimini tuzing

va noma'lum po'latlarni toping. Ularning almashtirilganidan keyin u qaramlik bilan ifodalanadi

Differensial tenglamaning umumiy yechimi bir hil va qisman yig'indisiga teng va shaklga ega

bu yerda C 1, C 2, C 3 ixtiyoriy konstantalardir.

4-misol. R differensial tenglamani yeng
Yechish: Yechimimiz bor, uni yig‘indisi orqali topamiz. Siz hisoblash sxemasini bilasiz, shuning uchun ko'rib chiqishga o'tamiz bir jinsli differensial tenglama

Standart usul bo'yicha parametrni kiriting
Asl differensial tenglama shaklni oladi, undan o'zgaruvchilarni bo'lish orqali biz topamiz.

Parametr ikkinchi lotinga teng ekanligini unutmang
DE ni integratsiyalash orqali biz funktsiyaning birinchi hosilasini olamiz

Qayta integratsiya bir jinsli differensial tenglamaning bosh integralini topamiz

Tenglamaning qisman yechimini shaklda izlaymiz, chunki o'ng tomoni teng
Keling, A koeffitsientini topamiz - buning uchun biz differentsial tenglamaga y * ni almashtiramiz va koeffitsientni o'zgaruvchining bir xil darajalariga tenglashtiramiz.

Atamalarni almashtirib, guruhlagandan so'ng biz bog'liqlikni olamiz

shundan po'lat A=8/3 ga teng.
Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin DE ning qisman eritmasi

Differensial tenglamaning umumiy yechimi topilgan summaga teng

bu yerda C 1, C 2, C 3 ixtiyoriy konstantalardir. Agar Koshi sharti berilgan bo'lsa, unda ular juda oson uzaytirilishi mumkin.

Amaliy mashg'ulotlar, modullar yoki testlarga tayyorgarlik ko'rishda material sizga foydali bo'lishiga ishonaman. Koshi muammosi bu yerda tahlil qilinmagan, lekin oldingi darslardan siz buni qanday qilishni umuman bilasiz.