Vektorlarning chiziqli bog'liqligi va chiziqli mustaqilligi.
Vektorlar asoslari. Affin tizimi koordinatalar

Auditoriyada shokolad solingan arava bor va bugun har bir tashrif buyuruvchi uni oladi shirin juftlik– chiziqli algebra bilan analitik geometriya. Ushbu maqola bir vaqtning o'zida ikkita bo'limni qamrab oladi. oliy matematika, va biz ular bir o'ramda qanday birga bo'lishini ko'rib chiqamiz. Tanaffus qiling, Twix yeying! ...Jin ursin, qanaqa safsata. Garchi, yaxshi, men gol urmayman, oxir-oqibat, siz o'qishga ijobiy munosabatda bo'lishingiz kerak.

Vektorlarning chiziqli bog'liqligi, chiziqli vektor mustaqilligi, vektor asosi va boshqa atamalar nafaqat geometrik talqinga, balki, birinchi navbatda, algebraik ma'noga ega. Chiziqli algebra nuqtai nazaridan "vektor" tushunchasi har doim ham biz tekislikda yoki kosmosda tasvirlashimiz mumkin bo'lgan "oddiy" vektor emas. Dalil izlashning hojati yo'q, besh o'lchovli fazoning vektorini chizishga harakat qiling . Yoki men Gismeteo-ga borgan ob-havo vektori: mos ravishda harorat va atmosfera bosimi. Misol, albatta, vektor fazosining xususiyatlari nuqtai nazaridan noto'g'ri, ammo shunga qaramay, hech kim bu parametrlarni vektor sifatida rasmiylashtirishni taqiqlamaydi. Kuz nafasi...

Yo'q, men sizni nazariya, chiziqli vektor bo'shliqlari bilan zeriktirmoqchi emasman, vazifa shu tushunish ta'riflar va teoremalar. Yangi atamalar (chiziqli bog'liqlik, mustaqillik, chiziqli birikma, bazis va boshqalar) algebraik nuqtai nazardan barcha vektorlarga tegishli, ammo geometrik misollar keltiriladi. Shunday qilib, hamma narsa sodda, tushunarli va tushunarli. Vazifalardan tashqari analitik geometriya ba'zilarini ko'rib chiqamiz tipik vazifalar algebra Materialni o'zlashtirish uchun darslar bilan tanishish tavsiya etiladi Dummies uchun vektorlar Va Determinantni qanday hisoblash mumkin?

Tekis vektorlarning chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi.
Tekislik asosi va afin koordinatalar tizimi

Keling, kompyuter stolining tekisligini ko'rib chiqaylik (shunchaki stol, choyshab, pol, ship, sizga yoqadigan narsa). Vazifa quyidagi harakatlardan iborat bo'ladi:

1) Samolyot asosini tanlang. Taxminan aytganda, stol usti uzunligi va kengligiga ega, shuning uchun asosni qurish uchun ikkita vektor kerak bo'lishi intuitivdir. Bitta vektor etarli emas, uchta vektor juda ko'p.

2) Tanlangan asosga asoslanadi koordinatalar tizimini o'rnatish(koordinatalar panjarasi) jadvaldagi barcha ob'ektlarga koordinatalarni belgilash uchun.

Hayron bo'lmang, dastlab tushuntirishlar barmoqlarda bo'ladi. Bundan tashqari, sizniki. Iltimos, joylashtiring chap ko'rsatkich barmog'i stol usti chetida, shunda u monitorga qaraydi. Bu vektor bo'ladi. Endi joy kichik barmoq o'ng qo'l stolning chetida xuddi shu tarzda - monitor ekraniga yo'naltirilgan bo'lishi uchun. Bu vektor bo'ladi. Tabassum qiling, siz ajoyib ko'rinasiz! Vektorlar haqida nima deyishimiz mumkin? Ma'lumotlar vektorlari kollinear, bu degani chiziqli bir-biri orqali ifodalanadi:
, yaxshi yoki aksincha: , bu yerda qandaydir son noldan farq qiladi.

Ushbu harakatning rasmini sinfda ko'rishingiz mumkin. Dummies uchun vektorlar, bu erda vektorni songa ko'paytirish qoidasini tushuntirdim.

Barmoqlaringiz kompyuter stolining tekisligiga asos soladimi? Shubhasiz. Kollinear vektorlar bo'ylab oldinga va orqaga harakatlanadi yolg'iz yo'nalish va tekislikning uzunligi va kengligi bor.

Bunday vektorlar deyiladi chiziqli bog'liq.

Malumot: "Chiziqli", "chiziqli" so'zlari matematik tenglamalar va ifodalarda kvadratlar, kublar, boshqa darajalar, logarifmlar, sinuslar va boshqalar mavjud emasligini anglatadi. Faqat chiziqli (1-darajali) ifodalar va bog'liqliklar mavjud.

Ikki tekis vektor chiziqli bog'liq agar ular kollinear bo'lsa.

Barmoqlaringizni stol ustida kesib o'ting, shunda ular o'rtasida 0 yoki 180 darajadan boshqa burchak bo'lsin. Ikki tekis vektorchiziqli Yo'q agar ular o'zaro bog'liq bo'lmasa, bog'liq. Shunday qilib, asos olinadi. Asos turli uzunlikdagi perpendikulyar bo'lmagan vektorlar bilan "qiyshiq" bo'lib chiqqanidan xijolat bo'lishning hojati yo'q. Tez orada biz uni qurish uchun nafaqat 90 graduslik burchak, balki teng uzunlikdagi birlik vektorlari ham mos kelishini ko'ramiz.

Har qanday tekislik vektori yagona yo'l asosida kengaytiriladi:
, haqiqiy sonlar qayerda. Raqamlar chaqiriladi vektor koordinatalari shu asosda.

Bu ham aytiladi vektorsifatida taqdim etilgan chiziqli birikma bazis vektorlari. Ya'ni, ifoda deyiladi vektor parchalanishiasosida yoki chiziqli birikma bazis vektorlari.

Masalan, vektor tekislikning ortonormal asosi bo'ylab parchalanadi yoki vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanadi, deyishimiz mumkin.

Keling, shakllantiraylik asosning ta'rifi rasmiy ravishda: Samolyotning asosi chiziqli mustaqil (kollinear bo'lmagan) vektorlar juftligi deyiladi, , esa har qanday tekislik vektori bazis vektorlarining chiziqli birikmasidir.

Ta'rifning muhim nuqtasi - vektorlarning olinishi ma'lum bir tartibda. Bazalar - bu ikkita butunlay boshqa asoslar! Ular aytganidek, o'ng qo'lning kichik barmog'i o'rniga chap qo'lning kichik barmog'ini almashtira olmaysiz.

Biz asosni aniqladik, lekin koordinatalar panjarasini o'rnatish va kompyuter stolidagi har bir elementga koordinatalarni belgilash etarli emas. Nega bu etarli emas? Vektorlar erkin va butun tekislikda aylanib yuradi. Xo'sh, qanday qilib yovvoyi dam olish kunlaridan qolgan stoldagi kichik iflos joylarga koordinatalarni belgilash mumkin? Boshlanish nuqtasi kerak. Va bunday diqqatga sazovor joy hamma uchun tanish nuqta - koordinatalarning kelib chiqishi. Keling, koordinatalar tizimini tushunamiz:

Men “maktab” tizimidan boshlayman. Kirish darsida allaqachon Dummies uchun vektorlar Men to'rtburchaklar koordinatalar tizimi va ortonormal asos o'rtasidagi ba'zi farqlarni ta'kidladim. Mana standart rasm:

Ular haqida gapirganda to'rtburchaklar koordinatalar tizimi, keyin ko'pincha ular kelib chiqishi, koordinata o'qlari va o'qlar bo'ylab masshtabni anglatadi. Qidiruv tizimiga “to‘rtburchaklar koordinatalar tizimi” so‘zini yozib ko‘ring va ko‘p manbalar sizga 5-6-sinfdan tanish bo‘lgan koordinata o‘qlari va nuqtalarni tekislikda qanday chizish haqida ma’lumot berishini ko‘rasiz.

Boshqa tomondan, to'rtburchaklar koordinatalar tizimini ortonormal asos nuqtai nazaridan to'liq aniqlash mumkin ko'rinadi. Va bu deyarli to'g'ri. Matn quyidagicha:

kelib chiqishi, Va ortonormal asos belgilanadi Dekart to'rtburchaklar tekislik koordinatalari tizimi . Ya'ni to'rtburchaklar koordinatalar tizimi albatta bitta nuqta va ikkita birlik ortogonal vektor bilan aniqlanadi. Shuning uchun siz yuqorida men bergan chizmani ko'rasiz - geometrik masalalarda vektor va koordinata o'qlari ko'pincha (lekin har doim ham emas) chiziladi.

Menimcha, hamma nuqta (kelib chiqishi) va ortonormal asosdan foydalanishni tushunadi Samolyotdagi HAR QANDAY NOKTA va samolyotdagi HAR QANDAY VEKTOR koordinatalarini belgilash mumkin. Majoziy ma'noda aytganda, "samolyotdagi hamma narsani raqamlash mumkin".

Koordinata vektorlari birlik bo'lishi kerakmi? Yo'q, ular o'zboshimchalik bilan nolga teng bo'lmagan uzunlikka ega bo'lishi mumkin. Nolga teng bo'lmagan ixtiyoriy uzunlikdagi nuqta va ikkita ortogonal vektorni ko'rib chiqing:

Bunday asos deyiladi ortogonal. Vektorlar bilan koordinatalarning kelib chiqishi koordinata panjarasi bilan belgilanadi va tekislikning istalgan nuqtasi, har qanday vektor berilgan asosda o'z koordinatalariga ega. Masalan, yoki. Aniq noqulaylik shundaki, koordinata vektorlari V umumiy holat birlikdan tashqari turli uzunliklarga ega. Agar uzunliklar birlikka teng bo'lsa, u holda odatiy ortonormal asos olinadi.

! Eslatma : ortogonal asosda, shuningdek quyida afin asoslar o'qlar bo'ylab tekislik va fazo birliklari hisobga olinadi SHARTLI. Misol uchun, x o'qi bo'ylab bitta birlik 4 sm ni o'z ichiga oladi, ordinat o'qi bo'ylab bitta birlik 2 sm ni o'z ichiga oladi, agar kerak bo'lsa, "nostandart" koordinatalarni "bizning odatiy santimetrlarimiz" ga aylantirish uchun etarli.

Va aslida allaqachon javob berilgan ikkinchi savol, asosiy vektorlar orasidagi burchak 90 darajaga teng bo'lishi kerakmi? Yo'q! Ta'rifda aytilganidek, asosiy vektorlar bo'lishi kerak faqat kollinear emas. Shunga ko'ra, burchak 0 va 180 darajadan tashqari har qanday narsa bo'lishi mumkin.

Samolyotdagi nuqta chaqirildi kelib chiqishi, Va kollinear bo'lmagan vektorlar, , oʻrnating afin tekislik koordinata tizimi :

Ba'zan bunday koordinatalar tizimi deyiladi qiya tizimi. Misol sifatida, chizma nuqtalar va vektorlarni ko'rsatadi:

Siz tushunganingizdek, affin koordinata tizimi bundan ham unchalik qulay emas, biz darsning ikkinchi qismida muhokama qilgan vektorlar va segmentlarning uzunliklari uchun formulalar unda ishlamaydi; Dummies uchun vektorlar, bilan bog'liq ko'plab mazali formulalar vektorlarning skalyar mahsuloti. Ammo vektorlarni qo'shish va vektorni raqamga ko'paytirish qoidalari, bu borada segmentni bo'lish formulalari, shuningdek, biz yaqinda ko'rib chiqadigan boshqa muammolar turlari amal qiladi.

Xulosa shuki, affin koordinatalar sistemasining eng qulay maxsus holati Dekart to'rtburchaklar sistemasidir. Shuning uchun siz uni tez-tez ko'rishingiz kerak, azizim. ...Ammo, bu hayotda hamma narsa nisbiy - qiyshiq burchak (yoki boshqasi, masalan, qutbli) koordinatalar tizimi. Va gumanoidlar bunday tizimlarni yoqtirishi mumkin =)

Keling, amaliy qismga o'tamiz. Ushbu darsdagi barcha masalalar to'rtburchaklar koordinatalar tizimi uchun ham, umumiy affin holati uchun ham amal qiladi. Bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q, barcha materiallar hatto maktab o'quvchisi uchun ham mavjud.

Tekis vektorlarning kollinearligini qanday aniqlash mumkin?

Oddiy narsa. Ikki tekis vektor uchun kollinear edi, ularning mos keladigan koordinatalari proportsional bo'lishi zarur va etarli Asosan, bu aniq munosabatlarning koordinatali koordinatali tafsilotidir.

1-misol

a) vektorlarning kollinear ekanligini tekshiring .
b) Vektorlar asosni tashkil qiladimi? ?

Yechim:
a) vektorlar mavjudligini aniqlaylik mutanosiblik koeffitsienti, shundayki tengliklar qondiriladi:

Men sizga, albatta, amalda juda yaxshi ishlaydigan ushbu qoidani qo'llashning "axloqsiz" versiyasi haqida gapirib beraman. G'oya darhol proportsiyani tuzish va uning to'g'riligini tekshirishdir:

Vektorlarning mos keladigan koordinatalarining nisbatlaridan proporsiya tuzamiz:

Keling, qisqartiramiz:
, shuning uchun mos keladigan koordinatalar proportsionaldir, shuning uchun

O'zaro munosabatlar boshqa yo'l bilan amalga oshirilishi mumkin, bu ekvivalent variant:

O'z-o'zini sinab ko'rish uchun siz kollinear vektorlarning bir-biri orqali chiziqli ifodalanganligidan foydalanishingiz mumkin. Bunday holda, tenglik sodir bo'ladi . Ularning haqiqiyligini vektorlar bilan elementar operatsiyalar orqali osongina tekshirish mumkin:

b) Ikki tekis vektor, agar ular kollinear (chiziqli mustaqil) bo'lmasa, bazis hosil qiladi. Biz vektorlarni kollinearlik uchun tekshiramiz . Keling, tizim yarataylik:

Birinchi tenglamadan kelib chiqadiki , ikkinchi tenglamadan shunday degani kelib chiqadi tizim mos kelmaydi(echimlar yo'q). Shunday qilib, vektorlarning mos keladigan koordinatalari proportsional emas.

Xulosa: vektorlar chiziqli mustaqil va asosni tashkil qiladi.

Yechimning soddalashtirilgan versiyasi quyidagicha ko'rinadi:

Vektorlarning mos keladigan koordinatalaridan proporsiya yasaymiz :
, ya'ni bu vektorlar chiziqli mustaqil va asosni tashkil qiladi.

Odatda bu variant sharhlovchilar tomonidan rad etilmaydi, lekin ba'zi koordinatalar nolga teng bo'lgan hollarda muammo paydo bo'ladi. Shunga o'xshash: . Yoki shunday: . Yoki shunday: . Bu erda qanday qilib mutanosiblik bilan ishlash kerak? (haqiqatan ham siz nolga bo'la olmaysiz). Shuning uchun men soddalashtirilgan yechimni "foppish" deb atadim.

Javob: a) , b) shakl.

O'zingizning yechimingiz uchun kichik ijodiy misol:

2-misol

Parametrning qaysi qiymatida vektorlar ular o'zaro bog'liq bo'ladimi?

Namuna eritmasida parametr nisbat orqali topiladi.

Vektorlarni kollinearlikni tekshirishning nafis algebraik usuli bor, keling, bilimlarimizni tizimlashtiramiz va uni beshinchi nuqta sifatida qo'shamiz:

Ikki tekis vektor uchun quyidagi bayonotlar ekvivalentdir:

2) vektorlar asosni tashkil qiladi;
3) vektorlar kollinear emas;

+ 5) bu vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng.

Mos ravishda, quyidagi qarama-qarshi gaplar ekvivalentdir:
1) vektorlar chiziqli bog'liq;
2) vektorlar asos hosil qilmaydi;
3) vektorlar kollinear;
4) vektorlar bir-biri orqali chiziqli ifodalanishi mumkin;
+ 5) bu vektorlarning koordinatalaridan tuzilgan determinant nolga teng.

Men, albatta, umid qilaman hozirgi paytda siz duch kelgan barcha shartlar va bayonotlarni allaqachon tushunasiz.

Keling, yangi, beshinchi nuqtani batafsil ko'rib chiqaylik: ikkita tekis vektor Agar berilgan vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng bo'lsa, ular kollinear bo'ladi.:. Bu xususiyatni qo'llash uchun, albatta, qobiliyatga ega bo'lishingiz kerak determinantlarni toping.

Keling, qaror qilaylik Ikkinchi usulda 1-misol:

a) vektorlar koordinatalaridan tuzilgan determinantni hisoblaymiz :
, bu vektorlar kollinear ekanligini bildiradi.

b) Ikki tekis vektor, agar ular kollinear (chiziqli mustaqil) bo'lmasa, bazis hosil qiladi. Vektor koordinatalaridan tuzilgan determinantni hisoblaymiz :
, ya'ni vektorlar chiziqli mustaqil va asosni tashkil qiladi.

Javob: a) , b) shakl.

Bu proportsional yechimga qaraganda ancha ixcham va chiroyli ko'rinadi.

Ko'rib chiqilgan material yordamida faqat vektorlarning kollinearligini o'rnatish, balki segmentlar va to'g'ri chiziqlar parallelligini isbotlash mumkin. Keling, aniq geometrik shakllar bilan bir nechta muammolarni ko'rib chiqaylik.

3-misol

To'rtburchakning uchlari berilgan. To'rtburchak parallelogramm ekanligini isbotlang.

Isbot: Muammoda chizma yaratishning hojati yo'q, chunki yechim faqat analitik bo'ladi. Keling, parallelogramma ta'rifini eslaylik:
Paralelogramma Qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib parallel bo'lgan to'rtburchak deyiladi.

Shunday qilib, isbotlash kerak:
1) qarama-qarshi tomonlarning parallelligi va;
2) qarama-qarshi tomonlarning parallelligi va.

Biz isbotlaymiz:

1) vektorlarni toping:

2) vektorlarni toping:

Natijada bir xil vektor ("maktab bo'yicha" - teng vektorlar). Kollinearlik juda aniq, ammo qarorni tartibga solish bilan aniq rasmiylashtirish yaxshiroqdir. Vektor koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz:
, bu vektorlar kollinear ekanligini bildiradi va .

Xulosa: To'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib parallel, ya'ni ta'rifi bo'yicha parallelogramma. Q.E.D.

Yana yaxshi va turli raqamlar:

4-misol

To'rtburchakning uchlari berilgan. To'rtburchak trapesiya ekanligini isbotlang.

Dalilni yanada qat'iy shakllantirish uchun, albatta, trapezoidning ta'rifini olish yaxshiroqdir, lekin uning qanday ko'rinishini eslab qolish kifoya.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz kerak bo'lgan vazifadir. Dars oxirida to'liq yechim.

Va endi asta-sekin samolyotdan kosmosga o'tish vaqti keldi:

Kosmik vektorlarning kollinearligini qanday aniqlash mumkin?

Qoida juda o'xshash. Ikki fazo vektori kollinear boʻlishi uchun ularning mos koordinatalari proportsional boʻlishi zarur va yetarlidir..

5-misol

Quyidagi fazo vektorlari kollinear ekanligini aniqlang:

A) ;
b)
V)

Yechim:
a) vektorlarning tegishli koordinatalari uchun proporsionallik koeffitsienti mavjudligini tekshiramiz:

Tizimda yechim yo'q, ya'ni vektorlar kollinear emas.

"Soddalashtirilgan" nisbatni tekshirish orqali rasmiylashtiriladi. Ushbu holatda:
- mos keladigan koordinatalar proportsional emas, ya'ni vektorlar kollinear emas.

Javob: vektorlar kollinear emas.

b-c) Bular mustaqil qaror qabul qilish nuqtalari. Buni ikki usulda sinab ko'ring.

Uchinchi tartibli determinant orqali fazoviy vektorlarni kollinearlikni tekshirish usuli mavjud, bu usul maqolada yoritilgan Vektorlarning vektor mahsuloti.

Samolyot holatiga o'xshab, ko'rib chiqilgan asboblar fazoviy segmentlar va to'g'ri chiziqlarning parallelligini o'rganish uchun ishlatilishi mumkin.

Ikkinchi bo'limga xush kelibsiz:

Uch o'lchovli fazoda vektorlarning chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi.
Fazoviy asos va affin koordinatalar tizimi

Samolyotda biz tekshirgan ko'plab naqshlar kosmos uchun ham amal qiladi. Men nazariy eslatmalarni minimallashtirishga harakat qildim, chunki ma'lumotlarning asosiy ulushi allaqachon chaynalgan. Biroq, kirish qismini diqqat bilan o'qib chiqishingizni tavsiya qilaman, chunki yangi atamalar va tushunchalar paydo bo'ladi.

Endi kompyuter stolining tekisligi o'rniga biz uch o'lchamli fazoni o'rganamiz. Birinchidan, uning asosini yarataylik. Kimdir hozir uyda, kimdir tashqarida, lekin har qanday holatda biz uchta o'lchovdan qochib qutula olmaymiz: kenglik, uzunlik va balandlik. Shuning uchun, asosni qurish uchun uchta fazoviy vektor kerak bo'ladi. Bir yoki ikkita vektor etarli emas, to'rtinchisi ortiqcha.

Va yana barmoqlarimizga isinamiz. Iltimos, qo'lingizni yuqoriga ko'taring va uni turli yo'nalishlarda yoying bosh barmog'i, ko'rsatkich va o'rta barmoq. Bu vektorlar bo'ladi, ular turli yo'nalishlarga qaraydilar, turli uzunliklarga ega va o'zaro turli burchaklarga ega. Tabriklaymiz, uch o'lchamli makonning asosi tayyor! Aytgancha, buni o'qituvchilarga ko'rsatishning hojati yo'q, barmoqlaringizni qanchalik burishingizdan qat'i nazar, lekin ta'riflardan qutulib bo'lmaydi =)

Keyin so'raymiz muhim masala, har qanday uchta vektor uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladimi?? Iltimos, uchta barmog'ingizni kompyuter stolining yuqori qismiga mahkam bosing. Nima bo'ldi? Uch vektor bir xil tekislikda joylashgan va, taxminan, biz o'lchamlardan birini - balandlikni yo'qotdik. Bunday vektorlar koplanar va, ko'rinib turibdiki, uch o'lchovli makonning asosi yaratilmagan.

Shuni ta'kidlash kerakki, koplanar vektorlar bo'lishi mumkin bo'lgan bir tekislikda yotishlari shart emas; parallel tekisliklar(Faqat barmoqlaringiz bilan buni qilmang, faqat Salvador Dali bu tarzda tortdi =)).

Ta'rif: vektorlar deyiladi koplanar, agar ular parallel bo'lgan tekislik mavjud bo'lsa. Bu erda shuni qo'shish mantiqan to'g'riki, agar bunday tekislik mavjud bo'lmasa, vektorlar koplanar bo'lmaydi.

Uchta koplanar vektor har doim chiziqli bog'liqdir, ya'ni ular bir-biri orqali chiziqli tarzda ifodalanadi. Oddiylik uchun, keling, ular bir tekislikda yotishlarini yana bir bor tasavvur qilaylik. Birinchidan, vektorlar faqat koplanar emas, ular kollinear ham bo'lishi mumkin, keyin har qanday vektor har qanday vektor orqali ifodalanishi mumkin. Ikkinchi holda, masalan, vektorlar kollinear bo'lmasa, uchinchi vektor ular orqali o'ziga xos tarzda ifodalanadi: (va nima uchun oldingi bo'limdagi materiallardan taxmin qilish oson).

Qarama-qarshilik ham to'g'ri: uchta koplanar bo'lmagan vektor har doim chiziqli mustaqildir, ya'ni ular hech qanday tarzda bir-biri orqali ifodalanmaydi. Va, shubhasiz, faqat bunday vektorlar uch o'lchovli makonning asosini tashkil qilishi mumkin.

Ta'rif: Uch o'lchovli fazoning asosi chiziqli mustaqil (koplanar bo'lmagan) vektorlarning uch karrali deb ataladi, ma'lum bir tartibda olinadi, va fazoning istalgan vektori yagona yo'l berilgan asosda parchalanadi, bu asosda vektorning koordinatalari bu erda

Eslatib o'taman, vektor ko'rinishda ifodalangan deb ham aytishimiz mumkin chiziqli birikma bazis vektorlari.

Koordinatalar tizimi kontseptsiyasi xuddi bitta nuqtada bo'lgani kabi kiritilgan va har qanday uchta chiziqli mustaqil vektor etarli:

kelib chiqishi, Va tekis bo'lmagan vektorlar, ma'lum bir tartibda olinadi, oʻrnating uch o'lchovli fazoning affin koordinata tizimi :

Albatta, koordinatalar tarmog'i "qiyshiq" va noqulay, ammo baribir qurilgan koordinatalar tizimi bizga imkon beradi albatta har qanday vektorning koordinatalarini va fazodagi istalgan nuqtaning koordinatalarini aniqlang. Bir tekislikka o'xshab, men aytib o'tgan ba'zi formulalar fazoning affin koordinata tizimida ishlamaydi.

Affin koordinatalar tizimining eng tanish va qulay maxsus holati, hamma taxmin qilganidek to'rtburchaklar fazo koordinatalari tizimi:

Kosmosdagi nuqta deyiladi kelib chiqishi, Va ortonormal asos belgilanadi Dekart to'rtburchaklar fazo koordinatalari tizimi . Tanish rasm:

Amaliy vazifalarga o'tishdan oldin, keling, yana ma'lumotlarni tizimlashtiramiz:

Uch fazo vektori uchun quyidagi bayonotlar ekvivalentdir:
1) vektorlar chiziqli mustaqil;
2) vektorlar asosni tashkil qiladi;
3) vektorlar koplanar emas;
4) vektorlarni bir-biri orqali chiziqli ifodalash mumkin emas;
5) bu vektorlarning koordinatalaridan tuzilgan determinant noldan farq qiladi.

Menimcha, qarama-qarshi bayonotlar tushunarli.

Fazoviy vektorlarning chiziqli bog'liqligi/mustaqilligi an'anaviy tarzda determinant yordamida tekshiriladi (5-band). Qolgan amaliy vazifalar aniq algebraik xususiyatga ega bo'ladi. Geometriya tayoqchasini osib, chiziqli algebraning beysbol tayoqchasini ishlatish vaqti keldi:

Kosmosning uchta vektori Agar berilgan vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng bo'lsa, ular koplanar hisoblanadi: .

Men sizning e'tiboringizni kichik texnik nuancega qaratmoqchiman: vektorlarning koordinatalarini nafaqat ustunlar, balki satrlarda ham yozish mumkin (determinantning qiymati bundan o'zgarmaydi - determinantlarning xususiyatlariga qarang). Ammo ustunlarda bu ancha yaxshi, chunki u ba'zi amaliy muammolarni hal qilish uchun foydaliroqdir.

Determinantlarni hisoblash usullarini biroz unutgan yoki ular haqida umuman tushunmaydigan o'quvchilar uchun men eng qadimgi darslarimdan birini tavsiya qilaman: Determinantni qanday hisoblash mumkin?

6-misol

Quyidagi vektorlar uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladimi yoki yo'qligini tekshiring:

Yechim: Aslida, butun yechim determinantni hisoblashdan iborat.

a) Vektor koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz (birinchi satrda determinant ochiladi):

, ya'ni vektorlar chiziqli mustaqil (komplanar emas) va uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladi.

Javob: bu vektorlar asosni tashkil qiladi

b) Bu mustaqil qaror qabul qilish nuqtasi. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Bundan tashqari, ijodiy vazifalar mavjud:

7-misol

Parametrning qaysi qiymatida vektorlar koplanar bo'ladi?

Yechim: Vektorlar koordinatali bo'ladi, agar bu vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng bo'lsa:

Asosan, siz determinant bilan tenglamani echishingiz kerak. Biz jerboasdagi uçurtmalar kabi nolga tushamiz - ikkinchi qatordagi determinantni ochib, darhol kamchiliklardan xalos bo'lish yaxshidir:

Biz qo'shimcha soddalashtirishlarni amalga oshiramiz va masalani eng oddiy chiziqli tenglamaga keltiramiz:

Javob: da

Buni amalga oshirish uchun bu erda tekshirish oson, natijada olingan qiymatni asl determinantga almashtirishingiz kerak , yana oching.

Xulosa qilib aytganda, keling, tabiatan ko'proq algebraik bo'lgan va an'anaviy ravishda chiziqli algebra kursiga kiritilgan yana bir tipik masalani ko'rib chiqaylik. Bu shunchalik keng tarqalganki, u o'z mavzusiga loyiqdir:

Uch o‘lchamli fazoning asosini 3 vektor tashkil etishini isbotlang
va shu asosda 4-vektorning koordinatalarini toping

8-misol

Vektorlar berilgan. Vektorlar uch o‘lchamli fazoda asos tashkil etishini ko‘rsating va shu asosda vektorning koordinatalarini toping.

Yechim: Birinchidan, shart bilan shug'ullanamiz. Shartga ko'ra, to'rtta vektor berilgan va siz ko'rib turganingizdek, ular allaqachon biron bir asosda koordinatalarga ega. Bu asos nima ekanligi bizni qiziqtirmaydi. Va quyidagi narsa qiziq: uchta vektor yangi asos bo'lishi mumkin. Va birinchi bosqich 6-misolning yechimiga to'liq mos keladi vektorlarning haqiqatan ham chiziqli mustaqilligini tekshirish kerak;

Vektor koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz:

, ya'ni vektorlar chiziqli mustaqil bo'lib, uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladi.

! Muhim : vektor koordinatalari Majburiy yozib qo'ying ustunlarga determinant, satrlarda emas. Aks holda, keyingi yechim algoritmida chalkashlik bo'ladi.

Vektor hisobi va uning qo'llanilishida katta qiymat berilgan vektorni bir nechta vektorlar yig'indisi sifatida ifodalashdan iborat bo'lgan parchalanish vazifasi bor.

vektor. Umuman cheksiz ko'p yechimga ega bo'lgan bu muammo, agar komponent vektorlarining ba'zi elementlarini ko'rsatsak, to'liq aniqlangan bo'ladi.

2. Parchalanishga misollar.

Keling, parchalanishning bir nechta keng tarqalgan holatlarini ko'rib chiqaylik.

1. Berilgan c vektorni ikkita komponent vektorga ajrating, ulardan biri, masalan, kattaligi va yo'nalishi berilgan.

Muammo ikkita vektor o'rtasidagi farqni aniqlashga to'g'ri keladi. Haqiqatan ham, agar vektorlar c vektorining komponentlari bo'lsa, u holda tenglikni qondirish kerak

Bu yerdan ikkinchi komponent vektor aniqlanadi

2. Berilgan c vektorni ikkita komponentga ajrating, ulardan biri berilgan tekislikda, ikkinchisi esa berilgan a to'g'ri chiziqda yotishi kerak.

Komponent vektorlarini aniqlash uchun c vektorni uning boshlanishi berilgan to'g'ri chiziqning tekislik bilan kesishgan nuqtasiga to'g'ri keladigan tarzda harakatlantiramiz (O nuqta - 18-rasmga qarang). c vektorining oxiridan (C nuqta) to'g'ri chiziq chizamiz

tekislik bilan kesishish (B - kesishish nuqtasi), so'ngra C nuqtadan parallel ravishda to'g'ri chiziq chizamiz.

Vektorlar va kerakli bo'ladi, ya'ni tabiiyki, agar to'g'ri chiziq a va tekislik parallel bo'lmasa, ko'rsatilgan kengayish mumkin.

3. Berilgan uchta koplanar vektor a, b va c va vektorlar kollinear emas. c vektorini vektorlarga ajratish talab qilinadi

Berilgan uchta vektorning hammasini bitta O nuqtaga keltiramiz. Shunda ularning o‘zaro tengligi tufayli ular bir tekislikda joylashadi. Ushbu c vektorni diagonal sifatida ishlatib, tomonlari vektorlarning ta'sir chiziqlariga parallel bo'lgan parallelogramma quramiz (19-rasm). Ushbu konstruktsiya har doim mumkin (agar vektorlar kollinear bo'lmasa) va noyobdir. Rasmdan. 19 bu aniq

D. 2-1 Vektor algebrasining asosiy tushunchalari. Vektorlar ustida chiziqli amallar.

Vektorning bazis bo'yicha parchalanishi.

Vektor algebrasining asosiy tushunchalari

Vektor - bu uzunligi va yo'nalishi bir xil bo'lgan barcha yo'naltirilgan segmentlar to'plami.
.

Xususiyatlari:

Vektorlar ustida chiziqli amallar

1.

Paralelogramma qoidasi:

BILAN ummat ikkita vektor Va vektor deb ataladi , ularning umumiy kelib chiqishidan kelib chiqqan va vektorlarga qurilgan parallelogrammaning diagonali Va ikkala tomondan.

Poligon qoidasi:

Istalgan miqdordagi vektorlar yig'indisini qurish uchun vektorning 1-sonining oxiriga 2-ning boshini, 2-ning oxiriga - 3-ning boshiga va hokazolarni qo'yish kerak. Olingan poliliniyani yopuvchi vektor yig'indisidir. Uning boshlanishi 1-ning boshiga, oxiri esa oxirgisining oxiriga to'g'ri keladi.

Xususiyatlari:

2.

Vektor mahsuloti raqam uchun , shartlarni qanoatlantiradigan vektor:
.

Xususiyatlari:

3.

Farqi bo'yicha vektorlar Va vektor deb ataladi , vektor yig'indisiga teng va vektorga qarama-qarshi vektor , ya'ni.
.

- qarama-qarshi element (vektor) qonuni.

Vektorning bazisga parchalanishi

Vektorlar yig'indisi o'ziga xos tarzda aniqlanadi
(va faqat ). Teskari operatsiya, vektorning bir nechta komponentlarga bo'linishi noaniqdir: Buni bir ma'noli qilish uchun, ko'rib chiqilayotgan vektor parchalanadigan yo'nalishlarni ko'rsatish kerak yoki ular aytganidek, ko'rsatish kerak. asos.

Asosni aniqlashda vektorlarning mos kelmasligi va kollinear emasligi talabi muhim ahamiyatga ega. Ushbu talabning ma'nosini tushunish uchun vektorlarning chiziqli bog'liqligi va chiziqli mustaqilligi tushunchalarini ko'rib chiqish kerak.

Shaklning ixtiyoriy ifodasi: , deyiladi chiziqli birikma vektorlar
.

Bir nechta vektorlarning chiziqli birikmasi deyiladi ahamiyatsiz, agar uning barcha koeffitsientlari nolga teng bo'lsa.

Vektorlar
chaqiriladi chiziqli bog'liq, agar ushbu vektorlarning nolga teng bo'lmagan chiziqli birikmasi bo'lsa:
(1), taqdim etilgan
.
Agar tenglik (1) faqat hamma uchun amal qilsa
bir vaqtning o'zida nolga teng, keyin nolga teng bo'lmagan vektorlar bo'ladi.

chiziqli mustaqil Isbotlash oson:.

har qanday ikkita kollinear vektor chiziqli bog'liq va har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektor chiziqli mustaqildir

Keling, isbotni birinchi bayonotdan boshlaylik. Va kollinear. Keling, ular chiziqli bog'liqligini ko'rsataylik. Haqiqatan ham, agar ular kollinear bo'lsa, unda ular bir-biridan faqat raqamli omil bilan farqlanadi, ya'ni.
, shuning uchun
. Olingan chiziqli kombinatsiya aniq ahamiyatsiz va "0" ga teng bo'lgani uchun vektorlar Va chiziqli bog'liq.

Keling, ikkita kollinear bo'lmagan vektorni ko'rib chiqaylik Va . Keling, ularning chiziqli mustaqil ekanligini isbotlaylik. Biz dalillarni qarama-qarshilik bilan tuzamiz.

Faraz qilaylik, ular chiziqli bog'liq. Keyin ahamiyatsiz bo'lmagan chiziqli birikma bo'lishi kerak
. Buni taxmin qilaylik
, Keyin
. Olingan tenglik vektorlarni bildiradi Va Bizning dastlabki taxminimizdan farqli o'laroq, ular bir-biriga mos keladi.

Xuddi shunday isbotlashimiz mumkin: har qanday uchta koplanar vektor chiziqli bog'liq va har qanday ikkita koplanar bo'lmagan vektor chiziqli mustaqildir.

Bazis tushunchasiga va vektorni ma'lum bir asosda parchalash muammosiga qaytsak, shuni aytishimiz mumkinki, tekislikdagi va fazodagi asos chiziqli mustaqil vektorlar to'plamidan hosil bo'ladi. Bu asos tushunchasi umumiydir, chunki u har qanday o'lchamdagi fazoga taalluqlidir.

Bunday ifoda:
, vektor parchalanishi deyiladi vektorlar bo'yicha ,…,.

Agar biz uch o'lchovli fazoda asosni ko'rib chiqsak, u holda vektorning parchalanishi asosida
bo'ladi
, Qayerda
-vektor koordinatalari.

Ixtiyoriy vektorni ma'lum asosda parchalash masalasida quyidagi bayonot juda muhimdir: har qanday vektorma'lum bir asosda noyob tarzda kengaytirilishi mumkin
. Boshqacha aytganda, koordinatalar
har qanday vektor uchun asosga nisbatan
aniq belgilanadi.

Kosmosda va tekislikda asosning kiritilishi har bir vektorni belgilash imkonini beradi tartiblangan uchlik (juft) raqamlar - uning koordinatalari. Geometrik jismlar va raqamlar o'rtasida bog'lanishni o'rnatishga imkon beradigan bu juda muhim natija fizik jismlarning holati va harakatini analitik tasvirlash va o'rganish imkonini beradi.

Nuqta va bazis to'plami deyiladi koordinata tizimi.

Agar asosni tashkil etuvchi vektorlar birlik va juft perpendikulyar bo'lsa, u holda koordinatalar tizimi deyiladi. to'rtburchaklar, va asos ortonormal.

L. 2-2 Vektorlar mahsuloti

Vektorning bazisga parchalanishi

Vektorni ko'rib chiqing
, uning koordinatalari bilan berilgan:
.

- vektor komponentlar bazis vektorlarining yo'nalishlari bo'ylab
.

Shaklni ifodalash
vektor parchalanishi deb ataladi asosida
.

Xuddi shunday tarzda biz parchalanishimiz mumkin asosida
vektor
:

.

Ko'rib chiqilayotgan vektor tomonidan hosil qilingan burchaklarning kosinuslari bazis vektorlari bilan
chaqiriladi yo'nalish kosinuslari

;
;
.

Vektorlarning nuqta mahsuloti.

Ikki vektorning nuqta mahsuloti Va bu vektorlarning modullari va ular orasidagi burchak kosinuslarining mahsulotiga teng sondir

Ikki vektorning skalyar ko‘paytmasini ushbu vektorlardan birining moduli va ikkinchi vektorning birinchi vektor yo‘nalishiga ortogonal proyeksiyasining ko‘paytmasi deb hisoblash mumkin.
.

Xususiyatlari:

Agar vektorlarning koordinatalari ma'lum bo'lsa
Va
, keyin vektorlarni bazisga ajratgandan so'ng
:
Va
, topamiz

, chunki
,
, Bu

.

.

Vektorlarning perpendikulyar bo'lish sharti:
.

Rektorlarning oʻzaro bogʻliqligi sharti:
.

Vektorlarning vektor mahsuloti

yoki

Vektor bo'yicha vektor mahsuloti vektorga bunday vektor deyiladi
, bu shartlarga javob beradi:

Xususiyatlari:

Ko'rib chiqilgan algebraik xususiyatlar bizga analitik ifodani topishga imkon beradi vektor mahsuloti ortonormal asosdagi komponent vektorlarining koordinatalari orqali.

Berilgan:
Va
.

chunki ,
,
,
,
,
,
, Bu

. Bu formulani uchinchi tartibli determinant shaklida qisqaroq yozish mumkin:

.

Vektorlarning aralash mahsuloti

Uch vektorning aralash mahsuloti ,Va vektor mahsulotiga teng sondir
, vektorga ko'paytiriladigan skalyar .

Quyidagi tenglik to'g'ri:
, shuning uchun aralash mahsulot yoziladi
.

Ta'rifdan kelib chiqqan holda, uchta vektorning aralash mahsulotining natijasi sondir. Bu raqam aniq geometrik ma'noga ega:

Aralash mahsulot moduli
umumiy kelib chiqishiga qisqartirilgan vektorlarga qurilgan parallelepiped hajmiga teng ,Va .

Aralash mahsulotning xususiyatlari:

Agar vektorlar ,,ortonormal asosda belgilangan
uning koordinatalari, aralash mahsulotni hisoblash formula bo'yicha amalga oshiriladi

.

Haqiqatan ham, agar
, Bu

;
;
, Keyin
.

Agar vektorlar ,,koplanar, keyin vektor mahsuloti
vektorga perpendikulyar . Va aksincha, agar
, u holda parallelepipedning hajmi nolga teng va bu faqat vektorlar koplanar (chiziqli bog'liq) bo'lsa mumkin.

Shunday qilib, uchta vektor, agar ularning aralash mahsuloti nolga teng bo'lsa, koplanar hisoblanadi.

Rn,
(IQTISODIYOTDA MATEMATIKA)

Vektor parchalanishi

Vektor parchalanishi A komponentlarga - vektorni almashtirish operatsiyasi A bir qancha boshqa vektorlar ab a2, a3 va boshqalar qo'shilganda boshlang'ich vektorni tashkil qiladi A; bunda db a2, a3 va hokazo vektorlar vektor komponentlari deyiladi A. Boshqacha qilib aytganda, har qanday...
(fizika)

Vektor sistemaning asosi va darajasi

Vektorlar tizimini ko'rib chiqing (1.18) Vektor tizimining maksimal mustaqil quyi tizimi(1.I8) bu sistemaning ikki shartni qanoatlantiradigan vektorlarining qisman to'plami: 1) bu to'plam vektorlari chiziqli mustaqil; 2) (1.18) sistemaning har qanday vektori shu to'plam vektorlari orqali chiziqli ifodalanadi....
(IQTISODIYOTDA MATEMATIKA)

Vektorning turli koordinatalar sistemalarida tasvirlanishi.

Ikkita ortogonal to‘g‘ri chiziqli koordinatalar sistemasini birlik vektorlar to‘plamlari (i, j, k) va (i j, k") ko‘rib chiqamiz va ulardagi a vektorni ifodalaymiz. Shartli ravishda tub sonli birlik vektorlari mos keladi deb faraz qilaylik yangi tizimlar e koordinatalari, va zarbalarsiz - eski. Keling, vektorni eski va yangi tizimlar o'qlari bo'ylab kengayish shaklida tasavvur qilaylik...

Ortogonal asosda vektorning parchalanishi

Keling, makonning asosini ko'rib chiqaylik Rn, unda har bir vektor boshqa bazis vektorlariga ortogonal bo'ladi: Ortogonal asoslar ma'lum va tekislikda va fazoda yaxshi ifodalanadi (1.6-rasm). Ushbu turdagi bazalar, birinchi navbatda, ixtiyoriy vektorning kengayish koordinatalari aniqlanganligi sababli qulaydir ...
(IQTISODIYOTDA MATEMATIKA)

Vektorlar va ularning koordinatalar sistemasidagi tasvirlari

Vektor tushunchasi ma'lum bilan bog'liq jismoniy miqdorlar, ular kosmosdagi intensivligi (kattaligi) va yo'nalishi bilan tavsiflanadi. Bunday miqdorlar, masalan, moddiy jismga ta'sir qiluvchi kuch, bu jismning ma'lum bir nuqtasining tezligi, moddiy zarrachaning tezlanishi...
(CONTINUUM MEXANIKASI: Stress nazariyasi va asosiy modellari)

Ixtiyoriy elliptik funksiyaning eng oddiy analitik tasvirlari

Elliptik funktsiyani eng oddiy elementlar yig'indisi sifatida ko'rsatish. ruxsat bering / (z) oddiy qutbli jjt bilan s tartibli elliptik funksiyadir, $s, davrlar parallelogrammasida yotadi. tomonidan belgilovchi Bk funktsiyani qutbga nisbatan ayirib, bizda 2 ?l = 0 (§ 1, 3-band, teorema...
(MURAKKAB OʻZGARCHANLAR FUNKSIYALARI NAZARIYASIGA KIRISH)

Kosmosning asosi ular fazodagi barcha boshqa vektorlar asosga kiritilgan vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan vektorlar tizimini chaqirishadi.
Amalda, bularning barchasi juda sodda tarzda amalga oshiriladi. Bazis, qoida tariqasida, tekislikda yoki fazoda tekshiriladi va buning uchun vektor koordinatalaridan tashkil topgan ikkinchi, uchinchi tartibli matritsaning determinantini topish kerak. Quyida sxematik tarzda yozilgan vektorlar asos bo'ladigan shartlar

Kimga b vektorini bazis vektorlariga kengaytiring
e,e...,e[n] vektorlarning chiziqli birikmasi e,e...,e[n] ga teng bo'lgan x, ..., x[n] koeffitsientlarini topish kerak. vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Buning uchun vektor tenglamani tizimga aylantirish kerak chiziqli tenglamalar va yechimlarni toping. Buni amalga oshirish ham juda oddiy.
Topilgan koeffitsientlar x, ..., x[n] deyiladi bazisdagi b vektorining koordinatalari e,e...,e[n].
Keling, mavzuning amaliy tomoniga o'tamiz.

Vektorning bazis vektorlarga parchalanishi

Vazifa 1. a1, a2 vektorlari tekislikda asos tashkil qiladimi yoki yo'qligini tekshiring

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Yechish: Vektorlarning koordinatalaridan determinant tuzamiz va uni hisoblaymiz

Determinant nolga teng emas, shuning uchun vektorlar chiziqli mustaqil, ya'ni ular asosni tashkil qiladi.

2) a1 (2; -3), a2 (5;-1)
Yechish: Vektorlardan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz

Determinant 13 ga teng (nolga teng emas) - bundan kelib chiqadiki, a1, a2 vektorlari tekislikdagi bazisdir.

---=================---

"Oliy matematika" fanidan MAUP dasturidan tipik misollarni ko'rib chiqamiz.

Vazifa 2. a1, a2, a3 vektorlari uch o'lchovli vektor fazoning asosini tashkil etishini va b vektorni shu asosga ko'ra kengaytirishini ko'rsating (chiziqli tizimni yechishda). algebraik tenglamalar Kramer usulidan foydalaning).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (-3; 1; 2).
Yechish: Birinchidan, a1, a2, a3 vektorlar sistemasini ko‘rib chiqing va A matritsaning determinantini tekshiring.

nolga teng bo'lmagan vektorlar asosida qurilgan. Matritsa bitta nol elementni o'z ichiga oladi, shuning uchun determinantni birinchi ustun yoki uchinchi qatorda jadval sifatida hisoblash ko'proq mos keladi.

Hisob-kitoblar natijasida biz aniqlovchi noldan farqli ekanligini aniqladik, shuning uchun a1, a2, a3 vektorlari chiziqli mustaqildir.
Ta'rifga ko'ra, vektorlar R3 da asosni tashkil qiladi. b vektorining grafigini asos qilib yozamiz

Tegishli koordinatalari teng bo'lganda vektorlar teng bo'ladi.
Shuning uchun vektor tenglamadan chiziqli tenglamalar sistemasini olamiz

Keling, SLAE ni hal qilaylik Kramer usuli. Buning uchun tenglamalar sistemasini shaklda yozamiz

SLAE ning asosiy determinanti har doim asosiy vektorlardan tashkil topgan determinantga teng

Shuning uchun amalda u ikki marta hisoblanmaydi. Yordamchi aniqlovchilarni topish uchun bosh determinantning har bir ustuni o‘rniga erkin terminlar ustunini qo‘yamiz. Aniqlovchilar uchburchak qoidasi yordamida hisoblanadi



Topilgan aniqlovchilarni Kramer formulasiga almashtiramiz



Demak, b vektorning bazis jihatidan kengayishi b=-4a1+3a2-a3 ko'rinishga ega. a1, a2, a3 bazisdagi b vektorning koordinatalari (-4,3, 1) bo'ladi.

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Yechish: Biz vektorlarni asos uchun tekshiramiz - vektorlarning koordinatalaridan determinant tuzamiz va uni hisoblaymiz.

Determinant nolga teng emas, shuning uchun vektorlar fazoda asosni tashkil qiladi. Bu asos orqali b vektorining jadvalini topish qoladi. Buning uchun vektor tenglamasini yozamiz

va chiziqli tenglamalar sistemasiga aylantiriladi

Keling, yozamiz matritsa tenglamasi

Keyinchalik, Kramer formulalari uchun yordamchi determinantlarni topamiz



Biz Kramer formulalarini qo'llaymiz



Shunday qilib, berilgan b vektor ikkita b=-2a1+5a3 bazis vektorlari orqali grafigiga ega va uning bazisdagi koordinatalari b(-2,0, 5) ga teng.