Maxsus o'ng qo'l bilan yechim. Doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli ikkinchi tartibli differensial tenglamalar
|
Heterojen differensial tenglamalar bilan ikkinchi tartib doimiy koeffitsientlar |
|
Umumiy yechimning tuzilishi Ushbu turdagi chiziqli bir hil bo'lmagan tenglama quyidagi shaklga ega: Qayerda p, q− doimiy sonlar (ular ham haqiqiy, ham murakkab bo‘lishi mumkin). Har bir bunday tenglama uchun mos keladiganini yozish mumkin bir jinsli tenglama:
Teorema: Umumiy qaror Yo'q bir jinsli tenglama umumiy yechim yig‘indisidir y 0 (x) mos keladigan bir jinsli tenglama va muayyan yechim y 1 (x) bir hil bo'lmagan tenglama:
Quyida bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamalarni yechishning ikkita usulini ko'rib chiqamiz. Doimiy o'zgaruvchanlik usuli Umumiy yechim bo'lsa y Bog'langan bir jinsli tenglamaning 0 i ma'lum bo'lsa, u holda bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi yordamida topish mumkin. doimiy o'zgaruvchanlik usuli. Ikkinchi tartibli bir hil differensial tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'lsin: Doimiy o'rniga C 1 va C 2 yordamchi funktsiyalarni ko'rib chiqamiz C 1 (x) Va C 2 (x). Biz bu funksiyalarni shunday izlaymizki, yechim o'ng tomoni bilan bir jinsli bo'lmagan tenglamani qanoatlantiradi f(x). Noma'lum xususiyatlar C 1 (x) Va C 2 (x) ikkita tenglama tizimidan aniqlanadi:
Aniqlanmagan koeffitsientlar usuli O'ng qism f(x) bir jinsli bo'lmagan differensial tenglama ko'pincha polinom, ko'rsatkichli yoki trigonometrik funktsiya yoki bu funktsiyalarning ba'zi bir birikmasidir. Bunday holda, yordamida yechim topish qulayroqdir noaniq koeffitsientlar usuli. Biz ta'kidlaymizki, bu usul faqat o'ng tomondagi funktsiyalarning cheklangan sinfi uchun ishlaydi, masalan  Ikkala holatda ham ma'lum bir yechimni tanlash bir hil bo'lmagan differentsial tenglamaning o'ng tomonining tuzilishiga mos kelishi kerak. 1-holatda, agar raqam bo'lsa α ko'rsatkichli funktsiyada ildiz bilan mos keladi xarakterli tenglama, keyin ma'lum bir yechim qo'shimcha omilni o'z ichiga oladi x s, Qayerda s- ildizning ko'pligi α xarakteristik tenglamada. 2-holatda, agar raqam bo'lsa a + bi xarakteristik tenglamaning ildiziga to'g'ri kelsa, u holda ma'lum bir yechim uchun ifoda qo'shimcha omilni o'z ichiga oladi x. Noma’lum koeffitsientlarni ma’lum bir yechim uchun topilgan ifodani dastlabki bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamaga almashtirish orqali aniqlash mumkin. Superpozitsiya printsipi Agar bir jinsli bo'lmagan tenglamaning o'ng tomoni bo'lsa miqdori shaklning bir nechta funktsiyalari u holda differensial tenglamaning xususiy yechimi ham o'ng tomondagi har bir had uchun alohida tuzilgan alohida yechimlar yig'indisi bo'ladi. |
|
1-misol |
|
Differensial tenglamani yeching y"" + y= gunoh (2 x). Yechim. Avval mos keladigan bir jinsli tenglamani yechamiz y"" + y= 0. Bunda xarakteristik tenglamaning ildizlari sof xayoliydir: Shuning uchun bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi bilan berilgan Keling, yana bir jinsli bo'lmagan tenglamaga qaytaylik. Biz uning yechimini shaklda izlaymiz konstantalarni o'zgartirish usulidan foydalanish. Funksiyalar C 1 (x) Va C 2 (x) ni quyidagi tenglamalar tizimidan topish mumkin:
Biz hosilani ifodalaymiz C 1 " (x) birinchi tenglamadan:
Ikkinchi tenglamani almashtirib, hosilani topamiz C 2 " (x):
Demak, bundan kelib chiqadi Hosilalarni integrallash ifodalari C 1 " (x) Va C 2 " (x), biz olamiz: Qayerda A 1 , A 2 − integrasiya konstantalari. Endi topilgan funksiyalarni almashtiramiz C 1 (x) Va C 2 (x) uchun formulaga y 1 (x) va bir jinsli boʻlmagan tenglamaning umumiy yechimini yozing:
|
|
2-misol |
|
Tenglamaning umumiy yechimini toping y"" + y" −6y = 36x. Yechim. Noaniq koeffitsientlar usulidan foydalanamiz. O'ng tomon uchun berilgan tenglama chiziqli funksiya hisoblanadi f(x)= ax + b. Shuning uchun, biz shaklda ma'lum bir yechim izlaymiz hosilalari quyidagilardir:
Buni differensial tenglamaga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:
Oxirgi tenglama o'ziga xoslik, ya'ni hamma uchun amal qiladi x, shuning uchun biz bir xil kuchlar bilan atamalar koeffitsientlarini tenglashtiramiz x chap va o'ng tomonda: Olingan tizimdan biz quyidagilarni topamiz: A = −6, B= −1. Natijada, maxsus yechim shaklda yoziladi Endi bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimini topamiz. Keling, yordamchi xarakteristik tenglamaning ildizlarini hisoblaylik: Shuning uchun mos keladigan bir hil tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko'rinishga ega: Demak, dastlabki bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi formula bilan ifodalanadi |
DE ning umumiy integrali.
Differensial tenglamani yeching
Lekin kulgili tomoni shundaki, javob allaqachon ma'lum: aniqrog'i, biz ham doimiy qo'shishimiz kerak: Umumiy integral differensial tenglamaning yechimidir.
Ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli. Yechim misollari
Bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamalarni yechish uchun ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli qo'llaniladi. Ushbu dars mavzuni ko'proq yoki kamroq bilgan talabalar uchun mo'ljallangan. Agar siz faqat masofadan boshqarish pulti bilan tanishishni boshlayotgan bo'lsangiz, ya'ni. Agar siz choynak bo'lsangiz, men birinchi darsdan boshlashni maslahat beraman: Birinchi tartibli differensial tenglamalar. Yechim misollari. Va agar siz allaqachon tugatayotgan bo'lsangiz, iltimos, bu usul qiyin degan taxminlardan voz keching. Chunki u oddiy.
Ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli qanday hollarda qo'llaniladi?
1) Ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usulini yechish uchun foydalanish mumkin 1-tartibli chiziqli bir hil bo'lmagan DE. Tenglama birinchi tartibli bo'lgani uchun doimiy (doimiy) ham bitta bo'ladi.
2) Ayrimlarni yechish uchun ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli qo'llaniladi ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalar. Bu yerda ikkita konstanta (doimiy) farqlanadi.
Dars ikki paragrafdan iborat bo'ladi deb taxmin qilish mantiqan to'g'ri .... Men bu taklifni yozdim va taxminan 10 daqiqa davomida amaliy misollarga silliq o'tish uchun yana qanday aqlli axlatni qo'shish kerakligini o'yladim. Ammo negadir bayramdan keyin hech qanday fikr yo'q, garchi men hech narsani suiiste'mol qilmagan bo'lsam ham. Shunday qilib, keling, birinchi xatboshiga o'tamiz.
O'zboshimchalik bilan doimiy o'zgarishlar usuli chiziqli bir hil bo'lmagan birinchi tartibli tenglama uchun
Ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usulini ko'rib chiqishdan oldin, maqola bilan tanishish maqsadga muvofiqdir. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar. O'sha darsda biz mashq qildik hal qilishning birinchi usuli 1-darajali bir jinsli bo'lmagan DE. Bu birinchi yechim, sizga eslatib o'taman, deyiladi almashtirish usuli yoki Bernoulli usuli(bilan adashtirmaslik kerak Bernulli tenglamasi!!!)
Endi ko'rib chiqamiz hal qilishning ikkinchi usuli– ixtiyoriy doimiyni o‘zgartirish usuli. Men faqat uchta misol keltiraman va ularni yuqoridagi darsdan olaman. Nega juda kam? Chunki aslida ikkinchi usuldagi yechim birinchi usuldagi yechimga juda o'xshash bo'ladi. Bundan tashqari, mening kuzatishlarimga ko'ra, ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli almashtirish usuliga qaraganda kamroq qo'llaniladi.
1-misol
Differensial tenglamaning umumiy yechimini toping (darsning 2-misolidan diffur 1-tartibli chiziqli bir jinsli bo'lmagan DE)
Yechim: Ushbu tenglama chiziqli bir hil bo'lmagan va tanish shaklga ega:
Birinchi bosqichda oddiyroq tenglamani echish kerak: Ya'ni, biz ahmoqona o'ng tomonni tiklaymiz - buning o'rniga biz nol yozamiz. Men chaqiradigan tenglama yordamchi tenglama.
Ushbu misolda siz quyidagi yordamchi tenglamani echishingiz kerak:
Bizdan oldin ajraladigan tenglama, uning yechimi (umid qilamanki) endi siz uchun qiyin emas:
Shunday qilib: yordamchi tenglamaning umumiy yechimidir.
Ikkinchi bosqichda almashtiring ba'zilarining doimiysi hali"x" ga bog'liq bo'lgan noma'lum funktsiya:
Shuning uchun usulning nomi - biz doimiyni o'zgartiramiz. Shu bilan bir qatorda, konstanta hozir topishimiz kerak bo'lgan ba'zi funksiya bo'lishi mumkin.
IN boshlang'ich bir hil bo'lmagan tenglama, biz almashtiramiz:
Tenglamada almashtiring:
nazorat momenti - chap tomondagi ikkita atama bekor qilinadi. Agar bu sodir bo'lmasa, yuqoridagi xatoni qidirishingiz kerak.
O'zgartirish natijasida ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega bo'lgan tenglama olinadi. O'zgaruvchilarni ajratib oling va integratsiya qiling.
Qanday baxt, ko'rsatkichlar ham qisqarmoqda:
Topilgan funktsiyaga "normal" konstanta qo'shamiz:
Yakuniy bosqichda biz almashtirishimizni eslaymiz:
Funktsiya hozirgina topildi!
Shunday qilib, umumiy yechim:
Javob: umumiy qaror: 
Agar siz ikkita yechimni chop qilsangiz, ikkala holatda ham bir xil integrallarni topganimizni osongina sezasiz. Farqi faqat yechim algoritmida.
Endi murakkabroq narsa, men ikkinchi misolga ham izoh beraman:
2-misol
Differensial tenglamaning umumiy yechimini toping (darsning 8-misolidan diffur 1-tartibli chiziqli bir jinsli bo'lmagan DE)
Yechim: Tenglamani quyidagi shaklga keltiramiz:
O'ng tomonni nolga qo'ying va yordamchi tenglamani yeching:
O'zgaruvchilarni ajratib oling va integrallang: Yordamchi tenglamaning umumiy yechimi:
Bir hil bo'lmagan tenglamada biz almashtirishni qilamiz:
Mahsulotni farqlash qoidasiga ko'ra:
Asl bir hil bo'lmagan tenglamani o'rniga qo'ying:
Chap tarafdagi ikkita atama bekor qilinadi, ya'ni biz to'g'ri yo'ldamiz: 
Biz qismlarga birlashamiz. Qismlar bo'yicha integratsiya formulasidan mazali harf allaqachon yechimga kiritilgan, shuning uchun biz, masalan, "a" va "be" harflaridan foydalanamiz:
Natijada:
Endi almashtirishni ko'rib chiqamiz:
Javob: umumiy qaror:
Ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli chiziqli bir hil bo'lmagan ikkinchi tartibli tenglama uchun doimiy koeffitsientlar bilan
Ikkinchi tartibli tenglama uchun ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli oson ish emas, degan fikrni tez-tez eshitgan. Ammo men quyidagilarni taxmin qilaman: bu usul ko'pchilik uchun qiyin bo'lib tuyuladi, chunki u unchalik keng tarqalgan emas. Ammo, aslida, alohida qiyinchiliklar yo'q - qarorning borishi aniq, shaffof va tushunarli. Va chiroyli.
Usulni o'zlashtirish uchun o'ng tomonning shakliga ko'ra ma'lum bir yechimni tanlash orqali ikkinchi tartibli bir jinsli bo'lmagan tenglamalarni yecha olish maqsadga muvofiqdir. Bu usul maqolada batafsil muhokama qilingan. 2-tartibdagi bir jinsli bo'lmagan DE. Esda tutamizki, doimiy koeffitsientli ikkinchi darajali chiziqli bir hil bo'lmagan tenglama quyidagi shaklga ega:
Yuqoridagi darsda ko'rib chiqilgan tanlov usuli faqat cheklangan miqdordagi holatlarda, ko'phadlar, darajalar, sinuslar, kosinuslar o'ng tomonda bo'lganda ishlaydi. Ammo o'ng tomonda, masalan, kasr, logarifm, tangens bo'lganda nima qilish kerak? Bunday vaziyatda konstantalarni o'zgartirish usuli yordamga keladi.
4-misol
Ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimini toping 
Yechim: Ushbu tenglamaning o'ng tomonida kasr mavjud, shuning uchun biz darhol ma'lum bir yechimni tanlash usuli ishlamasligini aytishimiz mumkin. Biz ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usulidan foydalanamiz.
Hech narsa momaqaldiroqni ko'rsatmaydi, yechimning boshlanishi juda oddiy:
Keling, topamiz umumiy qaror muvofiq bir hil tenglamalar:
Biz xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz: 
– konjugat kompleks ildizlar olinadi, shuning uchun umumiy yechim:
Umumiy yechimning yozuviga e'tibor bering - agar qavslar bo'lsa, ularni oching.
Endi biz birinchi tartibli tenglama bilan deyarli bir xil hiyla qilamiz: biz doimiylarni o'zgartiramiz, ularni noma'lum funktsiyalar bilan almashtiramiz. Ya'ni, bir jinsli bo'lmaganlarning umumiy yechimi Biz tenglamalarni quyidagi shaklda qidiramiz:
Qaerda - hali noma'lum funktsiyalar.
Chiqindixonaga o'xshaydi maishiy chiqindilar, lekin endi hamma narsani tartiblaymiz.
Funksiyalarning hosilalari noma’lumlar vazifasini bajaradi. Bizning maqsadimiz hosilalarni topishdir va topilgan hosilalar tizimning birinchi va ikkinchi tenglamalarini qondirishi kerak.
"O'yinlar" qaerdan keladi? Laylak ularni olib keladi. Biz ilgari olingan umumiy yechimni ko'rib chiqamiz va yozamiz:
Keling, hosilalarni topamiz:
Chap tomon bilan shug'ullanadi. O'ng tomonda nima bor?
asl tenglamaning o'ng tomoni, bu holda:
Ma'ruza LNDE - chiziqli bir jinsli bo'lmagan differentsial tenglamalar bilan bog'liq. Umumiy yechimning tuzilishi, ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli bilan LNDE yechimi, doimiy koeffitsientli LNDE yechimi va o'ng tomoni ko'rib chiqiladi. maxsus turdagi. Ko'rib chiqilayotgan masalalar fizika, elektrotexnika va elektronikada, avtomatik boshqarish nazariyasida majburiy tebranishlarni o'rganishda qo'llaniladi.
1. 2-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimining tuzilishi.
Avval ixtiyoriy tartibli chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamani ko'rib chiqing:
Belgini hisobga olgan holda, biz yozishimiz mumkin:
Bunday holda, bu tenglamaning koeffitsientlari va o'ng tomoni ma'lum bir oraliqda uzluksiz deb faraz qilamiz.
Teorema. Chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning ayrim sohadagi umumiy yechimi uning har qanday yechimlarining yig‘indisi va tegishli chiziqli bir jinsli differentsial tenglamaning umumiy yechimidir.
Isbot. Y bir jinsli bo‘lmagan tenglamaning qandaydir yechimi bo‘lsin.
Keyin, ushbu yechimni asl tenglamaga almashtirib, biz identifikatsiyani olamiz:
Mayli 
- asosiy tizim chiziqli bir jinsli tenglamaning yechimlari 
. U holda bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini quyidagicha yozish mumkin:
Xususan, 2-darajali chiziqli bir hil bo'lmagan differentsial tenglama uchun umumiy yechimning tuzilishi quyidagi ko'rinishga ega:
Qayerda 
mos keladigan bir jinsli tenglamaning asosiy yechimlari tizimidir va 
- bir jinsli bo'lmagan tenglamaning har qanday maxsus yechimi.
Shunday qilib, chiziqli bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamani yechish uchun mos keladigan bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topish va qandaydir tarzda bir jinsli bo'lmagan tenglamaning bitta alohida yechimini topish kerak. Odatda u tanlov orqali topiladi. Muayyan yechimni tanlash usullari quyidagi savollarda ko'rib chiqiladi.
2. Variatsiya usuli
Amalda ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usulini qo'llash qulay.
Buning uchun avvalo mos keladigan bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini quyidagi shaklda toping:
Keyin koeffitsientlarni o'rnating C i dan vazifalar X, bir jinsli bo'lmagan tenglamaning yechimi izlanadi:
Funktsiyalarni topish uchun ekanligini ko'rsatish mumkin C i (x) tenglamalar tizimini echishingiz kerak:
Misol. tenglamani yeching 
Chiziqli bir jinsli tenglamani yechamiz 
Bir jinsli bo'lmagan tenglamaning yechimi quyidagicha bo'ladi:
Biz tenglamalar tizimini tuzamiz:
Keling, ushbu tizimni hal qilaylik:
Munosabatdan biz funktsiyani topamiz Oh).
Endi topamiz B(x).
Olingan qiymatlarni bir hil bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi formulasiga almashtiramiz:
Yakuniy javob: 
Umuman olganda, ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli har qanday chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamaning echimini topish uchun mos keladi. Ammo beri Tegishli bir hil tenglamaning asosiy yechimlar tizimini topish juda qiyin vazifa bo'lishi mumkin, bu usul asosan doimiy koeffitsientli bir hil bo'lmagan tenglamalar uchun qo'llaniladi.
3. Maxsus shaklning o'ng tomoni bo'lgan tenglamalar
Bir jinsli bo'lmagan tenglamaning o'ng tomoni shakliga qarab, ma'lum bir yechim shaklini ifodalash mumkin ko'rinadi.
Quyidagi holatlar mavjud:
I. Chiziqli bir jinsli boʻlmagan differentsial tenglamaning oʻng tomoni quyidagi koʻrinishga ega:
darajali polinom qayerda m.
Keyin quyidagi shaklda ma'lum bir yechim izlanadi:
Bu yerga Q(x) bilan bir xil darajadagi ko'phaddir P(x) , lekin aniqlanmagan koeffitsientlar bilan va r- mos chiziqli bir jinsli differensial tenglama uchun xarakteristik tenglamaning ildizi soni necha marta ekanligini ko'rsatadigan raqam.
Misol. tenglamani yeching 
.
Tegishli bir hil tenglamani yechamiz: 
Endi asl bir jinsli bo'lmagan tenglamaning muayyan yechimini topamiz.
Keling, tenglamaning o'ng tomonini yuqorida muhokama qilingan o'ng tomonning shakli bilan taqqoslaylik.
Biz quyidagi shaklda maxsus yechim izlayapmiz: 
, Qayerda
Bular. 
Endi biz noma'lum koeffitsientlarni aniqlaymiz A Va IN.
Muayyan yechimni o'rniga qo'ying umumiy ko'rinish asl bir hil bo'lmagan differentsial tenglamaga.
Shunday qilib, shaxsiy yechim: 
Keyin chiziqli bir hil bo'lmagan differentsial tenglamaning umumiy yechimi:
II. Chiziqli bir hil bo'lmagan differentsial tenglamaning o'ng tomoni quyidagi ko'rinishga ega:
Bu yerga R 1 (X) Va R 2 (X) darajali polinomlardir m 1 va m 2 mos ravishda.
Keyin bir hil bo'lmagan tenglamaning maxsus yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
qaerda raqam r sonni necha marta ko'rsatadi 
mos keladigan bir jinsli tenglama uchun xarakteristik tenglamaning ildizi va Q 1
(x)
Va
Q 2
(x)
– ko‘pi bilan darajali polinomlar m, Qayerda m- darajalarning eng kattasi m 1
Va m 2
.
Muayyan yechimlar turlarining umumiy jadvali
har xil turdagi o'ng qismlar uchun
|
Differensial tenglamaning o'ng tomoni |
xarakterli tenglama |
Xususiy turlar |
|
|
|
1. Son xarakteristik tenglamaning ildizi emas |
|
|
|
2. Xarakteristik ko‘plik tenglamasining ildizi son |
|
||
|
|
1. Raqam |
|
|
|
2. Raqam |
|
||
|
1. Raqamlar |
|
||
|
2. Raqamlar |
|
||
|
1. Raqamlar | |||
|
2. Raqamlar |
xarakteristik tenglamaning ildizi emas
xarakterli ko‘plik tenglamasining ildizidir 
xarakterli ko‘plik tenglamasining ildizlaridir 
xarakterli ko'plik tenglamasining ildizlari emas 
xarakterli ko‘plik tenglamasining ildizlaridir 
E'tibor bering, agar tenglamaning o'ng tomoni yuqorida ko'rib chiqilgan shakldagi ifodalarning birikmasi bo'lsa, u holda yechim yordamchi tenglamalar yechimlari birikmasi sifatida topiladi, ularning har biri kombinatsiyaga kiritilgan ifodaga mos keladigan o'ng tomoniga ega.
Bular. agar tenglama quyidagicha ko'rinsa: 
, keyin bu tenglamaning ma'lum bir yechimi bo'ladi 
Qayerda da 1
Va da 2
yordamchi tenglamalarning xususiy yechimlaridir
Va 
Tasavvur qilish uchun yuqoridagi misolni boshqacha hal qilaylik.
Misol. tenglamani yeching 
Differensial tenglamaning o'ng tomonini ikkita funktsiya yig'indisi sifatida ifodalaymiz f 1 (x) + f 2 (x) = x + (- gunoh x).
Biz xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz:
Biz olamiz: ya'ni. 
Jami: 
Bular. Istalgan maxsus yechim quyidagi shaklga ega: 
Bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi:
Keling, tavsiflangan usullarni qo'llash misollarini ko'rib chiqaylik.
1-misol.. tenglamani yeching 
Tegishli chiziqli bir jinsli differentsial tenglama uchun xarakteristik tenglama tuzamiz:
Endi biz bir jinsli bo'lmagan tenglamaning ma'lum bir yechimini quyidagi shaklda topamiz:
Noaniq koeffitsientlar usulidan foydalanamiz.
Dastlabki tenglamani almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:
Maxsus yechim quyidagicha ko'rinadi: 
Chiziqli bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi: 
Misol. tenglamani yeching 
Xarakteristik tenglama:
Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi: 
Bir jinsli bo'lmagan tenglamaning maxsus yechimi: 
.
Biz hosilalarni topamiz va ularni asl bir hil bo'lmagan tenglamaga almashtiramiz:
Bir hil bo'lmagan differentsial tenglamaning umumiy yechimini olamiz:
Ushbu maqola doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir hil bo'lmagan differentsial tenglamalarni yechish masalasini ochib beradi. Nazariya berilgan muammolarga misollar bilan birga ko‘rib chiqiladi. Tushunarsiz atamalarni ochish uchun differensial tenglamalar nazariyasining asosiy ta'riflari va tushunchalari mavzusiga murojaat qilish kerak.
y "" + p y " + q y \u003d f (x) ko'rinishidagi doimiy koeffitsientlarga ega ikkinchi darajali chiziqli differentsial tenglamani (LDE) ko'rib chiqing, bu erda p va q ixtiyoriy sonlar va mavjud f (x) funksiyasi x integratsiya oralig'ida uzluksiz.
LIDE uchun umumiy yechim teoremasining formulasiga o'tamiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
LDNU uchun umumiy yechim teoremasi
Teorema 1y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + ko'rinishdagi bir jinsli bo'lmagan differentsial tenglamaning x oralig'ida joylashgan umumiy yechimi. . . + f 0 (x) y = f (x) x oralig'ida uzluksiz integratsiya koeffitsientlari bilan f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) va uzluksiz funktsiya f (x) LODE ga mos keladigan umumiy yechim y 0 va ba'zi bir maxsus yechim y ~ yig'indisiga teng, bu erda dastlabki bir jinsli bo'lmagan tenglama y = y 0 bo'ladi. + y ~ .
Bu shunday ikkinchi tartibli tenglamaning yechimi y = y 0 + y ~ ko'rinishga ega ekanligini ko'rsatadi. Y 0 ni topish algoritmi doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar maqolasida ko'rib chiqiladi. Shundan so'ng, y ~ ta'rifiga o'tish kerak.
LIDE uchun ma'lum bir yechimni tanlash tenglamaning o'ng tomonida joylashgan mavjud f (x) funktsiyasining turiga bog'liq. Buning uchun doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamalarning yechimlarini alohida ko'rib chiqish kerak.
f (x) n-darajali ko'phad deb hisoblansa f (x) = P n (x) , shundan kelib chiqadiki, LIDE ning ma'lum bir yechimi y ~ = Q n (x) ko'rinishdagi formula bilan topiladi. ) x g , bu yerda Q n ( x) n darajali ko‘phad, r xarakteristik tenglamaning nol ildizlari soni. y ~ qiymati ma'lum bir yechim y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , keyin polinom tomonidan belgilangan mavjud koeffitsientlar.
Q n (x) , y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) tengligidan noaniq koeffitsientlar usuli yordamida topamiz.
1-misol
Koshi teoremasidan y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 dan foydalanib hisoblang.
Yechim
Boshqacha qilib aytganda, y "" - 2 y " = x 2 + 1 doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamaning ma'lum bir yechimiga o'tish kerak, bu berilgan shartlarni y (0) = qanoatlantiradi. 2 , y " (0) = 1 4 .
Chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi y 0 tenglamaga yoki bir jinsli bo'lmagan y ~ tenglamaning ma'lum bir yechimiga, ya'ni y = y 0 + y ~ ga mos keladigan umumiy yechim yig'indisidir.
Birinchidan, LNDE uchun umumiy yechim topamiz, keyin esa alohida.
y 0 ni topishga o'tamiz. Xarakteristik tenglamani yozish ildizlarni topishga yordam beradi. Biz buni tushunamiz
k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2
Biz ildizlarning har xil va haqiqiy ekanligini aniqladik. Shuning uchun biz yozamiz
y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.
y ~ ni topamiz. Ko'rinib turibdiki, berilgan tenglamaning o'ng tomoni ikkinchi darajali ko'phad, u holda ildizlardan biri nolga teng. Bu erdan biz y ~ uchun maxsus yechim bo'lishini olamiz
y ~ = Q 2 (x) x g \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, bu erda A, B, C qiymatlari aniqlanmagan koeffitsientlarni oling.
Ularni y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 ko'rinishdagi tenglikdan topamiz.
Keyin biz buni olamiz:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Koeffitsientlarni bir xil ko'rsatkichlar bilan tenglashtiramiz x , biz chiziqli ifodalar tizimini olamiz - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Har qanday usulda echishda biz koeffitsientlarni topamiz va yozamiz: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 va y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x.
Ushbu yozuv doimiy koeffitsientli dastlabki chiziqli bir hil bo'lmagan ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb ataladi.
y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 shartlarni qanoatlantiradigan muayyan yechimni topish uchun qiymatlarni aniqlash kerak. C1 Va C2, y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x shaklidagi tenglikka asoslangan.
Biz buni olamiz:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Natijada C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 ko'rinishdagi tenglamalar tizimi bilan ishlaymiz, bu erda C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.
Koshi teoremasini qo'llasak, bizda shunday bo'ladi
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Javob: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
Agar f (x) funktsiya n darajali ko'phad va f (x) = P n (x) e a x ko'paytmasi sifatida tasvirlangan bo'lsa, bu erdan biz ikkinchi tartibli LIDE ning ma'lum bir yechimi bo'lishini olamiz. y ~ = e a x Q n ( x) · x g ko'rinishdagi tenglama, bu erda Q n (x) - n-darajali ko'phad, r - a ga teng xarakterli tenglamaning ildizlari soni.
Q n (x) ga tegishli koeffitsientlar y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) tengligi bilan topiladi.
2-misol
y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x ko'rinishdagi differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechim
Umumiy tenglama y = y 0 + y ~ . Belgilangan tenglama LOD y "" - 2 y " = 0 ga to'g'ri keladi. Oldingi misol uning ildizlari teng ekanligini ko'rsatadi k1 = 0 va xarakteristik tenglamaga muvofiq k 2 = 2 va y 0 = C 1 + C 2 e 2 x.
Ko'rinib turibdiki, tenglamaning o'ng tomoni x 2 + 1 · e x . Bu yerdan LNDE y ~ = e a x Q n (x) x g orqali topiladi, bu erda Q n (x) ikkinchi darajali polinom, bu erda a = 1 va r = 0 , chunki xarakteristik tenglama emas. 1 ga teng ildizga ega. Shuning uchun biz buni olamiz
y ~ = e a x Q n (x) x g = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C.
A, B, C noma'lum koeffitsientlar bo'lib, ularni y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x tengligi bilan topish mumkin.
Tushundim
y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Biz ko'rsatkichlarni bir xil koeffitsientlar bilan tenglashtiramiz va tizimni olamiz chiziqli tenglamalar. Bu yerdan biz A, B, C ni topamiz:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Javob: y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 LIDE ning xususiy yechimi va y = y 0 + y = ekanligini ko'rish mumkin. C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3
Funktsiya f (x) = A 1 cos (b x) + B 1 sin b x shaklida yozilsa, va A 1 Va IN 1 raqamlar bo'lsa, u holda y ~ = A cos b x + B sin b x x g ko'rinishdagi tenglama bo'ladi, bu erda A va B noaniq koeffitsientlar hisoblanadi va r xarakterli tenglama bilan bog'liq bo'lgan murakkab konjugat ildizlar soni, ga teng. ± i b. Bunday holda, koeffitsientlarni izlash y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) tengligi bilan amalga oshiriladi.
3-misol
y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ko'rinishdagi differentsial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechim
Xarakteristik tenglamani yozishdan oldin y 0 ni topamiz. Keyin
k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i
Bizda bir juft murakkab konjugat ildizlar mavjud. Keling, o'zgartiramiz va olamiz:
y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
Xarakteristik tenglamaning ildizlari konjugat juftlik deb hisoblanadi ± 2 i , keyin f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Bu shuni ko'rsatadiki, y ~ uchun qidiruv y ~ = (A cos (b x) + B sin (b x) x g = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x dan amalga oshiriladi. Noma'lum A va B koeffitsientlari y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ko'rinishdagi tenglikdan izlanadi.
Keling, aylantiramiz:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2) x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Keyin shunday ko'rinadi
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)
Sinuslar va kosinuslar koeffitsientlarini tenglashtirish kerak. Biz shakl tizimini olamiz:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
Bundan kelib chiqadiki, y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .
Javob: doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli dastlabki LIDE ning umumiy yechimi hisoblanadi
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
f (x) = e a x P n (x) sin (b x) + Q k (x) cos (b x) bo'lganda, y ~ = e a x (L m (x) sin (b x) + N m (x) bo'ladi. ) cos (b x) x g Bizda r - xarakteristik tenglamaga aloqador ildizlarning kompleks konjugat juftlari soni, a ± i b ga teng, bu erda P n (x) , Q k (x) , L m ( x) va N m (x) n, k, m darajali ko‘phadlar, bu yerda m = m a x (n, k). Koeffitsientlarni topish L m (x) Va N m (x) y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) tengligi asosida ishlab chiqariladi.
4-misol
Umumiy yechimni toping y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Yechim
Shartdan ko'rinib turibdiki
a = 3 , b = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1
U holda m = m a x (n, k) = 1 bo'ladi. Dastlabki shaklning xarakteristik tenglamasini yozish orqali y 0 ni topamiz:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2
Biz ildizlarning haqiqiy va aniq ekanligini aniqladik. Demak, y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Keyinchalik, y ~ shaklidagi bir xil bo'lmagan tenglamaga asoslangan umumiy yechimni izlash kerak.
y ~ = e a x (L m (x) sin (b x) + N m (x) cos (b x) x g = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C) x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
Ma'lumki, A, B, C koeffitsientlar, r = 0, chunki a ± i b = 3 ± 5 · i bilan xarakterli tenglama bilan bog'liq bo'lgan konjugat ildizlar jufti yo'q. Ushbu koeffitsientlar hosil bo'lgan tenglikdan topiladi:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (() A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Hosil va shunga o'xshash atamalarni topish
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5) x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))
Koeffitsientlarni tenglashtirgandan so'ng, biz shakl tizimini olamiz
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
Hammasidan shundan kelib chiqadi
y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x) +1)sin(5x))
Javob: Endi berilgan chiziqli tenglamaning umumiy yechimi olindi:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
LDNU ni hal qilish algoritmi
Ta'rif 1Yechim uchun har qanday boshqa turdagi f (x) funksiya yechim algoritmini beradi:
- mos chiziqli bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topish, bunda y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, bu erda y 1 Va y2 LODE ning chiziqli mustaqil maxsus yechimlari, 1 dan Va 2 dan ixtiyoriy konstantalar hisoblanadi;
- LIDE ning umumiy yechimi sifatida qabul qilish y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- funktsiyaning hosilalarini C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x) ko'rinishdagi sistema orqali aniqlash. ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , va funksiyalarni topish C 1 (x) va C 2 (x) integratsiya orqali.
5-misol
y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x ning umumiy yechimini toping.
Yechim
Oldin y 0 , y "" + 36 y = 0 ni yozib, xarakteristik tenglamani yozishga kirishamiz. Keling, yozamiz va hal qilamiz:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = gunoh (6 x)
Bizda berilgan tenglamaning umumiy yechimining yozuvi y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) ko rinishda bo ladi. Hosil funksiyalar ta'rifiga o'tish kerak C 1 (x) Va C2(x) tenglamalar tizimiga muvofiq:
C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6) x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
Bu borada qaror qabul qilish kerak C 1 "(x) Va C2" (x) har qanday usul yordamida. Keyin biz yozamiz:
C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6) x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Tenglamalarning har biri birlashtirilgan bo'lishi kerak. Keyin olingan tenglamalarni yozamiz:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4
Bundan kelib chiqadiki, umumiy yechim quyidagi shaklga ega bo'ladi:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Javob: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir hil bo'lmagan differentsial tenglamalarni (LNDE-2) yechish asoslari (PC)
$p$ va $q$ doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli CLDE $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ ko'rinishiga ega, bu erda $f\left( x \right)$ uzluksiz funksiyadir.
Kompyuter bilan 2-LNDE uchun quyidagi ikkita bayonot to'g'ri.
Faraz qilaylik, ba'zi $U$ funksiyasi bir jinsli differensial tenglamaning ixtiyoriy xususiy yechimi bo'lsin. Aytaylik, $Y$ funksiyasi mos keladigan chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ umumiy yechimi (YOKI) deb faraz qilaylik. Keyin OR ning LHDE-2 ko'rsatilgan xususiy va yig'indisiga teng umumiy qarorlar, ya'ni $y=U+Y$.
Agar 2-tartibli LIDE ning o'ng tomoni funksiyalar yig'indisi bo'lsa, ya'ni $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+...+f_(r) \left(x\right)$, keyin har biriga mos keladigan $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ ni topishingiz mumkin. $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ funksiyalaridan keyin quyidagini yozing. LNDE-2 PD $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ sifatida.
Kompyuter bilan 2-tartibli LNDE yechimi
Shubhasiz, berilgan LNDE-2 ning u yoki bu PD $U$ shakli uning o'ng tomoni $f\left(x\right)$ning o'ziga xos shakliga bog'liq. LNDE-2 PD ni qidirishning eng oddiy holatlari quyidagi to'rtta qoida sifatida tuzilgan.
Qoida raqami 1.
LNDE-2 ning o'ng tomoni $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ ko'rinishiga ega, bu erda $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, ya'ni a deyiladi. $n$ darajali polinom. Keyin uning PR $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ shaklida qidiriladi, bunda $Q_(n) \left(x\right)$ boshqa. $P_(n) \left(x\right)$ bilan bir xil darajadagi polinom va $r$ mos keladigan LODE-2 xarakteristikasi tenglamasining nol ildizlari soni. $Q_(n) \left(x\right)$ polinomining koeffitsientlari noaniq koeffitsientlar (NC) usuli bilan topiladi.
Qoida raqami 2.
LNDE-2 ning o'ng tomoni $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ ko'rinishiga ega, bu erda $P_(n) \left( x\right)$ - $n$ darajali polinom. Keyin uning PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ shaklida qidiriladi, bu yerda $Q_(n) ) \ left(x\right)$ - $P_(n) \left(x\right)$ bilan bir xil darajadagi boshqa ko'phad, $r$ esa mos keladigan LODE-2 xarakteristikasi tenglamasining ildizlari soni. $\alpha $ ga teng. $Q_(n) \left(x\right)$ polinomining koeffitsientlari NK usuli bilan topiladi.
Qoida raqami 3.
LNDE-2 ning o'ng qismi $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) ko'rinishiga ega. \o'ng) $, bu erda $a$, $b$ va $\beta $ ma'lum raqamlar. Keyin uning PD $U$ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) shaklida qidiriladi. )\right )\cdot x^(r) $, bu yerda $A$ va $B$ nomaʼlum koeffitsientlar, $r$ esa $i\cdot ga teng mos keladigan LODE-2 xarakteristikasi tenglamasining ildizlari soni. \beta $. $A$ va $B$ koeffitsientlari NDT usuli bilan topiladi.
Qoida raqami 4.
LNDE-2 ning o'ng tomoni $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ ko'rinishiga ega, bu erda $P_(n) \left(x\right)$ $ n$ darajali ko'phad, $P_(m) \left(x\right)$ $m$ darajali ko'phad. Keyin uning PD $U$ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ shaklida qidiriladi, bu erda $Q_(s) \left(x\right) $ va $ R_(s) \left(x\right)$ $s$ darajali koʻphadlar, $s$ soni $n$ va $m$ning maksimal ikki soni, $r$ esa $\alpha +i\cdot \beta $ ga teng mos keladigan LODE-2 ning xarakteristik tenglamasining ildizlari. $Q_(s) \left(x\right)$ va $R_(s) \left(x\right)$ polinomlarining koeffitsientlari NK usuli bilan topiladi.
NK usuli quyidagi qoidani qo'llashdan iborat. Bir jinsli bo'lmagan LNDE-2 differensial tenglamasining maxsus yechimiga kiruvchi polinomning noma'lum koeffitsientlarini topish uchun quyidagilar zarur:
- LNDE-2 ning chap qismidagi umumiy shaklda yozilgan PD $U$ ni almashtiring;
- LNDE-2 ning chap tomonida bir xil kuchlar bilan soddalashtirish va guruh shartlarini bajaring $x$;
- hosil bo'lgan o'ziga xoslikda, chap va o'ng tomonlarning $x$ bir xil kuchlari bilan atamalar koeffitsientlarini tenglashtiring;
- noma'lum koeffitsientlar uchun hosil bo'lgan chiziqli tenglamalar tizimini yeching.
1-misol
Vazifa: OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ni toping. Shuningdek, toping. $x=0$ uchun $y=6$ va $x=0$ uchun $y"=1$ boshlang'ich shartlarini qondiradigan PR.
Tegishli LODA-2 ni yozing: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Xarakteristik tenglama: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Xarakteristik tenglamaning ildizlari: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Bu ildizlar haqiqiy va aniq. Shunday qilib, mos keladigan LODE-2 ning OR quyidagi ko'rinishga ega: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Ushbu LNDE-2 ning o'ng qismida $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ shakli mavjud. $\alpha =3$ ko'rsatkichining ko'rsatkichi koeffitsientini hisobga olish kerak. Bu koeffitsient xarakterli tenglamaning hech bir ildiziga to'g'ri kelmaydi. Shuning uchun, ushbu LNDE-2 ning PR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ko'rinishiga ega.
$A$, $B$ koeffitsientlarini NK usuli yordamida qidiramiz.
Biz CR ning birinchi hosilasini topamiz:
$U"=\left(A\cdot x+B\o'ng)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\o'ng)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\chap(A\cdot x+B\o'ng)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\chap (A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\o'ng)\cdot e^(3\cdot x) .$
Biz CR ning ikkinchi hosilasini topamiz:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\o'ng)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\o'ng)\cdot \chap(e^(3\cdot x) \o'ng)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\chap(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\o'ng)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\chap(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\o'ng)\cdot e^(3\cdot x) .$
Berilgan LNDE-2 $y""-3\cdot y" ga $y""$, $y"$ va $y$ o'rniga $U""$, $U"$ va $U$ funktsiyalarini almashtiramiz. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Shu bilan birga, $e^(3\cdot x) $ koʻrsatkichi kiritilganligi sababli. barcha komponentlarda omil sifatida, keyin uni tashlab yuborish mumkin.
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \chap(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\o‘ng)-18\cdot \chap(A\ cdot x+B\o'ng)=36\cdot x+12.$
Olingan tenglikning chap tomonida amallarni bajaramiz:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Biz NC usulidan foydalanamiz. Biz ikkita noma'lum chiziqli tenglamalar tizimini olamiz:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Bu tizimning yechimi: $A=-2$, $B=-1$.
Bizning muammomiz uchun CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ quyidagicha ko‘rinadi: $U=\left(-2\cdot x-1\right) ) \cdot e^(3\cdot x) $.
Bizning muammomiz uchun OR $y=Y+U$ quyidagicha ko‘rinadi: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Berilgan dastlabki shartlarga javob beradigan PD ni izlash uchun $y"$ YOKI hosilasini topamiz:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\o'ng)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Biz $y$ va $y"$ da dastlabki shartlarni $y=6$ $x=0$ va $y"=1$ $x=0$ bilan almashtiramiz:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Biz tenglamalar tizimini oldik:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Biz hal qilamiz. Biz $C_(1) $ ni Kramer formulasidan foydalanib topamiz va $C_(2) $ birinchi tenglamadan aniqlanadi:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(massiv)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(massiv)\o'ng|)(\left|\ start(massiv)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(massiv)\o'ng|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Shunday qilib, bu differentsial tenglamaning PD: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right) )\cdot e^(3\cdot x) $.
