"Birinchi qismda kimyometrikani tushunish uchun minimal zarur bo'lgan qoidalar belgilangan, ikkinchi qismda ko'p o'lchovli tahlil usullarini chuqurroq tushunish uchun bilishingiz kerak bo'lgan faktlar mavjud. Taqdimot Excel ish kitobida keltirilgan misollar bilan tasvirlangan. Matrix.xls, ushbu hujjat bilan birga keladi.

Misollarga havolalar matnda Excel ob'ektlari sifatida joylashtirilgan. Bu misollar tabiatan mavhum, ular hech qanday tarzda vazifalar bilan bog'liq emas analitik kimyo. Haqiqiy misollar Kimyometrikada matritsalar algebrasidan foydalanish turli xil kimyometrik ilovalarni qamrab oluvchi boshqa matnlarda muhokama qilinadi.

Analitik kimyoda qilingan o'lchovlarning aksariyati to'g'ridan-to'g'ri emas, balki bilvosita. Bu shuni anglatadiki, tajribada kerakli tahlil qiluvchi C qiymati (konsentratsiya) o'rniga boshqa qiymat olinadi. x(signal), bog'liq, lekin C ga teng emas, ya'ni. x(C) ≠ C. Qoida tariqasida, qaramlik turi x(C) noma'lum, lekin xayriyatki, analitik kimyoda ko'pchilik o'lchovlar proportsionaldir. Bu shuni anglatadiki, C konsentratsiyasi ortishi bilan a marta, X signali bir xil miqdorda ortadi, ya'ni. x(a C) = a x(C). Bundan tashqari, signallar ham qo'shimcha hisoblanadi, shuning uchun C 1 va C 2 kontsentratsiyasiga ega bo'lgan ikkita moddani o'z ichiga olgan namunadan olingan signal har bir komponentning signallari yig'indisiga teng bo'ladi, ya'ni. x(C 1 + C 2) = x(C 1)+ x(C 2). Proportsionallik va qo'shimchalik birgalikda beradi chiziqlilik. Chiziqlilik printsipini ko'rsatish uchun ko'plab misollar keltirish mumkin, ammo ikkita eng yorqin misolni - xromatografiya va spektroskopiyani eslatib o'tish kifoya. Analitik kimyodagi tajribaga xos bo'lgan ikkinchi xususiyat ko'p kanalli. Zamonaviy analitik uskunalar bir vaqtning o'zida ko'plab kanallar uchun signallarni o'lchaydi. Misol uchun, yorug'lik o'tkazuvchanligi intensivligi bir vaqtning o'zida bir nechta to'lqin uzunligi uchun o'lchanadi, ya'ni. spektr. Shuning uchun, tajribada biz ko'plab signallar bilan shug'ullanamiz x 1 , x 2 ,...., x n, o'rganilayotgan tizimda mavjud bo'lgan moddalarning C 1, C 2, ..., C m konsentratsiyalari to'plamini tavsiflovchi.

Guruch. 1 Spektrlar

Shunday qilib, analitik eksperiment chiziqlilik va ko'p o'lchovlilik bilan tavsiflanadi. Shuning uchun eksperimental ma'lumotlarni vektor va matritsalar sifatida ko'rib chiqish va matritsalar algebrasi apparati yordamida ularni manipulyatsiya qilish qulay. Ushbu yondashuvning samaradorligi 4000 dan 4796 sm -1 gacha bo'lgan 200 to'lqin uzunligida olingan uchta spektrni ko'rsatadigan misolda ko'rsatilgan. birinchi ( x 1) va ikkinchi ( x 2) ikkita A va B moddalarning kontsentratsiyasi ma'lum bo'lgan standart namunalar uchun spektrlar olingan: birinchi namunada [A] = 0,5, [B] = 0,1 va ikkinchi namunada [A] = 0,2, [ B] = 0,6. Spektri ko'rsatilgan yangi, noma'lum namuna haqida nima deyish mumkin x 3 ?

Keling, uchta eksperimental spektrni ko'rib chiqaylik x 1 , x 2 va x 3 200 o'lchamli uchta vektor sifatida. Chiziqli algebra yordamida buni osongina ko'rsatish mumkin x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2, shuning uchun uchinchi namunada aniq konsentratsiyalarda faqat A va B moddalari mavjud [A] = 0,5 × 0,1 + 0,2 × 0,3 = 0,11 va [B] = 0,1 × 0,1 + 0,6 × 0,3 = 0,19.

1. Asosiy ma'lumotlar

1.1 Matritsalar

Matritsa masalan, raqamlarning to'rtburchaklar jadvali deb ataladi

Guruch. 2 matritsa

Matritsalar katta qalin harflar bilan belgilanadi ( A), va ularning elementlari - indekslar bilan mos keladigan kichik harflar bilan, ya'ni. a ij. Birinchi indeks satrlarni, ikkinchisi esa ustunlarni raqamlaydi. Kimyometrikada indeksning maksimal qiymatini indeksning o'zi bilan bir xil harf bilan, lekin bosh harflar bilan belgilash odatiy holdir. Shuning uchun matritsa A sifatida ham yozilishi mumkin ( a ij , i = 1,..., I; j = 1,..., J). Misol uchun matritsa I = 4, J= 3 va a 23 = −7.5.

Raqamlar juftligi I Va J matritsaning o'lchami deb ataladi va sifatida belgilanadi I× J. Kimyometrikada matritsaga misol sifatida olingan spektrlar to'plamini keltirish mumkin I uchun namunalar J to'lqin uzunliklari.

1.2. Matritsalar bilan eng oddiy amallar

Matritsalar bo'lishi mumkin raqamlarga ko'paytiring. Bunday holda, har bir element ushbu raqamga ko'paytiriladi. Masalan -

Guruch. 3 Matritsani songa ko'paytirish

Xuddi shu o'lchamdagi ikkita matritsa elementma-element bo'lishi mumkin katlama Va ayirish. Masalan,

Guruch. 4 Matritsa qo'shilishi

Raqamga ko'paytirish va qo'shish natijasida bir xil o'lchamdagi matritsa olinadi.

Nol matritsa - bu nollardan tashkil topgan matritsa. Belgilangan O. Bu aniq A+O = A, A−A = O va 0 A = O.

Matritsa bo'lishi mumkin ko'chirish. Ushbu operatsiya davomida matritsa aylantiriladi, ya'ni. qatorlar va ustunlar almashtiriladi. Transpozitsiya bosh son bilan belgilanadi, A"yoki indeks A t. Shunday qilib, agar A = {a ij , i = 1,..., I; j = 1,...,J), Bu A t = ( a ji , j = 1,...,J; i = 1,..., I). Masalan

Guruch. 5 Matritsaning transpozitsiyasi

Ko'rinib turibdiki ( A t) t = A, (A+B) t = A t+ B t.

1.3. Matritsalarni ko'paytirish

Matritsalar bo'lishi mumkin ko'paytirmoq, lekin ular tegishli o'lchamlarga ega bo'lsa. Nima uchun bunday bo'lganligi ta'rifdan aniq bo'ladi. Matritsa mahsuloti A, o'lcham I× K, va matritsalar B, o'lcham K× J, matritsa deyiladi C, o'lcham I× J, ularning elementlari raqamlardir

Shunday qilib, mahsulot uchun AB chap matritsadagi ustunlar soni bo'lishi kerak A o'ng matritsadagi qatorlar soniga teng edi B. Matritsa mahsulotiga misol -

6-rasm Matritsalar mahsuloti

Matritsalarni ko'paytirish qoidasini quyidagicha shakllantirish mumkin. Matritsa elementini topish uchun C, chorrahada turgan i-chi qator va j ustun ( c ij) elementni elementga ko'paytirish kerak i-birinchi matritsaning qatori A yoqilgan j ikkinchi matritsaning ustuni B va barcha natijalarni qo'shing. Shunday qilib, ko'rsatilgan misolda uchinchi qator va ikkinchi ustunning elementi uchinchi qatorning elementlar bo'yicha mahsuloti yig'indisi sifatida olinadi. A va ikkinchi ustun B

7-rasm Matritsalar mahsulotining elementi

Matritsalarning mahsuloti tartibga bog'liq, ya'ni. AB ≠ B.A., hech bo'lmaganda o'lchovli sabablarga ko'ra. Ularning aytishicha, bu kommutativ emas. Biroq, matritsalarning mahsuloti assotsiativdir. Bu shuni anglatadiki ABC = (AB)C = A(Miloddan avvalgi). Bundan tashqari, u ham tarqatuvchi, ya'ni. A(B+C) = AB+A.C.. Bu aniq A.O. = O.

1.4. Kvadrat matritsalar

Agar matritsa ustunlari soni uning satrlari soniga teng bo'lsa ( I = J=N), unda bunday matritsa kvadrat deb ataladi. Ushbu bo'limda biz faqat shunday matritsalarni ko'rib chiqamiz. Bu matritsalar orasida maxsus xossalarga ega matritsalarni ajratish mumkin.

Bo'ydoq matritsa (belgilangan men, va ba'zan E) 1 ga teng bo'lgan diagonallar bundan mustasno, barcha elementlar nolga teng bo'lgan matritsadir, ya'ni.

Shubhasiz A.I. = I.A. = A.

Matritsa deyiladi diagonal, agar diagonallardan tashqari uning barcha elementlari ( a ii) nolga teng. Masalan

Guruch. 8 Diagonal matritsa

Matritsa A tepa deb ataladi uchburchak, agar uning diagonal ostida yotgan barcha elementlari nolga teng bo'lsa, ya'ni. a ij= 0, at i>j. Masalan

Guruch. 9 Yuqori uchburchak matritsa

Pastki uchburchak matritsa ham xuddi shunday aniqlanadi.

Matritsa A chaqirdi simmetrik, Agar A t = A. Boshqa so'zlar bilan aytganda a ij = a ji. Masalan

Guruch. 10 Simmetrik matritsa

Matritsa A chaqirdi ortogonal, Agar

A t A = A.A. t = I.

Matritsa deyiladi normal Agar

1.5. Iz va determinant

Keyingisi kvadrat matritsa A(Tr bilan belgilanadi( A) yoki Sp( A)) uning diagonal elementlari yig‘indisi,

Masalan,

Guruch. 11 Matritsa izi

Bu aniq

Sp(a A) = a Sp( A) Va

Sp( A+B) = Sp( A)+ Sp( B).

Buni ko'rsatish mumkin

Sp( A) = Sp( A t), Sp( I) = N,

va shuningdek, bu

Sp( AB) = Sp( B.A.).

Kvadrat matritsaning yana bir muhim xususiyati uning aniqlovchi(belgilangan det( A)). Determinantning ta'rifi umumiy holat juda murakkab, shuning uchun biz eng oddiy variantdan boshlaymiz - matritsa A hajmi (2×2). Keyin

(3×3) matritsa uchun determinant ga teng bo'ladi

matritsa holatida ( N× N) determinant 1·2·3· yig'indisi sifatida hisoblanadi ... · N= N! shartlar, ularning har biri teng

Indekslar k 1 , k 2 ,..., k N barcha mumkin bo'lgan tartibli almashtirishlar sifatida aniqlanadi r to'plamdagi raqamlar (1, 2, ..., N). Matritsaning determinantini hisoblash murakkab protsedura bo'lib, amalda maxsus dasturlar yordamida amalga oshiriladi. Masalan,

Guruch. 12 Matritsa determinanti

Keling, faqat aniq xususiyatlarni ta'kidlaymiz:

det( I) = 1, det( A) = det( A t),

det( AB) = det( A)det( B).

1.6. Vektorlar

Agar matritsa faqat bitta ustundan iborat bo'lsa ( J= 1), keyin bunday ob'ekt chaqiriladi vektor. Aniqroq aytganda, ustun vektori. Masalan

Masalan, bitta qatordan iborat matritsalarni ham ko'rib chiqish mumkin

Bu ob'ekt ham vektor, lekin qator vektori. Ma'lumotlarni tahlil qilishda biz qaysi vektorlar - ustunlar yoki satrlar bilan ishlayotganimizni tushunish muhimdir. Shunday qilib, bitta namuna uchun olingan spektrni qator vektori deb hisoblash mumkin. Keyin barcha namunalar uchun ma'lum bir to'lqin uzunligidagi spektral intensivlik to'plami ustun vektori sifatida ko'rib chiqilishi kerak.

Vektorning o'lchami uning elementlari sonidir.

Har qanday ustun vektorini transpozitsiya orqali qator vektoriga aylantirish mumkinligi aniq, ya'ni.

Vektorning shakli aniq ko'rsatilmagan, lekin oddiygina vektor deb aytilgan hollarda, ular ustun vektorini anglatadi. Biz ham ushbu qoidaga amal qilamiz. Vektor kichik, oldinga, qalin harf bilan belgilanadi. Nol vektor - barcha elementlari nolga teng vektor. Belgilangan 0 .

1.7. Vektorlar bilan eng oddiy amallar

Vektorlarni matritsalar kabi raqamlarga qo'shish va ko'paytirish mumkin. Masalan,

Guruch. 13 Vektorlar bilan amallar

Ikki vektor x Va y chaqiriladi kolinear, agar shunday a soni bo'lsa

1.8. Vektor mahsulotlari

Bir xil o'lchamdagi ikkita vektor N ko‘paytirish mumkin. Ikki vektor bo'lsin x = (x 1 , x 2 ,...,x N) t va y = (y 1 , y 2 ,...,y N) t . Qatordan ustunga ko'paytirish qoidasiga asoslanib, biz ulardan ikkita mahsulot yaratishimiz mumkin: x t y Va xy t. Birinchi ish

chaqirdi skaler yoki ichki. Uning natijasi raqamdir. Bundan tashqari, ( x,y)= x t y. Masalan,

Guruch. 14 Ichki (skalyar) mahsulot

Ikkinchi qism

chaqirdi tashqi. Uning natijasi o'lchov matritsasi ( N× N). Masalan,

Guruch. 15 Tashqi ish

Skayar mahsuloti nolga teng vektorlar deyiladi ortogonal.

1.9. Vektor normasi

Vektorning o'zi bilan skalyar ko'paytmasi skalyar kvadrat deyiladi. Bu qiymat

kvadratni belgilaydi uzunligi vektor x. Uzunlikni ko'rsatish uchun (shuningdek, deb ataladi norma vektor) belgisi ishlatiladi

Masalan,

Guruch. 16 Vektor normasi

Birlik uzunlik vektori (|| x|| = 1) normallashtirilgan deb ataladi. Nolga teng bo'lmagan vektor ( x ≠ 0 ) uzunligiga bo'lish orqali normallashtirilishi mumkin, ya'ni. x = ||x|| (x/||x||) = ||x|| e. Bu yerga e = x/||x|| - normallashtirilgan vektor.

Vektorlarning barchasi normallashtirilgan va juft ortogonal bo'lsa, ortonormal deyiladi.

1.10. Vektorlar orasidagi burchak

Skayar mahsulot va ni aniqlaydi burchak ikki vektor orasidagi ph x Va y

Agar vektorlar ortogonal bo'lsa, u holda cosph = 0 va ph = p/2, agar ular kolinear bo'lsa, u holda cosph = 1 va ph = 0 bo'ladi.

1.11. Matritsaning vektor tasviri

Har bir matritsa A hajmi I× J vektorlar to'plami sifatida ifodalanishi mumkin

Bu erda har bir vektor a j hisoblanadi j ustun va qator vektori b i hisoblanadi i matritsaning uchinchi qatori A

1.12. Chiziqli bog'liq vektorlar

Xuddi shu o'lchamdagi vektorlar ( N) matritsalar kabi songa qo‘shilishi va ko‘paytirilishi mumkin. Natijada bir xil o'lchamdagi vektor bo'ladi. Bir xil o'lchamdagi bir nechta vektor bo'lsin x 1 , x 2 ,...,x K va bir xil sonlar a a 1 , a 2 ,...,a K. Vektor

y= a 1 x 1 + a 2 x 2 +...+ a K x K

chaqirdi chiziqli birikma vektorlar x k .

Agar shunday nolga teng bo'lmagan raqamlar mavjud bo'lsa a k ≠ 0, k = 1,..., K, Nima y = 0 , keyin bunday vektorlar to'plami x k chaqirdi chiziqli bog'liq. Aks holda vektorlar chiziqli mustaqil deyiladi. Masalan, vektorlar x 1 = (2, 2)t va x 2 = (-1, -1) t chiziqli bog'liq, chunki x 1 +2x 2 = 0

1.13. Matritsa darajasi

to'plamini ko'rib chiqing K vektorlar x 1 , x 2 ,...,x K o'lchamlar N. Ushbu vektorlar tizimining darajasi chiziqli mustaqil vektorlarning maksimal soni. Masalan, to'plamda

masalan, faqat ikkita chiziqli mustaqil vektor mavjud x 1 va x 2, shuning uchun uning darajasi 2.

Shubhasiz, agar to'plamda ularning o'lchamidan ko'proq vektor bo'lsa ( K>N), u holda ular albatta chiziqli bog'liqdir.

Matritsa darajasi(darajali bilan belgilanadi) A)) - o'zi tashkil etgan vektorlar sistemasining darajasi. Har qanday matritsa ikki shaklda (ustun yoki satr vektorlari) ifodalanishi mumkin bo'lsa-da, bu daraja qiymatiga ta'sir qilmaydi, chunki

1.14. Teskari matritsa

Kvadrat matritsa A o'ziga xos xususiyatga ega bo'lsa, degenerativ emas deb ataladi teskari matritsa A-1 shartlar bilan belgilanadi

A.A. −1 = A −1 A = I.

Teskari matritsa hamma matritsalar uchun ham mavjud emas. Degeneratsiya bo'lmasligi uchun zaruriy va etarli shart

det( A) ≠ 0 yoki daraja( A) = N.

Matritsani inversiya qilish - bu maxsus dasturlar mavjud bo'lgan murakkab protsedura. Masalan,

Guruch. 17 Matritsaning inversiyasi

Keling, eng oddiy holat uchun formulalarni keltiramiz - 2 × 2 matritsa

Agar matritsalar A Va B degenerativ emas

(AB) −1 = B −1 A −1 .

1.15. Psevdoteskari matritsa

Agar matritsa A yakka va teskari matritsa mavjud emas, ba'zi hollarda siz foydalanishingiz mumkin psevdoteskari matritsa, u shunday matritsa sifatida aniqlanadi A+ bu

A.A. + A = A.

Pseudoinverse matritsa yagona emas va uning shakli qurilish usuliga bog'liq. Masalan, to'rtburchaklar matritsa uchun Mur-Penrose usulidan foydalanishingiz mumkin.

Agar ustunlar soni qatorlar sonidan kam bo'lsa, u holda

A + =(A t A) −1 A t

Masalan,

Guruch. 17a Matritsaning psevdo-inversiyasi

Agar ustunlar soni qatorlar sonidan ko'p bo'lsa, u holda

A + =A t ( A.A. t) −1

1.16. Vektorni matritsaga ko'paytirish

Vektor x matritsaga ko'paytirilishi mumkin A mos o'lcham. Bunday holda, ustun vektori o'ng tomonga ko'paytiriladi Ax, va vektor qatori chap tomonda x t A. Agar vektor o'lchami J, va matritsa o'lchami I× J keyin natija o'lchov vektori bo'ladi I. Masalan,

Guruch. 18 Vektorni matritsaga ko'paytirish

Agar matritsa A- kvadrat ( I× I), keyin vektor y = Ax bilan bir xil o'lchamga ega x. Bu aniq

A(a 1 x 1 + a 2 x 2) = a 1 Ax 1 + a 2 Ax 2 .

Shuning uchun matritsalarni vektorlarning chiziqli o'zgarishi deb hisoblash mumkin. Ayniqsa Ix = x, ho'kiz = 0 .

2. Qo'shimcha ma'lumotlar

2.1. Chiziqli tenglamalar sistemalari

Mayli A- matritsa hajmi I× J, A b- o'lchov vektori J. Tenglamani ko'rib chiqing

Ax = b

vektorga nisbatan x, o'lchamlari I. Asosan, bu tizim I chiziqli tenglamalar Bilan J noma'lum x 1 ,...,x J. Yechim mavjud bo'lgan taqdirdagina mavjud

daraja ( A) = daraja ( B) = R,

Qayerda B o'lchamlarning kengaytirilgan matritsasi hisoblanadi I×( J+1), matritsadan iborat A, ustun bilan to'ldiriladi b, B = (A b). Aks holda, tenglamalar mos kelmaydi.

Agar R = I = J, keyin yechim yagona bo'ladi

x = A −1 b.

Agar R < I, keyin chiziqli birikma orqali ifodalanishi mumkin bo'lgan juda ko'p turli xil echimlar mavjud J−R vektorlar. Tizim bir jinsli tenglamalar Ax = 0 kvadrat matritsa bilan A (N× N) noaniq yechimga ega ( x ≠ 0 ) agar va faqat agar det( A) = 0. Agar R= daraja ( A)<N, keyin bor N−R chiziqli mustaqil yechimlar.

2.2. Ikki chiziqli va kvadratik shakllar

Agar A kvadrat matritsadir va x Va y- mos o'lchamning vektori, keyin shaklning skalyar ko'paytmasi x t Ay chaqirdi ikki chiziqli matritsa bilan aniqlangan shakl A. At x = y ifoda x t Ax chaqirdi kvadratik shakl.

2.3. Ijobiy aniq matritsalar

Kvadrat matritsa A chaqirdi ijobiy aniqlik, agar nolga teng bo'lmagan vektor uchun x ≠ 0 ,

x t Ax > 0.

Xuddi shunday ta'riflangan salbiy (x t Ax < 0), salbiy bo'lmagan (x t Ax≥ 0) va salbiy (x t Ax≤ 0) muayyan matritsalar.

2.4. Xoleskiyning parchalanishi

Agar simmetrik matritsa bo'lsa A musbat aniq bo'lsa, u holda yagona uchburchak matritsa mavjud U ijobiy elementlar bilan, buning uchun

A = U t U.

Masalan,

Guruch. 19 Xoleskiyning parchalanishi

2.5. Polar parchalanish

Mayli A o'lchamning yagona bo'lmagan kvadrat matritsasi N× N. Keyin o'ziga xoslik bor qutbli ishlash

A = S.R.

Qayerda S manfiy bo'lmagan simmetrik matritsadir va R ortogonal matritsadir. Matritsalar S Va R aniq belgilanishi mumkin:

S 2 = A.A. t yoki S = (A.A. t) ½ va R = S −1 A = (A.A. t) −½ A.

Masalan,

Guruch. 20 Polar parchalanish

Agar matritsa A degenerativ bo'lsa, dekompozitsiya noyob emas - ya'ni: S hali yolg'iz, lekin R ehtimol ko'p. Polar parchalanish matritsani ifodalaydi A siqish/kengaytma birikmasi sifatida S va aylantiring R.

2.6. Xususiy vektorlar va xos qiymatlar

Mayli A kvadrat matritsadir. Vektor v chaqirdi xos vektor matritsalar A, Agar

Av = λ v,

bu erda l raqami chaqiriladi xos qiymat matritsalar A. Shunday qilib, matritsa amalga oshiradigan transformatsiya A vektor ustida v, l koeffitsienti bilan oddiy cho'zish yoki siqilishga tushadi. Xususiy vektor doimiy a ≠ 0 bilan ko'paytirilgunga qadar aniqlanadi, ya'ni. Agar v xos vektor, keyin a v- shuningdek, xos vektor.

2.7. Xususiy qiymatlar

Matritsada A, o'lcham ( N× N) dan ortiq bo'lishi mumkin emas N xos qiymatlar. Ular qoniqtiradilar xarakterli tenglama

det( A − λ I) = 0,

bo'lish algebraik tenglama N- tartib. Xususan, 2×2 matritsa uchun xarakteristik tenglama shaklga ega

Masalan,

Guruch. 21 Xususiy qiymatlar

Xususiy qiymatlar to'plami l 1 ,..., l N matritsalar A chaqirdi spektr A.

Spektr turli xil xususiyatlarga ega. Ayniqsa

det( A) = l 1 ×...×l N,Sp( A) = l 1 +...+l N.

Ixtiyoriy matritsaning o'ziga xos qiymatlari murakkab sonlar bo'lishi mumkin, ammo agar matritsa simmetrik bo'lsa ( A t = A), unda uning xos qiymatlari haqiqiy bo'ladi.

2.8. Xususiy vektorlar

Matritsada A, o'lcham ( N× N) dan ortiq bo'lishi mumkin emas N xos vektorlar, ularning har biri o'zining shaxsiy qiymatiga mos keladi. Xususiy vektorni aniqlash v n bir jinsli tenglamalar sistemasini yechish kerak

(A − λ n I)v n = 0 .

Bu ahamiyatsiz yechimga ega, chunki det( A -λ n I) = 0.

Masalan,

Guruch. 22 xos vektorlar

Simmetrik matritsaning xos vektorlari ortogonaldir.

Kvadrat matritsaning xos vektori berilgan matritsaga ko'paytirilganda kollinear vektor hosil bo'ladi. Oddiy so'zlar bilan aytganda, matritsani xos vektor bilan ko'paytirishda, ikkinchisi bir xil bo'lib qoladi, lekin ma'lum bir songa ko'paytiriladi.

Ta'rif

Xususiy vektor nolga teng bo'lmagan V vektor bo'lib, u M kvadrat matritsaga ko'paytirilganda o'zini qandaydir l soniga ortib boradi. Algebraik yozuvda u quyidagicha ko'rinadi:

M × V = l × V,

bu yerda l - M matritsaning xos qiymati.

Keling, raqamli misolni ko'rib chiqaylik. Yozib olish qulayligi uchun matritsadagi raqamlar nuqtali vergul bilan ajratiladi. Keling, matritsaga ega bo'lamiz:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Uni ustun vektoriga ko'paytiramiz:

• V = -2;

Matritsani ustun vektoriga ko'paytirsak, biz ustun vektorini ham olamiz. Qattiq matematik tilda 2 × 2 matritsani ustun vektoriga ko'paytirish formulasi quyidagicha ko'rinadi:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 birinchi qator va birinchi ustunda joylashgan M matritsasining elementini, M22 esa ikkinchi qator va ikkinchi ustunda joylashgan elementni bildiradi. Bizning matritsamiz uchun bu elementlar M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10 ga teng. Ustun vektori uchun bu qiymatlar V11 = –2, V21 = 1 ga teng. Ushbu formulaga muvofiq, kvadrat matritsaning vektor bo'yicha ko'paytmasining quyidagi natijasini olamiz:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Qulaylik uchun ustun vektorini qatorga yozamiz. Shunday qilib, kvadrat matritsani vektorga (-2; 1) ko'paytirdik, natijada vektor (4; -2). Shubhasiz, bu bir xil vektor l = -2 ga ko'paytiriladi. Bu holda lambda matritsaning xos qiymatini bildiradi.

Matritsaning xos vektori kollinear vektor, ya'ni matritsaga ko'paytirilganda fazodagi o'rnini o'zgartirmaydigan ob'ektdir. Vektor algebrasida kollinearlik tushunchasi geometriyadagi parallellik atamasiga o'xshaydi. Geometrik talqinda kollinear vektorlar turli uzunlikdagi parallel yo'naltirilgan segmentlardir. Evklid davridan beri biz bir chiziqda unga parallel cheksiz sonli chiziqlar borligini bilamiz, shuning uchun har bir matritsaning cheksiz sonli xos vektorlari bor deb taxmin qilish mantiqan to'g'ri keladi.

Oldingi misoldan ko'rinib turibdiki, xos vektorlar (-8; 4) va (16; -8) va (32, -16) bo'lishi mumkin. Bularning barchasi l = -2 xos qiymatga mos keladigan kollinear vektorlardir. Asl matritsani ushbu vektorlarga ko'paytirganda, biz hali ham asl nusxadan 2 marta farq qiladigan vektorga ega bo'lamiz. Shuning uchun xos vektorni topish masalalarini yechishda faqat chiziqli mustaqil vektor ob'ektlarni topish kerak bo'ladi. Ko'pincha, n × n matritsa uchun n ta sonli xos vektorlar mavjud. Bizning kalkulyatorimiz ikkinchi tartibli kvadrat matritsalarni tahlil qilish uchun mo'ljallangan, shuning uchun deyarli har doim natijada ikkita xos vektor topiladi, ular bir-biriga to'g'ri keladigan holatlar bundan mustasno.

Yuqoridagi misolda biz dastlabki matritsaning xos vektorini oldindan bilib oldik va lambda sonini aniq belgilab oldik. Biroq, amalda hamma narsa aksincha sodir bo'ladi: birinchi navbatda xos qiymatlar va faqat keyin xos vektorlar topiladi.

Yechim algoritmi

Keling, M matritsasini yana ko'rib chiqamiz va uning ikkala xos vektorini topishga harakat qilamiz. Shunday qilib, matritsa quyidagicha ko'rinadi:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Avval biz l ning xos qiymatini aniqlashimiz kerak, bu quyidagi matritsaning determinantini hisoblashni talab qiladi:

• (0 − l); 4;
• 6; (10 − l).

Bu matritsa bosh diagonaldagi elementlardan noma’lum l ni ayirish orqali olinadi. Determinant standart formula yordamida aniqlanadi:

• detA = M11 × M21 - M12 × M22
• detA = (0 - l) × (10 - l) - 24

Bizning vektorimiz nolga teng bo'lmasligi kerakligi sababli, biz hosil bo'lgan tenglamani chiziqli bog'liq deb qabul qilamiz va detA determinantimizni nolga tenglashtiramiz.

(0 - l) × (10 - l) - 24 = 0

Qavslarni ochamiz va matritsaning xarakteristik tenglamasini olamiz:

l 2 - 10l - 24 = 0

Bu standart kvadrat tenglama, bu diskriminant orqali hal qilinishi kerak.

D = b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Diskriminantning ildizi sqrt(D) = 14, shuning uchun l1 = -2, l2 = 12. Endi har bir lambda qiymati uchun xos vektorni topishimiz kerak. l = -2 uchun tizim koeffitsientlarini ifodalaymiz.

• M - l × E = 2; 4;
• 6; 12.

Bu formulada E identifikatsiya matritsasi hisoblanadi. Olingan matritsaga asoslanib, chiziqli tenglamalar tizimini yaratamiz:

2x + 4y = 6x + 12y,

bu yerda x va y xos vektor elementlari.

Keling, chapdagi barcha X ni va o'ngdagi barcha Y ni to'playmiz. Shubhasiz - 4x = 8y. Ifodani - 4 ga bo'ling va x = -2y ni oling. Endi biz noma'lumlarning har qanday qiymatlarini olib, matritsaning birinchi xos vektorini aniqlashimiz mumkin (chiziqli bog'liq xos vektorlarning cheksizligini eslang). y = 1, keyin x = –2 ni olaylik. Shuning uchun birinchi xos vektor V1 = (–2; 1) ga o'xshaydi. Maqolaning boshiga qayting. Aynan shu vektor ob'ekti bo'lib, biz xos vektor tushunchasini ko'rsatish uchun matritsani ko'paytirdik.

Endi l = 12 uchun xos vektorni topamiz.

• M - l × E = -12; 4
• 6; -2.

Xuddi shu chiziqli tenglamalar tizimini tuzamiz;

• -12x + 4y = 6x - 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

Endi biz x = 1 ni olamiz, shuning uchun y = 3. Shunday qilib, ikkinchi xos vektor V2 = (1; 3) ga o'xshaydi. Asl matritsani berilgan vektorga ko'paytirishda natija har doim bir xil vektor 12 ga ko'paytiriladi. Bu erda yechim algoritmi tugaydi. Endi siz matritsaning xos vektorini qo'lda qanday aniqlashni bilasiz.

• aniqlovchi;
• iz, ya'ni asosiy diagonaldagi elementlar yig'indisi;
• daraja, ya'ni chiziqli mustaqil satrlar/ustunlarning maksimal soni.

Dastur yuqoridagi algoritmga muvofiq ishlaydi, yechim jarayonini imkon qadar qisqartiradi. Shuni ta'kidlash kerakki, dasturda lambda "c" harfi bilan belgilanadi. Keling, raqamli misolni ko'rib chiqaylik.

Dastur qanday ishlashiga misol

Keling, quyidagi matritsa uchun xos vektorlarni aniqlashga harakat qilaylik:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Keling, ushbu qiymatlarni kalkulyatorning katakchalariga kiritamiz va javobni quyidagi shaklda olamiz:

• Matritsa darajasi: 2;
• Matritsa determinanti: 18;
• Matritsa izi: 19;
• Xususiy vektorni hisoblash: c 2 - 19.00c + 18.00 (xarakteristik tenglama);
• Eigenvektorni hisoblash: 18 (birinchi lambda qiymati);
• Eigenvektorni hisoblash: 1 (ikkinchi lambda qiymati);
• 1-vektor uchun tenglamalar tizimi: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• 2-vektor uchun tenglamalar tizimi: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Xususiy vektor 1: (1; 1);
• 2 xos vektor: (-3,25; 1).

Shunday qilib, biz ikkita chiziqli mustaqil xususiy vektorni oldik.

Xulosa

Chiziqli algebra va analitik geometriya- texnik mutaxassislik bo'yicha har qanday birinchi kurs talabasi uchun standart fanlar. Katta miqdor vektorlar va matritsalar dahshatli va bunday mashaqqatli hisob-kitoblarda xato qilish oson. Bizning dasturimiz talabalarga o'z hisoblarini tekshirish yoki xos vektorni topish masalasini avtomatik ravishda hal qilish imkonini beradi. Bizning katalogimizda boshqa chiziqli algebra kalkulyatorlari mavjud.

Ta'rif 9.3. Vektor X chaqirdi xos vektor matritsalar A, agar shunday raqam mavjud bo'lsa λ, tenglik amal qiladi: A X= λ X, ya'ni murojaat qilish natijasi X matritsa tomonidan belgilangan chiziqli transformatsiya A, bu vektorni songa ko'paytirish λ . Raqamning o'zi λ chaqirdi xos qiymat matritsalar A.

Formulalarga almashtirish (9.3) x` j = lx j, xos vektorning koordinatalarini aniqlash uchun tenglamalar tizimini olamiz:

. (9.5)

Bu chiziqli bir jinsli sistema, agar uning asosiy determinanti 0 (Kramer qoidasi) bo'lsagina notrivial yechimga ega bo'ladi. Ushbu shartni quyidagi shaklda yozish orqali:

xos qiymatlarni aniqlash uchun tenglamani olamiz λ , chaqirildi xarakterli tenglama. Qisqacha aytganda, uni quyidagicha ifodalash mumkin:

| A - lE | = 0, (9.6)

chunki uning chap tomonida matritsaning determinanti mavjud A-lE. Polinom nisbiy l | A - lE| chaqirdi xarakterli polinom matritsalar A.

Xarakteristik polinomning xossalari:

1) Chiziqli transformatsiyaning xarakterli ko'phadlari bazis tanlashga bog'liq emas. Isbot. (qarang (9.4)), lekin demak, . Shunday qilib, bu asosni tanlashga bog'liq emas. Bu shuni anglatadiki | A-lE| yangi asosga o'tishda o'zgarmaydi.

2) Agar matritsa A chiziqli transformatsiya hisoblanadi simmetrik(bular. va ij =a ji), keyin barcha ildizlar xarakterli tenglama(9.6) haqiqiy sonlardir.

Xususiy qiymatlar va xos vektorlarning xususiyatlari:

1) Agar siz xos vektorlardan asos tanlasangiz x 1, x 2, x 3 , xos qiymatlarga mos keladi l 1, l 2, l 3 matritsalar A, u holda bu asosda chiziqli transformatsiya A diagonal shakldagi matritsaga ega:

(9.7) Bu xususiyatning isboti xos vektorlarning ta'rifidan kelib chiqadi.

2) Agar transformatsiyaning xos qiymatlari bo'lsa A har xil bo'lsa, ularning tegishli xos vektorlari chiziqli mustaqil bo'ladi.

3) Agar matritsaning xarakteristik polinomi A uch xil ildizga ega, keyin esa qaysidir asosda matritsa A diagonal ko'rinishga ega.

Matritsaning xos qiymatlari va xos vektorlarini topamiz. Xarakteristik tenglama tuzamiz: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Har bir topilgan qiymatga mos keladigan xos vektorlarning koordinatalarini topamiz λ. (9.5) dan kelib chiqadiki, agar X (1) ={x 1 , x 2 , x 3) – mos keladigan xos vektor λ 1 = -2, keyin

- kooperativ, ammo noaniq tizim. Uning yechimi shaklda yozilishi mumkin X (1) ={a,0,-a), bu erda a har qanday raqam. Xususan, shuni talab qilsak | x (1) |=1, X (1) =

Tizimga almashtirish (9.5) λ 2 =3, ikkinchi xos vektorning koordinatalarini aniqlash sistemasini olamiz - x (2) ={y 1 , y 2 , y 3}:

, qayerda X (2) ={b,-b,b) yoki, taqdim | x (2) |=1, x (2) =

uchun λ 3 = 6 xos vektorni toping x (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:

, x (3) ={c,2c, c) yoki normallashtirilgan versiyada

x (3) = Shuni ta'kidlash mumkin X (1) X (2) = ab–ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = miloddan avvalgi- 2miloddan avvalgi + miloddan avvalgi= 0. Shunday qilib, bu matritsaning xos vektorlari juft ortogonaldir.

10-ma'ruza.

Kvadrat shakllar va ularning simmetrik matritsalar bilan aloqasi. Simmetrik matritsaning xos vektorlari va xos qiymatlari. Kvadrat shaklni kanonik shaklga keltirish.

Ta'rif 10.1.Kvadrat shakli haqiqiy o'zgaruvchilar x 1, x 2,…, x n bu oʻzgaruvchilarda birinchi darajali erkin had va hadlarni oʻz ichiga olmagan ikkinchi darajali koʻphad deyiladi.

Kvadrat shakllarga misollar:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Oxirgi ma'ruzada berilgan simmetrik matritsaning ta'rifini eslaylik:

Ta'rif 10.2. Kvadrat matritsa deyiladi simmetrik, agar , ya'ni asosiy diagonalga nisbatan simmetrik bo'lgan matritsa elementlari teng bo'lsa.

Simmetrik matritsaning xos qiymatlari va xos vektorlarining xossalari:

1) Simmetrik matritsaning barcha xos qiymatlari haqiqiydir.

Isbot (uchun n = 2).

Matritsa bo'lsin A shaklga ega: . Xarakteristik tenglama tuzamiz:

(10.2) Diskriminantni topamiz:

Shuning uchun tenglama faqat haqiqiy ildizlarga ega.

2) Simmetrik matritsaning xos vektorlari ortogonaldir.

Isbot (uchun n= 2).

Xususiy vektorlarning koordinatalari va tenglamalarni qanoatlantirishi kerak.

Diagonal matritsalar eng oddiy tuzilishga ega. Chiziqli operator matritsasi diagonal shaklga ega bo'ladigan asosni topish mumkinmi, degan savol tug'iladi. Bunday asos mavjud.
Bizga R n chiziqli fazo va unda harakat qiluvchi A chiziqli operator berilsin; bu holda A operatori R n ni o'ziga oladi, ya'ni A:R n → R n .

Ta'rif. Nolga teng bo'lmagan vektor A operatorining xos vektori deyiladi, agar A operatori kollinear vektorga aylantirsa, ya'ni. l soni xos vektorga mos keladigan A operatorining xos qiymati yoki xos qiymati deyiladi.
Keling, xususiy qiymatlar va xos vektorlarning ba'zi xususiyatlarini qayd qilaylik.
1. Xususiy vektorlarning har qanday chiziqli birikmasi bir xil xos qiymatga l mos keladigan A operatori bir xil xos qiymatga ega xos vektor.
2. Xususiy vektorlar l 1 , l 2 , …, l m juftlik bilan har xil xos qiymatlarga ega A operatori chiziqli mustaqildir.
3. Agar xos qiymatlar l 1 =l 2 = l m = l bo'lsa, u holda l xos qiymat m dan ko'p bo'lmagan chiziqli mustaqil xos vektorlarga mos keladi.

Demak, n ta chiziqli mustaqil xos vektorlar bo'lsa , turli xil xos qiymatlarga l 1, l 2, ..., l n mos kelsa, ular chiziqli mustaqildir, shuning uchun ularni R n fazosining asosi sifatida olish mumkin. Chiziqli operator A matritsasining xos vektorlari asosidagi shaklini topamiz, buning uchun A operatori bilan bazis vektorlari asosida ishlaymiz: Keyin .
Shunday qilib, chiziqli A operatorining matritsasi uning xos vektorlari asosida diagonal shaklga ega va A operatorining xos qiymatlari diagonal bo'ylab joylashgan.
Matritsa diagonal shaklga ega bo'lgan boshqa asos bormi? Bu savolga javob quyidagi teorema orqali beriladi.

Teorema. Bazisdagi (i = 1..n) chiziqli A operatorining matritsasi diagonal ko‘rinishga ega bo‘ladi, agar asosning barcha vektorlari A operatorining xos vektorlari bo‘lsa.

Xususiy qiymatlar va xos vektorlarni topish qoidasi

vektor berilgan bo'lsin , bu yerda x 1, x 2, …, x n - vektorning bazisga nisbatan koordinatalari. va l xos qiymatga mos keladigan chiziqli operator A ning xos vektori, ya'ni. Bu munosabat matritsa shaklida yozilishi mumkin

. (*)

(*) tenglamani topish uchun tenglama sifatida qaralishi mumkin va , ya'ni bizni qiziqtiradi. ahamiyatsiz bo'lmagan echimlar, chunki xos vektor nolga teng bo'lishi mumkin emas. Ma'lumki, bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimining notrivial yechimlari faqat det(A - lE) = 0 bo'lganda mavjud bo'ladi. Shunday qilib, l A operatorining xos qiymati bo'lishi uchun det(A - lE) bo'lishi zarur va etarli. ) = 0.
Agar (*) tenglama koordinata shaklida batafsil yozilsa, biz chiziqli bir hil tenglamalar tizimini olamiz:

(1)
Qayerda - chiziqli operator matritsasi.

Agar uning determinanti D nolga teng bo'lsa (1) tizim nolga teng bo'lmagan yechimga ega

Biz xususiy qiymatlarni topish uchun tenglama oldik.
Bu tenglama xarakteristik tenglama, chap tomoni esa A matritsaning (operator) xarakterli ko’phadlisi deyiladi. Agar xarakteristik ko’phadning haqiqiy ildizlari bo’lmasa, A matritsaning xos vektorlari yo’q va uni diagonal ko’rinishga keltirish mumkin emas.
l 1, l 2, …, l n xarakteristik tenglamaning haqiqiy ildizlari bo‘lsin va ular orasida ko‘paytmalar bo‘lishi mumkin. Ushbu qiymatlarni navbat bilan (1) tizimga almashtirib, biz xos vektorlarni topamiz.

12-misol. Chiziqli operator A R 3 da qonunga muvofiq harakat qiladi, bunda x 1, x 2, .., x n vektorning bazisdagi koordinatalari. , , . Ushbu operatorning xos qiymatlari va xos vektorlarini toping.
Yechim. Ushbu operatorning matritsasini quramiz:
.
Biz xos vektorlarning koordinatalarini aniqlash tizimini yaratamiz:

Biz xarakteristik tenglama tuzamiz va uni yechamiz:

.
l 1,2 = -1, l 3 = 3.
Tizimga l = -1 ni almashtirsak, bizda:
yoki
Chunki , keyin ikkita qaram o'zgaruvchi va bitta erkin o'zgaruvchi mavjud.
X 1 erkin noma'lum bo'lsin Biz bu tizimni har qanday tarzda hal qilamiz va topamiz umumiy yechim bu sistemaning: Asosiy yechim tizimi bitta yechimdan iborat, chunki n - r = 3 - 2 = 1.
l = -1 xos qiymatga mos keluvchi xos vektorlar to‘plami quyidagi ko‘rinishga ega: , bunda x 1 noldan boshqa istalgan son. Keling, ushbu to'plamdan bitta vektorni tanlaymiz, masalan, x 1 = 1: .
Xuddi shunday mulohaza yuritib, l = 3 xos qiymatga mos keladigan xos vektorni topamiz: .
R 3 fazoda bazis uchta chiziqli mustaqil vektordan iborat, lekin biz faqat ikkita chiziqli mustaqil xususiy vektorni oldik, ulardan R 3 da bazis tuzib bo'lmaydi. Binobarin, chiziqli operatorning A matritsasini diagonal shaklga keltira olmaymiz.

13-misol. Matritsa berilgan .
1. Vektor ekanligini isbotlang A matritsaning xos vektoridir. Shu xos vektorga mos keladigan xos qiymatni toping.
2. A matritsa diagonal ko‘rinishga ega bo‘lgan asosni toping.
Yechim.
1. Agar , u holda xos vektor

.
Vektor (1, 8, -1) xos vektordir. Xususiy qiymat l = -1.
Matritsa xos vektorlardan tashkil topgan asosda diagonal shaklga ega. Ulardan biri mashhur. Qolganini topamiz.
Biz tizimdan xos vektorlarni qidiramiz:

Xarakteristik tenglama: ;
(3 + l)[-2(2-l)(2+l)+3] = 0; (3+l)(l 2 - 1) = 0
l 1 = -3, l 2 = 1, l 3 = -1.
l = -3 xos qiymatga mos keladigan xos vektor topilsin:

Bu sistema matritsasining darajasi ikkita va noma'lumlar soniga teng, shuning uchun bu sistemaning faqat nol yechimi bor x 1 = x 3 = 0. Bu erda x 2 noldan boshqa narsa bo'lishi mumkin, masalan, x 2 = 1. Shunday qilib, (0 ,1,0) vektor l = -3 ga mos keladigan xos vektordir. Keling, tekshiramiz:
.
Agar l = 1 bo'lsa, biz tizimni olamiz
Matritsaning darajasi ikkitadir. Biz oxirgi tenglamani kesib tashlaymiz.
x 3 erkin noma'lum bo'lsin. Keyin x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
X 3 = 1 deb faraz qilsak, bizda (-3,-9,1) - l = 1 xos qiymatga mos keladigan xos vektor mavjud. Tekshiring:

.
Xususiy qiymatlar haqiqiy va aniq bo'lganligi sababli, ularga mos keladigan vektorlar chiziqli mustaqildir, shuning uchun ularni R 3 da asos qilib olish mumkin. Shunday qilib, asosda , , A matritsa quyidagi shaklga ega:
.
A:R n → R n chiziqli operatorning har bir matritsasi diagonal ko‘rinishga keltirilmaydi, chunki ba’zi chiziqli operatorlar uchun n dan kam chiziqli mustaqil xos vektorlar bo‘lishi mumkin. Biroq, agar matritsa simmetrik bo'lsa, u holda m ko'paytmaning xarakterli tenglamasining ildizi aniq m chiziqli mustaqil vektorga mos keladi.

Ta'rif. Simmetrik matritsa - bu asosiy diagonalga nisbatan simmetrik bo'lgan elementlar teng bo'lgan kvadrat matritsa, ya'ni .
Eslatmalar. 1. Simmetrik matritsaning barcha xos qiymatlari haqiqiydir.
2. Nosimmetrik matritsaning juftlashgan turli xos qiymatlarga mos keladigan xos vektorlari ortogonaldir.
O'rganilayotgan apparatning ko'plab qo'llanilishidan biri sifatida biz ikkinchi tartibli egri chiziq turini aniqlash masalasini ko'rib chiqamiz.

www.sayt topishga imkon beradi. Sayt hisob-kitoblarni amalga oshiradi. Bir necha soniya ichida server to'g'ri echimni beradi. Matritsa uchun xarakteristik tenglama determinantni hisoblash qoidasi yordamida topilgan algebraik ifoda bo'ladi matritsalar matritsalar, asosiy diagonal bo'ylab diagonal elementlar va o'zgaruvchining qiymatlarida farqlar bo'ladi. Hisoblashda matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn, har bir element matritsalar mos keladigan boshqa elementlar bilan ko'paytiriladi matritsalar. Rejimda toping onlayn faqat kvadrat uchun mumkin matritsalar. Topish operatsiyasi matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn elementlar ko'paytmasining algebraik yig'indisini hisoblashga qisqartiradi matritsalar determinantni topish natijasida matritsalar, faqat aniqlash maqsadida matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn. Bu operatsiya nazariyada alohida o'rin tutadi matritsalar, ildizlar yordamida xos qiymatlar va vektorlarni topishga imkon beradi. Topish vazifasi matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn ko'paytiruvchi elementlardan iborat matritsalar keyin bu mahsulotlarni ma'lum bir qoida bo'yicha jamlash. www.sayt topadi matritsa uchun xarakteristik tenglama rejimida berilgan o'lcham onlayn. Hisoblash matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn uning o'lchamini hisobga olgan holda, bu determinantni hisoblash qoidasiga ko'ra topilgan raqamli yoki ramziy koeffitsientli ko'phadni topishdir. matritsalar- mos elementlarning mahsuloti yig'indisi sifatida matritsalar, faqat aniqlash maqsadida matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn. Kvadrat uchun o'zgaruvchiga nisbatan ko'phadni topish matritsalar, ta'rif sifatida matritsa uchun xarakteristik tenglama, nazariy jihatdan keng tarqalgan matritsalar. Ko'phadning ildizlarining ma'nosi matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn uchun xos vektorlar va xos qiymatlarni aniqlash uchun ishlatiladi matritsalar. Bundan tashqari, agar determinant bo'lsa matritsalar u holda nolga teng bo'ladi matritsaning xarakteristik tenglamasi teskarisidan farqli o'laroq, hali ham mavjud bo'ladi matritsalar. Hisoblash uchun matritsa uchun xarakteristik tenglama yoki bir vaqtning o'zida bir nechtasini toping matritsalarning xarakteristik tenglamalari, siz ko'p vaqt va kuch sarflashingiz kerak, bizning serverimiz bir necha soniya ichida topadi matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn. Bu holda, topish uchun javob matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn topishda raqamlar bo'lsa ham, to'g'ri va etarli aniqlik bilan bo'ladi matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn mantiqsiz bo'ladi. Veb-saytda www.sayt elementlarda belgilar kiritishga ruxsat beriladi matritsalar, ya'ni matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn hisoblashda umumiy ramziy shaklda ifodalanishi mumkin matritsaning xarakteristik tenglamasi onlayn. Topish masalasini yechishda olingan javobni tekshirish foydalidir matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn saytdan foydalanish www.sayt. Polinomni hisoblash operatsiyasini bajarishda - matritsaning xarakteristik tenglamasi, bu muammoni hal qilishda ehtiyotkor va o'ta diqqatli bo'lishingiz kerak. O'z navbatida, bizning saytimiz mavzu bo'yicha qaroringizni tekshirishga yordam beradi matritsaning xarakteristik tenglamasi onlayn. Agar hal qilingan muammolarni uzoq vaqt tekshirishga vaqtingiz bo'lmasa, unda www.sayt topish va hisoblashda tekshirish uchun qulay vosita bo'lishi shubhasiz matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn.