• Правилото на L'Hôpital и разкриването на несигурността
• Разкриване на несигурности от типовете "нула, разделена на нула" и "безкрайност, разделена на безкрайност"
• Разкриване на несигурности от формата "нула по безкрайност"
• Разкриване на несигурности от типовете "нула в степен на нула", "безкрайност в степен на нула" и "едно в степен на безкрайност"
• Разкриване на несигурности от формата "безкрайност минус безкрайност"

Правилото на L'Hôpital и разкриването на несигурността

Разкриването на несигурности от формата 0/0 или ∞ / ∞ и някои други несигурности е значително опростено с помощта на правилото на L'Hôpital.

Същността Правилата на L'Hôpital се състои във факта, че в случай, когато изчисляването на границата на съотношението на две функции дава несигурности от вида 0/0 или ∞ / ∞, границата на съотношението на две функции може да бъде заменена с границата на съотношението на техните производни и по този начин може да се получи определен резултат.

Като цяло правилата на L'Hôpital означават няколко теореми, които могат да бъдат предадени в следващата формулировка.

Правилото на Лопитал... Ако функции е(х) и ж(х) са диференцируеми в някаква околност на точката, с възможно изключение на самата точка, и в тази околност

(1)

С други думи, за неопределености от вида 0/0 или ∞ / ∞ границата на съотношението на две функции е равна на границата на съотношението на техните производни, ако последната съществува (крайна или безкрайна).

В равенство (1) стойността, към която клони променливата, може да бъде или крайно число, или безкрайност, или минус безкрайност.

Несигурността от други типове също може да се сведе до несигурност от типове 0/0 и ∞ / ∞.

Разкриване на несигурности от типовете "нула, разделена на нула" и "безкрайност, разделена на безкрайност"

Пример 1.Изчисли

х= 2 води до несигурност от формата 0/0. Следователно ние прилагаме правилото на L'Hôpital:

Пример 2.Изчисли

Решение. Замяна в дадена функциясмисъл х

Пример 3.Изчисли

Решение. Замяна на стойност в дадена функция х= 0 води до несигурност от вида 0/0. Следователно ние прилагаме правилото на L'Hôpital:

Пример 4.Изчисли

Решение. Заместването на стойността x равна на плюс безкрайност в дадената функция води до несигурност от вида ∞ / ∞. Следователно ние прилагаме правилото на L'Hôpital:

Коментирайте. Ако границата на коефициента на производната е несигурност от формата 0/0 или ∞ / ∞, тогава правилото на L'Hôpital може да се приложи отново, т.е. отидете до границата на съотношението на вторите производни и т.н.

Пример 5.Изчисли

Решение. Намираме

Тук правилото на L'Hôpital се прилага два пъти, тъй като и границата на съотношението на функциите, и границата на съотношението на производните дават несигурност от вида ∞ / ∞.

Пример 6.Изчисли

Инструкции

Директното изчисляване на границите е свързано преди всичко с границите на рационалното Qm (x) / Rn (x), където Q и R са полиноми. Ако границата се изчислява като x → a (a е число), тогава може да възникне несигурност, например. За да го премахнете, разделете числителя и знаменателя на (x-a). Повторете операцията, докато несигурността изчезне. Разделянето на полиноми се извършва почти по същия начин като деленето на числа. Основава се на факта, че деленето и умножението са обратни операции. Пример е показан на фиг. 1.

Прилагане на първото забележително ограничение. Формулата за първата забележителна граница е показана на фиг. 2а. За да го приложите, приведете израза на вашия пример в подходяща форма. Това винаги може да се направи чисто алгебрично или чрез промяна на променлива. Основното нещо - не забравяйте, че ако синусът е от kx, тогава знаменателят също е kx. Пример е показан на фиг. Освен това, ако вземем предвид, че tgx = sinx / cosx, cos0 = 1, тогава като следствие се появява (виж фиг. 2b). arcsin (sinx) = x и arctan (tgx) = x. Следователно има още две последствия (фиг. 2в. и 2г). Появи се доста широк спектър от методи.

Прилагане на втората чудесна граница (виж фиг. 3а) Границите от този тип се използват за премахване на типа. За да разрешите съответните проблеми, просто трансформирайте условието в структура, съответстваща на типа ограничение. Не забравяйте, че когато се издига до степен на израз, който вече е в някаква степен, те се умножават. Съответният е показан на фиг. 2. Приложете заместването α = 1 / x и получете следствието от втората забележителна граница (фиг. 2b). След като логаритмизираме двете части на това следствие с основата a, стигаме до второто следствие, c и за a = e (виж фиг. 2в). Направете заместването a ^ x-1 = y. Тогава x = log (a) (1 + y). Тъй като x клони към нула, y също клони към нула. Следователно възниква и трето следствие (виж фиг. 2г).

Приложение на еквивалентни безкрайно малки Безкрайно малки функции са еквивалентни като x → a, ако границата на тяхното отношение α (x) / γ (x) е равна на единица. Когато изчислявате граници с помощта на такива безкрайно малки, просто напишете γ (x) = α (x) + o (α (x)). o (α (x)) е безкрайно малко висок редпо-малък от α (x). За него lim (x → a) o (α (x)) / α (x) = 0. За да разберете еквивалентността, използвайте същото прекрасно границите... Методът ви позволява значително да опростите процеса, като го направите по-прозрачен.

Източници:

• В. С. Шипачев Висша математика. Учебник. за университети. - 3-то изд., Изтрито. - М .: По-високо. училище, 1996 .-- 496 с .: ил.

Функцията е едно от основните математически понятия. Тя лимитЕ стойността, при която аргументът клони към около лимитдадената стойност. Може да се изчисли с помощта на някои трикове, например правилото на Бернули-Л'Хопитал.

Инструкции

Да изчисля лимитв дадена точка x0 тази стойност на аргумента трябва да бъде заместена в израза на функцията под знака lim. Изобщо не е задължително това да принадлежи към региона на лимитфункция. Ако лимитО лимити е равно на едноцифрено число, тогава се казва, че функцията се сближава. Ако той не може да бъде за лимит en, или безкраен в определена точка, тогава дивергенцията.

Решение: Включете стойността x = -2: lim (x² - 6 x - 14) / (2 x² + 3 x - 6) = -1/2.

Решението не винаги е толкова очевидно и просто, особено ако изразът е твърде тромав. В този случай първо трябва да се опрости неговото намаляване, групиране или промяна на променлива: lim_ (x → -8) (10 x - 1) / (2 x + ∛x) = [y = ∛x] = lim_ (y → - 2) (10 y³ - 1) / (2 y³ + y) = 9/2.

Често ситуации на невъзможност за лимитения лимит a, особено ако аргументът клони към безкрайност или нула. Заместването не дава очаквания резултат, което води до нео лимитот формата или [∞ / ∞]. Тогава е приложим L'Hôpital-Bernoulli, който предполага намиране на първата производна. Например изчислете лимит lim (х² - 5 х -14) / (2 х² + х - 6) като х → -2.

Решение.lim (x² - 5 x -14) / (2 x² + x - 6) =.

Намерете производната: lim (2 x - 5) / (4 x + 1) = 9/7.

lim (sinx / x) = 1 като x → 0, обратното също е вярно: lim (x / sinx) = 1; x → 0. Аргументът може да бъде всяка конструкция, основното е, че стойността му клони към нула: lim (x³ - 5 x² + x) / sin (x³ - 5 x² + x) = 1; x → 0.

Подобни видеа

теория границиТова е доста обширна област на математически анализ. Тази концепция е приложима за функция и е конструкция от три елемента: нотацията lim, изразът под знака за граница и граничната стойност на аргумента.

Инструкции

За да изчислите границата, ви трябва на какво е равна функцията в точката, съответстваща на граничната стойност на аргумента. В някои случаи тя няма крайно решение и заместването на стойността, към която клони променливата, дава формата "нула до нула" или "безкрайност до безкрайност". В този случай е приложимо изведеното от Бернули и Лопитал, което предполага вземане на първата производна.

Както всеки математически лимит, ограничението може да съдържа израз на функция под свой собствен знак, който е твърде тромав или неудобен за просто заместване. Тогава е необходимо първо да се опрости, като се използват обичайните методи, групиране, изваждане на общ фактор и промяна на променлива, в която се променя и ограничаващата стойност на аргумента.

За ваш късмет, изразът на функцията има смисъл за дадената гранична стойност на аргумента. Това е най-простият случай за изчисляване на лимита. Сега решете следната задача, в която се появява двусмисленото понятие за безкрайност: lim_ (x → ∞) (5 - x).

Правило на Bernoulli-L'Hôpital: lim_ (x → -2) (x ^ 5 - 4 x³) / (x³ + 2 x²) = (-32 + 32) / (- 8 + 8) =. Разграничете израза на функцията: lim (5 x ^ 4 - 12 x²) / (3 x² + 4 x) = (5 16 - 12 4) / (3 4 - 8) = 8.

Промяна на променлива: lim_ (x → 125) (x + 2 ∛x) / (x + 5) = = lim_ (y → 5) (y³ + 2 y) / (y³ + 3) = (125 + 10) / ( 125 + 5) = 27/26.

гръцка букваπ (pi, pi) е обичайно да означава съотношението на обиколката на кръг към неговия диаметър. то номер, първоначално появяващ се в произведенията на древните геометри, по-късно се оказва много важен в много клонове на математиката. Така че, трябва да можете да го изчислите.

Инструкции

π - ирационално номер... Тя е, че не може да бъде представена като дроб с цяло число и знаменател. Освен това π е трансцендентално номер, тоест не може да служи на никого алгебрично уравнение... По този начин е невъзможно да се запише точната стойност на числото π. Въпреки това, има методи, които ви позволяват да го изчислите с всяка необходима степен на точност.

Най-старите, използвани от геометрите на Гърция и Египет, казват, че π е приблизително равно на корен квадратенот 10 или фракция 256/81. Но тези формули дават π стойност от 3,16, което очевидно не е достатъчно.

С развитието на диференциалното смятане и други нови математически дисциплини учените имат на разположение нов инструмент- силов ред. Готфрид Вилхелм Лайбниц открива през 1674 г., че редица
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 ... + (1 / (2n + 1) * (- 1) ^ n
се сближава в границата, равна на π / 4. Изчисляването на тази сума е лесно, но ще са необходими много стъпки, за да бъде достатъчно точно, тъй като поредицата се сближава много бавно.

Впоследствие бяха открити други степенни редове, които направиха възможно изчисляването на π по-бързо от използването на серията на Лайбниц. Например, известно е, че tg (π / 6) = 1 / √3, следователно, arctan (1 / √3) = π / 6.
Функцията арктангенс се разширява в степенен ред и за дадена стойност получаваме в резултат:
π = 2√3 * (1 - (1/3) * (1/3) + (1/5) * (1/3) ^ 2 - (1/7) * (1/3) ^ 3 .. . + 1 / ((2n + 1) * (- 3) ^ n) ...)
Използване на тази и други подобни формули номерπ вече е изчислено с точност до милиони десетични знака.

Забележка

Има много начини за изчисляване на пи. Най-простият и разбираем е численият метод на Монте Карло, чиято същност се свежда до най-простото изброяване на точки в дадена област. двойно y = радиус * радиус-x * x; връщане на y; ) Програмата показва стойностите на pi в зависимост от радиуса и броя на точките. Единственото, което остава на читателя, е да го компилира сам и да го стартира с параметрите, които иска.

Полезен съвет

Но неуморните учени продължиха и продължиха да изчисляват десетичните знаци на пи, което всъщност е изключително нетривиална задача, защото просто не можете да го изчислите в колона: числото е не само ирационално, но и трансцедентално (това са точно такива числа, които не се изчисляват с прости уравнения). Учени от университета в Токио успяха да поставят световния рекорд в изчисленията на пи до 12 411 трилиона цифри.

Източници:

• Пи история

Математически методиприлагани в много области на науката. Това твърдение се отнася по-специално до диференциалното смятане. Например, ако изчислите втория производнокато функция на разстоянието от времевата променлива, тогава може да се намери ускорението на материална точка.

Инструкции

Правилата и методите на диференциация се запазват за производни от по-висок порядък. Това се отнася за някои елементарни функции, операции на събиране и деление, както и за комплексни функции от вида u (g (x)): u ’= С’ = 0 - производна на константа; u ’= x’ = 1 - най-простият от един аргумент; u '= (x ^ a)' = a x ^ (a-1); u ’= (a ^ x)’ = a ^ x ln a - експоненциална функция;

Аритметични операции на двойка функции u (x) и g (x): (u + g) ’= u’ + g ’; (u g) '= u' g + g 'u; (u / g) ’= (u’ g - g ’u) / g².

Доста трудно второ производно сложна функция... За това, методите за числено диференциране, въпреки че резултатът е приблизителен, има така наречената грешка на апроксимацията α: u '' (x) = (u (x + h) - 2 u (x) + u (x - h) )) / h² + α (h²) - интерполационен полином на Нютон; u '' (x) = (-u (x + 2 h) + 16 u (x + h) - 30 u (x) + 16 u (x - h) - u (x - 2 h)) / (12 h²) + α (h²) - Стигане.

Тези формули съдържат известно количество h. Нарича се апроксимация, чийто избор трябва да бъде оптимален, за да се сведе до минимум грешката в изчислението. Изборът на правилната стойност на h се нарича регулиране стъпка по стъпка: |u (x + h) - u (x) | > ε, където ε е безкрайно малко.

Методът за изчисляване на втората производна се прилага, когато пълен диференциалвтора поръчка. Освен това, той се изчислява по определен начин за всеки аргумент и участва в крайния израз под формата на коефициент на съответния диференциал dx, dy и т.н.: d² u = ∂u '/ ∂x d²x + ∂u' / ∂y d²у + ∂u ' / ∂z d²z.

Пример: намерете втория производнофункции u = 2 x sin x - 7 x³ + x ^ 5 / tan x.

Решение u '= 2 sin x + 2 x cos x - 21 x² + 5 x ^ 4 / tan x - x² / sin² x; u' '= 4 cos x - 2 x sin x - 42 x + 20 x³ / tan x - 5 x ^ 4 / sin² x - 2 x / sin² x + 2 x² cos x / sin³ x.

Методите на диференциалното смятане се използват за изследване на естеството на поведението функциив математическия анализ. Това обаче не е единствената област на тяхното приложение; често се изисква да се намери производноза изчисляване на пределни стойности в икономиката, за изчисляване на скорост или ускорение във физиката.

Инструкции

Несигурността от формата [∞-∞] се разкрива, ако имаме предвид разликата на произволни дроби. Привеждайки тази разлика до общ знаменател, получавате някакво съотношение на функциите.

При изчисляване на типа p (x) ^ q (x) възникват несигурности от тип 0 ^ ∞, 1 ^ ∞, ∞ ^ 0. В този случай се използва предварителна диференциация. Тогава желаната граница А ще приеме формата на продукт, вероятно с готов знаменател. Ако не, тогава можете да използвате техниката от пример 3. Основното нещо е да не забравяте да запишете крайния отговор във формата e ^ A (виж фиг. 5).

Подобни видеа

Източници:

• изчислете лимита на функция, без да използвате lopital правилото през 2019 г

Инструкции

Ограничението е число, към което клони променливата или стойността на израз. Обикновено променливите или функциите клонят към нула или към безкрайност. На границата, нула, количеството се счита за безкрайно малко. С други думи, безкрайно малки са величини, които са променливи и се доближават до нула. Ако се стреми към безкрайност, тогава се нарича безкрайна граница. Обикновено се пише като:
lim x = + ∞.

Той има редица свойства, някои от които са. По-долу са основните.
- едно количество има само една граница;

Границата на константна стойност е равна на стойността на тази константа;

Границата на сумата е равна на сумата от границите: lim (x + y) = lim x + lim y;

Границата на продукта е равна на произведението на границите: lim (xy) = lim x * lim y

Постоянният коефициент може да бъде изваден от граничния знак: lim (Cx) = C * lim x, където C = const;

Границата на частното е равна на частното от границите: lim (x / y) = lim x / lim y.

В задачи с граници има както числови изрази, така и тези изрази. Това може да изглежда по-специално по следния начин:
lim xn = a (при n → ∞).
По-долу е проста граница:
lim 3n +1 / n + 1

n → ∞.
За да разрешите тази граница, разделете целия израз на n единици. Известно е, че ако едно се дели на някаква стойност n → ∞, тогава границата на 1 / n е равна на нула. Обратното също е вярно: ако n → 0, тогава 1/0 = ∞. Разделяйки целия пример на n, запишете го, както е показано по-долу и получете:
lim 3 + 1 / n / 1 + 1 / n = 3

При решаване на ограничения могат да възникнат резултати, които се наричат ​​​​несигурности. В такива случаи се прилагат правилата на L'Hôpital. За да направите това, функцията се повтаря, което ще доведе примера в такава форма, в която може да бъде решен. Има два вида несигурност: 0/0 и ∞ / ∞. Пример с несигурност може да изглежда по-специално следния адрес:
lim 1-cosx / 4x ^ 2 = (0/0) = lim sinx / 8x = (0/0) = lim cosx / 8 = 1/8

Подобни видеа

Изчисляване на лимити функции- основата на математическия анализ, на която са посветени много страници в учебниците. Понякога обаче не е ясна не само определението, но и самата същност на границата. Говорейки прост език, границата е приближаването на една променлива величина, която зависи от друга, до някаква специфична единична стойност, когато това друго количество се променя. За успешно изчисление е достатъчно да имате предвид прост алгоритъм за решение.

Този онлайн математически калкулатор ще ви помогне, ако имате нужда изчисляване на границата на функция... Програма граници на решенияне просто дава отговор на проблема, той дава подробно решениес обяснения, т.е. показва процеса на изчисляване на лимита.

Тази програма може да бъде полезна за ученици от гимназията при подготовка за контролни работии изпити, при проверка на знанията преди изпита, родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете преподавател или да купите нови учебници? Или просто искате да направите възможно най-бързо домашна работапо математика или алгебра? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.

По този начин можете да провеждате собствено преподаване и/или обучението на вашите по-малки братя или сестри, като същевременно се повишава нивото на образование в областта на решаваните проблеми.

Въведете израз на функцията

Изчислете лимит

Установено е, че някои скриптове, необходими за решаване на този проблем, не са заредени и програмата може да не работи.
Може би сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

JavaScript е деактивиран във вашия браузър.
За да се появи решението, трябва да активирате JavaScript.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.

Защото Има много хора, които искат да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля изчакайте сек...

Ако ти забелязал грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачати решаваш и какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Лимит на функцията при x-> x 0

Нека функцията f (x) е дефинирана на някакво множество X и нека точката \ (x_0 \ in X \) или \ (x_0 \ notin X \)

Вземете от X поредица от точки, различни от x 0:
x 1, x 2, x 3, ..., x n, ... (1)
сближавайки се до x *. Стойностите на функцията в точките от тази последователност също образуват числова последователност
f (x 1), f (x 2), f (x 3), ..., f (x n), ... (2)
и може да се постави въпросът за съществуването на неговата граница.

Определение... Числото A се нарича граница на функцията f (x) в точката x = x 0 (или в x -> x 0), ако за всяка последователност (1) се сближава до x 0 от стойностите на аргумента x различен от x 0, съответната последователност (2) от стойности функция се сближава до A.

$$ \ lim_ (x \ до x_0) (f (x)) = A $$

Функцията f (x) може да има само една граница в точката x 0. Това следва от факта, че последователността
(f (x n)) има само една граница.

Има друга дефиниция за ограничение на функцията.

ОпределениеЧислото A се нарича предел на функцията f (x) в точката x = x 0, ако за всяко число \ (\ varepsilon> 0 \) съществува число \ (\ delta> 0 \) такова, че за всички \ (x \ в X, \; x \ neq x_0 \) удовлетворяващо неравенството \ (| x-x_0 | Използвайки логически символи, това определение може да бъде записано като
\ ((\ forall \ varepsilon> 0) (\ съществува \ delta> 0) (\ forall x \ в X, \; x \ neq x_0, \; | x-x_0 | Обърнете внимание, че неравенствата \ (x \ neq x_0 , \; | x-x_0 | Първата дефиниция се основава на понятието за граница на числова последователност, така че често се нарича „език на поредицата“. Второто определение се нарича „\ (\ varepsilon - \ delta \)“ определение.
Тези две дефиниции на границата на функция са еквивалентни и можете да използвате всяко от тях, в зависимост от това кое е по-удобно за решаване на конкретен проблем.

Забележете, че дефиницията на границата на функция "на езика на последователностите" се нарича също дефиницията на границата на функция според Хайне и дефиницията на границата на функция "на езика \ (\ varepsilon - \ delta \)" се нарича дефиницията на границата на функция според Коши.

Границата на функцията при x-> x 0 - и при x-> x 0 +

По-нататък ще използваме концепциите за едностранни функционални граници, които са дефинирани по следния начин.

ОпределениеЧислото A се нарича дясна (лява) граница на функцията f (x) в точката x 0, ако за всяка последователност (1), сходяща към x 0, чиито елементи xn са по-големи (по-малко) x 0, съответната последователност (2) се доближава до A.

Това е символично записано по следния начин:
$$ \ lim_ (x \ до x_0 +) f (x) = A \; \ вляво (\ lim_ (x \ to x_0-) f (x) = A \ вдясно) $$

Можете да дадете еквивалентна дефиниция на еднопосочни граници на функция "на езика \ (\ varepsilon - \ delta \)":

Определениечислото A се нарича дясна (лява) граница на функцията f (x) в точката x 0, ако за всяко \ (\ varepsilon> 0 \) съществува \ (\ delta> 0 \) такова, че за всички x удовлетворяващи неравенствата \ (x_0 Символични записи:

\ ((\ forall \ varepsilon> 0) (\ съществува \ delta> 0) (\ forall x, \; x_0

Разкриване на несигурности от формата 0/0 или ∞ / ∞ и някои други несигурности, възникващи при изчислението лимитвръзката на две безкрайно малки или безкрайно големи функции е значително опростена с помощта на правилото на L'Hôpital (всъщност две правила и забележки към тях).

Същността Правилата на L'Hôpital е, че в случая, когато изчисляването на границата на съотношенията на две безкрайно малки или безкрайно големи функции дава несигурности от вида 0/0 или ∞ / ∞, границата на съотношението на две функции може да бъде заменена с границата на техните съотношение производнии по този начин да получите определен резултат.

Нека да преминем към формулировките на правилата на L'Hôpital.

Правилото на L'Hôpital за случая на границата на две безкрайно малки количества... Ако функции е(х) и ж(х аа, и в този квартал ж"(х аравни една на друга и равни на нула

().

Правилото на L'Hôpital за случая на границата на две безкрайно големи количества... Ако функции е(х) и ж(х) са диференцируеми в някаква околност на точката а, с възможно изключение на самата точка а, и в този квартал ж"(х) ≠ 0 и ако и ако границите на тези функции като x клонят към стойността на функцията в точката аравни един на друг и равни на безкрайност

(),

тогава границата на отношението на тези функции е равна на границата на отношението на техните производни

().

С други думи, за неопределености от вида 0/0 или ∞ / ∞ границата на съотношението на две функции е равна на границата на съотношението на техните производни, ако последната съществува (крайна или безкрайна).

Забележки.

1. Правилата на L'Hôpital са приложими и когато функциите е(х) и ж(х) не са дефинирани за х = а.

2. Ако при изчисляване на границата на отношението на производните на функциите е(х) и ж(х) отново стигаме до несигурност от формата 0/0 или ∞ / ∞, тогава правилата на L'Hôpital трябва да се прилагат многократно (поне два пъти).

3. Правилата на L'Hôpital са приложими и когато аргументът на функциите (x) не клони към крайно число а, и до безкрайност ( х → ∞).

Несигурността от други типове също може да се сведе до несигурност от типове 0/0 и ∞ / ∞.

Разкриване на несигурности от типовете "нула, разделена на нула" и "безкрайност, разделена на безкрайност"

Пример 1.

х= 2 води до несигурност от формата 0/0. Следователно, производната на всяка функция и получаваме

Производната на полинома е изчислена в числителя, а в знаменателя - производна на комплексна логаритмична функция... Преди последния знак за равенство, обичайното лимит, замествайки две вместо x.

Пример 2.Изчислете границата на съотношението на две функции, като използвате правилото на L'Hôpital:

Решение. Замяна на стойност в дадена функция х

Пример 3.Изчислете границата на съотношението на две функции, като използвате правилото на L'Hôpital:

Решение. Замяна на стойност в дадена функция х= 0 води до несигурност от вида 0/0. Следователно, ние изчисляваме производните на функциите в числителя и знаменателя и получаваме:

Пример 4.Изчисли

Решение. Заместването на стойността x, равна на плюс безкрайност в дадената функция, води до несигурност от вида ∞ / ∞. Следователно ние прилагаме правилото на L'Hôpital:

Коментирайте. Нека се обърнем към примери, в които правилото на L'Hôpital трябва да се приложи два пъти, тоест да се стигне до границата на съотношенията на вторите производни, тъй като границата на съотношението на първите производни е несигурност от вида 0 /0 или ∞ / ∞.

Приложете сами правилото на L'Hôpital и след това вижте решението

Разкриване на несигурности от формата "нула по безкрайност"

Пример 12.Изчисли

.

Решение. Получаваме

Този пример използва тригонометрична идентичност.

Разкриване на несигурности от типовете "нула в степен на нула", "безкрайност в степен на нула" и "едно в степен на безкрайност"

Несигурността на формата или обикновено се свежда до формата 0/0 или ∞ / ∞ с помощта на логаритъма на функция от формата

За да се изчисли границата на израз, трябва да се използва логаритмичната идентичност, чийто специален случай е свойството на логаритъма .

Използвайки логаритмичната идентичност и свойството за непрекъснатост на функцията (за да се премине отвъд знака на границата), границата трябва да се изчисли, както следва:

Отделно трябва да намерите границата на изразяване в експонента и да изградите ддо намерената степен.

Пример 13.

Решение. Получаваме

.

.

Пример 14.Изчислете, като използвате правилото на L'Hôpital

Решение. Получаваме

Изчисляваме границата на изразяване в степента

.

.

Пример 15.Изчислете, като използвате правилото на L'Hôpital