In diesem Artikel erklären wir, wie man Formeln verwendet, um Systeme zu lösen lineare Gleichungen.

Hier ist ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem:
3x + 4y = 8
4x + 8y = 1

Die Lösung besteht darin, solche Werte zu finden X Und bei, die beide Gleichungen erfüllen. Dieses Gleichungssystem hat eine Lösung:
x = 7,5
y=-3.625

Die Anzahl der Variablen im Gleichungssystem muss gleich der Anzahl der Gleichungen sein. Das vorherige Beispiel verwendet zwei Gleichungen in zwei Variablen. Drei Gleichungen sind erforderlich, um die Werte von drei Variablen zu finden ( X,bei Und z). Die allgemeinen Schritte zum Lösen von Gleichungssystemen sind wie folgt (Abb. 128.1).

1. Drücken Sie die Gleichungen in Standardform aus. Verwenden Sie bei Bedarf einfache Algebra und schreiben Sie die Gleichung so um, dass alle Variablen links vom Gleichheitszeichen erscheinen. Die folgenden beiden Gleichungen sind identisch, aber die zweite ist in Standardform:
   3x - 8 = -4y
   3x + 4y = 8 .
2. Platzieren Sie die Koeffizienten in einem Bereich von Zellen der Größe N X N, Wo N ist die Anzahl der Gleichungen. Auf Abb. 128,1 Koeffizienten liegen im Bereich I2:J3 .
3. Platzieren Sie die Konstanten (Zahlen rechts vom Gleichheitszeichen) in einem vertikalen Bereich von Zellen. Auf Abb. 128.1 liegen die Konstanten im Bereich L2:L3 .
4. Verwenden Sie zur Berechnung eine Reihe von Formeln inverse Matrix Koeffizienten. Auf Abb. 128.1 wird folgende Matrixformel in den Bereich I6:J7 eingetragen (drücken nicht vergessen Strg+Umschalt+Eingabe um eine Matrixformel einzugeben): =INV(I2:J3) .
5. Verwenden Sie eine Matrixformel, um die Inverse einer Koeffizientenmatrix mit einer Konstantenmatrix zu multiplizieren. Auf Abb. 128.1 In den Bereich J10:JJ11, der die Lösung (x = 7,5 und y = -3,625) enthält, wird folgende Matrixformel eingetragen: =MMULT(I6:J7;L2:L3) . Auf Abb. 128.2 zeigt ein Blatt, das zur Lösung eines Systems aus drei Gleichungen eingerichtet wurde.

IN Excel-Programm Es gibt ein umfangreiches Toolkit zur Lösung verschiedene Sorten Gleichungen auf unterschiedliche Weise.

Sehen wir uns einige Lösungsbeispiele an.

Lösen von Gleichungen durch die Methode der Auswahl von Excel-Parametern

Das Parametersuchwerkzeug wird in einer Situation verwendet, in der das Ergebnis bekannt ist, die Argumente jedoch unbekannt sind. Excel wählt Werte aus, bis die Berechnung die gewünschte Summe ergibt.

Pfad zum Befehl: "Daten" - "Mit Daten arbeiten" - "Was-wäre-wenn-Analyse" - "Parameterauswahl".

Werfen wir einen Blick auf die Lösung quadratische Gleichung x 2 + 3x + 2 = 0. Die Reihenfolge zum Finden der Wurzel mit Excel:

Das Programm verwendet einen zyklischen Prozess, um den Parameter auszuwählen. Um die Anzahl der Iterationen und den Fehler zu ändern, müssen Sie zu den Excel-Optionen gehen. Legen Sie auf der Registerkarte "Formeln" das Limit für die Anzahl der Iterationen fest, relativer Fehler. Aktivieren Sie das Kontrollkästchen "Iterative Berechnungen aktivieren".



So lösen Sie ein Gleichungssystem nach der Matrixmethode in Excel

Das Gleichungssystem ist gegeben:

Gleichungswurzeln werden erhalten.

Lösen eines Gleichungssystems nach Cramers Methode in Excel

Nehmen wir das Gleichungssystem aus dem vorherigen Beispiel:

Um sie mit der Cramer-Methode zu lösen, berechnen wir die Determinanten der Matrizen, die wir erhalten, indem wir eine Spalte in Matrix A durch eine Spaltenmatrix B ersetzen.

Zur Berechnung der Determinanten verwenden wir die MOPRED-Funktion. Das Argument ist ein Bereich mit der dazugehörigen Matrix.

Wir berechnen auch die Determinante von Matrix A (Array - Bereich von Matrix A).

Die Determinante des Systems ist größer als 0 – die Lösung kann mit der Cramer-Formel (D x / |A|) gefunden werden.

Um X 1 zu berechnen: \u003d U2 / $ U $ 1, wobei U2 - D1. Um X 2 zu berechnen: =U3/$U$1. Usw. Wir erhalten die Wurzeln der Gleichungen:

Lösen von Gleichungssystemen nach der Gauß-Methode in Excel

Nehmen wir zum Beispiel das einfachste Gleichungssystem:

3a + 2c - 5c = -1
2a - c - 3c = 13
a + 2b - c \u003d 9

Wir schreiben die Koeffizienten in Matrix A. Freie Terme - in Matrix B.

Der Übersichtlichkeit halber heben wir die freien Mitglieder durch Ausfüllen hervor. Wenn die erste Zelle der Matrix A 0 ist, müssen Sie die Zeilen vertauschen, sodass ein anderer Wert als 0 vorhanden ist.

Beispiele zum Lösen von Gleichungen durch Iteration in Excel

Die Berechnungen in der Arbeitsmappe müssen wie folgt aufgebaut sein:

Dies geschieht auf der Registerkarte "Formeln" in den "Excel-Optionen". Finden wir die Wurzel der Gleichung x - x 3 + 1 = 0 (a = 1, b = 2) durch Iteration unter Verwendung zyklischer Referenzen. Formel:

X n+1 \u003d X n - F (X n) / M, n \u003d 0, 1, 2, ....

M ist der Maximalwert der Modulo-Ableitung. Um M zu finden, führen wir die Berechnungen durch:

f' (1) = -2 * f' (2) = -11.

Der resultierende Wert ist kleiner als 0. Daher hat die Funktion das entgegengesetzte Vorzeichen: f (x) \u003d -x + x 3 - 1. M \u003d 11.

Geben Sie in Zelle A3 den Wert ein: a = 1. Genauigkeit - drei Dezimalstellen. Um den aktuellen Wert von x in der angrenzenden Zelle (B3) zu berechnen, geben Sie die Formel ein: =IF(B3=0;A3;B3-(-B3+POWER(B3;3)-1/11)).

In Zelle C3 steuern wir den Wert von f (x): mit der Formel =B3-POTENZ(B3;3)+1.

Die Wurzel der Gleichung ist 1,179. Geben Sie in Zelle A3 den Wert 2 ein, wir erhalten dasselbe Ergebnis:

Es gibt nur eine Wurzel in einem bestimmten Intervall.

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Lektion 15

Cramer-Methode

(SLN)
- Systemkennung
Wenn die Determinante des SLE ungleich Null ist, wird die Lösung des Systems eindeutig durch die Cramer-Formeln bestimmt:
, , ()
Wo:

	Dazu tragen wir in die Spalte mit der Variablen x und damit in die erste Spalte statt der Koeffizienten bei x die freien Koeffizienten ein, die im Gleichungssystem auf den rechten Seiten der Gleichungen stehen
	Dazu setzen wir in der Spalte, in der die Variable y steht (2. Spalte), anstelle der Koeffizienten bei y die freien Koeffizienten ein, die im Gleichungssystem auf den rechten Seiten der Gleichungen stehen
	Dazu tragen wir in die Spalte, in der die Variable z steht, also die dritte Spalte, statt der Koeffizienten bei z die freien Koeffizienten ein, die im Gleichungssystem auf den rechten Seiten der Gleichungen stehen

Übung 1. Lösen Sie SLE mit Cramer-Formeln in Excel

Entscheidungsfortschritt

1. Wir schreiben die Gleichung in Matrixform:

2. Geben Sie Matrix A und B in Excel ein.

3. Finden Sie die Determinante von Matrix A. Sie sollte gleich 30 sein.

4. Die Determinante des Systems ist also von Null verschieden – die Lösung ist eindeutig durch die Cramerschen Formeln bestimmt.

5. Tragen Sie die dX-, dY-, dZ-Werte in das Excel-Blatt ein (siehe Abbildung unten).

6. Um die Werte dX, dY, dZ in den Zellen F8, F12, F16 zu berechnen, müssen Sie eine Funktion eingeben, die die Determinante dX, dY bzw. dZ berechnet.

7. Um den Wert von X in Zelle I8 zu berechnen, müssen Sie die Formel =F8/B5 (nach Cramers Formel dX/|A|) eingeben.

8. Geben Sie Formeln ein, um Y und Z selbst zu berechnen.

Aufgabe 2: selbstständig die Lösung des SLE nach der Cramer-Methode finden:

Cramers Formeln u Matrix-Methode Lösungen linearer Gleichungssysteme haben keine ernsthafte praktische Anwendung, da sie mit umständlichen Berechnungen verbunden sind. In der Praxis wird die Gauss-Methode am häufigsten verwendet, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Gauss-Methode

Der Gaußsche Lösungsprozess besteht aus zwei Schritten.

1. Gerader Hub: das System wird auf eine gestufte (insbesondere dreieckige) Form reduziert.

Um ein Gleichungssystem zu lösen, wird die erweiterte Matrix dieses Systems ausgeschrieben

und über die Zeilen dieser Matrix produzieren elementare Transformationen, wodurch es in die Form gebracht wird, wenn sich Nullen unter der Hauptdiagonale befinden.
Es ist erlaubt, elementare Transformationen an Matrizen durchzuführen.
Mit Hilfe dieser Transformationen wird jedes Mal die erweiterte Matrix erhalten neues System, äquivalent zum Original, d.h. ein System, dessen Lösung mit der Lösung des ursprünglichen Systems übereinstimmt.

2. Rückwärts: es erfolgt eine sequentielle Bestimmung von Unbekannten aus diesem schrittweisen System.

Beispiel. Kompatibilität einstellen und System lösen

Lösung.
Direkter Umzug: Lassen Sie uns die erweiterte Matrix des Systems schreiben und die erste und zweite Zeile vertauschen, so dass das Element gleich eins ist (es ist bequemer, Matrixtransformationen auf diese Weise durchzuführen).



.

Wir haben Die Ränge der Systemmatrix und ihrer erweiterten Matrix stimmten mit der Anzahl der Unbekannten überein. Nach dem Satz von Kronecker-Capelli ist das Gleichungssystem konsistent und seine Lösung eindeutig.
Rückwärtsbewegung: Schreiben wir das Gleichungssystem auf, dessen erweiterte Matrix wir durch Transformationen erhalten haben:

Also haben wir .
Weiter finden wir durch Einsetzen in die dritte Gleichung .
Durch Einsetzen von und in die zweite Gleichung erhalten wir .
Durch Einsetzen in die erste gefundene Gleichung erhalten wir .
Somit haben wir eine Lösung für das System .

Lösung von SLE nach Gauss-Methode in Excel:

Der Text fordert Sie auf, eine Formel der Form: (=A1:B3+$C$2:$C$3) in den Zellbereich usw. einzugeben, dies sind die sogenannten "Array-Formeln". Microsoft Excel schließt es automatisch in geschweifte Klammern (( )) ein. Um diese Art von Formel einzugeben, wählen Sie den gesamten Bereich aus, in den Sie die Formel einfügen möchten, geben Sie die Formel ohne geschweifte Klammern in die erste Zelle ein (für das obige Beispiel - =A1:B3+$C$2:$C$3) und drücken Sie Strg +Umschalt+Eingabe.
Lassen Sie uns ein System von linearen Gleichungen haben:

1. Schreiben wir die Koeffizienten des Gleichungssystems in die Zellen A1:D4 und die Spalte der freien Terme in die Zellen E1:E4. Wenn in einer ZelleA10 ist, müssen Sie die Zeilen vertauschen, damit diese Zelle einen Wert ungleich Null hat. Zur besseren Übersichtlichkeit können Sie die Zellen, in denen sich die freien Stäbe befinden, mit einer Füllung versehen.

2. Es ist notwendig, den Koeffizienten bei x1 in allen Gleichungen außer der ersten auf 0 zu reduzieren. Lassen Sie uns dies zuerst für die zweite Gleichung tun. Kopieren Sie die erste Zeile unverändert in die Zellen A6:E6, in die Zellen A7:E7 müssen Sie die Formel eingeben: (=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)). Also subtrahieren wir die erste Reihe von der zweiten Reihe, multipliziert mit A2/$A$1, also das Verhältnis der ersten Koeffizienten der zweiten und ersten Gleichung. Um das Ausfüllen der Zeilen 8 und 9 zu vereinfachen, müssen Verweise auf die Zellen der ersten Zeile absolut sein (wir verwenden das $-Symbol).

3. Wir kopieren die eingegebene Formel in die Zeilen 8 und 9 und entfernen so die Koeffizienten vor x1 in allen Gleichungen außer der ersten.

4. Lassen Sie uns nun die Koeffizienten vor x2 in der dritten und vierten Gleichung auf 0 bringen. Kopieren Sie dazu die resultierende 6. und 7. Zeile (nur Werte) in die Zeilen 11 und 12 und geben Sie in den Zellen A13:E13 die Formel ein (=A8:E8-$ A$7:$E$7*(B8/$B$7)), die wir dann in die Zellen A14:E14 kopieren. Somit wird die Differenz der Zeilen 8 und 7, multipliziert mit dem Koeffizienten B8/$B$7, realisiert. .

5. Es bleibt, den Koeffizienten bei x3 in der vierten Gleichung auf 0 zu bringen, dazu machen wir wieder dasselbe: Kopieren Sie die resultierenden 11., 12. und 13. Zeilen (nur Werte) in die Zeilen 16-18 und geben Sie die Formel ein ( = A14: E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)). Somit wird die Differenz zwischen den Zeilen 14 und 13, multipliziert mit dem Koeffizienten C14/$C$13, realisiert. Vergiss nicht, die Zeilen zu vertauschen, um 0 im Nenner des Bruchs loszuwerden.

6. Der Gaußsche Vorwärts-Sweep ist abgeschlossen. Beginnen wir den Rückwärtslauf von der letzten Zeile der resultierenden Matrix. Es ist notwendig, alle Elemente der letzten Reihe durch den Koeffizienten bei x4 zu dividieren. Dazu tragen wir in Zeile 24 die Formel (=A19:E19/D19) ein.

7. Bringen wir alle Zeilen in eine ähnliche Form, dazu füllen wir die Zeilen 23, 22, 21 mit folgenden Formeln aus:

23: (=(A18:E18-A24:E24*D18)/C18) - wir subtrahieren die vierte Reihe multipliziert mit dem Koeffizienten bei x4 der dritten Reihe von der dritten Reihe.

22: (=(A17:E17-A23:E23*C17-A24:E24*D17)/B17) – subtrahieren Sie die dritte und vierte Zeile von der zweiten Zeile, multipliziert mit den entsprechenden Koeffizienten.

21: (=(A16:E16-A22:E22*B16-A23:E23*C16-A24:E24*D16)/A16) – subtrahiere die zweite, dritte und vierte von der ersten Zeile, multipliziert mit den entsprechenden Koeffizienten.

Das Ergebnis (die Wurzeln der Gleichung) wird in den Zellen E21:E24 berechnet.

Zusammengestellt von: Saliy N.A.

Cramers Methode wird verwendet, um lineare Systeme zu lösen algebraische Gleichungen(SLAE), bei dem die Anzahl der unbekannten Variablen gleich der Anzahl der Gleichungen ist und die Determinante der Hauptmatrix ungleich Null ist. In diesem Artikel werden wir analysieren, wie unbekannte Variablen mit der Cramer-Methode gefunden und Formeln erhalten werden. Danach wenden wir uns Beispielen zu und beschreiben ausführlich die Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme nach dem Cramer-Verfahren.

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Cramer-Methode - Ableitung von Formeln.

Lassen Sie uns ein System linearer Gleichungen der Form lösen

Wobei x 1 , x 2 , …, x n unbekannte Variablen sind, a i j , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- numerische Koeffizienten, b 1 , b 2 , ..., b n - freie Mitglieder. Die Lösung von SLAE ist eine solche Menge von Werten x 1 , x 2 , …, x n , für die alle Gleichungen des Systems zu Identitäten werden.

In Matrixform kann dieses System geschrieben werden als A ⋅ X = B , wobei - die Hauptmatrix des Systems, ihre Elemente sind die Koeffizienten unbekannter Variablen, - die Matrix ist eine Spalte mit freien Termen und - die Matrix ist eine Spalte mit unbekannten Variablen. Nach Auffinden der Unbekannten x 1 , x 2 , …, x n wird die Matrix zur Lösung des Gleichungssystems und die Gleichheit A ⋅ X = B zur Identität .

Wir nehmen an, dass die Matrix A nicht ausgeartet ist, das heißt, ihre Determinante ist ungleich Null. In diesem Fall hat das System der linearen algebraischen Gleichungen eine eindeutige Lösung, die durch das Cramer-Verfahren gefunden werden kann. (Methoden zum Lösen von Systemen für werden im Abschnitt über das Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen besprochen).

Cramers Methode basiert auf zwei Eigenschaften der Matrixdeterminante:

Fangen wir also an, die unbekannte Variable x 1 zu finden. Dazu multiplizieren wir beide Teile der ersten Gleichung des Systems mit A 1 1, beide Teile der zweiten Gleichung - mit A 2 1 usw., beide Teile der n-ten Gleichung - mit A n 1 ( das heißt, wir multiplizieren die Gleichungen des Systems mit den entsprechenden algebraischen Komplementen der ersten Matrixspalte A ):

Wir addieren alle linken Teile der Gleichung des Systems, gruppieren die Terme mit unbekannten Variablen x 1, x 2, ..., x n und setzen diese Summe mit der Summe aller rechten Teile der Gleichungen gleich:

Wenden wir uns den zuvor geäußerten Eigenschaften der Determinante zu, dann haben wir

und die vorherige Gleichheit nimmt die Form an

Wo

Ebenso finden wir x 2 . Dazu multiplizieren wir beide Teile der Gleichungen des Systems mit den algebraischen Komplementen der zweiten Spalte der Matrix A:

Wir addieren alle Gleichungen des Systems, gruppieren die Terme mit unbekannten Variablen x 1, x 2, ..., x n und wenden die Eigenschaften der Determinante an:

Wo
.

Die verbleibenden unbekannten Variablen werden ähnlich gefunden.

Wenn wir benennen

Dann bekommen wir Formeln zum Auffinden unbekannter Variablen mit der Cramer-Methode .

Kommentar.

Wenn das System der linearen algebraischen Gleichungen homogen ist, d. h. , dann hat es nur eine triviale Lösung (für ). Tatsächlich sind für null freie Terme alle Determinanten null sein, da sie eine Spalte mit null-Elementen enthalten. Daher die Formeln wird geben.

Algorithmus zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen nach dem Cramer-Verfahren.

Schreiben wir auf Algorithmus zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen nach dem Cramer-Verfahren.

Beispiele für das Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen nach der Cramer-Methode.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel.

Finden Sie eine Lösung für ein inhomogenes System linearer algebraischer Gleichungen mit der Methode von Cramer .

Lösung.

Die Hauptmatrix des Systems hat die Form . Wir berechnen seine Determinante nach der Formel :

Da die Determinante der Hauptmatrix des Systems nicht Null ist, hat die SLAE eine eindeutige Lösung, und sie kann durch das Cramer-Verfahren gefunden werden. Wir schreiben die Determinanten und auf. Wir ersetzen die erste Spalte der Hauptmatrix des Systems durch eine Spalte mit freien Termen und erhalten die Determinante . Ebenso ersetzen wir die zweite Spalte der Hauptmatrix durch eine Spalte mit freien Termen und erhalten .

Wir berechnen diese Determinanten:

Wir finden unbekannte Variablen x 1 und x 2 unter Verwendung der Formeln :

Lassen Sie uns einen Check machen. Wir setzen die erhaltenen Werte x 1 und x 2 in das ursprüngliche Gleichungssystem ein:

Beide Gleichungen des Systems werden zu Identitäten, daher wird die Lösung richtig gefunden.

Antworten:

.

Einige Elemente der Haupt-SLAE-Matrix können gleich Null sein. In diesem Fall gibt es keine entsprechenden unbekannten Variablen in den Gleichungen des Systems. Nehmen wir ein Beispiel.

Beispiel.

Finden Sie eine Lösung für ein lineares Gleichungssystem nach der Methode von Cramer .

Lösung.

Lassen Sie uns das System in der Form umschreiben um die Hauptmatrix des Systems zu sehen . Finde seine Determinante mit der Formel

Wir haben

Die Determinante der Hauptmatrix ist von Null verschieden, daher hat das lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung. Lassen Sie es uns nach Cramers Methode finden. Berechnen Sie die Determinanten :

Auf diese Weise,

Antworten:

Die Bezeichnungen unbekannter Variablen in den Gleichungen des Systems können von x 1 , x 2 , …, x n abweichen. Der Entscheidungsprozess wird dadurch nicht beeinträchtigt. Aber die Reihenfolge der unbekannten Variablen in den Gleichungen des Systems ist sehr wichtig, wenn die Hauptmatrix und die notwendigen Determinanten des Cramer-Verfahrens zusammengestellt werden. Lassen Sie uns diesen Punkt an einem Beispiel erläutern.

Beispiel.

Finden Sie mit der Methode von Cramer eine Lösung für ein System aus drei linearen algebraischen Gleichungen mit drei Unbekannten .

Lösung.

In diesem Beispiel haben die unbekannten Variablen eine andere Bezeichnung (x , y und z statt x 1 , x 2 und x 3 ). Dies hat keinen Einfluss auf den Verlauf der Lösung, aber seien Sie vorsichtig mit der Notation von Variablen. NICHT als Hauptmatrix des Systems nehmen . Sie müssen zuerst die unbekannten Variablen in allen Gleichungen des Systems ordnen. Dazu schreiben wir das Gleichungssystem um als . Jetzt ist die Hauptmatrix des Systems deutlich sichtbar . Berechnen wir seine Determinante:

Die Determinante der Hauptmatrix ist von Null verschieden, daher hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung. Lassen Sie es uns nach Cramers Methode finden. Schreiben wir die Determinanten auf (achte auf die Schreibweise) und berechne sie:

Es bleibt, unbekannte Variablen mit den Formeln zu finden :

Lassen Sie uns einen Check machen. Dazu multiplizieren wir die Hauptmatrix mit der resultierenden Lösung (ggf. siehe Abschnitt ):

Als Ergebnis haben wir eine Spalte mit freien Termen des ursprünglichen Gleichungssystems erhalten, sodass die Lösung korrekt gefunden wurde.

Antworten:

x = 0, y = -2, z = 3 .

Beispiel.

Lösen Sie das System linearer Gleichungen nach der Cramer-Methode , wobei a und b reelle Zahlen sind.

Lösung.

Antworten:

Beispiel.

Finden Sie eine Lösung für das Gleichungssystem Cramers Methode ist eine reelle Zahl.

Lösung.

Berechnen wir die Determinante der Hauptmatrix des Systems: . Ausdrücke haben ein Intervall, also für beliebige reelle Werte. Daher hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, die durch das Cramer-Verfahren gefunden werden kann. Wir berechnen und:

Das System der linearen algebraischen Gleichungen kann auch mit gelöst werden Add-In "Suche nach einer Lösung". Bei Verwendung dieses Add-Ons wird eine Folge von Näherungen erstellt , i=0,1,…n.

Lass uns anrufen Restvektor nächster Vektor:

Die Aufgabe von Excel besteht darin Finde eine solche Annäherung , an dem der Restvektor Null werden würde, d.h. um die Übereinstimmung der Werte des rechten und linken Teils des Systems zu erreichen.

Betrachten Sie als Beispiel SLAE (3.27).

Sequenzierung:

1. Lassen Sie uns eine Tabelle erstellen, wie in Abbildung 3.4 gezeigt. Lassen Sie uns die Koeffizienten des Systems (Matrix A) in die Zellen A3:C5 einführen.

Abb.3.4. Lösen von SLAE mit dem Add-On „Suche nach einer Lösung“

2. In den Zellen A8:C8 wird die Lösung des Systems gebildet (x 1, x 2, x 3). Sie bleiben zunächst leer, d.h. null. Im Folgenden nennen wir sie wechselnde Zellen.. Um jedoch die Richtigkeit der unten eingegebenen Formeln zu kontrollieren, ist es zweckmäßig, beliebige Werte in diese Zellen einzugeben, beispielsweise Einheiten. Diese Werte können als Nullnäherung der Lösung des Systems betrachtet werden, = (1, 1, 1).

3. In Spalte D führen wir Ausdrücke zur Berechnung der linken Teile des ursprünglichen Systems ein. Geben Sie dazu in Zelle D3 die Formel ein und kopieren Sie sie bis zum Ende der Tabelle:

D3=SUMMENPRODUKT(A3:C3;$A$8:$C$8).

Funktion verwendet SUMMENPRODUKT gehört zur Kategorie Mathematisch.

4. In Spalte E notieren wir die Werte der rechten Teile des Systems (Matrix B).

5. In Spalte F führen wir Residuen gemäß Formel (3.29) ein, d.h. Geben Sie die Formel F3=D3-E3 ein und kopieren Sie sie bis zum Ende der Tabelle.

6. Es ist nicht überflüssig, die Richtigkeit der Berechnungen für den Fall = (1, 1, 1) zu überprüfen.

7. Wähle ein Team Daten\Analyse\Suche nach einer Lösung.

Reis. 3.5. Solver-Add-In-Fenster

Im Fenster Eine Lösung finden(Abb.3.5) im Feld Wechselbare Zellen einen Block angeben $A$8:$C$8, und im Feld Einschränkungen – $F$3:$F$5=0. Klicken Sie anschließend auf die Schaltfläche Hinzufügen und führen Sie diese Beschränkungen ein. Und dann der Knopf Laufen

Die resultierende Lösung von Systemen (3.28) X 1 = 1; X 2 = –1X 3 = 2 wird in die Zellen A8:C8 geschrieben, Abb.3.4.

Umsetzung der Jacobi-Methode mit MS Excel

Betrachten Sie als Beispiel das Gleichungssystem (3.19), dessen Lösung oben nach dem Jacobi-Verfahren erhalten wurde (Beispiel 3.2)

Wir bringen dieses System auf normal aussehen:

Sequenzierung

1. Lassen Sie uns eine Tabelle erstellen, wie in Abb. 3.6. gezeigt:

Wir führen die Matrizen und (3.15) in die Zellen B6:E8 ein.

Bedeutung e– in H5.

Iterationsnummer k Wir werden in Spalte A der Tabelle mit Autocomplete bilden.

Als Nullnäherung wählen wir den Vektor

= (0, 0, 0) und geben Sie es in die Zellen B11:D11 ein.

2. Unter Verwendung der Ausdrücke (3.29) schreiben wir in die Zellen B12:D12 Formeln zur Berechnung der ersten Näherung:

B12=$E$6+B11*$B$6+C11*$C$6+D11*$D$6,

C12=$E$7+B11*$B$7+C11*$C$7+D11*$D$7,

D12=$E$8+B11*$B$8+C11*$C$8+D11*$D$8.

Diese Formeln können mit unterschiedlich geschrieben werden Excel-Funktion SUMMENPRODUKT

Geben Sie in Zelle E12 die Formel ein: E12=ABS(B11-B12) und kopieren Sie sie nach rechts in die Zellen F12:G12.

Abb.3.6. Schema zur Lösung von SLAE nach der Jacobi-Methode

3. Geben Sie in Zelle H12 die Formel zur Berechnung ein M(k) , mit Ausdruck (3.18): H12 = MAX(E12:G12). Die MAX-Funktion ist in der Kategorie statistisch.

4. Markieren Sie die Zellen B12:H12 und kopieren Sie sie bis zum Ende der Tabelle. So bekommen wir k Näherungen der SLAE-Lösung.

5. Bestimmen Sie die ungefähre Lösung des Systems und die Anzahl der Iterationen, die erforderlich sind, um die gegebene Genauigkeit zu erreichen e.

Dazu schätzen wir den Grad der Nähe zweier benachbarter Iterationen mit Formel (3.18) ab. Lassen Sie uns verwenden bedingte Formatierung in den Zellen der Spalte.

Das Ergebnis einer solchen Formatierung ist in Abbildung 3.6 sichtbar. Die Zellen der H-Spalte, deren Werte die Bedingung (3.18) erfüllen, d.h. weniger e=0,1, getönt.

Bei der Analyse der Ergebnisse nehmen wir die vierte Iteration als Näherungslösung des ursprünglichen Systems mit einer gegebenen Genauigkeit e = 0,1, d.h.

Erkunden Wesen des iterativen Prozesses. Markieren Sie dazu einen Zellblock A10:D20 und verwenden Sie Diagrammmeister, Wir werden Diagramme der Änderungen in jeder Komponente des Lösungsvektors in Abhängigkeit von der Iterationsnummer erstellen.

Die gezeigten Graphen (Abb. 3.7) bestätigen die Konvergenz des iterativen Prozesses.

Reis. 3.7. Illustration eines konvergenten iterativen Prozesses

Wert ändern e in Zelle H5 erhalten wir eine neue Näherungslösung des ursprünglichen Systems mit einer neuen Genauigkeit.

Implementierung der Sweep-Methode mit Excel

Betrachten Sie die Lösung des folgenden linearen algebraischen Gleichungssystems durch die "Sweep"-Methode unter Verwendung der Tabellen übertreffen.

Vektoren:

Sequenzierung

1. Lassen Sie uns eine Tabelle erstellen, wie in Abbildung 3.8 gezeigt. Die Anfangsdaten der erweiterten Matrix des Systems (3.30), d.h. Vektoren werden in die Zellen B5:E10 eingetragen.

2. Über Rennquoten U 0 = 0 und V 0 = 0 in die Zellen G4 bzw. H4 eintragen.

3. Berechnen Sie die Sweep-Koeffizienten L ich, U ich, V ich. Dazu berechnen wir in den Zellen F5, G5, H5 L1, U1, V1. nach Formel (3.8). Dazu führen wir die Formeln ein:

F5=B5*G4+C5; G5=-D5/F5, H5 = (E5-B5*H4)/F5, und kopieren Sie sie dann nach unten.

Abb.3.8. Konstruktionsschema des „Sweep“-Verfahrens

4. In Zelle I10 berechnen wir x6 nach Formel (3.10)

I10 = (E10-B10*H9)/(B10*G9+C10).

5. Mit Formel (3.7) berechnen wir alle anderen Unbekannten x 5 x 4 , x 3 , x 2 , x 1 . Dazu rechnen wir in Zelle I9 x5 nach Formel (3.6): I9=G9*I10+H9 . Und dann kopiere diese Formel nach oben.

Kontrollfragen

1. System linearer algebraischer Gleichungen (SLAE). Was ist die Lösung von SLAE. Wenn es eine einzigartige SLAE-Lösung gibt.

2. allgemeine Charakteristiken direkte (exakte) Methoden zur Lösung von SLAE. Gauss-Methoden und Sweeps.

3. Allgemeine Eigenschaften iterativer Methoden zur Lösung von SLAEs. Jacobi-Methoden ( einfache Iterationen) und Gauß-Seidel.

4. Bedingungen für die Konvergenz iterativer Prozesse.

5. Was versteht man unter den Bedingungen der Konditionalität von Aufgaben und Berechnungen, der Korrektheit des Problems der Lösung von SLAE?

Kapitel 4

Numerische Integration

Bei der Lösung einer ausreichend großen Bandbreite technischer Probleme muss man sich der Notwendigkeit stellen, ein bestimmtes Integral zu berechnen:

Berechnung Bereiche, begrenzt durch Kurven, arbeiten, Trägheitsmomente, Multiplikation von Diagrammen nach der Mohrschen Formel usw. auf die Berechnung eines bestimmten Integrals reduziert.

Wenn kontinuierlich im Intervall [ ein, b] Funktion y = f(x) hat eine Stammfunktion auf diesem Segment F(x), d.h. F'(x) = f(x), dann kann das Integral (4.1) mit der Newton-Leibniz-Formel berechnet werden:

Allerdings nur für eine enge Klasse von Funktionen y=f(x) Stammfunktion F(x) kann in elementaren Funktionen ausgedrückt werden. Außerdem die Funktion y=f(x) können grafisch oder tabellarisch angegeben werden. Bewerben Sie sich in diesen Fällen verschiedene Formeln zur näherungsweisen Berechnung von Integralen.

Solche Formeln werden aufgerufen Quadraturformeln oder numerische Integrationsformeln.

Numerische Integrationsformeln sind gut grafisch illustriert. Es ist bekannt, dass der Wert des bestimmten Integrals (4.1) proportional die Fläche des vom Integranden gebildeten krummlinigen Trapezes y=f(x), gerade x=a und x=b, Achse OH(Abb.4.1).

Das Problem der Berechnung des bestimmten Integrals (4.1) wird durch das Problem der Berechnung der Fläche dieses krummlinigen Trapezes ersetzt. Das Problem, die Fläche einer krummlinigen Linie zu finden, ist jedoch nicht einfach.

Daher wird die Idee der numerischen Integration sein beim Ersetzen eines krummlinigen Trapezes durch eine Figur, deren Fläche ganz einfach berechnet wird.

y=f(x)

j

X

xi

xi+1

xn=b

xo=a

Si

Abb.4.1. Geometrische Interpretation der numerischen Integration

Dazu wird das Integrationssegment [ ein, b] aufgeteilt in N gleich elementare Segmente (i=0, 1, 2, …..,n-1), Schritt für Schritt h=(b-a)/n. In diesem Fall wird das krummlinige Trapez unterteilt n elementare krummlinige Trapeze mit Basen gleich H(Abb.4.1).

Jedes elementare krummlinige Trapez wird durch eine Figur ersetzt, deren Fläche ganz einfach berechnet wird. Lassen Sie uns diesen Bereich bestimmen Si. Die Summe all dieser Bereiche wird genannt integrale Summe und errechnet sich aus der Formel

Dann hat die Näherungsformel zur Berechnung des bestimmten Integrals (4.1) die Form

Die Genauigkeit der Berechnung nach Formel (4.4) hängt von der Stufe ab H, d.h. auf die Anzahl der Partitionen N. Mit der Erhöhung N die Integralsumme nähert sich dem exakten Wert des Integrals

Dies ist in Abbildung 4.2 gut dargestellt.

Abb.4.2. Die Abhängigkeit von der Genauigkeit der Berechnung des Integrals

auf die Anzahl der Partitionen

In der Mathematik ist es bewiesen Satz: Wenn die Funktion y=f(x) auf stetig ist, dann existiert der Grenzwert der Integralsumme b n und hängt nicht davon ab, wie die Strecke in elementare Strecken aufgeteilt wird.

Formel (4.4) kann verwendet werden, wenn der Genauigkeitsgrad z Annäherungen. Zur Abschätzung des Ausdrucksfehlers (4.4) gibt es verschiedene Formeln, die aber in der Regel recht kompliziert sind. Wir werden die Genauigkeit der Näherung (4.4) mit der Methode abschätzen halber Schritt.