Lassen Sie eine Zufallsvariable A gemessen N Mal unter den gleichen Bedingungen. Die Messergebnisse ergaben einen Satz N verschiedene Zahlen

Absoluter Fehler- Dimensionswert. Unter N Werte absoluter Fehler erfüllen notwendigerweise sowohl positive als auch negative Werte.

Für den wahrscheinlichsten Wert der Menge A normalerweise nehmen arithmetische Mittel die Bedeutung der Messergebnisse

.

Je größer die Anzahl der Messungen, desto näher liegt der Mittelwert am wahren Wert.

Absoluter Fehlerich

.

Relativer Fehlerich Die Dimension wird Menge genannt

Der relative Fehler ist eine dimensionslose Größe. Üblicherweise wird hierfür der relative Fehler in Prozent ausgedrückt e i mit 100 % multiplizieren. Der Wert des relativen Fehlers charakterisiert die Messgenauigkeit.

Durchschnittlicher absoluter Fehler ist wie folgt definiert:

.

Wir betonen die Notwendigkeit, die Absolutwerte (Module) der Größen D zu summieren und ich . Andernfalls wird das identische Nullergebnis erhalten.

Durchschnittlicher relativer Fehler heißt Menge

.

Für eine große Anzahl von Messungen.

Der relative Fehler kann als der Wert des Fehlers pro Einheit der gemessenen Größe betrachtet werden.

Die Genauigkeit von Messungen wird anhand eines Vergleichs der Fehler der Messergebnisse beurteilt. Daher werden die Messfehler so ausgedrückt, dass es zur Beurteilung der Genauigkeit ausreichen würde, nur die Fehler der Ergebnisse zu vergleichen, ohne die Größen der gemessenen Objekte zu vergleichen oder diese Größen nur sehr ungefähr zu kennen. Aus der Praxis ist bekannt, dass der absolute Fehler der Winkelmessung nicht vom Wert des Winkels und der absolute Fehler der Längenmessung vom Wert der Länge abhängt. Je größer der Längenwert ist, desto größer ist der absolute Fehler für diese Methode und Messbedingungen. Daher gem Absoluter Fehler Das Ergebnis der Genauigkeit der Winkelmessung kann beurteilt werden, die Genauigkeit der Längenmessung ist jedoch unmöglich. Der Ausdruck des Fehlers in relativer Form ermöglicht den Vergleich bekannte Fälle Genauigkeit von Winkel- und Linearmessungen.

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zufälliger Fehler.

Zufälliger Fehler bezeichnet die Komponente des Messfehlers, die sich bei wiederholten Messungen derselben Größe zufällig ändert.

Wenn wiederholte Messungen derselben konstanten, unveränderlichen Größe mit der gleichen Sorgfalt und unter den gleichen Bedingungen durchgeführt werden, erhalten wir Messergebnisse – einige davon unterscheiden sich voneinander, andere stimmen überein. Solche Abweichungen in den Messergebnissen weisen auf das Vorhandensein zufälliger Fehlerkomponenten hin.

Zufällige Fehler entstehen durch die gleichzeitige Einwirkung vieler Quellen, von denen jede für sich genommen einen nicht wahrnehmbaren Einfluss auf das Messergebnis hat, der Gesamteffekt aller Quellen jedoch recht stark sein kann.

Zufällige Fehler sind eine unvermeidliche Folge jeder Messung und haben folgende Ursachen:

a) ungenaue Messwerte auf der Skala von Instrumenten und Werkzeugen;

b) nicht identische Bedingungen für wiederholte Messungen;

c) zufällige Änderungen äußere Bedingungen(Temperatur, Druck, Kraftfeld usw.), die nicht kontrolliert werden können;

d) alle sonstigen Einflüsse auf Messungen, deren Ursachen uns unbekannt sind. Die Größe des Zufallsfehlers kann durch wiederholte Wiederholung des Experiments und entsprechende mathematische Verarbeitung der Ergebnisse minimiert werden.

Ein Zufallsfehler kann unterschiedliche absolute Werte annehmen, die für einen bestimmten Messvorgang nicht vorhersehbar sind. Dieser Fehler kann sowohl positiv als auch negativ sein. In einem Experiment treten immer zufällige Fehler auf. Fehlen systematische Fehler, führen sie dazu, dass wiederholte Messungen um den wahren Wert streuen.

Nehmen wir an, dass wir mit Hilfe einer Stoppuhr die Schwingungsdauer des Pendels messen und die Messung viele Male wiederholen. Fehler beim Starten und Stoppen der Stoppuhr, ein Fehler im Referenzwert, eine kleine ungleichmäßige Bewegung des Pendels – all dies führt zu einer Streuung der Ergebnisse wiederholter Messungen und kann daher als zufällige Fehler eingestuft werden.

Wenn keine anderen Fehler vorliegen, werden einige Ergebnisse etwas überschätzt, während andere leicht unterschätzt werden. Wenn aber darüber hinaus noch die Uhr im Rückstand ist, werden alle Ergebnisse unterschätzt. Dies ist bereits ein systematischer Fehler.

Einige Faktoren können gleichzeitig sowohl systematische als auch zufällige Fehler verursachen. Durch das Ein- und Ausschalten der Stoppuhr können wir also eine kleine unregelmäßige Streuung in den Momenten des Startens und Stoppens der Uhr relativ zur Bewegung des Pendels erzeugen und dadurch einen zufälligen Fehler einführen. Wenn wir aber außerdem jedes Mal, wenn wir die Stoppuhr überstürzt einschalten, etwas zu spät dran sind, sie wieder auszuschalten, dann führt dies zu einem systematischen Fehler.

Zufällige Fehler werden durch einen Parallaxenfehler beim Ablesen der Teilungen der Instrumentenskala, Erschütterungen des Gebäudefundaments, den Einfluss leichter Luftbewegung usw. verursacht.

Obwohl es unmöglich ist, zufällige Fehler einzelner Messungen auszuschließen, mathematische Theorie Zufällige Phänomene ermöglichen es uns, den Einfluss dieser Fehler auf das endgültige Messergebnis zu reduzieren. Im Folgenden wird gezeigt, dass hierfür nicht eine, sondern mehrere Messungen erforderlich sind. Je kleiner der Fehlerwert ist, den wir erhalten möchten, desto mehr Messungen müssen durchgeführt werden.

Da das Auftreten zufälliger Fehler unvermeidbar und unvermeidbar ist, besteht die Hauptaufgabe jedes Messvorgangs darin, die Fehler auf ein Minimum zu reduzieren.

Die Fehlertheorie basiert auf zwei Hauptannahmen, die durch Erfahrung bestätigt werden:

1. Bei einer großen Anzahl von Messungen treten zufällige Fehler gleicher Größe auf, aber anderes Zeichen, d.h. Fehler in der Richtung des Erhöhens und Verringerns des Ergebnisses sind durchaus üblich.

2. Große absolute Fehler kommen seltener vor als kleine, sodass die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers mit zunehmendem Wert abnimmt.

Das Verhalten von Zufallsvariablen wird durch statistische Gesetzmäßigkeiten beschrieben, die Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie sind. Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit w ich Veranstaltungen ich ist die Einstellung

Wo N- Gesamtzahl der Experimente, n ich- die Anzahl der Experimente, bei denen das Ereignis stattgefunden hat ich passiert. In diesem Fall sollte die Gesamtzahl der Experimente sehr groß sein ( N®¥). Bei einer großen Anzahl von Messungen gehorchen zufällige Fehler einer Normalverteilung (Gaußverteilung), deren Hauptmerkmale die folgenden sind:

1. Je größer die Abweichung des Messwertes vom wahren Wert ist, desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ergebnisses.

2. Abweichungen vom wahren Wert in beide Richtungen sind gleich wahrscheinlich.

Aus den obigen Annahmen folgt, dass es zur Reduzierung des Einflusses zufälliger Fehler erforderlich ist, diese Größe mehrmals zu messen. Angenommen, wir messen einen Wert x. Lassen Sie produzieren N Messungen: x 1 , x 2 , ... x n- mit der gleichen Methode und mit der gleichen Sorgfalt. Es ist zu erwarten, dass die Zahl dn erhaltene Ergebnisse, die in einem bestimmten eher engen Intervall liegen X Vor x + dx, sollte proportional sein zu:

Der Wert des genommenen Intervalls dx;

Gesamtzahl der Messungen N.

Wahrscheinlichkeit dw(X), dass ein gewisser Wert X liegt im Intervall von X Vor x+dx, wie folgt definiert :

(mit der Anzahl der Messungen N ®¥).

Funktion F(X) wird Verteilungsfunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte genannt.

Als Postulat der Fehlertheorie wird davon ausgegangen, dass die Ergebnisse direkter Messungen und deren Zufallsfehler bei einer großen Anzahl von ihnen dem Gesetz der Normalverteilung gehorchen.

Die von Gauß gefundene Verteilungsfunktion des Kontinuums zufällige VariableX hat die folgende Form:

, wo mis - Verteilungsparameter .

Der Parameter m der Normalverteilung ist gleich dem Mittelwert á Xñ eine Zufallsvariable, die für eine beliebige bekannte Verteilungsfunktion durch das Integral bestimmt wird

.

Auf diese Weise, der Wert m ist der wahrscheinlichste Wert des Messwertes x, d.h. ihre beste Schätzung.

Der Parameter s 2 der Normalverteilung ist gleich der Varianz D der Zufallsvariablen, die in Allgemeiner Fall wird durch das folgende Integral bestimmt

.

Quadratwurzel aus der Varianz nennt man die Standardabweichung der Zufallsvariablen.

Die mittlere Abweichung (Fehler) der Zufallsvariablen ásñ wird mithilfe der Verteilungsfunktion wie folgt ermittelt

Der durchschnittliche Messfehler ásñ, berechnet aus der Gaußschen Verteilungsfunktion, hängt wie folgt mit dem Wert der Standardabweichung s zusammen:

< S > = 0,8s.

Die Parameter s und m hängen wie folgt zusammen:

.

Mit diesem Ausdruck können Sie die Standardabweichung s ermitteln, wenn eine Normalverteilungskurve vorliegt.

Der Graph der Gaußschen Funktion ist in den Abbildungen dargestellt. Funktion F(X) ist symmetrisch in Bezug auf die am Punkt gezeichnete Ordinate x= M; durchläuft das Maximum an dem Punkt x= m und weist einen Wendepunkt in den Punkten m ±s auf. Somit charakterisiert die Streuung die Breite der Verteilungsfunktion bzw. zeigt an, wie stark die Werte einer Zufallsvariablen relativ zu ihrem wahren Wert streuen. Je genauer die Messungen, desto näher am wahren Wert liegen die Ergebnisse der einzelnen Messungen, d. h. der Wert von s ist kleiner. Abbildung A zeigt die Funktion F(X) für drei Werte s .

Fläche einer durch eine Kurve begrenzten Figur F(X) und vertikale Linien, die aus Punkten gezogen werden X 1 und X 2 (Abb. B) , ist numerisch gleich der Wahrscheinlichkeit, dass das Messergebnis in das Intervall D fällt x = x 1 -X 2, das als Konfidenzniveau bezeichnet wird. Fläche unter der gesamten Kurve F(X) ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable in das Intervall von 0 bis ¥ fällt, d.h.

,

da die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses gleich eins ist.

Benutzen Normalverteilung Die Fehlertheorie wirft und löst zwei Hauptprobleme. Die erste ist eine Beurteilung der Genauigkeit der Messungen. Die zweite ist eine Beurteilung der Genauigkeit des arithmetischen Mittels der Messergebnisse.5. Konfidenzintervall. Schülerkoeffizient.

Mit der Wahrscheinlichkeitstheorie können Sie die Größe des Intervalls mit einer bekannten Wahrscheinlichkeit bestimmen w sind die Ergebnisse einzelner Messungen. Diese Wahrscheinlichkeit heißt Vertrauensniveau und das entsprechende Intervall (<X>±D X)w angerufen Konfidenzintervall. Das Konfidenzniveau entspricht auch dem relativen Anteil der Ergebnisse, die innerhalb des Konfidenzintervalls liegen.

Wenn die Anzahl der Messungen N groß genug ist, dann drückt die Konfidenzwahrscheinlichkeit den Anteil aus GesamtzahlN diejenigen Messungen, bei denen der Messwert innerhalb des Konfidenzintervalls lag. Jede Vertrauensniveau w entspricht seinem Konfidenzintervall.w2 80 %. Je breiter das Konfidenzintervall ist, desto wahrscheinlicher ist es, dass innerhalb dieses Intervalls ein Ergebnis erzielt wird. In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird ein quantitativer Zusammenhang zwischen dem Wert des Konfidenzintervalls, der Konfidenzwahrscheinlichkeit und der Anzahl der Messungen hergestellt.

Wenn wir das Intervall, das dem durchschnittlichen Fehler entspricht, als Konfidenzintervall wählen, also D a = ANZEIGE Añ, dann entspricht sie für eine ausreichend große Anzahl von Messungen der Konfidenzwahrscheinlichkeit w 60 %. Mit abnehmender Anzahl der Messungen steigt die Konfidenzwahrscheinlichkeit, die einem solchen Konfidenzintervall (á Añ ± ANZEIGE Añ) nimmt ab.

Um das Konfidenzintervall einer Zufallsvariablen abzuschätzen, kann man daher den Wert des durchschnittlichen Fehlers D verwenden Añ .

Um die Größe eines Zufallsfehlers zu charakterisieren, müssen zwei Zahlen festgelegt werden, nämlich die Größe des Konfidenzintervalls und die Größe der Konfidenzwahrscheinlichkeit . Es ist weitgehend bedeutungslos, nur die Größe des Fehlers ohne die entsprechende Konfidenzwahrscheinlichkeit anzugeben.

Wenn der durchschnittliche Messfehler ásñ bekannt ist, wird das Konfidenzintervall geschrieben als (<X> ±asñ) w, bestimmt mit Konfidenzwahrscheinlichkeit w= 0,57.

Wenn die Standardabweichung s bekannt ist Verteilung der Messergebnisse, das angegebene Intervall hat die Form (<X>± tw S) w, Wo tw- Koeffizient abhängig vom Wert der Konfidenzwahrscheinlichkeit und berechnet nach der Gaußschen Verteilung.

Die am häufigsten verwendeten Größen D X sind in Tabelle 1 aufgeführt.

wahrer Wert physikalische Größe es ist fast unmöglich, absolut genau zu bestimmen, weil Jeder Messvorgang ist mit einer Reihe von Fehlern bzw. Fehlern verbunden. Die Gründe für die Fehler können sehr unterschiedlich sein. Ihr Auftreten kann auf Ungenauigkeiten bei der Herstellung und Einstellung des Messgeräts aufgrund der physikalischen Eigenschaften des untersuchten Objekts zurückzuführen sein (z. B. bei der Messung des Durchmessers eines Drahtes mit inhomogener Dicke hängt das Ergebnis zufällig von der Wahl ab). des Messbereichs), zufällige Gründe usw.

Die Aufgabe des Experimentators besteht darin, seinen Einfluss auf das Ergebnis zu verringern und außerdem anzugeben, wie nahe das Ergebnis am wahren Ergebnis liegt.

Es gibt Konzepte des absoluten und relativen Fehlers.

Unter Absoluter Fehler Die Messung erkennt den Unterschied zwischen dem Messergebnis und dem wahren Wert der gemessenen Größe:

∆x i =x i -x und (2)

wobei ∆x i der absolute Fehler der i-ten Messung ist, x i _ das Ergebnis der i-ten Messung ist, x i der wahre Wert des Messwerts ist.

Das Ergebnis einer physikalischen Messung wird normalerweise wie folgt geschrieben:

Dabei ist der arithmetische Mittelwert der gemessenen Größe, der dem wahren Wert am nächsten kommt (die Gültigkeit von x und ≈ wird unten gezeigt), der absolute Messfehler.

Gleichheit (3) ist so zu verstehen, dass der wahre Wert des Messwerts im Intervall [ - , + ] liegt.

Der absolute Fehler ist ein Dimensionswert, er hat die gleiche Dimension wie der gemessene Wert.

Der absolute Fehler charakterisiert die Genauigkeit der durchgeführten Messungen nicht vollständig. Wenn wir nämlich Segmente mit einer Länge von 1 m und 5 mm mit dem gleichen absoluten Fehler von ± 1 mm messen, ist die Messgenauigkeit unvergleichlich. Daher wird neben dem absoluten Messfehler auch der relative Fehler berechnet.

Relativer Fehler Messungen ist das Verhältnis des absoluten Fehlers zum Messwert selbst:

Der relative Fehler ist eine dimensionslose Größe. Es wird in Prozent ausgedrückt:

Im obigen Beispiel betragen die relativen Fehler 0,1 % und 20 %. Sie unterscheiden sich deutlich voneinander, obwohl die absoluten Werte gleich sind. Der relative Fehler gibt Aufschluss über die Genauigkeit

Messfehler

Je nach Art der Manifestation und den Gründen für das Auftreten des Fehlers kann er bedingt in die folgenden Klassen eingeteilt werden: instrumentelle, systematische, zufällige und Fehler (grobe Fehler).

Fehler werden entweder durch eine Fehlfunktion des Geräts oder durch einen Verstoß gegen die Methodik oder die Versuchsbedingungen verursacht oder sind subjektiv. In der Praxis werden sie als Ergebnisse definiert, die sich stark von anderen unterscheiden. Um ihr Erscheinungsbild zu beseitigen, ist es notwendig, bei der Arbeit mit den Geräten auf Genauigkeit und Gründlichkeit zu achten. Ergebnisse mit Fehlern müssen von der Berücksichtigung ausgeschlossen (verworfen) werden.

instrumentelle Fehler. Wenn das Messgerät betriebsbereit und justiert ist, können damit Messungen mit eingeschränkter Genauigkeit durchgeführt werden, die vom Gerätetyp abhängt. Es wird akzeptiert, dass der Instrumentenfehler des Zeigerinstruments gleich der Hälfte der kleinsten Teilung seiner Skala ist. Bei Geräten mit digitaler Anzeige entspricht der Instrumentenfehler dem Wert einer kleinsten Ziffer der Instrumentenskala.

Systematische Fehler sind Fehler, deren Größe und Vorzeichen für die gesamte Messreihe, die mit derselben Methode und denselben Messgeräten durchgeführt wird, konstant sind.

Bei der Durchführung von Messungen ist es wichtig, nicht nur systematische Fehler zu berücksichtigen, sondern auch deren Beseitigung zu erreichen.

Systematische Fehler werden bedingt in vier Gruppen eingeteilt:

1) Fehler, deren Art bekannt ist und deren Größe ziemlich genau bestimmt werden kann. Ein solcher Fehler ist beispielsweise eine Änderung der gemessenen Luftmasse, die von Temperatur, Luftfeuchtigkeit, Luftdruck usw. abhängt;

2) Fehler, deren Art bekannt ist, deren Ausmaß jedoch unbekannt ist. Zu diesen Fehlern zählen Fehler, die durch das Messgerät verursacht werden: Fehlfunktion des Geräts selbst, Nichtübereinstimmung der Waage mit dem Nullwert, Genauigkeitsklasse dieses Geräts;

3) Fehler, deren Existenz möglicherweise nicht vermutet wird, deren Ausmaß jedoch oft erheblich sein kann. Solche Fehler treten am häufigsten bei komplexen Messungen auf. Ein einfaches Beispiel für einen solchen Fehler ist die Messung der Dichte einer Probe, die einen Hohlraum enthält;

4) Fehler aufgrund der Eigenschaften des Messobjekts selbst. Um beispielsweise die elektrische Leitfähigkeit eines Metalls zu messen, wird diesem ein Stück Draht entnommen. Fehler können auftreten, wenn das Material einen Defekt aufweist – einen Riss, eine Verdickung des Drahtes oder eine Inhomogenität, die seinen Widerstand verändert.

Zufällige Fehler sind Fehler, deren Vorzeichen und Größe sich unter identischen Bedingungen bei wiederholten Messungen derselben Größe zufällig ändern.

Ähnliche Informationen.

Absolute und relative Fehler werden verwendet, um die Ungenauigkeit der mit hoher Komplexität durchgeführten Berechnungen zu bewerten. Sie werden auch bei verschiedenen Messungen und zum Runden von Berechnungsergebnissen verwendet. Überlegen Sie, wie Sie den absoluten und relativen Fehler bestimmen.

Absoluter Fehler

Der absolute Fehler der Zahl Nennen Sie den Unterschied zwischen dieser Zahl und ihrem genauen Wert.
Betrachten Sie ein Beispiel : 374 Schüler studieren an der Schule. Wenn diese Zahl auf 400 aufgerundet wird, beträgt der absolute Messfehler 400-374=26.

Um den absoluten Fehler zu berechnen, subtrahieren Sie die kleinere Zahl von der größeren Zahl.

Es gibt eine Formel für den absoluten Fehler. Die genaue Zahl bezeichnen wir mit dem Buchstaben A und mit dem Buchstaben a – der Annäherung an die genaue Zahl. Eine ungefähre Zahl ist eine Zahl, die geringfügig von der genauen Zahl abweicht und diese in Berechnungen normalerweise ersetzt. Dann sieht die Formel so aus:

Δa=A-a. Wie man den absoluten Fehler anhand der Formel ermittelt, haben wir oben besprochen.

In der Praxis reicht der absolute Fehler nicht aus, um die Messung genau auszuwerten. Es ist selten möglich, den Wert der gemessenen Größe genau zu kennen, um den absoluten Fehler zu berechnen. Wenn Sie ein 20 cm langes Buch messen und einen Fehler von 1 cm zulassen, können Sie das Maß mit einem großen Fehler ablesen. Wenn jedoch bei der Messung einer Wand von 20 Metern ein Fehler von 1 cm gemacht wurde, kann diese Messung als möglichst genau angesehen werden. Daher kommt in der Praxis der Bestimmung des relativen Messfehlers eine größere Bedeutung zu.

Notieren Sie den absoluten Fehler der Zahl mit dem ±-Zeichen. Zum Beispiel Die Länge der Tapetenrolle beträgt 30 m ± 3 cm. Die Grenze des absoluten Fehlers wird als limitierender absoluter Fehler bezeichnet.

Relativer Fehler

Relativer Fehler nennt man das Verhältnis des absoluten Fehlers einer Zahl zur Zahl selbst. Um den relativen Fehler im Studentenbeispiel zu berechnen, dividieren Sie 26 durch 374. Wir erhalten die Zahl 0,0695, wandeln sie in einen Prozentsatz um und erhalten 6 %. Der relative Fehler wird in Prozent angegeben, da es sich um eine dimensionslose Größe handelt. Der relative Fehler ist eine genaue Schätzung des Messfehlers. Wenn wir bei der Messung der Länge von Segmenten von 10 cm und 10 m einen absoluten Fehler von 1 cm annehmen, betragen die relativen Fehler 10 % bzw. 0,1 %. Bei einem Segment mit einer Länge von 10 cm ist der Fehler von 1 cm sehr groß, das entspricht einem Fehler von 10 %. Und bei einem Zehn-Meter-Abschnitt spielt 1 cm keine Rolle, sondern nur 0,1 %.

Es gibt systematische und zufällige Fehler. Der systematische Fehler ist der Fehler, der bei wiederholten Messungen unverändert bleibt. Zufällige Fehler entstehen durch den Einfluss externer Faktoren auf den Messprozess und können seinen Wert verändern.

Regeln zur Berechnung von Fehlern

Für die nominale Fehlerschätzung gibt es mehrere Regeln:

• Beim Addieren und Subtrahieren von Zahlen müssen deren absolute Fehler addiert werden.
• beim Dividieren und Multiplizieren von Zahlen ist es erforderlich, relative Fehler zu addieren;
• Bei der Potenzierung wird der relative Fehler mit dem Exponenten multipliziert.

Ungefähre und genaue Zahlen werden mit Dezimalbrüchen geschrieben. Es wird nur der Durchschnittswert genommen, da der genaue Wert unendlich lang sein kann. Um zu verstehen, wie man diese Zahlen schreibt, müssen Sie die richtigen und zweifelhaften Zahlen kennen.

Wahre Zahlen sind Zahlen, deren Ziffer den absoluten Fehler der Zahl überschreitet. Wenn die Ziffer der Ziffer kleiner als der absolute Fehler ist, wird sie als zweifelhaft bezeichnet. Zum Beispiel , für einen Bruchteil von 3,6714 mit einem Fehler von 0,002 sind die Zahlen 3,6,7 richtig und 1 und 4 zweifelhaft. Nur die richtigen Zahlen bleiben in der Aufzeichnung der ungefähren Zahl übrig. Der Bruch sieht in diesem Fall so aus: 3,67.

Einer der meisten wichtige Themen In der numerischen Analysis geht es um die Frage, wie sich ein Fehler, der an einer bestimmten Stelle im Verlauf von Berechnungen auftritt, weiter ausbreitet, das heißt, ob sein Einfluss bei der Ausführung nachfolgender Operationen größer oder kleiner wird. Ein Extremfall ist die Subtraktion zweier nahezu gleicher Zahlen: Selbst bei sehr kleinen Fehlern dieser beiden Zahlen kann der relative Fehler der Differenz sehr groß sein. Ein solcher relativer Fehler wird sich bei allen nachfolgenden Rechenoperationen weiter ausbreiten.

Eine der Quellen für Rechenfehler (Fehler) ist die ungefähre Darstellung reeller Zahlen in einem Computer aufgrund der Endlichkeit des Bitgitters. Obwohl die Ausgangsdaten in einem Computer mit hoher Genauigkeit dargestellt werden, kann die Anhäufung von Rundungsfehlern beim Zählvorgang zu einem erheblichen resultierenden Fehler führen, und einige Algorithmen können sich für echte Berechnungen auf einem Computer als völlig ungeeignet erweisen. Erfahren Sie mehr über die Darstellung reeller Zahlen in einem Computer.

Ausbreitung von Fehlern

Als erster Schritt bei der Lösung eines solchen Problems wie der Fehlerausbreitung ist es notwendig, Ausdrücke für die absoluten und relativen Fehler des Ergebnisses jeder der vier arithmetischen Operationen als Funktion der an der Operation beteiligten Größen und ihrer Fehler zu finden.

Absoluter Fehler

Zusatz

Es gibt zwei Näherungen und zu zwei Größen und sowie die entsprechenden absoluten Fehler und . Dann haben wir als Ergebnis der Addition

.

Der Summenfehler, den wir mit bezeichnen, ist gleich

.

Subtraktion

Auf die gleiche Weise erhalten wir

.

Multiplikation

Wenn wir multiplizieren, haben wir

.

Da die Fehler meist deutlich kleiner sind als die Werte selbst, vernachlässigen wir das Produkt der Fehler:

.

Der Produktfehler wird sein

.

Aufteilung

.

Wir transformieren diesen Ausdruck in die Form

.

Der Faktor in Klammern kann zu einer Reihe erweitert werden

.

Wenn wir alle Terme multiplizieren und vernachlässigen, die Produkte von Fehlern oder Fehlergrade enthalten, die höher als der erste sind, haben wir

.

Somit,

.

Es muss klar sein, dass das Vorzeichen des Fehlers nur in sehr seltenen Fällen bekannt ist. Es ist zum Beispiel keine Tatsache, dass der Fehler bei der Addition zunimmt und bei der Subtraktion abnimmt, denn in der Formel gibt es für die Addition ein Plus und für die Subtraktion ein Minus. Wenn beispielsweise die Fehler zweier Zahlen entgegengesetzte Vorzeichen haben, ist die Situation genau umgekehrt, das heißt, der Fehler nimmt beim Addieren ab und zu, wenn diese Zahlen subtrahiert werden.

Relativer Fehler

Nachdem wir die Formeln für die Ausbreitung absoluter Fehler in vier Rechenoperationen abgeleitet haben, ist es recht einfach, die entsprechenden Formeln für relative Fehler abzuleiten. Für die Addition und Subtraktion wurden die Formeln geändert, um den relativen Fehler jeder ursprünglichen Zahl explizit einzubeziehen.

Zusatz

.

Subtraktion

.

Multiplikation

.

Aufteilung

.

Wir beginnen die Rechenoperation mit zwei Näherungswerten und mit den entsprechenden Fehlern und . Diese Fehler können beliebigen Ursprungs sein. Bei den Werten und kann es sich um experimentelle Ergebnisse handeln, die Fehler enthalten; Sie können das Ergebnis einer Vorberechnung nach einem unendlichen Prozess sein und daher Einschränkungsfehler enthalten. Sie können das Ergebnis früherer Rechenoperationen sein und Rundungsfehler enthalten. Selbstverständlich können sie auch alle drei Fehlerarten in verschiedenen Kombinationen enthalten.

Die obigen Formeln geben einen Ausdruck für den Fehler des Ergebnisses jeder der vier arithmetischen Operationen als Funktion von ; Rundungsfehler in dieser arithmetischen Operation while nicht berücksichtigt. Wenn in Zukunft berechnet werden muss, wie sich der Fehler dieses Ergebnisses in nachfolgenden Rechenoperationen ausbreitet, muss der Fehler des Ergebnisses berechnet werden, das nach einer der vier Formeln berechnet wird Rundungsfehler separat hinzufügen.

Diagramme von Rechenprozessen

Betrachten wir nun eine bequeme Möglichkeit, die Fehlerausbreitung in einer arithmetischen Berechnung zu berechnen. Zu diesem Zweck werden wir den Ablauf einer Berechnung mit abbilden zählen und wir werden Koeffizienten in die Nähe der Pfeile des Diagramms schreiben, was es uns ermöglicht, den Gesamtfehler des Endergebnisses relativ einfach zu bestimmen. Der Vorteil dieser Methode besteht auch darin, dass sich auf einfache Weise ermitteln lässt, welchen Beitrag etwaige bei Berechnungen aufgetretene Fehler zum Gesamtfehler leisten.

Abb.1. Berechnungsprozessdiagramm

An Abb.1 Es wird ein Diagramm des Berechnungsprozesses dargestellt. Die Grafik sollte von unten nach oben gelesen werden und dabei den Pfeilen folgen. Zuerst werden Operationen ausgeführt, die sich auf einer horizontalen Ebene befinden, danach Operationen, die sich auf einer höheren Ebene befinden hohes Level usw. Aus Abb. 1 geht beispielsweise hervor, dass X Und j zuerst addiert und dann mit multipliziert z. Die in gezeigte Grafik Abb.1 ist nur ein Abbild des Rechenprozesses selbst. Um den Gesamtfehler des Ergebnisses zu berechnen, muss dieses Diagramm mit Koeffizienten ergänzt werden, die gemäß den folgenden Regeln in die Nähe der Pfeile geschrieben werden.

Zusatz

Lassen Sie zwei Pfeile, die in den Additionskreis eintreten, zwei Kreise mit den Werten und verlassen. Diese Größen können sowohl Ausgangsgrößen als auch Ergebnisse früherer Berechnungen sein. Dann erhält der Pfeil, der vom +-Zeichen im Kreis führt, den Koeffizienten, während der Pfeil, der vom +-Zeichen im Kreis führt, den Koeffizienten erhält.

Subtraktion

Wenn die Operation ausgeführt wird, erhalten die entsprechenden Pfeile Koeffizienten und .

Multiplikation

Beide im Multiplikationskreis enthaltenen Pfeile erhalten einen Faktor von +1.

Aufteilung

Wenn eine Division durchgeführt wird, erhält der Pfeil vom umkreisten Schrägstrich den Faktor +1 und der Pfeil vom umkreisten Schrägstrich den Faktor −1.

Die Bedeutung aller dieser Koeffizienten ist wie folgt: Der relative Fehler des Ergebnisses einer Operation (Kreis) geht in das Ergebnis der nächsten Operation ein, multipliziert mit den Koeffizienten des Pfeils, der diese beiden Operationen verbindet.

Beispiele

Abb.2. Diagramm des Berechnungsprozesses für die Addition , und

Wenden wir nun die Graphentechnik an Beispielen an und veranschaulichen, was Fehlerfortpflanzung in praktischen Berechnungen bedeutet.

Beispiel 1

Betrachten Sie das Problem der Addition von vier positiven Zahlen:

, .

Das Diagramm dieses Prozesses ist in dargestellt Abb.2. Nehmen wir an, dass alle Anfangswerte exakt angegeben sind und keine Fehler aufweisen, und seien , und die relativen Rundungsfehler nach jeder weiteren Additionsoperation. Die sukzessive Anwendung der Regel zur Berechnung des Gesamtfehlers des Endergebnisses führt zur Formel

.

Wenn wir die Summe im ersten Term reduzieren und den gesamten Ausdruck mit multiplizieren, erhalten wir

.

Vorausgesetzt, der Rundungsfehler beträgt (in diesem Fall wird davon ausgegangen, dass die reelle Zahl im Computer als dargestellt wird). Dezimalbruch Mit T bedeutende Zahlen), haben wir endlich

Absolute und relative Fehler

Fehler wie Mittelwert (J), quadratischer Mittelwert ( M), wahrscheinlich ( R), true (D) und limit (D usw) sind absolute Fehler. Sie werden immer in Einheiten der gemessenen Größe ausgedrückt, d. h. haben die gleiche Dimension wie der Messwert.
Es kommt häufig vor, dass Objekte unterschiedlicher Größe mit den gleichen absoluten Fehlern gemessen werden. Zum Beispiel durchschnittlich quadratischer Fehler Leitungslängenmessungen: l 1 = 100 m und l 2 \u003d 1000 m, betrug M\u003d 5 cm. Es stellt sich die Frage: Welche Linie wurde genauer gemessen? Um Unsicherheiten zu vermeiden, wird die Messgenauigkeit mehrerer Größen als Verhältnis geschätzt Absoluter Fehler auf den Wert der gemessenen Größe. Das resultierende Verhältnis wird als relativer Fehler bezeichnet und wird normalerweise als Bruch mit einem Zähler gleich eins ausgedrückt.
Der Name des absoluten Fehlers bestimmt auch den Namen des entsprechenden relativen Messfehlers [1].

Lassen X- das Ergebnis der Messung eines Werts. Dann
- mittlerer quadratischer relativer Fehler;

Durchschnittlicher relativer Fehler;

Wahrscheinlicher relativer Fehler;

Wahrer relativer Fehler;

Begrenzen Sie den relativen Fehler.

Nenner N Der relative Fehler muss auf zwei aufgerundet werden bedeutende Zahlen mit Nullen:

mx= 0,3 m; X= 152,0 m;

mx= 0,25 m; X= 643,00 m; .

mx= 0,033 m; X= 795.000 m;

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, sind die Messungen umso genauer, je größer der Nenner des Bruchs ist.

Rundungsfehler

Bei der Verarbeitung von Messergebnissen spielen Rundungsfehler eine wichtige Rolle, die aufgrund ihrer Eigenschaften auf Zufallsvariablen zurückzuführen sind [2]:

1) der maximale Fehler einer Rundung beträgt 0,5 Einheiten des beibehaltenen Vorzeichens;

2) Rundungsfehler größerer und kleinerer Absolutwerte sind gleichermaßen möglich;
3) positive und negative Rundungsfehler sind gleichermaßen möglich;
4) Die mathematische Erwartung von Rundungsfehlern ist Null.
Diese Eigenschaften ermöglichen es, Rundungsfehler gleichmäßig verteilten Zufallsvariablen zuzuordnen. Kontinuierliche Zufallsvariable X hat eine gleichmäßige Verteilung auf dem Intervall [ a, b], wenn die Verteilungsdichte der Zufallsvariablen in diesem Intervall konstant ist und außerhalb davon gleich Null ist (Abb. 2), d. h.

J (X) . (1.32)

Verteilungsfunktion F(X)

a b x(1.33)

Reis. 2 Mathematische Erwartung

(1.34)

Streuung
(1.35)

Standardabweichung

(1.36)

Für Rundungsfehler