Methode zur Variation einer beliebigen Konstante zur Lösung linearer inhomogener Gleichungen. Methode zur Variation beliebiger Konstanten

Betrachten Sie eine lineare inhomogene Differentialgleichung erster Ordnung:
(1) .
Es gibt drei Möglichkeiten, diese Gleichung zu lösen:

• Methode der Variation der Konstante (Lagrange).

Betrachten wir die Lösung einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung nach der Lagrange-Methode.

Methode zur Variation der Konstante (Lagrange)

Bei der Variation der Konstantenmethode lösen wir die Gleichung in zwei Schritten. Im ersten Schritt vereinfachen wir die ursprüngliche Gleichung und lösen eine homogene Gleichung. Im zweiten Schritt ersetzen wir die im ersten Schritt der Lösung erhaltene Integrationskonstante durch eine Funktion. Dann suchen wir nach einer allgemeinen Lösung der ursprünglichen Gleichung.

Betrachten Sie die Gleichung:
(1)

Schritt 1: Lösen einer homogenen Gleichung

Auf der Suche nach einer Lösung homogene Gleichung:

Dies ist eine trennbare Gleichung

Wir trennen die Variablen – multiplizieren mit dx, dividieren durch y:

Integrieren wir:

Integral über y - tabellarisch:

Dann

Potenzieren wir:

Ersetzen wir die Konstante e C durch C und entfernen wir das Modulzeichen, was auf die Multiplikation mit einer Konstante hinausläuft ±1, die wir in C aufnehmen werden:

Schritt 2 Ersetzen Sie die Konstante C durch die Funktion

Ersetzen wir nun die Konstante C durch eine Funktion von x:
C → u (X)
Das heißt, wir werden nach einer Lösung für die ursprüngliche Gleichung suchen (1) in der Form:
(2)
Die Ableitung finden.

Nach der Differenzierungsregel einer komplexen Funktion:
.
Nach der Produktdifferenzierungsregel:

.
In die ursprüngliche Gleichung einsetzen (1) :
(1) ;

.
Zwei Mitglieder werden reduziert:
;
.
Integrieren wir:
.
Einwechseln (2) :
.
Als Ergebnis erhalten wir eine allgemeine Lösung einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung:
.

Ein Beispiel für die Lösung einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung mit der Lagrange-Methode

Lösen Sie die Gleichung

Lösung

Wir lösen die homogene Gleichung:

Wir trennen die Variablen:

Multiplizieren mit:

Integrieren wir:

Tabellarische Integrale:

Potenzieren wir:

Ersetzen wir die Konstante e C durch C und entfernen wir die Modulzeichen:

Von hier:

Ersetzen wir die Konstante C durch eine Funktion von x:
C → u (X)

Finden der Ableitung:
.
Setzen Sie in die ursprüngliche Gleichung ein:
;
;
Oder:
;
.
Integrieren wir:
;
Lösung der Gleichung:
.

Betrachten Sie eine lineare inhomogene Differentialgleichung mit konstante Koeffizienten beliebige n-te Ordnung:
(1) .
Die Methode der Variation einer Konstante, die wir für eine Gleichung erster Ordnung betrachtet haben, ist auch für Gleichungen höherer Ordnung anwendbar.

Die Lösung erfolgt in zwei Schritten. Im ersten Schritt verwerfen wir die rechte Seite und lösen die homogene Gleichung. Als Ergebnis erhalten wir eine Lösung mit n beliebigen Konstanten. Im zweiten Schritt variieren wir die Konstanten. Das heißt, wir betrachten diese Konstanten als Funktionen der unabhängigen Variablen x und finden die Form dieser Funktionen.

Wir betrachten hier zwar Gleichungen mit konstanten Koeffizienten, aber Die Methode von Lagrange ist auch auf die Lösung beliebiger linearer Probleme anwendbar inhomogene Gleichungen . Dazu muss es allerdings bekannt sein grundlegendes System Lösungen einer homogenen Gleichung.

Schritt 1. Lösung der homogenen Gleichung

Wie bei Gleichungen erster Ordnung suchen wir zunächst nach einer allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung, indem wir die rechte Hand gleichsetzen heterogener Teil auf Null:
(2) .
Die allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet:
(3) .
Hier sind beliebige Konstanten; - n linear unabhängige Entscheidungen homogene Gleichung (2), die ein grundlegendes Lösungssystem dieser Gleichung bilden.

Schritt 2. Variation von Konstanten – Ersetzen von Konstanten durch Funktionen

Im zweiten Schritt beschäftigen wir uns mit der Variation von Konstanten. Mit anderen Worten, wir ersetzen die Konstanten durch Funktionen der unabhängigen Variablen x:
.
Das heißt, wir suchen nach einer Lösung der ursprünglichen Gleichung (1) in der folgenden Form:
(4) .

Wenn wir (4) in (1) einsetzen, erhalten wir eine Differentialgleichung für n Funktionen. In diesem Fall können wir diese Funktionen mit zusätzlichen Gleichungen verbinden. Dann erhält man n Gleichungen, aus denen sich n Funktionen bestimmen lassen. Zusätzliche Gleichungen können geschrieben werden

auf verschiedene Weise . Aber wir werden dies tun, damit die Lösung die einfachste Form hat. Dazu müssen Sie beim Differenzieren die Terme, die Ableitungen der Funktionen enthalten, mit Null gleichsetzen. Lassen Sie uns das demonstrieren.
.
Um die vorgeschlagene Lösung (4) in die ursprüngliche Gleichung (1) einzusetzen, müssen wir die ersten Ableitungen n-ter Ordnung der in der Form (4) geschriebenen Funktion finden. Wir differenzieren (4) mit

.
Regeln zur Differenzierung von Summen
(5.1) .
und funktioniert:
(6.1) .

Lassen Sie uns die Mitglieder gruppieren. Zuerst schreiben wir die Terme mit Ableitungen von auf und dann die Terme mit Ableitungen von:

.
Stellen wir den Funktionen die erste Bedingung auf:
(5.2) .
Dann
(6.2) .
Dann hat der Ausdruck für die erste Ableitung nach eine einfachere Form: Mit der gleichen Methode finden wir die zweite Ableitung: Stellen wir den Funktionen eine zweite Bedingung auf:

Und so weiter. IN
zusätzliche Bedingungen ,
setzen wir Terme, die Ableitungen von Funktionen enthalten, mit Null gleich.
Wenn wir also die folgenden zusätzlichen Gleichungen für die Funktionen wählen: .
(5.k)

Finden Sie die n-te Ableitung:
(6.n)
.

Setzen Sie in die ursprüngliche Gleichung (1) ein:
(1) ;






.
Berücksichtigen wir, dass alle Funktionen Gleichung (2) erfüllen:
.
Dann ergibt die Summe der Terme, die Null enthalten, Null. Als Ergebnis erhalten wir:
(7) .

Als Ergebnis erhielten wir ein System linearer Gleichungen für Ableitungen:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Wenn wir dieses System lösen, finden wir Ausdrücke für Ableitungen als Funktion von x.
.
Durch Integrieren erhalten wir:

Hier sind Konstanten, die nicht mehr von x abhängen. Durch Einsetzen in (4) erhalten wir eine allgemeine Lösung der ursprünglichen Gleichung. Beachten Sie, dass wir zur Bestimmung der Werte der Ableitungen nie die Tatsache genutzt haben, dass die Koeffizienten a i konstant sind. Deshalb Die Methode von Lagrange ist zur Lösung beliebiger linearer inhomogener Gleichungen anwendbar

, wenn das grundlegende Lösungssystem der homogenen Gleichung (2) bekannt ist.

Beispiele

Lösen Sie Gleichungen mit der Methode der Variation von Konstanten (Lagrange).

Theoretisches Minimum
In der Theorie der Differentialgleichungen gibt es eine Methode, die einen recht hohen Grad an Universalität für diese Theorie beansprucht.
Wir sprechen über die Methode der Variation einer beliebigen Konstante, die auf die Lösung verschiedener Klassen von Differentialgleichungen und deren Anwendung anwendbar ist
Systeme Dies ist genau dann der Fall, wenn die Theorie – wenn wir die Beweise der Aussagen aus Klammern herausnehmen – minimal ist, uns aber zu erreichen erlaubt

signifikante Ergebnisse, daher wird der Schwerpunkt auf Beispielen liegen.
Die allgemeine Idee der Methode ist recht einfach zu formulieren. Lassen Sie die gegebene Gleichung (Gleichungssystem) schwer zu lösen oder sogar unverständlich sein,
wie man es löst. Es ist jedoch klar, dass die Gleichung gelöst werden kann, indem einige Terme aus der Gleichung entfernt werden. Dann lösen sie genau das vereinfacht
Gleichung (System) erhalten wir eine Lösung, die eine bestimmte Anzahl beliebiger Konstanten enthält – abhängig von der Ordnung der Gleichung (der Zahl).
Gleichungen im System). Dann wird angenommen, dass die Konstanten in der gefundenen Lösung nicht tatsächlich Konstanten sind;
in die ursprüngliche Gleichung (das ursprüngliche Gleichungssystem) eingesetzt wird, erhält man eine Differentialgleichung (oder ein Gleichungssystem) zur Bestimmung der „Konstanten“.
Es gibt eine gewisse Besonderheit bei der Anwendung der Methode der Variation einer beliebigen Konstante auf verschiedene Probleme, aber das sind bereits Besonderheiten, die es tun werden

anhand von Beispielen demonstriert.
.
Betrachten wir separat die Lösung linearer inhomogener Gleichungen höherer Ordnung, d.h. Gleichungen der Form
dieser Gleichung. Nehmen wir an, dass eine allgemeine Lösung der homogenen Gleichung bereits gefunden wurde, nämlich ein fundamentales Lösungssystem (FSS) konstruiert wurde
. Dann ist die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung gleich.
Wir müssen eine bestimmte Lösung für die inhomogene Gleichung finden. Zu diesem Zweck werden Konstanten als von einer Variablen abhängig betrachtet.
Als nächstes müssen Sie das Gleichungssystem lösen
.
Die Theorie garantiert, dass dieses System algebraische Gleichungen Für Ableitungen von Funktionen gibt es eine eindeutige Lösung.
Beim Finden der Funktionen selbst tauchen die Integrationskonstanten nicht auf: Schließlich wird nach einer beliebigen Lösung gesucht.

Bei der Lösung von Systemen linearer inhomogener Gleichungen erster Ordnung der Form

Der Algorithmus bleibt nahezu unverändert. Zuerst müssen Sie den entsprechenden FSR finden homogenes System Gleichungen erstellen eine Fundamentalmatrix
System, dessen Spalten die Elemente des FSR darstellen. Als nächstes wird die Gleichung aufgestellt
.
Beim Lösen des Systems bestimmen wir die Funktionen und finden so eine bestimmte Lösung für das ursprüngliche System
(Die Fundamentalmatrix wird mit der Spalte der gefundenen Funktionen multipliziert).
Wir fügen es der allgemeinen Lösung des entsprechenden Systems homogener Gleichungen hinzu, das auf der Grundlage des bereits gefundenen FSR konstruiert wird.
Man erhält die allgemeine Lösung des ursprünglichen Systems.

Beispiele.

Beispiel 1. Lineare inhomogene Gleichungen erster Ordnung.

Betrachten wir die entsprechende homogene Gleichung (wir bezeichnen die gewünschte Funktion):
.
Diese Gleichung lässt sich leicht mit der Methode der Variablentrennung lösen:

.
Stellen wir uns nun die Lösung der ursprünglichen Gleichung in der Form vor , wo die Funktion noch nicht gefunden wurde.
Wir setzen diese Art von Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein:
.
Wie Sie sehen können, heben sich der zweite und dritte Term auf der linken Seite gegenseitig auf – das ist charakteristisches Merkmal Methode zur Variation einer beliebigen Konstante.

Hier handelt es sich bereits um eine wirklich willkürliche Konstante. Daher,
.

Beispiel 2. Bernoulli-Gleichung.

Wir gehen analog zum ersten Beispiel vor – wir lösen die Gleichung

Methode der Variablentrennung. Es stellt sich heraus, dass wir nach einer Lösung für die ursprüngliche Gleichung im Formular suchen
.
Wir setzen diese Funktion in die ursprüngliche Gleichung ein:
.
Und wieder kommt es zu den Kürzungen:
.
Dabei ist darauf zu achten, dass bei der Division durch die Lösung nicht verloren geht. Und die Lösung des Originals entspricht dem Fall
Gleichungen Erinnern wir uns daran. Also,
.
Schreiben wir es auf.
Das ist die Lösung. Beim Aufschreiben der Antwort sollten Sie auch die zuvor gefundene Lösung angeben, da diese keinem endgültigen Wert entspricht
Konstanten

Beispiel 3. Lineare inhomogene Gleichungen höherer Ordnung.

Wir stellen sofort fest, dass diese Gleichung einfacher gelöst werden kann, es ist jedoch praktisch, die Methode damit zu demonstrieren. Obwohl einige Vorteile
Auch in diesem Beispiel hat die Variationsmethode eine beliebige Konstante.
Sie müssen also mit dem FSR der entsprechenden homogenen Gleichung beginnen. Erinnern wir uns daran, dass zur Ermittlung des FSR eine charakteristische Kurve erstellt wird
Gleichung
.
Somit ist die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung
.
Die hier enthaltenen Konstanten müssen variiert werden. Ein System erschaffen

Die Methode der Variation einer beliebigen Konstante oder die Lagrange-Methode ist eine weitere Möglichkeit, lineare Differentialgleichungen erster Ordnung und die Bernoulli-Gleichung zu lösen.

Linear Differentialgleichungen erster Ordnung sind Gleichungen der Form y’+p(x)y=q(x). Wenn auf der rechten Seite eine Null steht: y’+p(x)y=0, dann ist dies eine Lineare homogen Gleichung 1. Ordnung. Dementsprechend eine Gleichung mit ungleich Null rechte Seite, y’+p(x)y=q(x), – heterogen lineare Gleichung 1. Ordnung.

Methode zur Variation einer beliebigen Konstante (Lagrange-Methode) ist wie folgt:

1) Wir suchen nach einer allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung y’+p(x)y=0: y=y*.

2) In der allgemeinen Lösung betrachten wir C nicht als Konstante, sondern als Funktion von x: C = C (x). Wir finden die Ableitung der allgemeinen Lösung (y*)‘ und setzen den resultierenden Ausdruck für y* und (y*)‘ in die Anfangsbedingung ein. Aus der resultierenden Gleichung finden wir die Funktion C(x).

3) In der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung ersetzen wir anstelle von C den gefundenen Ausdruck C(x).

Schauen wir uns Beispiele für die Methode zum Variieren einer beliebigen Konstante an. Nehmen wir die gleichen Aufgaben wie in, vergleichen wir den Fortschritt der Lösung und stellen wir sicher, dass die erhaltenen Antworten übereinstimmen.

1) y’=3x-y/x

Schreiben wir die Gleichung in Standardform um (im Gegensatz zur Bernoulli-Methode, bei der wir die Notationsform nur brauchten, um zu sehen, dass die Gleichung linear ist).

y’+y/x=3x (I). Nun geht es nach Plan weiter.

1) Lösen Sie die homogene Gleichung y’+y/x=0. Dies ist eine Gleichung mit trennbaren Variablen. Stellen Sie sich y’=dy/dx vor, ersetzen Sie: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit dx und dividieren durch xy≠0: dy/y=-dx/x. Integrieren wir:

2) In der resultierenden allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung betrachten wir C nicht als Konstante, sondern als Funktion von x: C=C(x). Von hier

Wir setzen die resultierenden Ausdrücke in Bedingung (I) ein:

Integrieren wir beide Seiten der Gleichung:

hier ist C bereits eine neue Konstante.

3) In der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung y=C/x, bei der wir C=C(x) angenommen haben, also y=C(x)/x, ersetzen wir anstelle von C(x) den gefundenen Ausdruck x³ +C: y=(x³ +C)/x oder y=x²+C/x. Wir erhielten die gleiche Antwort wie bei der Lösung nach der Bernoulli-Methode.

Antwort: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Hier ist die Gleichung bereits in Standardform geschrieben; eine Transformation ist nicht erforderlich.

1) Lösen Sie die homogene lineare Gleichung y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integrieren wir:

Um eine bequemere Form der Notation zu erhalten, nehmen wir den Exponenten hoch C als neues C:

Diese Transformation wurde durchgeführt, um das Finden der Ableitung einfacher zu machen.

2) In der resultierenden allgemeinen Lösung der linearen homogenen Gleichung betrachten wir C nicht als Konstante, sondern als Funktion von x: C=C(x). Unter dieser Bedingung

Wir setzen die resultierenden Ausdrücke y und y‘ in die Bedingung ein:

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit

Wir integrieren beide Seiten der Gleichung mithilfe der Teileintegrationsformel und erhalten:

Hier ist C keine Funktion mehr, sondern eine gewöhnliche Konstante.

3) In der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung

Ersetzen Sie die gefundene Funktion C(x):

Wir erhielten die gleiche Antwort wie bei der Lösung nach der Bernoulli-Methode.

Die Methode der Variation einer beliebigen Konstante ist auch zur Lösung anwendbar.

y'x+y=-xy².

Wir bringen die Gleichung in die Standardform: y’+y/x=-y² (II).

1) Lösen Sie die homogene Gleichung y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit dx und dividieren durch y: dy/y=-dx/x. Jetzt integrieren wir:

Wir setzen die resultierenden Ausdrücke in Bedingung (II) ein:

Vereinfachen wir:

Wir haben eine Gleichung mit trennbaren Variablen für C und x erhalten:

Hier ist C bereits eine gewöhnliche Konstante. Während des Integrationsprozesses haben wir einfach C statt C(x) geschrieben, um die Notation nicht zu überladen. Und am Ende kehrten wir zu C(x) zurück, um C(x) nicht mit dem neuen C zu verwechseln.

3) In der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung y=C(x)/x ersetzen wir die gefundene Funktion C(x):

Wir haben die gleiche Antwort erhalten wie bei der Lösung mit der Bernoulli-Methode.

Beispiele für Selbsttests:

1. Schreiben wir die Gleichung in der Standardform um: y’-2y=x.

1) Lösen Sie die homogene Gleichung y’-2y=0. y’=dy/dx, also dy/dx=2y, multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dx, dividiere durch y und integriere:

Von hier aus finden wir y:

Wir ersetzen die Ausdrücke für y und y’ in der Bedingung (der Kürze halber verwenden wir C anstelle von C(x) und C’ anstelle von C“(x)):

Um das Integral auf der rechten Seite zu finden, verwenden wir die Formel für die partielle Integration:

Jetzt setzen wir u, du und v in die Formel ein:

Hier ist C =const.

3) Jetzt setzen wir homogen in die Lösung ein

Die Methode der Variation beliebiger Konstanten wird zur Lösung inhomogener Differentialgleichungen verwendet. Diese Lektion richtet sich an Studierende, die sich bereits mehr oder weniger gut mit dem Thema auskennen. Wenn Sie gerade erst anfangen, sich mit der Fernbedienung vertraut zu machen, d. h. Wenn Sie eine Teekanne sind, empfehle ich, mit der ersten Lektion zu beginnen: Differentialgleichungen erster Ordnung. Beispiele für Lösungen. Und wenn Sie bereits am Ende sind, verwerfen Sie bitte das mögliche Vorurteil, die Methode sei schwierig. Weil es einfach ist.

In welchen Fällen wird die Methode der Variation beliebiger Konstanten verwendet?

1) Zur Lösung kann die Methode der Variation einer beliebigen Konstante verwendet werden lineares inhomogenes DE 1. Ordnung. Da die Gleichung erster Ordnung ist, ist auch die Konstante eins.

2) Zur Lösung einiger wird die Methode der Variation beliebiger Konstanten verwendet lineare inhomogene Gleichungen zweiter Ordnung. Hier variieren zwei Konstanten.

Es ist logisch anzunehmen, dass die Lektion aus zwei Absätzen bestehen wird... Also habe ich diesen Satz geschrieben und etwa 10 Minuten lang schmerzhaft darüber nachgedacht, zu welchem ​​anderen cleveren Mist ich noch hinzufügen könnte, um einen reibungslosen Übergang zu ermöglichen praktische Beispiele. Aber aus irgendeinem Grund habe ich nach den Feiertagen keine Gedanken mehr, obwohl ich anscheinend nichts missbraucht habe. Kommen wir daher gleich zum ersten Absatz.

Methode zur Variation einer beliebigen Konstante
für eine lineare inhomogene Gleichung erster Ordnung

Bevor Sie sich mit der Variationsmethode einer beliebigen Konstante befassen, sollten Sie sich mit dem Artikel vertraut machen Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung. In dieser Lektion haben wir geübt erste Lösung inhomogenes DE 1. Ordnung. Ich erinnere Sie daran, dass diese erste Lösung aufgerufen wird Ersatzmethode oder Bernoulli-Methode(nicht zu verwechseln mit Bernoulli-Gleichung!!!)

Jetzt werden wir schauen zweite Lösung– Methode zur Variation einer beliebigen Konstante. Ich werde nur drei Beispiele nennen und diese aus der oben genannten Lektion übernehmen. Warum so wenig? Denn tatsächlich wird die Lösung auf dem zweiten Weg der Lösung auf dem ersten Weg sehr ähnlich sein. Darüber hinaus wird nach meinen Beobachtungen die Methode der Variation beliebiger Konstanten seltener verwendet als die Ersetzungsmethode.

Beispiel 1

(Abweichung von Beispiel Nr. 2 der Lektion Lineare inhomogene Differentialgleichungen 1. Ordnung)

Lösung: Diese Gleichung ist linear inhomogen und hat eine bekannte Form:

Im ersten Schritt muss eine einfachere Gleichung gelöst werden:
Das heißt, wir setzen dummerweise die rechte Seite zurück und schreiben stattdessen Null.
Gleichung Ich rufe an Hilfsgleichung.

In diesem Beispiel müssen Sie die folgende Hilfsgleichung lösen:

Vor uns trennbare Gleichung, dessen Lösung (hoffentlich) für Sie nicht mehr schwierig ist:

Daher:
– allgemeine Lösung der Hilfsgleichung.

Im zweiten Schritt wir werden ersetzen einige konstant zur Zeit unbekannte Funktion, die von „x“ abhängt:

Daher der Name der Methode – wir variieren die Konstante. Alternativ könnte die Konstante eine Funktion sein, die wir jetzt finden müssen.

IN Original inhomogene Gleichung Machen wir einen Ersatz:

Ersetzen wir und in die Gleichung ein :

Kontrollpunkt – die beiden Terme auf der linken Seite heben sich auf. Sollte dies nicht der Fall sein, sollten Sie nach dem oben genannten Fehler suchen.

Als Ergebnis der Ersetzung wurde eine Gleichung mit trennbaren Variablen erhalten. Wir trennen die Variablen und integrieren.

Was für ein Segen, die Exponenten streichen auch:

Wir fügen der gefundenen Funktion eine „normale“ Konstante hinzu:

In der letzten Phase erinnern wir uns an unseren Ersatz:

Die Funktion wurde gerade gefunden!

Die allgemeine Lösung lautet also:

Antwort: allgemeine Lösung:

Wenn Sie die beiden Lösungen ausdrucken, werden Sie leicht feststellen, dass wir in beiden Fällen die gleichen Integrale gefunden haben. Der einzige Unterschied besteht im Lösungsalgorithmus.

Nun zu etwas Komplizierterem: Ich werde auch das zweite Beispiel kommentieren:

Beispiel 2

Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
(Abweichung von Beispiel Nr. 8 der Lektion Lineare inhomogene Differentialgleichungen 1. Ordnung)

Lösung: Reduzieren wir die Gleichung auf die Form :

Lassen Sie uns die rechte Seite zurücksetzen und die Hilfsgleichung lösen:

Allgemeine Lösung der Hilfsgleichung:

In der inhomogenen Gleichung führen wir die Ersetzung durch:

Nach der Produktdifferenzierungsregel:

Ersetzen wir und in die ursprüngliche inhomogene Gleichung:

Die beiden Begriffe auf der linken Seite heben sich auf, was bedeutet, dass wir auf dem richtigen Weg sind:

Lassen Sie uns nach Teilen integrieren. Der leckere Buchstabe aus der partiellen Integrationsformel ist bereits in der Lösung enthalten, daher verwenden wir beispielsweise die Buchstaben „a“ und „be“:

Erinnern wir uns nun an den Ersatz:

Antwort: allgemeine Lösung:

Und ein Beispiel für eine unabhängige Lösung:

Beispiel 3

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die der gegebenen Anfangsbedingung entspricht.

,
(Abweichung von Beispiel Nr. 4 der Lektion Lineare inhomogene Differentialgleichungen 1. Ordnung)
Lösung:
Dieses DE ist linear inhomogen. Wir verwenden die Methode der Variation beliebiger Konstanten. Lösen wir die Hilfsgleichung:

Wir trennen die Variablen und integrieren:

Allgemeine Lösung:
In der inhomogenen Gleichung führen wir die Ersetzung durch:

Führen wir die Substitution durch:

Die allgemeine Lösung lautet also:

Finden wir eine bestimmte Lösung, die der gegebenen Anfangsbedingung entspricht:

Antwort: private Lösung:

Die Lösung am Ende der Lektion kann als grobes Beispiel für die Bearbeitung der Aufgabe dienen.

Methode zur Variation beliebiger Konstanten
für eine lineare inhomogene Gleichung zweiter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten

Ich habe oft die Meinung gehört, dass die Methode, beliebige Konstanten für eine Gleichung zweiter Ordnung zu variieren, keine einfache Sache ist. Ich gehe aber von Folgendem aus: Höchstwahrscheinlich erscheint die Methode vielen als schwierig, weil sie nicht so oft vorkommt. In Wirklichkeit gibt es jedoch keine besonderen Schwierigkeiten – der Entscheidungsverlauf ist klar, transparent und verständlich. Und wunderschön.

Um die Methode zu beherrschen, ist es wünschenswert, inhomogene Gleichungen zweiter Ordnung lösen zu können, indem eine bestimmte Lösung basierend auf der Form der rechten Seite ausgewählt wird. Diese Methode ausführlich im Artikel besprochen Inhomogene DEs 2. Ordnung. Wir erinnern uns, dass eine lineare inhomogene Gleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten die Form hat:

Die Auswahlmethode, die in der obigen Lektion besprochen wurde, funktioniert nur in einer begrenzten Anzahl von Fällen, wenn die rechte Seite Polynome, Exponentiale, Sinus und Kosinus enthält. Aber was tun, wenn rechts beispielsweise ein Bruch, ein Logarithmus oder ein Tangens steht? In einer solchen Situation hilft die Methode der Konstantenvariation.

Beispiel 4

Finden Sie die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung

Lösung: Auf der rechten Seite dieser Gleichung befindet sich ein Bruch, sodass wir sofort sagen können, dass die Methode zur Auswahl einer bestimmten Lösung nicht funktioniert. Wir verwenden die Methode der Variation beliebiger Konstanten.

Es gibt keine Anzeichen eines Gewitters; der Beginn der Lösung ist völlig normal:

Wir werden finden allgemeine Lösung geeignet homogen Gleichungen:

Lassen Sie uns komponieren und lösen charakteristische Gleichung:


– Konjugierte komplexe Wurzeln werden erhalten, daher lautet die allgemeine Lösung:

Achten Sie auf die Aufzeichnung der allgemeinen Lösung. Wenn Klammern vorhanden sind, öffnen Sie diese.

Jetzt machen wir fast den gleichen Trick wie bei der Gleichung erster Ordnung: Wir variieren die Konstanten und ersetzen sie durch unbekannte Funktionen. Das heißt, allgemeine Lösung von Inhomogenität Wir suchen nach Gleichungen in der Form:

Wo - zur Zeit unbekannte Funktionen.

Sieht aus wie eine Mülldeponie Hausmüll, aber jetzt klären wir alles.

Die Unbekannten sind die Ableitungen der Funktionen. Unser Ziel ist es, Ableitungen zu finden, und die gefundenen Ableitungen müssen sowohl die erste als auch die zweite Gleichung des Systems erfüllen.

Woher kommen die „Griechen“? Der Storch bringt sie. Wir betrachten die zuvor erhaltene allgemeine Lösung und schreiben:

Finden wir die Ableitungen:

Die linken Teile wurden bearbeitet. Was ist rechts?

- Das rechte Seite die ursprüngliche Gleichung, in diesem Fall:

Der Koeffizient ist der Koeffizient der zweiten Ableitung:

In der Praxis fast immer, und unser Beispiel bildet da keine Ausnahme.

Alles ist klar, jetzt können Sie ein System erstellen:

Das System ist normalerweise gelöst nach Cramers Formeln unter Verwendung eines Standardalgorithmus. Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir anstelle von Zahlen Funktionen haben.

Finden wir die Hauptdeterminante des Systems:

Wenn Sie vergessen haben, wie die Zwei-mal-Zwei-Determinante aufgedeckt wird, lesen Sie die Lektion Wie berechnet man die Determinante? Der Link führt zum Shameboard =)

Also: Das bedeutet, dass das System eine einzigartige Lösung hat.

Finden der Ableitung:

Aber das ist noch nicht alles, bisher haben wir nur die Ableitung gefunden.
Die Funktion selbst wird durch Integration wiederhergestellt:

Schauen wir uns die zweite Funktion an:

Hier fügen wir eine „normale“ Konstante hinzu

Erinnern wir uns im Endstadium der Lösung, in welcher Form wir nach einer allgemeinen Lösung der inhomogenen Gleichung gesucht haben? Dabei:

Die von Ihnen benötigten Funktionen wurden gerade gefunden!

Jetzt müssen Sie nur noch die Substitution durchführen und die Antwort aufschreiben:

Antwort: allgemeine Lösung:

Im Prinzip hätte die Antwort die Klammern erweitern können.

Eine vollständige Antwortprüfung wird mit durchgeführt Standardschema was im Unterricht besprochen wurde Inhomogene DEs 2. Ordnung. Die Überprüfung wird jedoch nicht einfach sein, da es notwendig ist, ziemlich schwere Derivate zu finden und umständliche Substitutionen durchzuführen. Dies ist eine unangenehme Eigenschaft, wenn man solche Diffusoren löst.

Beispiel 5

Lösen Sie eine Differentialgleichung, indem Sie beliebige Konstanten variieren

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Tatsächlich gibt es auf der rechten Seite auch einen Bruch. Erinnern wir uns übrigens an die trigonometrische Formel; sie muss während der Lösung angewendet werden.

Die Methode der Variation beliebiger Konstanten ist die universellste Methode. Es kann jede Gleichung lösen, die gelöst werden kann Methode zur Auswahl einer bestimmten Lösung basierend auf der Form der rechten Seite. Es stellt sich die Frage: Warum nicht auch dort die Methode der Variation beliebiger Konstanten anwenden? Die Antwort liegt auf der Hand: die Auswahl einer bestimmten Lösung, die im Unterricht besprochen wurde Inhomogene Gleichungen zweiter Ordnung, beschleunigt die Lösung erheblich und verkürzt die Aufzeichnung – kein Aufwand mit Determinanten und Integralen.

Schauen wir uns zwei Beispiele mit an Cauchy-Problem.

Beispiel 6

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die den gegebenen Anfangsbedingungen entspricht

,

Lösung: Wieder der Bruch und der Exponent in interessanter Ort.
Wir verwenden die Methode der Variation beliebiger Konstanten.

Wir werden finden allgemeine Lösung geeignet homogen Gleichungen:



– Es werden unterschiedliche reelle Wurzeln erhalten, daher lautet die allgemeine Lösung:

Allgemeine Lösung von Inhomogenität Wir suchen nach Gleichungen in der Form: , wobei – zur Zeit unbekannte Funktionen.

Lassen Sie uns ein System erstellen:

In diesem Fall:
,
Derivate finden:
,

Daher:

Lösen wir das System mit den Formeln von Cramer:
, was bedeutet, dass das System über eine einzigartige Lösung verfügt.

Wir stellen die Funktion durch Integration wieder her:

Wird hier verwendet Methode, eine Funktion unter dem Differentialzeichen zu subsumieren.

Wir stellen die zweite Funktion durch Integration wieder her:

Dieses Integral ist gelöst Variablenersetzungsmethode:

Aus dem Ersatz selbst drücken wir aus:

Daher:

Dieses Integral kann gefunden werden vollständige quadratische Extraktionsmethode, aber bei Beispielen mit Diffusoren ziehe ich es vor, den Anteil zu erweitern Methode der unbestimmten Koeffizienten:

Beide Funktionen gefunden:

Infolgedessen lautet die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung:

Lassen Sie uns eine bestimmte Lösung finden, die die Anfangsbedingungen erfüllt .

Technisch gesehen erfolgt die Suche nach einer Lösung standardmäßig, was im Artikel besprochen wurde Inhomogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Moment, jetzt finden wir die Ableitung der gefundenen allgemeinen Lösung:

Das ist so eine Schande. Es ist nicht notwendig, es zu vereinfachen; es ist einfacher, sofort ein Gleichungssystem zu erstellen. Entsprechend den Anfangsbedingungen :

Ersetzen wir die gefundenen Werte der Konstanten zur allgemeinen Lösung:

In der Antwort können die Logarithmen etwas gepackt werden.

Antwort: private Lösung:

Wie Sie sehen, können bei Integralen und Ableitungen Schwierigkeiten auftreten, nicht jedoch beim Algorithmus selbst für die Methode der Variation beliebiger Konstanten. Nicht ich habe Sie eingeschüchtert, es ist alles Kusnezows Sammlung!

Zur Entspannung noch ein abschließendes, einfacheres Beispiel zum Selbstlösen:

Beispiel 7

Lösen Sie das Cauchy-Problem

,

Das Beispiel ist einfach, aber kreativ. Wenn Sie ein System erstellen, schauen Sie es sich genau an, bevor Sie eine Entscheidung treffen ;-),




Als Ergebnis lautet die allgemeine Lösung:

Finden wir eine bestimmte Lösung, die den Anfangsbedingungen entspricht .



Setzen wir die gefundenen Werte der Konstanten in die allgemeine Lösung ein:

Antwort: private Lösung: