Lösen Sie online ein Gleichungssystem mithilfe der Matrizenrechnung. Matrizen lösen

Matrix-Methode SLAU-Lösungen Wird auf die Lösung von Gleichungssystemen angewendet, bei denen die Anzahl der Gleichungen der Anzahl der Unbekannten entspricht. Die Methode eignet sich am besten zur Lösung von Systemen niedriger Ordnung. Die Matrixmethode zur Lösung linearer Gleichungssysteme basiert auf der Anwendung der Eigenschaften der Matrixmultiplikation.

Mit anderen Worten, diese Methode Methode der inversen Matrix, so genannt, weil sich die Lösung auf eine gewöhnliche Matrixgleichung reduziert, zu deren Lösung Sie die inverse Matrix finden müssen.

Matrixlösungsmethode Ein SLAE mit einer Determinante, die größer oder kleiner als Null ist, lautet wie folgt:

Angenommen, es gibt ein SLE (System linearer Gleichungen) mit N unbekannt (über ein beliebiges Feld):

Dies bedeutet, dass es leicht in Matrixform umgewandelt werden kann:

AX=B, Wo A— die Hauptmatrix des Systems, B Und X— Spalten mit freien Begriffen bzw. Lösungen des Systems:

Lassen Sie uns diese Matrixgleichung von links mit multiplizieren A−1— inverse Matrix zu Matrix A: A −1 (AX)=A −1 B.

Weil A −1 A=E, Bedeutet, X=A −1 B. Richtiger Teil Gleichung gibt die Lösungsspalte des Ausgangssystems an. Voraussetzung für die Anwendbarkeit der Matrixmethode ist die Nichtentartung der Matrix A. Eine notwendige und hinreichende Bedingung hierfür ist, dass die Determinante der Matrix ungleich Null ist A:

detA≠0.

Für homogenes System linearer Gleichungen, d.h. wenn Vektor B=0 gilt die umgekehrte Regel: das System AX=0 Es gibt nur dann eine nicht triviale (d. h. ungleich Null) Lösung, wenn detA=0. Dieser Zusammenhang zwischen Lösungen homogener und inhomogener linearer Gleichungssysteme heißt Fredholm-Alternative.

Somit die Lösung des SLAE Matrixmethode nach Rezept hergestellt . Oder die Lösung für das SLAE wird mithilfe von gefunden inverse Matrix A−1.

Das ist für eine quadratische Matrix bekannt A Befehl N An N Es gibt inverse Matrix A−1 nur wenn seine Determinante ungleich Null ist. Also das System N linear algebraische Gleichungen Mit N Wir lösen Unbekannte nur dann mit der Matrixmethode, wenn die Determinante der Hauptmatrix des Systems ungleich Null ist.

Trotz der Tatsache, dass die Einsatzmöglichkeiten dieser Methode eingeschränkt sind und es bei großen Koeffizienten- und Systemwerten Berechnungsschwierigkeiten gibt hoher Auftrag, kann die Methode leicht auf einem Computer implementiert werden.

Ein Beispiel für die Lösung eines inhomogenen SLAE.

Überprüfen wir zunächst, ob die Determinante der Koeffizientenmatrix unbekannter SLAEs ungleich Null ist.

Jetzt finden wir Gewerkschaftsmatrix, transponieren Sie es und setzen Sie es in die Formel ein, um die inverse Matrix zu bestimmen.

Setzen Sie die Variablen in die Formel ein:

Jetzt finden wir die Unbekannten, indem wir die inverse Matrix und die Spalte der freien Terme multiplizieren.

Also, x=2; y=1; z=4.

Wenn Sie von der üblichen SLAE-Form zur Matrixform wechseln, achten Sie auf die Reihenfolge der unbekannten Variablen in den Gleichungen des Systems. Zum Beispiel:

Es KANN NICHT geschrieben werden als:

Es ist zunächst notwendig, die unbekannten Variablen in jeder Gleichung des Systems zu ordnen und erst danach mit der Matrixschreibweise fortzufahren:

Darüber hinaus müssen Sie bei der Bezeichnung unbekannter Variablen vorsichtig sein x 1, x 2 , …, x n Möglicherweise gibt es noch andere Buchstaben. Z.B:

In Matrixform schreiben wir es so:

Es ist besser, Systeme mit der Matrixmethode zu lösen lineare Gleichungen, bei dem die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der unbekannten Variablen übereinstimmt und die Determinante der Hauptmatrix des Systems ungleich Null ist. Wenn ein System mehr als drei Gleichungen enthält, erfordert das Finden der inversen Matrix mehr Rechenaufwand. Daher ist es in diesem Fall ratsam, zur Lösung die Gaußsche Methode zu verwenden.

Ein System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten ein System der Form genannt

Wo ein ij Und b ich (ich=1,…,M; B=1,…,N) sind einige bekannte Zahlen, und x 1 ,…,x n- Unbekannt. Bei der Bezeichnung von Koeffizienten ein ij erster Index ich bezeichnet die Gleichungsnummer und die zweite J– die Nummer der Unbekannten, bei der dieser Koeffizient steht.

Wir werden die Koeffizienten für die Unbekannten in Form einer Matrix schreiben , die wir nennen werden Matrix des Systems.

Die Zahlen auf der rechten Seite der Gleichungen sind b 1 ,…,b m werden genannt kostenlose Mitglieder.

Gesamtheit N Zahlen c 1 ,…,c n angerufen Entscheidung eines gegebenen Systems, wenn jede Gleichung des Systems zu einer Gleichheit wird, nachdem Zahlen darin eingesetzt wurden c 1 ,…,c n anstelle der entsprechenden Unbekannten x 1 ,…,x n.

Unsere Aufgabe wird es sein, Lösungen für das System zu finden. In diesem Fall können drei Situationen auftreten:

Ein System linearer Gleichungen, das mindestens eine Lösung hat, heißt gemeinsam. Ansonsten, d.h. Wenn das System keine Lösungen hat, wird es aufgerufen nicht gelenkig.

Betrachten wir Möglichkeiten, Lösungen für das System zu finden.

MATRIXVERFAHREN ZUR LÖSUNG VON SYSTEMEN LINEARER GLEICHUNGEN

Matrizen ermöglichen es, ein System linearer Gleichungen kurz aufzuschreiben. Gegeben sei ein System aus 3 Gleichungen mit drei Unbekannten:

Betrachten Sie die Systemmatrix und Matrizenspalten mit unbekannten und freien Begriffen

Lasst uns die Arbeit finden

diese. Als Ergebnis des Produkts erhalten wir die linken Seiten der Gleichungen dieses Systems. Dann verwenden Sie die Definition der Matrixgleichheit dieses System kann in das Formular geschrieben werden

oder kürzer A∙X=B.

Hier sind die Matrizen A Und B bekannt sind, und die Matrix X Unbekannt. Es ist notwendig, es zu finden, weil... Seine Elemente sind die Lösung für dieses System. Diese Gleichung heißt Matrixgleichung.

Die Matrixdeterminante sei von Null verschieden | A| ≠ 0. Dann wird die Matrixgleichung wie folgt gelöst. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung links mit der Matrix A-1, Umkehrung der Matrix A: . Weil das A -1 A = E Und E∙X = X, dann erhalten wir eine Lösung der Matrixgleichung in der Form X = A -1 B .

Beachten Sie, dass die Matrixmethode nur solche Systeme lösen kann, da die inverse Matrix nur für quadratische Matrizen gefunden werden kann die Anzahl der Gleichungen stimmt mit der Anzahl der Unbekannten überein. Eine Matrixaufzeichnung des Systems ist jedoch auch dann möglich, wenn die Anzahl der Gleichungen nicht gleich der Anzahl der Unbekannten ist, also die Matrix A wird nicht quadratisch sein und daher ist es unmöglich, eine Lösung des Systems in der Form zu finden X = A -1 B.

Beispiele. Gleichungssysteme lösen.

CRAMERS REGEL

Betrachten Sie ein System aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten:

Determinante dritter Ordnung, die der Systemmatrix entspricht, d. h. bestehend aus Koeffizienten für Unbekannte,

angerufen Determinante des Systems.

Lassen Sie uns drei weitere Determinanten wie folgt zusammenstellen: Ersetzen Sie nacheinander die Spalten 1, 2 und 3 in der Determinante D durch eine Spalte mit freien Termen

Dann können wir das folgende Ergebnis beweisen.

Satz (Cramer-Regel). Wenn die Determinante des Systems Δ ≠ 0 ist, dann hat das betrachtete System eine und nur eine Lösung und

Nachweisen. Betrachten wir also ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Multiplizieren wir die erste Gleichung des Systems mit dem algebraischen Komplement Eine 11 Element eine 11, 2. Gleichung – weiter Ein 21 und 3. – am A 31:

Fügen wir diese Gleichungen hinzu:

Schauen wir uns die einzelnen Klammern und die rechte Seite dieser Gleichung an. Nach dem Satz über die Entwicklung der Determinante in Elementen der 1. Spalte

Ebenso lässt sich zeigen, dass und .

Schließlich ist das leicht zu erkennen

Somit erhalten wir die Gleichheit: .

Somit, .

Die Gleichungen und werden auf ähnliche Weise abgeleitet, woraus die Aussage des Satzes folgt.

Wir stellen also fest, dass, wenn die Determinante des Systems Δ ≠ 0 ist, das System eine eindeutige Lösung hat und umgekehrt. Wenn die Determinante des Systems gleich Null ist, dann hat das System entweder unendlich viele Lösungen oder keine Lösungen, d.h. unvereinbar.

Beispiele. Gleichungssystem lösen

GAUSS-METHODE

Mit den zuvor besprochenen Methoden können nur solche Systeme gelöst werden, bei denen die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmt und die Determinante des Systems von Null verschieden sein muss. Die Gauß-Methode ist universeller und für Systeme mit beliebig vielen Gleichungen geeignet. Es besteht in der konsequenten Eliminierung von Unbekannten aus den Gleichungen des Systems.

Betrachten Sie noch einmal ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten:

.

Wir lassen die erste Gleichung unverändert und schließen aus der zweiten und dritten Gleichung die enthaltenden Terme aus x 1. Teilen Sie dazu die zweite Gleichung durch A 21 und multipliziere mit – A 11 und fügen Sie es dann zur 1. Gleichung hinzu. Ebenso dividieren wir die dritte Gleichung durch A 31 und multipliziere mit – A 11, und fügen Sie es dann mit dem ersten hinzu. Als Ergebnis wird das ursprüngliche System die Form annehmen:

Aus der letzten Gleichung eliminieren wir nun den enthaltenden Term x 2. Teilen Sie dazu die dritte Gleichung durch, multiplizieren Sie mit und addieren Sie mit der zweiten. Dann haben wir ein Gleichungssystem:

Von hier aus ist es anhand der letzten Gleichung leicht zu finden x 3, dann aus der 2. Gleichung x 2 und schließlich vom 1. - x 1.

Bei Verwendung der Gauß-Methode können die Gleichungen bei Bedarf vertauscht werden.

Oft statt zu schreiben neues System Gleichungen beschränken sich auf das Ausschreiben der erweiterten Matrix des Systems:

und bringen Sie es dann mithilfe elementarer Transformationen in eine dreieckige oder diagonale Form.

ZU elementare Transformationen Matrizen umfassen die folgenden Transformationen:

1. Neuanordnen von Zeilen oder Spalten;
2. Multiplizieren einer Zeichenfolge mit einer Zahl ungleich Null;
3. Hinzufügen weiterer Zeilen zu einer Zeile.

Beispiele: Lösen Sie Gleichungssysteme mit der Gauß-Methode.

Somit hat das System unendlich viele Lösungen.

Gleichungen im Allgemeinen, lineare algebraische Gleichungen und ihre Systeme sowie Methoden zu ihrer Lösung nehmen in der theoretischen und angewandten Mathematik einen besonderen Platz ein.

Dies liegt daran, dass die allermeisten physikalischen, wirtschaftlichen, technischen und sogar pädagogischen Probleme mit einer Vielzahl von Gleichungen und deren Systemen beschrieben und gelöst werden können. In letzter Zeit erfreut es sich insbesondere bei Forschern, Wissenschaftlern und Praktikern großer Beliebtheit. Mathe-Modellierung in fast allen Fachgebieten, was durch seine offensichtlichen Vorteile gegenüber anderen bekannten und bewährten Methoden zur Untersuchung von Objekten unterschiedlicher Art, insbesondere den sogenannten komplexen Systemen, erklärt wird. Es gibt eine große Vielfalt unterschiedlicher Definitionen des mathematischen Modells, die von Wissenschaftlern angegeben werden andere Zeiten, aber unserer Meinung nach ist die folgende Aussage die erfolgreichste. Mathematisches Modell ist eine Idee, die durch eine Gleichung ausgedrückt wird. Daher ist die Fähigkeit, Gleichungen und ihre Systeme aufzustellen und zu lösen, ein wesentliches Merkmal eines modernen Spezialisten.

Um Systeme linearer algebraischer Gleichungen zu lösen, sind die am häufigsten verwendeten Methoden Cramer, Jordan-Gauss und die Matrixmethode.

Die Matrixlösungsmethode ist eine Methode zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen mit einer Determinante ungleich Null unter Verwendung einer inversen Matrix.

Wenn wir die Koeffizienten für die unbekannten Größen xi in Matrix A ausschreiben, die unbekannten Größen in der Vektorspalte X und die freien Terme in der Vektorspalte B sammeln, dann kann das System linearer algebraischer Gleichungen in der Form geschrieben werden folgende Matrixgleichung A · X = B, die nur dann eine eindeutige Lösung hat, wenn die Determinante der Matrix A ungleich Null ist. In diesem Fall kann die Lösung des Gleichungssystems auf folgende Weise gefunden werden X = A-1 · B, Wo A-1 ist die inverse Matrix.

Die Matrixlösungsmethode ist wie folgt.

Gegeben sei uns ein System linearer Gleichungen mit N Unbekannt:

Es kann in Matrixform umgeschrieben werden: AXT = B, Wo A- die Hauptmatrix des Systems, B Und X- Spalten mit freien Begriffen bzw. Lösungen des Systems:

Lassen Sie uns diese Matrixgleichung von links mit multiplizieren A-1 – Matrixinverse der Matrix A: A -1 (AXT) = A -1 B

Als A -1 A = E, wir bekommen X=A -1 B. Die rechte Seite dieser Gleichung ergibt die Lösungsspalte des ursprünglichen Systems. Die Voraussetzung für die Anwendbarkeit dieser Methode (sowie das Vorhandensein einer Lösung im Allgemeinen) ist nicht homogenes System lineare Gleichungen, bei denen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten ist) ist die Nichtentartung der Matrix A. Eine notwendige und hinreichende Bedingung hierfür ist, dass die Determinante der Matrix ungleich Null ist A:det A≠ 0.

Für ein homogenes System linearer Gleichungen, also wenn der Vektor B = 0 , in der Tat die gegenteilige Regel: das System AXT = 0 hat nur dann eine nicht triviale (d. h. von Null verschiedene) Lösung, wenn det A= 0. Ein solcher Zusammenhang zwischen Lösungen homogener und inhomogener Systeme linearer Gleichungen wird Fredholm-Alternative genannt.

Beispiel Lösungen für ein inhomogenes System linearer algebraischer Gleichungen.

Stellen wir sicher, dass die Determinante der Matrix, bestehend aus den Koeffizienten der Unbekannten des linearen algebraischen Gleichungssystems, ungleich Null ist.

Der nächste Schritt besteht darin, die algebraischen Komplemente für die Elemente der Matrix zu berechnen, die aus den Koeffizienten der Unbekannten besteht. Sie werden benötigt, um die inverse Matrix zu finden.

Lassen Sie uns überlegen System linearer algebraischer Gleichungen(SLAU) relativ N Unbekannt X 1 , X 2 , ..., X N :

Dieses System kann in „kollabierter“ Form wie folgt geschrieben werden:

S N i=1 A ij X J = b ich , i=1,2, ..., n.

Nach der Matrixmultiplikationsregel lässt sich das betrachtete lineare Gleichungssystem einschreiben Matrixform Ax=b, Wo

, ,.

Matrix A, deren Spalten die Koeffizienten für die entsprechenden Unbekannten und deren Zeilen die Koeffizienten für die Unbekannten in der entsprechenden Gleichung sind Matrix des Systems. Spaltenmatrix B, deren Elemente die rechten Seiten der Gleichungen des Systems sind, wird als Matrix der rechten Seite oder einfach bezeichnet rechte Seite des Systems. Spaltenmatrix X , dessen Elemente die unbekannten Unbekannten sind, heißt Systemlösung.

Ein System linearer algebraischer Gleichungen in der Form Ax=b, Ist Matrixgleichung.

Wenn die Systemmatrix nicht entartet, dann hat es eine inverse Matrix und dann ist die Lösung des Systems Ax=b ergibt sich aus der Formel:

x=A -1 B.

Beispiel Lösen Sie das System Matrixmethode.

Lösung Finden wir die Umkehrmatrix für die Koeffizientenmatrix des Systems

Berechnen wir die Determinante, indem wir entlang der ersten Zeile expandieren:

Weil das Δ ≠ 0 , Das A -1 existiert.

Die inverse Matrix wurde korrekt gefunden.

Lassen Sie uns eine Lösung für das System finden

Somit, X 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Untersuchung:

7. Das Kronecker-Capelli-Theorem über die Kompatibilität eines Systems linearer algebraischer Gleichungen.

System linearer Gleichungen hat die Form:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Hier sind a i j und b i (i = ; j = ) gegeben, und x j sind unbekannte reelle Zahlen. Mit dem Konzept des Matrizenprodukts können wir System (5.1) in der Form umschreiben:

wobei A = (a i j) eine Matrix ist, die aus Koeffizienten für die Unbekannten des Systems (5.1) besteht, die aufgerufen wird Matrix des Systems,

Bestellte Abholung N reelle Zahlen (c 1, c 2,..., c n) heißt Systemlösung(5.1), wenn durch das Ersetzen dieser Zahlen anstelle der entsprechenden Variablen x 1, x 2,..., x n jede Gleichung des Systems in eine arithmetische Identität übergeht; mit anderen Worten, wenn es einen Vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T gibt, so dass AC  B.

System (5.1) wird aufgerufen gemeinsam, oder lösbar, wenn es mindestens eine Lösung gibt. Das System heißt unvereinbar, oder unlösbar, wenn es keine Lösungen gibt.

,

gebildet durch Zuweisung einer Spalte freier Terme zur Matrix A auf der rechten Seite heißt erweiterte Matrix des Systems.

Die Frage der Kompatibilität des Systems (5.1) wird durch den folgenden Satz gelöst.

Kronecker-Capelli-Theorem . Ein System linearer Gleichungen ist genau dann konsistent, wenn die Ränge der Matrizen A undA übereinstimmen, d. h. r(A) = r(A) = r.

Für die Menge M der Lösungen des Systems (5.1) gibt es drei Möglichkeiten:

1) M =  (in diesem Fall ist das System inkonsistent);

2) M besteht aus einem Element, d.h. Das System hat eine eindeutige Lösung (in diesem Fall heißt das System bestimmt);

3) M besteht aus mehr als einem Element (dann heißt das System unsicher). Im dritten Fall hat das System (5.1) unendlich viele Lösungen.

Das System hat nur dann eine eindeutige Lösung, wenn r(A) = n. In diesem Fall ist die Anzahl der Gleichungen nicht kleiner als die Anzahl der Unbekannten (mn); wenn m>n, dann m-n Gleichungen sind Konsequenzen der anderen. Wenn 0

Um ein beliebiges System linearer Gleichungen zu lösen, müssen Sie in der Lage sein, Systeme zu lösen, in denen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten ist – die sogenannten Cramer-Systeme:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Systeme (5.3) werden auf eine der folgenden Arten gelöst: 1) die Gauß-Methode oder die Methode zur Eliminierung von Unbekannten; 2) nach Cramers Formeln; 3) Matrixmethode.

Beispiel 2.12. Erkunden Sie das Gleichungssystem und lösen Sie es, wenn es konsistent ist:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Lösung. Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems aus:

 .

Berechnen wir den Rang der Hauptmatrix des Systems. Es ist offensichtlich, dass zum Beispiel das Moll zweiter Ordnung in der oberen linken Ecke = 7  0; die es enthaltenden Minderjährigen dritter Ordnung sind gleich Null:

Folglich ist der Rang der Hauptmatrix des Systems 2, d.h. r(A) = 2. Um den Rang der erweiterten Matrix A zu berechnen, berücksichtigen Sie den angrenzenden Minor

Dies bedeutet, dass der Rang der erweiterten Matrix r(A) = 3 ist. Da r(A)  r(A) ist, ist das System inkonsistent.

Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, beim Bau von Bauwerken und sogar im Sport eingesetzt. Der Mensch benutzte Gleichungen schon in der Antike, und seitdem hat ihre Verwendung nur noch zugenommen. Mit der Matrixmethode können Sie Lösungen für SLAEs (Systeme linearer algebraischer Gleichungen) beliebiger Komplexität finden. Der gesamte Prozess zur Lösung von SLAEs besteht aus zwei Hauptschritten:

Bestimmung der inversen Matrix basierend auf der Hauptmatrix:

Multiplikation der resultierenden inversen Matrix mit einem Spaltenvektor von Lösungen.

Angenommen, wir erhalten einen SLAE der folgenden Form:

\[\left\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrix)\right.\]

Beginnen wir mit der Lösung dieser Gleichung, indem wir die Systemmatrix aufschreiben:

Rechte Matrix:

Definieren wir die inverse Matrix. Sie können eine Matrix 2. Ordnung wie folgt finden: 1 – die Matrix selbst darf nicht singulär sein; 2 - seine Elemente, die auf der Hauptdiagonale liegen, werden vertauscht, und für die Elemente der Nebendiagonale ändern wir das Vorzeichen in das entgegengesetzte, wonach wir die resultierenden Elemente durch die Determinante der Matrix dividieren. Wir bekommen:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]

Zwei Matrizen gelten als gleich, wenn ihre entsprechenden Elemente gleich sind. Als Ergebnis haben wir folgende Antwort für die SLAE-Lösung:

Wo kann ich online ein Gleichungssystem mit der Matrixmethode lösen?

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