Homogenes Slough-Grundsystem von Lösungen. Finden Sie die allgemeine Lösung des Systems und fsr

27.09.2019 | Essen und Trinken

Lösungen homogenes System haben die folgenden Eigenschaften. Wenn der Vektor = (α 1 , α 2 ,... ,α N) ist eine Lösung für System (15.14), also für jede beliebige Zahl k Vektor k = (kα 1 , kα 2 ,..., kα n) wird die Lösung für dieses System sein. Wenn die Lösung des Systems (15.14) der Vektor = (γ 1 , γ 2 , ... ,γ N), dann der Betrag + wird auch eine Lösung für dieses System sein. Es folgt dem Jede lineare Kombination von Lösungen für ein homogenes System ist auch eine Lösung für dieses System.

Wie wir aus Abschnitt 12.2 wissen, ist jedes System N-dimensionale Vektoren bestehend aus mehr als P Vektoren ist linear abhängig. Somit kann man aus der Menge der Lösungsvektoren des homogenen Systems (15.14) eine Basis wählen, d.h. Jede Vektorlösung eines gegebenen Systems ist eine lineare Kombination von Vektoren dieser Basis. Jede solche Basis heißt grundlegendes Lösungssystem homogenes System lineare Gleichungen. Der folgende Satz ist wahr, den wir ohne Beweis präsentieren.

SATZ 4. Wenn der Rang r des Systems homogene Gleichungen (15.14) kleiner als die Anzahl der Unbekannten n ist, dann hat jedes fundamentale System Lösungen für das System (15.14) besteht aus n - r Lösungen.

Lassen Sie uns nun eine Methode zum Finden des fundamentalen Lösungssystems (FSS) angeben. Das System homogener Gleichungen (15.14) soll Rang haben R< п. Dann, wie aus Cramers Regeln hervorgeht, die grundlegenden Unbekannten dieses Systems X 1 , X 2 , … x r linear ausgedrückt als freie Variablen x r + 1 , x r + 2 , ..., x p:

Wählen wir bestimmte Lösungen des homogenen Systems (15.14) nach dem folgenden Prinzip aus. Um den ersten Lösungsvektor 1 zu finden, setzen wir x r + 1 = 1, x r + 2 = x r +3 = ... = x n= 0. Dann finden wir die zweite Lösung 2: wir akzeptieren x r+2 = 1 und der Rest R- Setzen Sie 1 freie Variable auf Null. Mit anderen Worten: Wir weisen nacheinander jeder freien Variablen einen Einheitswert zu und setzen den Rest auf Null. Somit das grundlegende Lösungssystem in Vektorform unter Berücksichtigung des ersten R Basisvariablen (15.15) hat die Form

FSR (15.16) ist eine der grundlegenden Lösungsmengen des homogenen Systems (15.14).

Beispiel 1. Finden Sie die Lösung und den FSR eines Systems homogener Gleichungen

Lösung. Wir werden dieses System mit der Gaußschen Methode lösen. Da die Anzahl der Gleichungen des Systems geringer ist als die Anzahl der Unbekannten, betrachten wir X 1 , X 2 , X 3 grundlegende Unbekannte und X 4 , X 5 , X 6 - freie Variablen. Lassen Sie uns eine erweiterte Matrix des Systems erstellen und die Aktionen ausführen, die den direkten Ablauf der Methode ausmachen.

Wir werden unsere Technologie weiter verbessern elementare Transformationen An homogenes System linearer Gleichungen.
Basierend auf den ersten Absätzen mag der Stoff langweilig und mittelmäßig erscheinen, doch dieser Eindruck täuscht. Neben der Weiterentwicklung technischer Techniken wird es viele geben neue Informationen Versuchen Sie also bitte, die Beispiele in diesem Artikel nicht zu vernachlässigen.

Was ist ein homogenes System linearer Gleichungen?

Die Antwort liegt auf der Hand. Ein System linearer Gleichungen ist homogen, wenn der freie Term alle Die Gleichung des Systems ist Null. Zum Beispiel:

Das ist absolut klar Ein homogenes System ist immer konsistent, das heißt, es gibt immer eine Lösung. Und was Ihnen zunächst einmal ins Auge fällt, ist das sogenannte trivial Lösung . Trivial bedeutet für diejenigen, die die Bedeutung des Adjektivs überhaupt nicht verstehen, ohne Angeberei. Natürlich nicht akademisch, aber verständlich =) ...Warum um den heißen Brei herumreden, schauen wir uns an, ob es für dieses System noch andere Lösungen gibt:

Beispiel 1

Lösung: Um ein homogenes System zu lösen, muss man schreiben Systemmatrix und mit Hilfe elementarer Transformationen in eine schrittweise Form bringen. Bitte beachten Sie, dass es hier nicht nötig ist, den vertikalen Balken und die Nullspalte der freien Begriffe aufzuschreiben – denn egal, was Sie mit Nullen machen, sie bleiben Nullen:

(1) Die erste Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert, multipliziert mit –2. Die erste Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit –3.

(2) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit –1.

Die dritte Zeile durch 3 zu teilen macht wenig Sinn.

Als Ergebnis elementarer Transformationen erhält man ein äquivalentes homogenes System , und mit der Umkehrung der Gaußschen Methode lässt sich leicht überprüfen, ob die Lösung eindeutig ist.

Antwort:

Lassen Sie uns ein offensichtliches Kriterium formulieren: ein homogenes System linearer Gleichungen hat nur eine triviale Lösung, Wenn Rang der Systemmatrix(in diesem Fall 3) ist gleich der Anzahl der Variablen (in diesem Fall – 3 Stück).

Lasst uns aufwärmen und unser Radio auf die Welle elementarer Transformationen einstellen:

Beispiel 2

Lösen Sie ein homogenes System linearer Gleichungen

Um den Algorithmus endgültig zu konsolidieren, analysieren wir die letzte Aufgabe:

Beispiel 7

Lösen Sie ein homogenes System und schreiben Sie die Antwort in Vektorform.

Lösung: Schreiben wir die Matrix des Systems auf und bringen sie mithilfe elementarer Transformationen in eine schrittweise Form:

(1) Das Vorzeichen der ersten Zeile wurde geändert. Ich mache noch einmal auf eine schon oft angetroffene Technik aufmerksam, mit der Sie die nächste Aktion deutlich vereinfachen können.

(1) Die erste Zeile wurde zur zweiten und dritten Zeile hinzugefügt. Die erste Zeile wurde mit 2 multipliziert und zur vierten Zeile hinzugefügt.

(3) Die letzten drei Zeilen sind proportional, zwei davon wurden entfernt.

Als Ergebnis wird eine Standardschrittmatrix erhalten und die Lösung wird entlang der gerändelten Spur fortgesetzt:

– Basisvariablen;
– freie Variablen.

Lassen Sie uns die Grundvariablen als freie Variablen ausdrücken. Aus der 2. Gleichung:

– Setze in die 1. Gleichung ein:

Die allgemeine Lösung lautet also:

Da es im betrachteten Beispiel drei freie Variablen gibt, enthält das Fundamentalsystem drei Vektoren.

Ersetzen wir ein Wertetripel in die allgemeine Lösung ein und erhalten Sie einen Vektor, dessen Koordinaten jede Gleichung des homogenen Systems erfüllen. Und ich wiederhole noch einmal, dass es sehr ratsam ist, jeden empfangenen Vektor zu überprüfen – es wird nicht viel Zeit in Anspruch nehmen, aber es wird Sie vollständig vor Fehlern schützen.

Für ein Wertetripel Finde den Vektor

Und schließlich für die drei wir erhalten den dritten Vektor:

Antwort: , Wo

Wer gebrochene Werte vermeiden möchte, kann Drillinge in Betracht ziehen und erhält die Antwort in äquivalenter Form:

Apropos Brüche. Schauen wir uns die im Problem erhaltene Matrix an und fragen wir uns: Ist es möglich, die weitere Lösung zu vereinfachen? Schließlich haben wir hier zuerst die Grundvariable durch Brüche ausgedrückt, dann durch Brüche die Grundvariable, und ich muss sagen, dieser Vorgang war nicht der einfachste und nicht der angenehmste.

Zweite Lösung:

Die Idee ist, es zu versuchen Wählen Sie andere Basisvariablen. Schauen wir uns die Matrix an und bemerken zwei Einsen in der dritten Spalte. Warum also nicht oben eine Null haben? Führen wir noch eine elementare Transformation durch:

Die Gaußsche Methode hat eine Reihe von Nachteilen: Es ist unmöglich zu wissen, ob das System konsistent ist oder nicht, bis alle für die Gaußsche Methode notwendigen Transformationen durchgeführt wurden; Die Gauß-Methode ist für Systeme mit Buchstabenkoeffizienten nicht geeignet.

Betrachten wir andere Methoden zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Diese Methoden nutzen das Konzept des Matrixrangs und reduzieren die Lösung jedes konsistenten Systems auf die Lösung eines Systems, für das die Cramer-Regel gilt.

Beispiel 1. Finden Sie eine allgemeine Lösung für das folgende lineare Gleichungssystem unter Verwendung des fundamentalen Lösungssystems für das reduzierte homogene System und einer bestimmten Lösung für das inhomogene System.

1. Eine Matrix erstellen A und erweiterte Systemmatrix (1)

2. Erkunden Sie das System (1) für das Miteinander. Dazu ermitteln wir die Ränge der Matrizen A und https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Wenn sich herausstellt, dass , dann das System (1) unvereinbar. Wenn wir das bekommen , dann ist dieses System konsistent und wir werden es lösen. (Die Kompatibilitätsstudie basiert auf dem Kronecker-Capelli-Theorem).

A. Wir finden rA.

Finden rA, betrachten wir nacheinander Nicht-Null-Minderjährige der ersten, zweiten usw. Ordnung der Matrix A und die sie umgebenden Minderjährigen.

M1=1≠0 (wir nehmen 1 aus der oberen linken Ecke der Matrix A).

Wir grenzen M1 die zweite Zeile und zweite Spalte dieser Matrix. . Wir fahren weiter an der Grenze M1 die zweite Zeile und die dritte Spalte..gif" width="37" height="20 src=">. Jetzt begrenzen wir das Moll ungleich Null M2′ zweite Bestellung.

Wir haben: (da die ersten beiden Spalten gleich sind)

(da die zweite und dritte Zeile proportional sind).

Wir sehen das rA=2, a ist die Basismoll der Matrix A.

B. Wir finden.

Ziemlich einfaches Moll M2′ Matrizen A Grenze mit einer Spalte freier Begriffe und allen Zeilen (wir haben nur die letzte Zeile).

. Es folgt dem M3'' bleibt das Grundmoll der Matrix https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Als M2′- Basismoll der Matrix A Systeme (2) , dann ist dieses System äquivalent zum System (3) , bestehend aus den ersten beiden Gleichungen des Systems (2) (für M2′ steht in den ersten beiden Zeilen der Matrix A).

(3)

Seit dem Grundmoll https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

In diesem System gibt es zwei freie Unbekannte ( x2 Und x4 ). Deshalb FSR Systeme (4) besteht aus zwei Lösungen. Um sie zu finden, weisen wir freie Unbekannte zu (4) Werte zuerst x2=1 , x4=0 , Und danach - x2=0 , x4=1 .

Bei x2=1 , x4=0 wir bekommen:

Dieses System hat es bereits Das einzige Lösung (sie kann mit der Cramer-Regel oder einer anderen Methode gefunden werden). Wenn wir die erste von der zweiten Gleichung subtrahieren, erhalten wir:

Ihre Lösung wird sein x1= -1 , x3=0 . Angesichts der Werte x2 Und x4 , die wir hinzugefügt haben, erhalten wir die erste grundlegende Lösung des Systems (2) : .

Jetzt glauben wir daran (4) x2=0 , x4=1 . Wir bekommen:

Wir lösen dieses System mit dem Satz von Cramer:

Wir erhalten die zweite grundlegende Lösung des Systems (2) : .

Lösungen β1 , β2 und schminken FSR Systeme (2) . Dann wird seine allgemeine Lösung sein

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Hier C1 , C2 – beliebige Konstanten.

4. Lass uns einen finden Privat Lösung heterogenes System(1) . Wie im Absatz 3 , statt des Systems (1) Betrachten wir ein äquivalentes System (5) , bestehend aus den ersten beiden Gleichungen des Systems (1) .

(5)

Verschieben wir die freien Unbekannten auf die rechte Seite x2 Und x4.

(6)

Geben wir Unbekannte frei x2 Und x4 beliebige Werte, zum Beispiel x2=2 , x4=1 und lege sie hinein (6) . Holen wir uns das System

Dieses System hat eine einzigartige Lösung (da seine Determinante M2′0). Wenn wir es lösen (mit dem Cramer-Theorem oder der Gauß-Methode), erhalten wir: x1=3 , x3=3 . Angesichts der Werte der freien Unbekannten x2 Und x4 , wir bekommen besondere Lösung eines inhomogenen Systems(1)α1=(3,2,3,1).

5. Jetzt müssen Sie es nur noch aufschreiben allgemeine Lösung α eines inhomogenen Systems(1) : es ist gleich der Summe private Lösung dieses System und allgemeine Lösung seines reduzierten homogenen Systems (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Das heisst: (7)

6. Untersuchung. Um zu überprüfen, ob Sie das System richtig gelöst haben (1) , wir brauchen eine allgemeine Lösung (7) einwechseln (1) . Wenn jede Gleichung zur Identität wird ( C1 Und C2 zerstört werden muss), dann ist die Lösung richtig gefunden.

Wir werden ersetzen (7) zum Beispiel nur die letzte Gleichung des Systems (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .

Wir erhalten: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Wobei –1=–1. Wir haben eine Identität. Das machen wir mit allen anderen Gleichungen des Systems (1) .

Kommentar. Die Prüfung ist meist recht umständlich. Folgende „Teilprüfung“ kann empfohlen werden: in der Gesamtlösung des Systems (1) Weisen Sie beliebigen Konstanten einige Werte zu und ersetzen Sie die resultierende Teillösung nur in die verworfenen Gleichungen (d. h. in diese Gleichungen von). (1) , die nicht enthalten waren (5) ). Wenn Sie Identitäten bekommen, dann wahrscheinlich, Systemlösung (1) korrekt gefunden werden (eine solche Prüfung bietet jedoch keine vollständige Garantie für die Richtigkeit!). Zum Beispiel, wenn in (7) setzen C2=- 1 , C1=1, dann erhalten wir: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Wenn wir in die letzte Gleichung von System (1) einsetzen, erhalten wir: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , also –1=–1. Wir haben eine Identität.

Beispiel 2. Finden Sie eine allgemeine Lösung für ein lineares Gleichungssystem (1) , wobei die grundlegenden Unbekannten in Form freier Unbekannter ausgedrückt werden.

Lösung. Wie in Beispiel 1, Matrizen zusammenstellen A und https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> dieser Matrizen. Jetzt lassen wir nur noch diese Gleichungen des Systems übrig (1) , deren Koeffizienten in diesem grundlegenden Minor enthalten sind (d. h. wir haben die ersten beiden Gleichungen) und betrachten ein aus ihnen bestehendes System, äquivalent zu System (1).

Übertragen wir die freien Unbekannten auf die rechten Seiten dieser Gleichungen.

System (9) Wir lösen nach der Gaußschen Methode und betrachten die rechten Seiten als freie Terme.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Option 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Option 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Option 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Option 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Lösung linearer Systeme algebraische Gleichungen(SLAE) ist zweifellos das wichtigste Thema im Kurs Lineare Algebra. Bei einer Vielzahl von Problemen aus allen Bereichen der Mathematik geht es um die Lösung linearer Gleichungssysteme. Diese Faktoren erklären den Grund für diesen Artikel. Das Material des Artikels ist so ausgewählt und strukturiert, dass Sie es mit seiner Hilfe tun können

abholen optimale Methode Lösungen für Ihr System linearer algebraischer Gleichungen,
die Theorie der gewählten Methode studieren,
Lösen Sie Ihr lineares Gleichungssystem, indem Sie detaillierte Lösungen typischer Beispiele und Probleme berücksichtigen.

Kurze Beschreibung des Artikelmaterials.

Zunächst geben wir alle notwendigen Definitionen, Konzepte und führen Notationen ein.

Als nächstes betrachten wir Methoden zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme, bei denen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl unbekannter Variablen ist und die eine eindeutige Lösung haben. Erstens konzentrieren wir uns auf die Cramer-Methode, zweitens zeigen wir die Matrixmethode zur Lösung solcher Gleichungssysteme, drittens analysieren wir die Gauß-Methode (Methode). sequentielle Eliminierung unbekannte Variablen). Um die Theorie zu festigen, werden wir auf jeden Fall mehrere SLAEs auf unterschiedliche Weise lösen.

Danach werden wir mit der Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme fortfahren Gesamtansicht, bei dem die Anzahl der Gleichungen nicht mit der Anzahl der unbekannten Variablen übereinstimmt oder die Hauptmatrix des Systems singulär ist. Formulieren wir das Kronecker-Capelli-Theorem, das es uns ermöglicht, die Kompatibilität von SLAEs festzustellen. Lassen Sie uns die Lösung von Systemen (sofern sie kompatibel sind) anhand des Konzepts einer Basis-Minor-Matrix analysieren. Wir werden auch die Gauß-Methode betrachten und die Lösungen der Beispiele ausführlich beschreiben.

Wir werden uns auf jeden Fall mit der Struktur der allgemeinen Lösung homogener und inhomogener Systeme linearer algebraischer Gleichungen befassen. Geben wir das Konzept eines fundamentalen Lösungssystems und zeigen wir, wie die allgemeine Lösung eines SLAE unter Verwendung der Vektoren des fundamentalen Lösungssystems geschrieben wird. Zum besseren Verständnis schauen wir uns einige Beispiele an.

Abschließend betrachten wir Gleichungssysteme, die auf lineare reduziert werden können, sowie verschiedene Probleme, bei deren Lösung SLAEs entstehen.

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Definitionen, Konzepte, Bezeichnungen.

Wir betrachten Systeme von p linearen algebraischen Gleichungen mit n unbekannten Variablen (p kann gleich n sein) der Form

Unbekannte Variablen - Koeffizienten (einige reelle oder komplexe Zahlen), - freie Terme (auch reelle oder komplexe Zahlen).

Diese Form der Aufzeichnung wird SLAE genannt Koordinate.

IN Matrixform Dieses Gleichungssystem hat die Form
Wo - die Hauptmatrix des Systems, - eine Spaltenmatrix unbekannter Variablen, - eine Spaltenmatrix freier Terme.

Wenn wir der Matrix A als (n+1)-te Spalte eine Matrixspalte freier Terme hinzufügen, erhalten wir die sogenannte erweiterte Matrix Systeme linearer Gleichungen. Typischerweise wird eine erweiterte Matrix mit dem Buchstaben T bezeichnet und die Spalte mit den freien Begriffen wird durch eine vertikale Linie von den übrigen Spalten getrennt, d. h.

Lösen eines Systems linearer algebraischer Gleichungen bezeichnet eine Menge von Werten unbekannter Variablen, die alle Gleichungen des Systems in Identitäten umwandelt. Matrixgleichung für gegebene Werte der unbekannten Variablen wird auch eine Identität.

Wenn ein Gleichungssystem mindestens eine Lösung hat, heißt es gemeinsam.

Wenn ein Gleichungssystem keine Lösungen hat, heißt es nicht gelenkig.

Wenn eine SLAE eine eindeutige Lösung hat, wird sie aufgerufen bestimmt; wenn es mehr als eine Lösung gibt, dann – unsicher.

Wenn die freien Terme aller Gleichungen des Systems gleich Null sind , dann wird das System aufgerufen homogen, sonst - heterogen.

Lösung elementarer Systeme linearer algebraischer Gleichungen.

Wenn die Anzahl der Gleichungen eines Systems gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist und die Determinante seiner Hauptmatrix ungleich Null ist, werden solche SLAEs aufgerufen elementar. Solche Gleichungssysteme haben eine eindeutige Lösung, und im Fall eines homogenen Systems sind alle unbekannten Variablen gleich Null.

Wir haben in der High School begonnen, solche SLAEs zu studieren. Als wir sie lösten, nahmen wir eine Gleichung, drückten eine unbekannte Variable durch andere aus und setzten sie in die übrigen Gleichungen ein, dann nahmen wir die nächste Gleichung, drückten die nächste unbekannte Variable aus und setzten sie in andere Gleichungen ein und so weiter. Oder sie verwendeten die Additionsmethode, das heißt, sie fügten zwei oder mehr Gleichungen hinzu, um einige unbekannte Variablen zu eliminieren. Wir werden nicht näher auf diese Methoden eingehen, da es sich im Wesentlichen um Modifikationen der Gauß-Methode handelt.

Die wichtigsten Methoden zur Lösung elementarer linearer Gleichungssysteme sind die Cramer-Methode, die Matrixmethode und die Gauß-Methode. Sortieren wir sie.

Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Cramer-Methode.

Angenommen, wir müssen ein System linearer algebraischer Gleichungen lösen

in dem die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist und die Determinante der Hauptmatrix des Systems von Null verschieden ist, also .

Sei die Determinante der Hauptmatrix des Systems und - Determinanten von Matrizen, die aus A durch Ersetzung gewonnen werden 1., 2., …, n Spalte bzw. zur Spalte der freien Mitglieder:

Mit dieser Notation werden unbekannte Variablen mit den Formeln der Cramer-Methode berechnet als . Auf diese Weise wird die Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen mit der Methode von Cramer gefunden.

Beispiel.

Cramers Methode .

Lösung.

Die Hauptmatrix des Systems hat die Form . Berechnen wir seine Determinante (siehe ggf. den Artikel):

Da die Determinante der Hauptmatrix des Systems ungleich Null ist, verfügt das System über eine einzigartige Lösung, die mit der Cramer-Methode gefunden werden kann.

Lassen Sie uns die notwendigen Determinanten zusammenstellen und berechnen (Wir erhalten die Determinante, indem wir die erste Spalte in Matrix A durch eine Spalte mit freien Termen ersetzen, die Determinante, indem wir die zweite Spalte durch eine Spalte mit freien Termen ersetzen und indem wir die dritte Spalte der Matrix A durch eine Spalte mit freien Termen ersetzen.) :

Unbekannte Variablen mithilfe von Formeln finden :

Antwort:

Der Hauptnachteil der Methode von Cramer (wenn man ihn überhaupt als Nachteil bezeichnen kann) ist die Komplexität der Berechnung von Determinanten, wenn die Anzahl der Gleichungen im System mehr als drei beträgt.

Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen mit der Matrixmethode (unter Verwendung einer inversen Matrix).

Es sei ein System linearer algebraischer Gleichungen in Matrixform gegeben, wobei die Matrix A die Dimension n mal n hat und ihre Determinante ungleich Null ist.

Da Matrix A invertierbar ist, liegt eine inverse Matrix vor. Wenn wir beide Seiten der Gleichheit mit links multiplizieren, erhalten wir eine Formel zum Finden einer Matrixspalte unbekannter Variablen. Auf diese Weise haben wir eine Lösung für das System linearer algebraischer Gleichungen erhalten Matrixmethode.

Beispiel.

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem Matrixmethode.

Lösung.

Schreiben wir das Gleichungssystem in Matrixform um:

Als

dann kann der SLAE mit der Matrixmethode gelöst werden. Mit Hilfe inverse Matrix Die Lösung für dieses System kann gefunden werden als .

Konstruieren wir eine inverse Matrix unter Verwendung einer Matrix aus algebraischen Additionen von Elementen der Matrix A (siehe ggf. den Artikel):

Es bleibt die Matrix unbekannter Variablen durch Multiplikation der inversen Matrix zu berechnen zu einer Matrixspalte freier Mitglieder (siehe ggf. den Artikel):

Antwort:

oder in einer anderen Notation x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Das Hauptproblem beim Finden von Lösungen für Systeme linearer algebraischer Gleichungen mithilfe der Matrixmethode ist die Komplexität des Findens der inversen Matrix, insbesondere für quadratische Matrizen mit einer höheren Ordnung als der dritten Ordnung.

Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Gauß-Methode.

Angenommen, wir müssen eine Lösung für ein System aus n linearen Gleichungen mit n unbekannten Variablen finden
deren Determinante von Null verschieden ist.

Die Essenz der Gauß-Methode besteht darin, unbekannte Variablen nacheinander zu eliminieren: Zuerst wird x 1 aus allen Gleichungen des Systems ausgeschlossen, beginnend mit der zweiten, dann wird x 2 aus allen Gleichungen ausgeschlossen, beginnend mit der dritten usw., bis nur noch die unbekannte Variable x n übrig bleibt die letzte Gleichung. Dieser Prozess der Transformation von Systemgleichungen zur sequentiellen Eliminierung unbekannter Variablen wird aufgerufen direkte Gaußsche Methode. Nach Abschluss des Vorwärtshubs der Gaußschen Methode wird x n aus der letzten Gleichung ermittelt, unter Verwendung dieses Werts aus der vorletzten Gleichung wird x n-1 berechnet und so weiter, x 1 wird aus der ersten Gleichung ermittelt. Der Prozess der Berechnung unbekannter Variablen beim Übergang von der letzten Gleichung des Systems zur ersten wird aufgerufen Umkehrung der Gaußschen Methode.

Beschreiben wir kurz den Algorithmus zur Eliminierung unbekannter Variablen.

Wir gehen davon aus, dass wir dies immer erreichen können, indem wir die Gleichungen des Systems neu ordnen. Eliminieren wir die unbekannte Variable x 1 aus allen Gleichungen des Systems, beginnend mit der zweiten. Dazu addieren wir zur zweiten Gleichung des Systems die erste, multipliziert mit , zur dritten Gleichung addieren wir die erste, multipliziert mit usw., zur n-ten Gleichung addieren wir die erste, multipliziert mit . Das Gleichungssystem wird nach solchen Transformationen die Form annehmen

wo und .

Wir wären zum gleichen Ergebnis gekommen, wenn wir x 1 durch andere unbekannte Variablen in der ersten Gleichung des Systems ausgedrückt und den resultierenden Ausdruck in alle anderen Gleichungen eingesetzt hätten. Somit wird die Variable x 1 ab der zweiten aus allen Gleichungen ausgeschlossen.

Als nächstes gehen wir ähnlich vor, allerdings nur mit einem Teil des resultierenden Systems, der in der Abbildung markiert ist

Dazu addieren wir zur dritten Gleichung des Systems die zweite, multipliziert mit , zur vierten Gleichung addieren wir die zweite, multipliziert mit usw., zur n-ten Gleichung addieren wir die zweite, multipliziert mit . Das Gleichungssystem wird nach solchen Transformationen die Form annehmen

wo und . Somit wird die Variable x 2 ab der dritten aus allen Gleichungen ausgeschlossen.

Als nächstes eliminieren wir das Unbekannte x 3, während wir mit dem in der Abbildung markierten Teil des Systems ähnlich vorgehen

Also setzen wir die direkte Weiterentwicklung der Gaußschen Methode fort, bis das System die Form annimmt

Von diesem Moment an beginnen wir mit der Umkehrung der Gaußschen Methode: Wir berechnen x n aus der letzten Gleichung als , unter Verwendung des erhaltenen Werts von x n ermitteln wir x n-1 aus der vorletzten Gleichung und so weiter ermitteln wir x 1 aus der ersten Gleichung .

Beispiel.

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem Gauß-Methode.

Lösung.

Lassen Sie uns die unbekannte Variable x 1 aus der zweiten und dritten Gleichung des Systems ausschließen. Dazu addieren wir auf beiden Seiten der zweiten und dritten Gleichung die entsprechenden Teile der ersten Gleichung, multipliziert mit bzw. mit:

Jetzt eliminieren wir x 2 aus der dritten Gleichung, indem wir links und hinzufügen rechte Seite die linke und rechte Seite der zweiten Gleichung, multipliziert mit:

Damit ist der Vorwärtshub der Gauß-Methode abgeschlossen; wir beginnen mit dem Rückwärtshub.

Aus der letzten Gleichung des resultierenden Gleichungssystems finden wir x 3:

Aus der zweiten Gleichung erhalten wir .

Aus der ersten Gleichung ermitteln wir die verbleibende unbekannte Variable und vervollständigen damit die Umkehrung der Gauß-Methode.

Antwort:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen allgemeiner Form.

IN Allgemeiner Fall die Anzahl der Gleichungen des Systems p stimmt nicht mit der Anzahl der unbekannten Variablen n überein:

Solche SLAEs haben möglicherweise keine Lösungen, eine einzige Lösung oder unendlich viele Lösungen. Diese Aussage gilt auch für Gleichungssysteme, deren Hauptmatrix quadratisch und singulär ist.

Kronecker-Capelli-Theorem.

Bevor eine Lösung für ein lineares Gleichungssystem gefunden werden kann, muss dessen Kompatibilität festgestellt werden. Die Antwort auf die Frage, wann SLAE kompatibel und wann inkonsistent ist, lautet: Kronecker-Capelli-Theorem:
Damit ein System von p Gleichungen mit n Unbekannten (p kann gleich n sein) konsistent ist, ist es notwendig und ausreichend, dass der Rang der Hauptmatrix des Systems gleich ist gleich dem Rang erweiterte Matrix, d. h. Rank(A)=Rank(T) .

Betrachten wir als Beispiel die Anwendung des Kronecker-Capelli-Theorems zur Bestimmung der Kompatibilität eines linearen Gleichungssystems.

Beispiel.

Finden Sie heraus, ob das System linearer Gleichungen hat Lösungen.

Lösung.

. Lassen Sie uns die Methode der Grenzüberschreitung von Minderjährigen anwenden. Moll zweiter Ordnung verschieden von Null. Schauen wir uns die angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung an:

Da alle angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung gleich Null sind, ist der Rang der Hauptmatrix gleich zwei.

Im Gegenzug der Rang der erweiterten Matrix ist gleich drei, da das Moll dritter Ordnung ist

verschieden von Null.

Auf diese Weise, Rang(A) können wir daher unter Verwendung des Kronecker-Capelli-Theorems schlussfolgern, dass das ursprüngliche System linearer Gleichungen inkonsistent ist.

Antwort:

Das System hat keine Lösungen.

Wir haben also gelernt, die Inkonsistenz eines Systems mithilfe des Kronecker-Capelli-Theorems festzustellen.

Aber wie findet man eine Lösung für ein SLAE, wenn dessen Kompatibilität festgestellt ist?

Dazu benötigen wir das Konzept einer Basis-Minor-Matrix und einen Satz über den Rang einer Matrix.

Unerheblich höchste Ordnung Die von Null verschiedene Matrix A wird aufgerufen Basic.

Aus der Definition einer Basis Minor folgt, dass ihre Ordnung gleich dem Rang der Matrix ist. Für eine Nicht-Null-Matrix A kann es mehrere Basis-Minor-Matrix geben; es gibt immer eine Basis-Minor-Matrix.

Betrachten Sie zum Beispiel die Matrix .

Alle Minderjährigen dritter Ordnung dieser Matrix sind gleich Null, da die Elemente der dritten Zeile dieser Matrix die Summe der entsprechenden Elemente der ersten und zweiten Zeile sind.

Die folgenden Minderjährigen zweiter Ordnung sind einfach, da sie ungleich Null sind

Minderjährige sind nicht grundlegend, da sie gleich Null sind.

Matrixrangsatz.

Wenn der Rang einer Matrix der Ordnung p mal n gleich r ist, werden alle Zeilen- (und Spalten-) Elemente der Matrix, die nicht die gewählte Basis-Minor bilden, linear durch die entsprechenden bildenden Zeilen- (und Spalten-) Elemente ausgedrückt das Basis-Moll.

Was sagt uns der Matrixrangsatz?

Wenn wir gemäß dem Kronecker-Capelli-Theorem die Kompatibilität des Systems festgestellt haben, wählen wir eine beliebige Basis der Hauptmatrix des Systems (ihre Ordnung ist gleich r) und schließen alle Gleichungen, die dies tun, aus dem System aus nicht das gewählte Basis-Moll bilden. Der auf diese Weise erhaltene SLAE entspricht dem ursprünglichen, da die verworfenen Gleichungen immer noch redundant sind (gemäß dem Matrixrangsatz handelt es sich um eine Linearkombination der verbleibenden Gleichungen).

Infolgedessen sind nach dem Verwerfen unnötiger Gleichungen des Systems zwei Fälle möglich.

Wenn die Anzahl der Gleichungen r im resultierenden System gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist, dann ist es eindeutig und die einzige Lösung kann mit der Cramer-Methode, der Matrixmethode oder der Gauß-Methode gefunden werden.

Beispiel.

Lösung.

Rang der Hauptmatrix des Systems ist gleich zwei, da das Moll zweiter Ordnung ist verschieden von Null. Erweiterter Matrixrang ist ebenfalls gleich zwei, da das einzige Moll dritter Ordnung Null ist

und der oben betrachtete Moll zweiter Ordnung ist von Null verschieden. Basierend auf dem Kronecker-Capelli-Theorem können wir die Kompatibilität des ursprünglichen linearen Gleichungssystems behaupten, da Rang(A)=Rang(T)=2.

Als Basis-Moll nehmen wir . Sie wird durch die Koeffizienten der ersten und zweiten Gleichung gebildet:

Die dritte Gleichung des Systems ist nicht an der Bildung der Basis Minor beteiligt, daher schließen wir sie basierend auf dem Satz über den Rang der Matrix aus dem System aus:

Auf diese Weise haben wir ein elementares System linearer algebraischer Gleichungen erhalten. Lösen wir es mit der Cramer-Methode:

Antwort:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Wenn die Anzahl der Gleichungen r im resultierenden SLAE kleiner ist als die Anzahl der unbekannten Variablen n, dann belassen wir auf der linken Seite der Gleichungen die Terme, die die Basis bilden, und übertragen die verbleibenden Terme auf die rechte Seite der Gleichung Gleichungen des Systems mit umgekehrtem Vorzeichen.

Die auf der linken Seite der Gleichungen verbleibenden unbekannten Variablen (r davon) werden aufgerufen hauptsächlich.

Es werden unbekannte Variablen (es gibt n - r Stücke) aufgerufen, die auf der rechten Seite liegen frei.

Nun glauben wir, dass freie unbekannte Variablen beliebige Werte annehmen können, während die r wichtigsten unbekannten Variablen auf einzigartige Weise durch freie unbekannte Variablen ausgedrückt werden. Ihr Ausdruck kann durch Lösen des resultierenden SLAE mithilfe der Cramer-Methode, der Matrixmethode oder der Gauß-Methode ermittelt werden.

Schauen wir es uns anhand eines Beispiels an.

Beispiel.

Lösen Sie ein System linearer algebraischer Gleichungen .

Lösung.

Lassen Sie uns den Rang der Hauptmatrix des Systems ermitteln durch die Methode der Grenzüberschreitung von Minderjährigen. Nehmen wir a 1 1 = 1 als Moll erster Ordnung ungleich Null. Beginnen wir mit der Suche nach einem Moll zweiter Ordnung ungleich Null, das an dieses Moll grenzt:

Auf diese Weise haben wir ein Moll zweiter Ordnung ungleich Null gefunden. Beginnen wir mit der Suche nach einem ungleich Null angrenzenden Moll dritter Ordnung:

Somit beträgt der Rang der Hauptmatrix drei. Der Rang der erweiterten Matrix ist ebenfalls gleich drei, das heißt, das System ist konsistent.

Als Basis nehmen wir das gefundene Nicht-Null-Moll dritter Ordnung.

Der Übersichtlichkeit halber zeigen wir die Elemente, die das Basis-Moll bilden:

Wir belassen die in der Basis Minor beteiligten Terme auf der linken Seite der Systemgleichungen und übertragen den Rest mit entgegengesetzten Vorzeichen auf die rechten Seiten:

Geben wir den freien unbekannten Variablen x 2 und x 5 beliebige Werte, das heißt, wir akzeptieren , wo sind beliebige Zahlen. In diesem Fall nimmt das SLAE das Formular an

Lösen wir das resultierende Elementarsystem linearer algebraischer Gleichungen mit der Cramer-Methode:

Somit, .

Vergessen Sie in Ihrer Antwort nicht, freie unbekannte Variablen anzugeben.

Antwort:

Wo sind beliebige Zahlen?

Zusammenfassen.

Um ein System allgemeiner linearer algebraischer Gleichungen zu lösen, bestimmen wir zunächst seine Kompatibilität mithilfe des Kronecker-Capelli-Theorems. Wenn der Rang der Hauptmatrix nicht dem Rang der erweiterten Matrix entspricht, schließen wir daraus, dass das System inkompatibel ist.

Wenn der Rang der Hauptmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist, wählen wir eine Basis-Minor aus und verwerfen die Gleichungen des Systems, die nicht an der Bildung der ausgewählten Basis-Minor beteiligt sind.

Wenn die Ordnung der Basis Minor gleich der Anzahl unbekannter Variablen ist, dann hat das SLAE eine eindeutige Lösung, die mit jeder uns bekannten Methode gefunden werden kann.

Wenn die Ordnung der Basis kleiner ist als die Anzahl der unbekannten Variablen, dann belassen wir auf der linken Seite des Gleichungssystems die Terme mit den wichtigsten unbekannten Variablen, übertragen die restlichen Terme auf die rechten Seiten und geben beliebige Werte an die freien unbekannten Variablen. Aus dem resultierenden linearen Gleichungssystem ermitteln wir die wichtigsten unbekannten Variablen mithilfe der Cramer-Methode, der Matrixmethode oder der Gauß-Methode.

Gauß-Methode zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme allgemeiner Form.

Mit der Gauß-Methode lassen sich Systeme linearer algebraischer Gleichungen jeglicher Art lösen, ohne sie vorher auf Kompatibilität zu testen. Der Prozess der sequentiellen Eliminierung unbekannter Variablen ermöglicht es, Rückschlüsse sowohl auf die Kompatibilität als auch auf die Inkompatibilität des SLAE zu ziehen und, falls eine Lösung existiert, diese zu finden.

Aus rechnerischer Sicht ist die Gaußsche Methode vorzuziehen.

Schau es dir an detaillierte Beschreibung und analysierte Beispiele im Artikel die Gauß-Methode zur Lösung von Systemen linearer algebraischer Gleichungen allgemeiner Form.

Schreiben einer allgemeinen Lösung für homogene und inhomogene lineare algebraische Systeme unter Verwendung von Vektoren des fundamentalen Lösungssystems.

In diesem Abschnitt werden wir über gleichzeitige homogene und inhomogene Systeme linearer algebraischer Gleichungen sprechen, die unendlich viele Lösungen haben.

Befassen wir uns zunächst mit homogenen Systemen.

Grundlegendes Lösungssystem Ein homogenes System p linearer algebraischer Gleichungen mit n unbekannten Variablen ist eine Sammlung von (n – r) linear unabhängigen Lösungen dieses Systems, wobei r die Ordnung der Basisminor der Hauptmatrix des Systems ist.

Wenn wir linear bezeichnen unabhängige Lösungen homogenes SLAE als X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, zu diesem homogenen System wird als lineare Kombination von Vektoren des fundamentalen Lösungssystems mit beliebigen Lösungen dargestellt konstante Koeffizienten C 1, C 2, ..., C (n-r), das heißt .

Was bedeutet der Begriff allgemeine Lösung eines homogenen Systems linearer algebraischer Gleichungen (Oroslau)?

Die Bedeutung ist einfach: Die Formel legt alles fest mögliche Lösungen das ursprüngliche SLAE, mit anderen Worten, wenn wir einen beliebigen Satz von Werten beliebiger Konstanten C 1, C 2, ..., C (n-r) nehmen, erhalten wir unter Verwendung der Formel eine der Lösungen des ursprünglichen homogenen SLAE.

Wenn wir also ein grundlegendes Lösungssystem finden, können wir alle Lösungen dieses homogenen SLAE als definieren.

Lassen Sie uns den Prozess der Konstruktion eines grundlegenden Lösungssystems für ein homogenes SLAE zeigen.

Wir wählen die Basis Minor des ursprünglichen linearen Gleichungssystems aus, schließen alle anderen Gleichungen aus dem System aus und übertragen alle Terme, die freie unbekannte Variablen enthalten, mit entgegengesetzten Vorzeichen auf die rechten Seiten der Gleichungen des Systems. Geben wir den freien unbekannten Variablen die Werte 1,0,0,...,0 und berechnen wir die Hauptunbekannten, indem wir das resultierende elementare lineare Gleichungssystem auf beliebige Weise lösen, beispielsweise mit der Cramer-Methode. Dies führt zu X (1) – der ersten Lösung des Fundamentalsystems. Wenn wir den freien Unbekannten die Werte 0,1,0,0,…,0 geben und die Hauptunbekannten berechnen, erhalten wir X (2) . Usw. Wenn wir den freien unbekannten Variablen die Werte 0,0,…,0,1 zuweisen und die Hauptunbekannten berechnen, erhalten wir X (n-r) . Auf diese Weise wird ein grundlegendes Lösungssystem für ein homogenes SLAE konstruiert und seine allgemeine Lösung kann in der Form geschrieben werden.

Für inhomogene Systeme linearer algebraischer Gleichungen wird die allgemeine Lösung in der Form dargestellt, wobei die allgemeine Lösung des entsprechenden homogenen Systems und die besondere Lösung des ursprünglichen inhomogenen SLAE sind, die wir erhalten, indem wir den freien Unbekannten die Werte geben 0,0,…,0 und Berechnen der Werte der wichtigsten Unbekannten.

Schauen wir uns Beispiele an.

Beispiel.

Finden Sie das grundlegende Lösungssystem und die allgemeine Lösung eines homogenen Systems linearer algebraischer Gleichungen .

Lösung.

Der Rang der Hauptmatrix homogener linearer Gleichungssysteme ist immer gleich dem Rang der erweiterten Matrix. Lassen Sie uns den Rang der Hauptmatrix mithilfe der Methode der angrenzenden Nebenmatrix ermitteln. Als Nicht-Null-Minor erster Ordnung nehmen wir das Element a 1 1 = 9 der Hauptmatrix des Systems. Suchen wir das angrenzende Moll zweiter Ordnung ungleich Null:

Es wurde ein von Null verschiedenes Moll zweiter Ordnung gefunden. Gehen wir die angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung auf der Suche nach einem Nicht-Null-Wert durch:

Alle angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung sind gleich Null, daher ist der Rang der Haupt- und erweiterten Matrix gleich zwei. Lass uns nehmen . Der Klarheit halber notieren wir uns die Elemente des Systems, aus denen es besteht:

Die dritte Gleichung des ursprünglichen SLAE ist nicht an der Bildung der Basis Minor beteiligt und kann daher ausgeschlossen werden:

Wir belassen die Terme mit den Hauptunbekannten auf der rechten Seite der Gleichungen und übertragen die Terme mit freien Unbekannten auf die rechte Seite:

Konstruieren wir ein grundlegendes Lösungssystem für das ursprüngliche homogene System linearer Gleichungen. Das grundlegende Lösungssystem dieses SLAE besteht aus zwei Lösungen, da das ursprüngliche SLAE vier unbekannte Variablen enthält und die Ordnung seiner Basis-Minor-Variablen gleich zwei ist. Um X (1) zu finden, geben wir den freien unbekannten Variablen die Werte x 2 = 1, x 4 = 0, dann finden wir die wichtigsten Unbekannten aus dem Gleichungssystem
.

Du kannst bestellen detaillierte Lösung deine Aufgabe!!!

Um zu verstehen, was es ist grundlegendes Entscheidungssystem Sie können sich ein Video-Tutorial zum gleichen Beispiel ansehen, indem Sie auf klicken. Kommen wir nun zur eigentlichen Beschreibung aller notwendigen Arbeiten. Dies wird Ihnen helfen, den Kern dieses Problems genauer zu verstehen.

Wie findet man das grundlegende Lösungssystem einer linearen Gleichung?

Nehmen wir als Beispiel das folgende lineare Gleichungssystem:

Lassen Sie uns hierfür eine Lösung finden lineares System Gleichungen Zunächst einmal wir Sie müssen die Koeffizientenmatrix des Systems aufschreiben.

Lassen Sie uns diese Matrix in eine dreieckige umwandeln. Wir schreiben die erste Zeile ohne Änderungen um. Und alle Elemente, die unter $a_(11)$ liegen, müssen auf Null gesetzt werden. Um anstelle des Elements $a_(21)$ eine Null zu erzeugen, müssen Sie die erste von der zweiten Zeile subtrahieren und die Differenz in die zweite Zeile schreiben. Um anstelle des Elements $a_(31)$ eine Null zu erzeugen, müssen Sie die erste von der dritten Zeile subtrahieren und die Differenz in die dritte Zeile schreiben. Um anstelle des Elements $a_(41)$ eine Null zu erzeugen, müssen Sie den ersten Wert multipliziert mit 2 von der vierten Zeile subtrahieren und die Differenz in die vierte Zeile schreiben. Um anstelle des Elements $a_(31)$ eine Null zu erzeugen, müssen Sie den ersten Wert multipliziert mit 2 von der fünften Zeile subtrahieren und die Differenz in die fünfte Zeile schreiben.

Wir schreiben die erste und zweite Zeile ohne Änderungen neu. Und alle Elemente, die unter $a_(22)$ liegen, müssen zu Nullen gemacht werden. Um eine Null anstelle des Elements $a_(32)$ zu erzeugen, müssen Sie die zweite Eins multipliziert mit 2 von der dritten Zeile subtrahieren und die Differenz in die dritte Zeile schreiben. Um anstelle des Elements $a_(42)$ eine Null zu erzeugen, müssen Sie die Sekunde multipliziert mit 2 von der vierten Zeile subtrahieren und die Differenz in die vierte Zeile schreiben. Um eine Null anstelle des Elements $a_(52)$ zu erzeugen, müssen Sie die Sekunde multipliziert mit 3 von der fünften Zeile subtrahieren und die Differenz in die fünfte Zeile schreiben.

Wir sehen das Die letzten drei Zeilen sind gleich Wenn Sie also die Terz von der Quarte und der Quinte subtrahieren, werden sie zu Null.

Nach dieser Matrix aufschreiben neues System Gleichungen.

Wir sehen, dass wir nur drei linear unabhängige Gleichungen und fünf Unbekannte haben, sodass das grundlegende Lösungssystem aus zwei Vektoren besteht. Also wir Wir müssen die letzten beiden Unbekannten nach rechts verschieben.

Jetzt beginnen wir, die Unbekannten auf der linken Seite durch diejenigen auf der rechten Seite auszudrücken. Wir beginnen mit der letzten Gleichung, zuerst drücken wir $x_3$ aus, dann setzen wir das resultierende Ergebnis in die zweite Gleichung ein und drücken $x_2$ aus, und dann in die erste Gleichung und hier drücken wir $x_1$ aus. Daher haben wir alle Unbekannten auf der linken Seite durch die Unbekannten auf der rechten Seite ausgedrückt.

Dann können wir anstelle von $x_4$ und $x_5$ beliebige Zahlen ersetzen und $x_1$, $x_2$ und $x_3$ finden. Jede fünf dieser Zahlen wird die Wurzeln unseres ursprünglichen Gleichungssystems sein. Um die Vektoren zu finden, die enthalten sind FSR Wir müssen 1 anstelle von $x_4$ und 0 anstelle von $x_5$ ersetzen, $x_1$, $x_2$ und $x_3$ finden und dann umgekehrt $x_4=0$ und $x_5=1$.