Wie man ein lineares Gleichungssystem nach Cramers Methode löst. Lösen Sie das Gleichungssystem mit den Methoden von Cramer, Gauss und mit der inversen Matrix

Das Cramer-Verfahren oder die sogenannte Cramer-Regel ist eine Möglichkeit, in Gleichungssystemen nach unbekannten Größen zu suchen. Es kann nur verwendet werden, wenn die Anzahl der gesuchten Werte der Anzahl entspricht algebraische Gleichungen im System, das heißt, die aus dem System gebildete Hauptmatrix muss quadratisch sein und darf keine Nullzeilen enthalten, und auch wenn ihre Determinante nicht Null sein darf.

Satz 1

Satz von Cramer Wenn die Hauptdeterminante $D$ der aus den Koeffizienten der Gleichungen gebildeten Hauptmatrix ungleich Null ist, dann ist das Gleichungssystem konsistent und hat eine eindeutige Lösung. Die Lösung eines solchen Systems wird durch die sogenannten Cramer-Formeln zur Lösung von Systemen berechnet lineare Gleichungen: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Was ist die Cramer-Methode

Die Essenz der Cramer-Methode ist wie folgt:

1. Um das System nach Cramer zu lösen, berechnen wir zunächst die Hauptdeterminante der Matrix $D$. Wenn sich herausstellt, dass die berechnete Determinante der Hauptmatrix nach der Cramer-Methode gleich Null ist, hat das System keine einzige Lösung oder eine unendliche Anzahl von Lösungen. Um in diesem Fall eine allgemeine oder grundlegende Antwort für das System zu finden, wird empfohlen, die Gaußsche Methode anzuwenden.
2. Dann müssen Sie die letzte Spalte ersetzen Hauptmatrix auf die Spalte der freien Terme und berechnen Sie die Determinante $D_1$.
3. Wiederholen Sie dasselbe für alle Spalten und erhalten Sie die Determinanten von $D_1$ bis $D_n$, wobei $n$ die Nummer der Spalte ganz rechts ist.
4. Nachdem alle Determinanten von $D_1$...$D_n$ gefunden wurden, können die unbekannten Variablen mit der Formel $x_i = \frac(D_i)(D)$ berechnet werden.

Techniken zur Berechnung der Determinante einer Matrix

Um die Determinante einer Matrix mit einer Dimension größer als 2 mal 2 zu berechnen, können mehrere Methoden verwendet werden:

• Die Regel der Dreiecke oder die Regel von Sarrus ähnelt der gleichen Regel. Das Wesentliche der Dreiecksmethode besteht darin, dass bei der Berechnung der Determinante des Produkts aller Zahlen, die in der Abbildung durch eine rote Linie auf der rechten Seite verbunden sind, diese mit einem Pluszeichen geschrieben werden und alle Zahlen in der Abbildung auf ähnliche Weise verbunden sind links - mit einem Minuszeichen. Beide Regeln eignen sich für Matrizen von 3 x 3. Bei der Sarrus-Regel wird zuerst die Matrix selbst umgeschrieben und daneben ihre erste und zweite Spalte noch einmal umgeschrieben. Durch die Matrix und diese zusätzlichen Spalten werden Diagonalen gezogen, wobei auf der Hauptdiagonalen oder parallel dazu liegende Matrixglieder mit einem Pluszeichen und auf der Nebendiagonale oder parallel dazu liegende Elemente mit einem Minuszeichen geschrieben werden.

Abbildung 1. Dreiecksregel zur Berechnung der Determinante für das Cramer-Verfahren

• Bei einem als Gaußsches Verfahren bekannten Verfahren wird dieses Verfahren manchmal auch als Determinantenreduktion bezeichnet. In diesem Fall wird die Matrix transformiert und in eine Dreiecksform gebracht, und dann werden alle Zahlen auf der Hauptdiagonale multipliziert. Es sollte daran erinnert werden, dass man bei einer solchen Suche nach einer Determinante Zeilen oder Spalten nicht mit Zahlen multiplizieren oder dividieren kann, ohne sie als Faktor oder Teiler herauszunehmen. Bei der Suche nach einer Determinante ist es nur möglich, Zeilen und Spalten zu subtrahieren und zu addieren, nachdem zuvor die subtrahierte Zeile mit einem Faktor ungleich Null multipliziert wurde. Außerdem sollte man sich bei jeder Permutation der Zeilen oder Spalten der Matrix daran erinnern, dass das Endzeichen der Matrix geändert werden muss.
• Beim Lösen von Cramers SLAE mit 4 Unbekannten ist es am besten, die Gaußsche Methode zum Suchen und Finden von Determinanten zu verwenden oder die Determinante durch die Suche nach Minoren zu bestimmen.

Lösen von Gleichungssystemen nach Cramers Methode

Wir wenden das Cramer-Verfahren für ein System aus 2 Gleichungen und zwei erforderlichen Größen an:

$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$

Lassen Sie uns es der Einfachheit halber in einer erweiterten Form anzeigen:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Finden Sie die Determinante der Hauptmatrix, auch Hauptdeterminante des Systems genannt:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Wenn die Hauptdeterminante ungleich Null ist, müssen zur Lösung des Sumpfes nach der Cramer-Methode ein paar weitere Determinanten aus zwei Matrizen berechnet werden, wobei die Spalten der Hauptmatrix durch eine Reihe freier Elemente ersetzt werden:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Lassen Sie uns nun die Unbekannten $x_1$ und $x_2$ finden:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Beispiel 1

Cramers Methode zum Lösen eines SLAE mit einer Hauptmatrix 3. Ordnung (3 x 3) und drei gewünschten.

Lösen Sie das Gleichungssystem:

$\begin(cases) 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 - x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$

Wir berechnen die Hauptdeterminante der Matrix mit der obigen Regel unter Absatz Nummer 1:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 4 \cdot 2 - 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - $64

Und nun drei weitere Determinanten:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 - 4 \cdot 4 \cdot 10 - 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - 296 $

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 $

$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 \u003d 120 - 63 - 36 - 168 + 60 + 27 \u003d - 60 $

Lassen Sie uns die erforderlichen Werte finden:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac(15) (16)$

Im ersten Teil haben wir theoretisches Material, die Substitutionsmethode sowie die Methode der Term-für-Term-Addition von Systemgleichungen betrachtet. Allen, die über diese Seite auf die Website gekommen sind, empfehle ich, den ersten Teil zu lesen. Vielleicht finden manche Besucher den Stoff zu einfach, aber im Laufe des Lösens von linearen Gleichungssystemen habe ich einige sehr wichtige Bemerkungen und Schlussfolgerungen bezüglich der Lösung gemacht Mathe Probleme im Allgemeinen.

Und jetzt analysieren wir die Cramersche Regel sowie die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit der inversen Matrix (Matrixmethode). Alle Materialien werden einfach, detailliert und klar präsentiert, fast alle Leser werden in der Lage sein, zu lernen, wie man Systeme mit den oben genannten Methoden löst.

Wir betrachten zunächst die Cramersche Regel im Detail für ein System aus zwei linearen Gleichungen in zwei Unbekannten. Wozu? - Schließlich das einfachste System kann durch die Schulmethode gelöst werden, durch Begriffsaddition!

Tatsache ist, dass es manchmal eine solche Aufgabe gibt, ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten mit Cramers Formeln zu lösen. Zweitens hilft Ihnen ein einfacheres Beispiel zu verstehen, wie Sie die Cramersche Regel für einen komplexeren Fall anwenden – ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten.

Außerdem gibt es lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen, die man am besten exakt nach der Cramerschen Regel löst!

Betrachten Sie das Gleichungssystem

Im ersten Schritt berechnen wir die Determinante , heißt sie die Hauptdeterminante des Systems.

Gauss-Methode.

Wenn , dann hat das System eine eindeutige Lösung, und um die Wurzeln zu finden, müssen wir zwei weitere Determinanten berechnen:
und

In der Praxis können auch die oben genannten Determinanten bezeichnet werden Lateinischer Buchstabe.

Die Wurzeln der Gleichung werden durch die Formeln gefunden:
,

Beispiel 7

Löse ein lineares Gleichungssystem

Entscheidung: Wir sehen, dass die Koeffizienten der Gleichung ziemlich groß sind, auf der rechten Seite gibt es Dezimalstellen mit einem Komma. Das Komma ist ein eher seltener Gast bei praktischen Aufgaben in der Mathematik, dieses System habe ich einem ökonometrischen Problem entnommen.

Wie löst man ein solches System? Sie können versuchen, eine Variable durch eine andere auszudrücken, aber in diesem Fall erhalten Sie sicherlich schreckliche, ausgefallene Brüche, mit denen Sie äußerst unbequem arbeiten können, und das Design der Lösung wird einfach schrecklich aussehen. Du kannst die zweite Gleichung mit 6 multiplizieren und Term für Term subtrahieren, aber hier erscheinen dieselben Brüche.

Was zu tun ist? In solchen Fällen helfen Cramers Formeln.

;

;

Antworten: ,

Beide Wurzeln haben unendliche Schwänze und werden ungefähr gefunden, was für ökonometrische Probleme durchaus akzeptabel (und sogar alltäglich) ist.

Kommentare sind hier nicht erforderlich, da die Aufgabe nach vorgefertigten Formeln gelöst wird, es gibt jedoch eine Einschränkung. Wenn Sie diese Methode verwenden, verpflichtend Das Fragment der Aufgabe ist das folgende Fragment: „Das System hat also eine einzigartige Lösung“. Andernfalls kann der Rezensent Sie dafür bestrafen, dass Sie Cramers Theorem nicht respektieren.

Es ist nicht überflüssig zu überprüfen, was auf einem Taschenrechner bequem durchzuführen ist: Wir ersetzen die ungefähren Werte auf der linken Seite jeder Gleichung des Systems. Als Ergebnis sollten mit einem kleinen Fehler Zahlen erhalten werden, die auf der rechten Seite stehen.

Beispiel 8

Drücken Sie Ihre Antwort in gewöhnlichen unechten Brüchen aus. Machen Sie einen Scheck.

Dies ist ein Beispiel für eine eigenständige Lösung (Beispiel für feines Design und Antwort am Ende der Lektion).

Wir wenden uns der Betrachtung der Cramerschen Regel für ein System von drei Gleichungen mit drei Unbekannten zu:

Wir finden die Hauptdeterminante des Systems:

Wenn , dann hat das System unendlich viele Lösungen oder ist inkonsistent (hat keine Lösungen). In diesem Fall hilft die Cramer-Regel nicht, Sie müssen die Gauß-Methode verwenden.

Wenn , dann hat das System eine eindeutige Lösung, und um die Wurzeln zu finden, müssen wir drei weitere Determinanten berechnen:
, ,

Und schließlich wird die Antwort durch die Formeln berechnet:

Wie Sie sehen, unterscheidet sich der Fall „drei mal drei“ grundsätzlich nicht vom Fall „zwei mal zwei“, die Spalte der freien Terme „wandert“ nacheinander von links nach rechts entlang der Spalten der Hauptdeterminante.

Beispiel 9

Lösen Sie das System mit Cramers Formeln.

Entscheidung: Lösen wir das System mit Cramers Formeln.

, also hat das System eine eindeutige Lösung.

Antworten: .

Eigentlich gibt es hier wieder nichts Besonderes zu kommentieren, in Anbetracht der Tatsache, dass die Entscheidung nach vorgefertigten Formeln getroffen wird. Aber es gibt ein paar Anmerkungen.

Es kommt vor, dass als Ergebnis von Berechnungen „schlechte“ irreduzible Brüche erhalten werden, zum Beispiel: .
Ich empfehle den folgenden „Behandlungs“-Algorithmus. Wenn kein Computer zur Hand ist, machen wir Folgendes:

1) Möglicherweise liegt ein Fehler in den Berechnungen vor. Sobald Sie auf einen „schlechten“ Schuss stoßen, müssen Sie sofort prüfen, ob ist die Bedingung richtig umgeschrieben. Wenn die Bedingung fehlerfrei umgeschrieben wird, müssen Sie die Determinanten mithilfe der Erweiterung in einer anderen Zeile (Spalte) neu berechnen.

2) Wenn bei der Überprüfung keine Fehler gefunden wurden, dann wurde höchstwahrscheinlich ein Tippfehler in der Bedingung der Aufgabe gemacht. Lösen Sie in diesem Fall die Aufgabe ruhig und SORGFÄLTIG bis zum Ende und dann unbedingt prüfen und nach der Entscheidung in Reinschrift zu erstellen. Natürlich ist es eine unangenehme Aufgabe, eine Teilantwort zu überprüfen, aber es wird ein entwaffnendes Argument für den Lehrer sein, der, nun ja, wirklich gerne ein Minus für so etwas wie Schlechtes setzt. Wie mit Brüchen umgegangen wird, ist in der Antwort zu Beispiel 8 beschrieben.

Wenn Sie einen Computer zur Hand haben, überprüfen Sie ihn mit einem automatisierten Programm, das Sie gleich zu Beginn des Unterrichts kostenlos herunterladen können. Übrigens ist es am vorteilhaftesten, das Programm gleich (noch bevor Sie mit der Lösung beginnen) zu verwenden, Sie sehen sofort den Zwischenschritt, bei dem Sie einen Fehler gemacht haben! Derselbe Rechner berechnet automatisch die Lösung des Systems Matrix-Methode.

Zweite Bemerkung. Von Zeit zu Zeit gibt es Systeme, in deren Gleichungen einige Variablen fehlen, zum Beispiel:

Hier gibt es in der ersten Gleichung keine Variable, in der zweiten keine Variable. In solchen Fällen ist es sehr wichtig, die Hauptdeterminante richtig und SORGFÄLTIG aufzuschreiben:
– Fehlende Variablen werden durch Nullen ersetzt.
Übrigens ist es sinnvoll, Determinanten mit Nullen in der Zeile (Spalte) zu öffnen, in der die Null steht, da es merklich weniger Berechnungen gibt.

Beispiel 10

Lösen Sie das System mit Cramers Formeln.

Dies ist ein Beispiel für die Selbstlösung (Abschlussprobe und Antwort am Ende der Lektion).

Für den Fall eines Systems aus 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten werden die Formeln von Cramer nach ähnlichen Prinzipien geschrieben. Sie können ein Live-Beispiel in der Lektion Determinanteneigenschaften sehen. Reduzieren der Ordnung der Determinante - fünf Determinanten 4. Ordnung sind gut lösbar. Wobei die Aufgabe schon sehr an den Schuh eines Professors auf der Brust eines glücklichen Studenten erinnert.

Lösung des Systems mit der inversen Matrix

Das Inverse-Matrix-Verfahren ist im Wesentlichen ein Sonderfall Matrixgleichung(Siehe Beispiel Nr. 3 der angegebenen Lektion).

Um diesen Abschnitt zu studieren, müssen Sie in der Lage sein, die Determinanten zu erweitern, die inverse Matrix zu finden und eine Matrixmultiplikation durchzuführen. Relevante Links werden im Verlauf der Erläuterung angegeben.

Beispiel 11

Lösen Sie das System mit der Matrixmethode

Entscheidung: Wir schreiben das System in Matrixform:
, wo

Bitte schauen Sie sich das Gleichungssystem und die Matrizen an. Nach welchem ​​​​Prinzip schreiben wir Elemente in Matrizen, ich denke, jeder versteht es. Einziger Kommentar: Wenn in den Gleichungen einige Variablen fehlen würden, müssten an den entsprechenden Stellen in der Matrix Nullen eingesetzt werden.

Wir finden die inverse Matrix durch die Formel:
, wo ist die transponierte Matrix der algebraischen Komplemente der entsprechenden Elemente der Matrix .

Befassen wir uns zunächst mit der Determinante:

Hier wird die Determinante um die erste Zeile erweitert.

Aufmerksamkeit! Wenn , dann existiert die inverse Matrix nicht, und es ist unmöglich, das System mit der Matrixmethode zu lösen. In diesem Fall wird das System durch Elimination von Unbekannten (Gauß-Verfahren) gelöst.

Jetzt müssen Sie 9 Minoren berechnen und in die Minorenmatrix eintragen

Bezug: Es ist nützlich, die Bedeutung doppelter Indizes in der linearen Algebra zu kennen. Die erste Ziffer ist die Zeilennummer, auf der die gegebenes Element. Die zweite Ziffer ist die Nummer der Spalte, in der sich das Element befindet:

Das heißt, ein doppelter Index gibt an, dass sich das Element in der ersten Zeile, dritten Spalte befindet, während sich das Element beispielsweise in der 3. Zeile, 2. Spalte befindet

Das lineare Gleichungssystem enthalte so viele Gleichungen wie unabhängige Variablen, d.h. hat die Form

Solche linearen Gleichungssysteme heißen quadratisch. Die aus den Koeffizienten der unabhängigen Variablen des Systems zusammengesetzte Determinante (1.5) heißt Hauptdeterminante des Systems. Wir werden es beschriften griechischer Brief D. Also

. (1.6)

Wenn in der Hauptdeterminante eine beliebige ( j th) Spalte, ersetzen Sie sie durch die Spalte der freien Mitglieder des Systems (1.5), dann können wir mehr bekommen n Hilfsdeterminanten:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramersche Regel Das Lösen quadratischer Systeme linearer Gleichungen ist wie folgt. Wenn die Hauptdeterminante D des Systems (1.5) nicht Null ist, dann hat das System eine eindeutige Lösung, die durch die Formeln gefunden werden kann:

(1.8)

Beispiel 1.5. Lösen Sie das Gleichungssystem mit der Methode von Cramer

.

Berechnen wir die Hauptdeterminante des Systems:

Seit D¹0 hat das System eine eindeutige Lösung, die mit Hilfe der Formeln (1.8) gefunden werden kann:

Auf diese Weise,

Matrix-Aktionen

1. Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl. Die Operation des Multiplizierens einer Matrix mit einer Zahl ist wie folgt definiert.

2. Um eine Matrix mit einer Zahl zu multiplizieren, müssen Sie alle ihre Elemente mit dieser Zahl multiplizieren. Also

. (1.9)

Beispiel 1.6. .

Matrixaddition.

Diese Operation wird nur für Matrizen derselben Ordnung eingeführt.

Um zwei Matrizen zu addieren, müssen die entsprechenden Elemente der anderen Matrix zu den Elementen einer Matrix addiert werden:

(1.10)
Die Operation der Matrixaddition hat die Eigenschaften der Assoziativität und Kommutativität.

Beispiel 1.7. .

Matrix-Multiplikation.

Wenn die Anzahl der Matrixspalten UND entspricht der Anzahl der Matrixzeilen BEI, dann wird für solche Matrizen die Operation der Multiplikation eingeführt:

2

Also beim Multiplizieren der Matrix UND Maße m´ n zu Matrix BEI Maße n´ k Wir bekommen eine Matrix VON Maße m´ k. In diesem Fall die Elemente der Matrix VON werden nach folgenden Formeln berechnet:

Aufgabe 1.8. Finden Sie, wenn möglich, das Produkt von Matrizen AB und BA:

Entscheidung. 1) Um eine Arbeit zu finden AB, benötigen Sie Matrixzeilen EIN mit Matrixspalten multiplizieren B:

2) Kunstwerk BA existiert nicht, weil die Anzahl der Spalten der Matrix B stimmt nicht mit der Anzahl der Matrixzeilen überein EIN.

Inverse Matrix. Lineare Gleichungssysteme matrixartig lösen

Matrix EIN- 1 heißt die Inverse einer quadratischen Matrix UND wenn die Gleichheit gilt:

wo durch ich bezeichnet die Identitätsmatrix derselben Ordnung wie die Matrix UND:

.

Damit eine quadratische Matrix eine Inverse hat, ist es notwendig und ausreichend, dass ihre Determinante ungleich Null ist. Die inverse Matrix wird durch die Formel gefunden:

, (1.13)

wo Ein ij- algebraische Additionen zu Elementen aij Matrizen UND(Beachten Sie, dass algebraische Additionen zu den Zeilen der Matrix UND sind in Form entsprechender Spalten in der inversen Matrix angeordnet).

Beispiel 1.9. Inverse Matrix finden EIN- 1 zu Matrix

.

Wir finden die inverse Matrix durch Formel (1.13), die für den Fall n= 3 sieht so aus:

.

Lass uns det finden EIN = | EIN| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Da die Determinante der ursprünglichen Matrix von Null verschieden ist, existiert die inverse Matrix.

1) Finde algebraische Additionen Ein ij:

Um die inverse Matrix bequem finden zu können, haben wir die algebraischen Additionen zu den Zeilen der ursprünglichen Matrix in die entsprechenden Spalten gesetzt.

Aus den erhaltenen algebraischen Additionen stellen wir eine neue Matrix zusammen und dividieren sie durch die Determinante det EIN. Damit erhalten wir die inverse Matrix:

Quadratische Systeme linearer Gleichungen mit einer Hauptdeterminante ungleich Null können mit einer inversen Matrix gelöst werden. Dazu wird System (1.5) in Matrixform geschrieben:

wo

Multiplizieren beider Seiten der Gleichheit (1.14) links mit EIN- 1 erhalten wir die Lösung des Systems:

, wo

Um also eine Lösung für ein quadratisches System zu finden, müssen Sie die inverse Matrix zur Hauptmatrix des Systems finden und rechts mit der Spaltenmatrix der freien Terme multiplizieren.

Aufgabe 1.10. Löse ein lineares Gleichungssystem

unter Verwendung einer inversen Matrix.

Entscheidung. Wir schreiben das System in Matrixform:

wo ist die Hauptmatrix des Systems, ist die Spalte der Unbekannten und ist die Spalte der freien Mitglieder. Da die Hauptdeterminante des Systems , dann die Hauptmatrix des Systems UND hat eine inverse Matrix UND-1 . Um die inverse Matrix zu finden UND-1 , berechne die algebraischen Komplemente zu allen Elementen der Matrix UND:

Aus den erhaltenen Zahlen erstellen wir eine Matrix (außerdem algebraische Additionen zu den Zeilen der Matrix UND schreibe in die entsprechenden Spalten) und dividiere sie durch die Determinante D. Damit haben wir die inverse Matrix gefunden:

Die Lösung des Systems ergibt sich aus der Formel (1.15):

Auf diese Weise,

Lineare Gleichungssysteme durch gewöhnliche Jordan-Ausnahmen lösen

Gegeben sei ein beliebiges (nicht unbedingt quadratisches) lineares Gleichungssystem:

(1.16)

Es ist erforderlich, eine Lösung für das System zu finden, d.h. eine solche Menge von Variablen, die alle Gleichungen des Systems (1.16) erfüllt. BEI Allgemeiner Fall System (1.16) kann nicht nur eine Lösung haben, sondern auch unendlich viele Lösungen. Es kann auch sein, dass es überhaupt keine Lösungen gibt.

Bei der Lösung solcher Aufgaben wird die aus dem Schulunterricht bekannte Methode der Unbekannten verwendet, die auch als Methode der gewöhnlichen Jordan-Eliminationen bezeichnet wird. Das Wesen dieser Methode liegt darin, dass in einer der Gleichungen des Systems (1.16) eine der Variablen durch andere Variablen ausgedrückt wird. Dann wird diese Variable in andere Gleichungen des Systems eingesetzt. Das Ergebnis ist ein System, das eine Gleichung und eine Variable weniger enthält als das ursprüngliche System. Die Gleichung, aus der die Variable ausgedrückt wurde, wird gespeichert.

Dieser Vorgang wird wiederholt, bis eine letzte Gleichung im System verbleibt. Bei der Eliminierung von Unbekannten können sich zum Beispiel einige Gleichungen in wahre Identitäten verwandeln. Solche Gleichungen werden aus dem System ausgeschlossen, da sie für beliebige Werte der Variablen gelten und daher die Lösung des Systems nicht beeinflussen. Wenn beim Eliminieren von Unbekannten mindestens eine Gleichung zu einer Gleichheit wird, die für keinen Wert der Variablen (z. B. ) erfüllt werden kann, schließen wir daraus, dass das System keine Lösung hat.

Wenn beim Lösen inkonsistenter Gleichungen keine inkonsistenten Gleichungen aufgetreten sind, wird eine der darin enthaltenen verbleibenden Variablen aus der letzten Gleichung gefunden. Wenn in der letzten Gleichung nur eine Variable verbleibt, wird sie als Zahl ausgedrückt. Wenn andere Variablen in der letzten Gleichung verbleiben, werden sie als Parameter betrachtet, und die durch sie ausgedrückte Variable ist eine Funktion dieser Parameter. Dann wird der sogenannte "Reverse Move" durchgeführt. Die gefundene Variable wird in die letzte gespeicherte Gleichung eingesetzt und die zweite Variable wird gefunden. Dann werden die zwei gefundenen Variablen in die vorletzte gespeicherte Gleichung eingesetzt und die dritte Variable wird gefunden, und so weiter bis zur ersten gespeicherten Gleichung.

Als Ergebnis erhalten wir die Lösung des Systems. Diese Lösung ist die einzige, wenn die gefundenen Variablen Zahlen sind. Wenn die erste gefundene Variable und dann alle anderen von den Parametern abhängen, hat das System eine unendliche Anzahl von Lösungen (jeder Parametersatz entspricht einer neuen Lösung). Formeln, die es ermöglichen, eine Lösung für das System in Abhängigkeit von einem bestimmten Satz von Parametern zu finden, werden als allgemeine Lösung des Systems bezeichnet.

Beispiel 1.11.

x

Nach dem Auswendiglernen der ersten Gleichung und indem wir ähnliche Terme in die zweite und dritte Gleichung bringen, gelangen wir zum System:

Äußern j aus der zweiten Gleichung und setze es in die erste Gleichung ein:

Denken Sie an die zweite Gleichung, und aus der ersten finden wir z:

Wenn wir den umgekehrten Schritt machen, finden wir nacheinander j und z. Dazu setzen wir zuerst in die letzte auswendig gelernte Gleichung ein, woraus wir finden j:

.

Dann setzen wir und in die erste gespeicherte Gleichung ein von wo wir finden x:

Aufgabe 1.12. Lösen Sie ein System linearer Gleichungen, indem Sie Unbekannte eliminieren:

. (1.17)

Entscheidung. Lassen Sie uns die Variable aus der ersten Gleichung ausdrücken x und setze es in die zweite und dritte Gleichung ein:

.

Erinnere dich an die erste Gleichung

In diesem System widersprechen sich die erste und die zweite Gleichung. Tatsächlich zum Ausdruck bringen j , erhalten wir, dass 14 = 17. Diese Gleichheit ist nicht erfüllt, für alle Werte der Variablen x, j, und z. Folglich ist System (1.17) inkonsistent, d. h. hat keine Lösung.

Die Leser werden gebeten, unabhängig zu überprüfen, ob die Hauptdeterminante des ursprünglichen Systems (1.17) gleich Null ist.

Betrachten Sie ein System, das sich von System (1.17) nur durch einen freien Term unterscheidet.

Aufgabe 1.13. Lösen Sie ein System linearer Gleichungen, indem Sie Unbekannte eliminieren:

. (1.18)

Entscheidung. Wie zuvor drücken wir die Variable aus der ersten Gleichung aus x und setze es in die zweite und dritte Gleichung ein:

.

Erinnere dich an die erste Gleichung und wir präsentieren ähnliche Terme in der zweiten und dritten Gleichung. Wir kommen zum System:

ausdrücken j aus der ersten Gleichung und Einsetzen in die zweite Gleichung , erhalten wir die Identität 14 = 14, die die Lösung des Systems nicht beeinflusst und daher aus dem System ausgeschlossen werden kann.

In der zuletzt gespeicherten Gleichheit ist die Variable z wird als Parameter berücksichtigt. Wir glauben . Dann

Ersatz j und z in die erste gespeicherte Gleichheit und finden x:

.

Somit hat das System (1.18) eine unendliche Menge von Lösungen, und jede Lösung kann aus den Formeln (1.19) gefunden werden, indem ein beliebiger Wert des Parameters gewählt wird t:

(1.19)
So sind die Lösungen des Systems beispielsweise die folgenden Sätze von Variablen (1; 2; 0), (2; 26; 14) usw. Die Formeln (1.19) drücken die allgemeine (beliebige) Lösung des Systems (1.18 ).

In dem Fall, wenn das ursprüngliche System (1.16) genug hat große Menge Gleichungen und Unbekannten erscheint die angegebene Methode der gewöhnlichen jordanischen Eliminationen umständlich. Dies ist jedoch nicht der Fall. Es reicht aus, einen Algorithmus zur Neuberechnung der Koeffizienten des Systems in einem Schritt abzuleiten Gesamtansicht und formalisieren Sie die Lösung des Problems in Form von speziellen Jordan-Tabellen.

Gegeben sei ein System linearer Formen (Gleichungen):

, (1.20)
wo xj- unabhängige (gewünschte) Variablen, aij- konstante Koeffizienten
(ich = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Rechte Teile des Systems y ich (ich = 1, 2,…, m) können sowohl Variablen (abhängig) als auch Konstanten sein. Es ist erforderlich, Lösungen für dieses System zu finden, indem Unbekannte eliminiert werden.

Betrachten wir die folgende Operation, die im Folgenden als "ein Schritt der gewöhnlichen Jordan-Ausnahmen" bezeichnet wird. Aus einem beliebigen ( r th) Gleichheit, drücken wir eine beliebige Variable aus ( x s) und in alle anderen Gleichheiten einsetzen. Dies ist natürlich nur möglich, wenn ein rs¹ 0. Koeffizient ein rs wird als auflösendes (manchmal führendes oder Haupt-) Element bezeichnet.

Wir erhalten das folgende System:

. (1.21)

Von s te Gleichheit von System (1.21), werden wir anschließend die Variable finden x s(nachdem andere Variablen gefunden wurden). S Die te Zeile wird gespeichert und anschließend aus dem System ausgeschlossen. Das verbleibende System enthält eine Gleichung und eine unabhängige Variable weniger als das ursprüngliche System.

Berechnen wir die Koeffizienten des resultierenden Systems (1.21) anhand der Koeffizienten des ursprünglichen Systems (1.20). Lass uns beginnen mit r te Gleichung, die nach dem Ausdrücken der Variablen x s durch den Rest der Variablen sieht so aus:

Also die neuen Koeffizienten r te Gleichung werden durch die folgenden Formeln berechnet:

(1.23)
Lassen Sie uns nun die neuen Koeffizienten berechnen bij(ich¹ r) willkürliche Gleichung. Dazu ersetzen wir die in (1.22) ausgedrückte Variable x s in ich te Systemgleichung (1.20):

Nachdem wir ähnliche Terme gebracht haben, erhalten wir:

(1.24)
Aus Gleichung (1.24) erhalten wir Formeln, mit denen die restlichen Koeffizienten des Systems (1.21) berechnet werden (mit Ausnahme von r te Gleichung):

(1.25)
Die Transformation linearer Gleichungssysteme nach der Methode der gewöhnlichen jordanischen Eliminationen wird in Form von Tabellen (Matrizen) dargestellt. Diese Tische werden "Jordan-Tische" genannt.

Somit ist Problem (1.20) mit der folgenden Jordan-Tabelle verknüpft:

Tabelle 1.1

	x 1	x 2	…	xj	…	x s	…	x n
j 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y ich=	ein ich 1	ein ich 2		aij		ein ist		ein ein
…………………………………………………………………..
y r=	ein r 1	ein r 2		ein RJ		ein rs		ein rn
………………………………………………………………….
ja n=	bin 1	bin 2		ein mj		eine ms		amn

Jordan-Tabelle 1.1 enthält die linke Kopfspalte, in die die rechten Teile des Systems (1.20) geschrieben werden, und die obere Kopfzeile, in die die unabhängigen Variablen geschrieben werden.

Die restlichen Elemente der Tabelle bilden die Hauptmatrix der Koeffizienten des Systems (1.20). Wenn wir die Matrix multiplizieren UND zu der Matrix, die aus den Elementen der oberen Kopfzeile besteht, dann erhalten wir die Matrix, die aus den Elementen der linken Kopfspalte besteht. Das heißt, die Jordan-Tabelle ist im Wesentlichen eine Matrixform zum Schreiben eines Systems linearer Gleichungen: . In diesem Fall entspricht die folgende Jordan-Tabelle dem System (1.21):

Tabelle 1.2

	x 1	x 2	…	xj	…	y r	…	x n
j 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y ich =	b ich 1	b ich 2		bij		b ist		Behälter
…………………………………………………………………..
x s =	Br 1	Br 2		b rj		Brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

Permissives Element ein rs werden wir fett hervorheben. Erinnern Sie sich daran, dass das Auflösungselement ungleich Null sein muss, um einen Schritt von Jordan-Ausnahmen zu implementieren. Eine Tabellenzeile, die ein zulässiges Element enthält, wird als zulässige Zeile bezeichnet. Die Spalte, die das enable-Element enthält, wird als enable-Spalte bezeichnet. Beim Wechseln von einer bestimmten Tabelle zur nächsten Tabelle wird eine Variable ( x s) aus der obersten Kopfzeile der Tabelle in die linke Kopfspalte verschoben und umgekehrt eines der freien Mitglieder des Systems ( y r) wird von der linken Kopfspalte der Tabelle in die oberste Kopfzeile verschoben.

Beschreiben wir den Algorithmus zur Neuberechnung der Koeffizienten beim Übergang von der Jordan-Tabelle (1.1) zur Tabelle (1.2), die sich aus den Formeln (1.23) und (1.25) ergibt.

1. Das Zustimmelement wird durch die inverse Zahl ersetzt:

2. Die restlichen Elemente der zulässigen Linie werden durch das zulässige Element geteilt und ändern das Vorzeichen in das Gegenteil:

3. Die restlichen Elemente der Freigabespalte werden in das Freigabeelement aufgeteilt:

4. Elemente, die nicht in der Auflösungszeile und Auflösungsspalte enthalten sind, werden gemäß den Formeln neu berechnet:

Die letzte Formel ist leicht zu merken, wenn Sie die Elemente bemerken, aus denen der Bruch besteht , sind an der Kreuzung ich-Oh und r-ten Zeilen und j th und s-te Spalte (auflösende Zeile, auflösende Spalte und die Zeile und Spalte, an deren Schnittpunkt sich das neu zu berechnende Element befindet). Genauer gesagt beim Auswendiglernen der Formel Sie können die folgende Tabelle verwenden:

-21 -26 -13 -37

Beim Ausführen des ersten Schritts der jordanischen Ausnahmen befindet sich jedes Element von Tabelle 1.3 in den Spalten x 1 ,…, x 5 (alle angegebenen Elemente sind ungleich Null). Sie sollten das aktivierende Element nicht nur in der letzten Spalte auswählen, denn müssen unabhängige Variablen finden x 1 ,…, x fünf . Wir wählen zum Beispiel den Koeffizienten 1 mit einer Variablen x 3 in der dritten Zeile von Tabelle 1.3 (das Freigabeelement ist fett dargestellt). Wenn Sie zu Tabelle 1.4 wechseln, wird die Variable x Die 3 aus der obersten Kopfzeile wird mit der Konstanten 0 der linken Kopfspalte (dritte Zeile) vertauscht. Gleichzeitig die Variable x 3 wird in Bezug auf die verbleibenden Variablen ausgedrückt.

Schnur x 3 (Tabelle 1.4) kann, wenn man sich vorher erinnert, aus Tabelle 1.4 ausgeschlossen werden. Tabelle 1.4 schließt auch die dritte Spalte mit einer Null in der oberen Kopfzeile aus. Der Punkt ist, dass unabhängig von den Koeffizienten angegebene Spalte b ich 3 alle ihm entsprechenden Terme jeder Gleichung 0 b ich 3 Systeme sind gleich Null. Daher können diese Koeffizienten nicht berechnet werden. Eine Variable eliminieren x 3 und indem wir uns an eine der Gleichungen erinnern, gelangen wir zu einem System, das Tabelle 1.4 entspricht (mit durchgestrichener Linie x 3). Auswahl in Tabelle 1.4 als Auflösungselement b 14 = -5, gehe zu Tabelle 1.5. In Tabelle 1.5 merken wir uns die erste Zeile und schließen sie zusammen mit der vierten Spalte (mit Null oben) aus der Tabelle aus.

Tabelle 1.5 Tabelle 1.6

Aus der letzten Tabelle 1.7 finden wir: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Indem wir die bereits gefundenen Variablen nacheinander in die gespeicherten Zeilen einsetzen, finden wir die verbleibenden Variablen:

Das System hat also unendlich viele Lösungen. Variable x 5 können Sie beliebige Werte zuweisen. Diese Variable fungiert als Parameter x 5 = T. Wir haben die Kompatibilität des Systems bewiesen und gefunden gemeinsame Entscheidung:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Parameter geben t verschiedene Bedeutungen, erhalten wir unendlich viele Lösungen für das ursprüngliche System. So ist beispielsweise die Lösung des Systems der folgende Satz von Variablen (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Cramers Methode basiert auf der Verwendung von Determinanten beim Lösen von linearen Gleichungssystemen. Dies beschleunigt den Lösungsprozess erheblich.

Das Cramer-Verfahren kann verwendet werden, um ein System aus so vielen linearen Gleichungen zu lösen, wie es in jeder Gleichung Unbekannte gibt. Wenn die Determinante des Systems ungleich Null ist, kann das Cramer-Verfahren zur Lösung verwendet werden, ist sie gleich Null, dann nicht. Darüber hinaus kann das Cramer-Verfahren verwendet werden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen, die eine eindeutige Lösung haben.

Definition. Die aus den Koeffizienten der Unbekannten zusammengesetzte Determinante wird Determinante des Systems genannt und mit (delta) bezeichnet.

Determinanten

erhält man, indem man die Koeffizienten an den entsprechenden Unbekannten durch freie Terme ersetzt:

;

.

Satz von Cramer. Wenn die Determinante des Systems ungleich Null ist, hat das lineare Gleichungssystem eine einzige Lösung, und die Unbekannte ist gleich dem Verhältnis der Determinanten. Der Nenner ist die Determinante des Systems, und der Zähler ist die Determinante, die man aus der Determinante des Systems erhält, indem man die Koeffizienten durch die Unbekannten durch freie Terme ersetzt. Dieser Satz gilt für ein System linearer Gleichungen beliebiger Ordnung.

Beispiel 1 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem:

Nach Satz von Cramer wir haben:

Also, die Lösung von System (2):

Online-Rechner, Lösungsverfahren nach Cramer.

Drei Fälle beim Lösen von linearen Gleichungssystemen

Wie aus hervorgeht Cramers Theoreme, beim Lösen eines linearen Gleichungssystems können drei Fälle auftreten:

Erster Fall: Das lineare Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung

(das System ist konsistent und eindeutig)

Zweiter Fall: Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen

(das System ist konsistent und unbestimmt)

** ,

jene. die Koeffizienten der Unbekannten und der freien Terme sind proportional.

Dritter Fall: Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösungen

(systeminkonsistent)

Also das System m lineare Gleichungen mit n Variablen aufgerufen wird unvereinbar wenn es keine Lösungen hat, und gemeinsam wenn es mindestens eine Lösung gibt. Ein gemeinsames Gleichungssystem, das nur eine Lösung hat, wird aufgerufen bestimmt, und mehr als eine unsicher.

Beispiele für das Lösen linearer Gleichungssysteme nach der Cramer-Methode

Lassen Sie das System

.

Basierend auf dem Satz von Cramer

………….
,

wo
-

Systemkennung. Die restlichen Determinanten erhält man, indem man die Spalte mit den Koeffizienten der entsprechenden Variablen (unbekannt) durch freie Mitglieder ersetzt:

Beispiel 2

.

Daher ist das System definitiv. Um seine Lösung zu finden, berechnen wir die Determinanten

Nach Cramers Formeln finden wir:

Also ist (1; 0; -1) die einzige Lösung des Systems.

Um die Lösungen der Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie den Online-Rechner, die Cramer-Lösungsmethode, verwenden.

Wenn es in einer oder mehreren Gleichungen keine Variablen im linearen Gleichungssystem gibt, dann sind in der Determinante die ihnen entsprechenden Elemente gleich Null! Dies ist das nächste Beispiel.

Beispiel 3 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem nach Cramers Methode:

.

Entscheidung. Wir finden die Determinante des Systems:

Schauen Sie sich das Gleichungssystem und die Determinante des Systems genau an und wiederholen Sie die Antwort auf die Frage, in welchen Fällen ein oder mehrere Elemente der Determinante gleich Null sind. Die Determinante ist also nicht gleich Null, also ist das System definitiv. Um seine Lösung zu finden, berechnen wir die Determinanten für die Unbekannten

Nach Cramers Formeln finden wir:

Die Lösung des Systems ist also (2; -1; 1).

Um die Lösungen der Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie den Online-Rechner, die Cramer-Lösungsmethode, verwenden.

Seitenanfang

Wir lösen weiterhin gemeinsam Systeme nach der Cramer-Methode

Wenn, wie bereits erwähnt, die Determinante des Systems gleich Null ist und die Determinanten für die Unbekannten ungleich Null sind, ist das System inkonsistent, d. h. es hat keine Lösungen. Lassen Sie uns dies anhand des folgenden Beispiels veranschaulichen.

Beispiel 6 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem nach Cramers Methode:

Entscheidung. Wir finden die Determinante des Systems:

Die Determinante des Systems ist gleich Null, daher ist das lineare Gleichungssystem entweder inkonsistent und eindeutig oder inkonsistent, dh es hat keine Lösungen. Zur Verdeutlichung berechnen wir die Determinanten für die Unbekannten

Die Determinanten für die Unbekannten sind ungleich Null, daher ist das System inkonsistent, dh es hat keine Lösungen.

Um die Lösungen der Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie den Online-Rechner, die Cramer-Lösungsmethode, verwenden.

Bei Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen gibt es auch solche, bei denen neben den Buchstaben für Variablen auch andere Buchstaben vorkommen. Diese Buchstaben stehen für eine Zahl, meistens eine reelle Zahl. In der Praxis führen solche Gleichungen und Gleichungssysteme zu Problemen, die allgemeinen Eigenschaften beliebiger Phänomene und Objekte zu finden. Das heißt, haben Sie welche erfunden? Neues Material oder ein Gerät, und um seine Eigenschaften zu beschreiben, die unabhängig von der Größe oder Anzahl der Kopien üblich sind, ist es notwendig, ein System linearer Gleichungen zu lösen, bei denen anstelle einiger Koeffizienten für Variablen Buchstaben stehen. Sie müssen nicht lange nach Beispielen suchen.

Das nächste Beispiel bezieht sich auf ein ähnliches Problem, nur dass die Anzahl der Gleichungen, Variablen und Buchstaben, die eine reelle Zahl bezeichnen, zunimmt.

Beispiel 8 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem nach Cramers Methode:

Entscheidung. Wir finden die Determinante des Systems:

Determinanten für Unbekannte finden

Cramers Methode wird verwendet, um Systeme linearer algebraischer Gleichungen (SLAE) zu lösen, bei denen die Anzahl der unbekannten Variablen gleich der Anzahl der Gleichungen ist und die Determinante der Hauptmatrix von Null verschieden ist. In diesem Artikel werden wir analysieren, wie unbekannte Variablen mit der Cramer-Methode gefunden und Formeln erhalten werden. Danach wenden wir uns Beispielen zu und beschreiben ausführlich die Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme nach dem Cramer-Verfahren.

Seitennavigation.

Cramer-Methode - Ableitung von Formeln.

Lassen Sie uns ein System linearer Gleichungen der Form lösen

Wobei x 1 , x 2 , …, x n unbekannte Variablen sind, a i j , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- numerische Koeffizienten, b 1 , b 2 , ..., b n - freie Mitglieder. Die Lösung von SLAE ist eine solche Menge von Werten x 1 , x 2 , …, x n , für die alle Gleichungen des Systems zu Identitäten werden.

In Matrixform kann dieses System geschrieben werden als A ⋅ X = B , wobei - die Hauptmatrix des Systems, ihre Elemente sind die Koeffizienten unbekannter Variablen, - die Matrix ist eine Spalte mit freien Termen und - die Matrix ist eine Spalte mit unbekannten Variablen. Nach Auffinden der Unbekannten x 1 , x 2 , …, x n wird die Matrix zur Lösung des Gleichungssystems und die Gleichheit A ⋅ X = B zur Identität .

Wir nehmen an, dass die Matrix A nicht ausgeartet ist, das heißt, ihre Determinante ist ungleich Null. In diesem Fall hat das System der linearen algebraischen Gleichungen eine eindeutige Lösung, die durch das Cramer-Verfahren gefunden werden kann. (Methoden zum Lösen von Systemen für werden im Abschnitt über das Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen besprochen).

Cramers Methode basiert auf zwei Eigenschaften der Matrixdeterminante:

Fangen wir also an, die unbekannte Variable x 1 zu finden. Dazu multiplizieren wir beide Teile der ersten Gleichung des Systems mit A 1 1, beide Teile der zweiten Gleichung - mit A 2 1 usw., beide Teile der n-ten Gleichung - mit A n 1 ( das heißt, wir multiplizieren die Gleichungen des Systems mit den entsprechenden algebraischen Komplementen der ersten Matrixspalte A ):

Wir addieren alle linken Teile der Gleichung des Systems, gruppieren die Terme mit unbekannten Variablen x 1, x 2, ..., x n und setzen diese Summe mit der Summe aller rechten Teile der Gleichungen gleich:

Wenden wir uns den zuvor geäußerten Eigenschaften der Determinante zu, dann haben wir

und die vorherige Gleichheit nimmt die Form an

wo

Ebenso finden wir x 2 . Dazu multiplizieren wir beide Teile der Gleichungen des Systems mit den algebraischen Komplementen der zweiten Spalte der Matrix A:

Wir addieren alle Gleichungen des Systems, gruppieren die Terme mit unbekannten Variablen x 1, x 2, ..., x n und wenden die Eigenschaften der Determinante an:

Woher
.

Die verbleibenden unbekannten Variablen werden ähnlich gefunden.

Wenn wir benennen

Dann bekommen wir Formeln zum Auffinden unbekannter Variablen mit der Cramer-Methode .

Kommentar.

Wenn das System der linearen algebraischen Gleichungen homogen ist, d. h. , dann hat es nur eine triviale Lösung (für ). Tatsächlich sind für null freie Terme alle Determinanten null sein, da sie eine Spalte mit null-Elementen enthalten. Daher die Formeln wird geben.

Algorithmus zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen nach dem Cramer-Verfahren.

Schreiben wir auf Algorithmus zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen nach dem Cramer-Verfahren.

Beispiele für das Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen nach der Cramer-Methode.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel.

Finden Sie eine Lösung für ein inhomogenes System linearer algebraischer Gleichungen mit der Methode von Cramer .

Entscheidung.

Die Hauptmatrix des Systems hat die Form . Wir berechnen seine Determinante nach der Formel :

Da die Determinante der Hauptmatrix des Systems nicht Null ist, hat die SLAE eine eindeutige Lösung, und sie kann durch das Cramer-Verfahren gefunden werden. Wir schreiben die Determinanten und auf. Wir ersetzen die erste Spalte der Hauptmatrix des Systems durch eine Spalte mit freien Termen und erhalten die Determinante . Ebenso ersetzen wir die zweite Spalte der Hauptmatrix durch eine Spalte mit freien Termen und erhalten .

Wir berechnen diese Determinanten:

Wir finden unbekannte Variablen x 1 und x 2 unter Verwendung der Formeln :

Lassen Sie uns einen Check machen. Wir setzen die erhaltenen Werte x 1 und x 2 in das ursprüngliche Gleichungssystem ein:

Beide Gleichungen des Systems werden zu Identitäten, daher wird die Lösung richtig gefunden.

Antworten:

.

Einige Elemente der Haupt-SLAE-Matrix können gleich Null sein. In diesem Fall gibt es keine entsprechenden unbekannten Variablen in den Gleichungen des Systems. Nehmen wir ein Beispiel.

Beispiel.

Finden Sie eine Lösung für ein lineares Gleichungssystem nach der Methode von Cramer .

Entscheidung.

Lassen Sie uns das System in der Form umschreiben um die Hauptmatrix des Systems zu sehen . Finde seine Determinante mit der Formel

Wir haben

Die Determinante der Hauptmatrix ist von Null verschieden, daher hat das lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung. Lassen Sie es uns nach Cramers Methode finden. Berechnen Sie die Determinanten :

Auf diese Weise,

Antworten:

Die Bezeichnungen unbekannter Variablen in den Gleichungen des Systems können von x 1 , x 2 , …, x n abweichen. Der Entscheidungsprozess wird dadurch nicht beeinträchtigt. Aber die Reihenfolge der unbekannten Variablen in den Gleichungen des Systems ist sehr wichtig, wenn die Hauptmatrix und die notwendigen Determinanten des Cramer-Verfahrens zusammengestellt werden. Lassen Sie uns diesen Punkt an einem Beispiel erläutern.

Beispiel.

Finden Sie mit der Methode von Cramer eine Lösung für ein System aus drei linearen algebraischen Gleichungen mit drei Unbekannten .

Entscheidung.

In diesem Beispiel haben die unbekannten Variablen eine andere Bezeichnung (x , y und z statt x 1 , x 2 und x 3 ). Dies hat keinen Einfluss auf den Verlauf der Lösung, aber seien Sie vorsichtig mit der Notation von Variablen. NICHT als Hauptmatrix des Systems nehmen . Sie müssen zuerst die unbekannten Variablen in allen Gleichungen des Systems ordnen. Dazu schreiben wir das Gleichungssystem um als . Jetzt ist die Hauptmatrix des Systems deutlich sichtbar . Berechnen wir seine Determinante:

Die Determinante der Hauptmatrix ist von Null verschieden, daher hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung. Lassen Sie es uns nach Cramers Methode finden. Schreiben wir die Determinanten auf (achte auf die Schreibweise) und berechne sie:

Es bleibt, unbekannte Variablen mit den Formeln zu finden :

Lassen Sie uns einen Check machen. Dazu multiplizieren wir die Hauptmatrix mit der resultierenden Lösung (ggf. siehe Abschnitt ):

Als Ergebnis haben wir eine Spalte mit freien Termen des ursprünglichen Gleichungssystems erhalten, sodass die Lösung korrekt gefunden wurde.

Antworten:

x = 0, y = -2, z = 3 .

Beispiel.

Lösen Sie das System linearer Gleichungen nach der Cramer-Methode , wobei a und b reelle Zahlen sind.

Entscheidung.

Antworten:

Beispiel.

Finden Sie eine Lösung für das Gleichungssystem Cramers Methode ist eine reelle Zahl.

Entscheidung.

Berechnen wir die Determinante der Hauptmatrix des Systems: . Ausdrücke haben ein Intervall, also für beliebige reelle Werte. Daher hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, die durch das Cramer-Verfahren gefunden werden kann. Wir berechnen und: