Ein Beispiel für das Finden des Schwerpunkts. Bestimmung des Schwerpunktes von ebenen Figuren

Den Schwerpunkt eines beliebigen Körpers durch sukzessives Aufsummieren der auf seine Einzelteile wirkenden Kräfte zu bestimmen, ist eine schwierige Aufgabe; es wird nur für Körper von vergleichsweise einfacher Form erleichtert.

Lassen Sie den Körper aus nur zwei Massengewichten bestehen und durch eine Stange verbunden sein (Abb. 125). Ist die Masse des Stabes klein im Vergleich zu den Massen und , kann sie vernachlässigt werden. Jede der Massen wird von der Schwerkraft gleich bzw. beeinflusst; beide sind senkrecht nach unten gerichtet, also parallel zueinander. An dem aus der Bedingung bestimmten Punkt greift bekanntlich die Resultierende zweier paralleler Kräfte an

Reis. 125. Bestimmung des Schwerpunktes eines aus zwei Lasten bestehenden Körpers

Daher teilt der Schwerpunkt den Abstand zwischen zwei Lasten in einem umgekehrten Verhältnis zum Verhältnis ihrer Massen. Wenn dieser Körper an einem Punkt aufgehängt wird, bleibt er im Gleichgewicht.

Da zwei gleiche Massen einen gemeinsamen Schwerpunkt in einem Punkt haben, der den Abstand zwischen diesen Massen halbiert, ist sofort klar, dass z. B. der Schwerpunkt eines homogenen Stabs in der Mitte des Stabs liegt (Abb. 126). .

Da jeder Durchmesser einer homogenen runden Scheibe sie in zwei völlig identische symmetrische Teile teilt (Abb. 127), muss der Schwerpunkt auf jedem Durchmesser der Scheibe liegen, dh im Schnittpunkt der Durchmesser - in der Geometrie Mittelpunkt der Scheibe. In ähnlicher Weise können wir feststellen, dass der Schwerpunkt einer homogenen Kugel in ihrem geometrischen Mittelpunkt liegt, der Schwerpunkt eines homogenen rechteckigen Parallelepipeds auf dem Schnittpunkt seiner Diagonalen usw. Der Schwerpunkt eines Reifens oder Ring liegt in seiner Mitte. Das letzte Beispiel zeigt, dass der Schwerpunkt eines Körpers außerhalb des Körpers liegen kann.

Reis. 126. Der Schwerpunkt eines homogenen Stabes liegt in seiner Mitte

Reis. 127. Der Mittelpunkt einer homogenen Scheibe liegt in ihrem geometrischen Mittelpunkt

Hat der Körper eine unregelmäßige Form oder ist er inhomogen (z. B. mit Hohlräumen), so ist die Berechnung der Schwerpunktlage oft schwierig und durch Erfahrung besser zu finden. Beispielsweise ist es erforderlich, den Schwerpunkt eines Stücks Sperrholz zu finden. Hängen wir es an einen Faden (Abb. 128). Offensichtlich muss in der Gleichgewichtslage der Schwerpunkt des Körpers auf der Fortsetzung des Fadens liegen, da sonst die Schwerkraft ein Moment relativ zum Aufhängepunkt hat, das den Körper zu drehen beginnen würde. Wenn wir also eine gerade Linie auf unser Sperrholzstück zeichnen, die die Fortsetzung des Fadens darstellt, können wir behaupten, dass der Schwerpunkt auf dieser geraden Linie liegt.

Indem wir den Körper an verschiedenen Punkten aufhängen und vertikale Linien zeichnen, stellen wir sicher, dass sich alle an einem Punkt schneiden. Dieser Punkt ist der Schwerpunkt des Körpers (da er gleichzeitig auf allen solchen Linien liegen muss). Auf ähnliche Weise kann man die Lage des Schwerpunkts nicht nur einer flachen Figur, sondern auch eines komplexeren Körpers bestimmen. Die Position des Schwerpunkts des Flugzeugs wird bestimmt, indem es mit Rädern auf die Waagenplattform gerollt wird. Die Resultierende der Gewichtskräfte auf jedes Rad wird vertikal gerichtet, und Sie können die Linie, entlang der sie wirkt, durch das Gesetz der Addition paralleler Kräfte finden.

Reis. 128. Der Schnittpunkt vertikaler Linien, die durch die Aufhängepunkte gezogen werden, ist der Schwerpunkt des Körpers

Wenn sich die Massen einzelner Körperteile oder die Körperform ändern, ändert sich die Lage des Schwerpunkts. Der Schwerpunkt eines Flugzeugs bewegt sich also, wenn Treibstoff aus den Tanks verbraucht wird, wenn Gepäck geladen wird usw. Für ein visuelles Experiment, das die Bewegung des Schwerpunkts veranschaulicht, wenn sich die Form des Körpers ändert, ist es bequem zu nehmen zwei identische Bars durch ein Scharnier verbunden (Abb. 129). Für den Fall, dass die Stäbe eine Fortsetzung bilden, liegt der Schwerpunkt auf der Achse der Stäbe. Wenn die Stäbe am Scharnier gebogen sind, liegt der Schwerpunkt außerhalb der Stäbe, auf der Winkelhalbierenden des Winkels, den sie bilden. Wird eine der Stangen zusätzlich belastet, verschiebt sich der Schwerpunkt in Richtung dieser Belastung.

Beim Basteln, Puzzlen und nur bei der Hausarbeit tritt manchmal eine Situation auf, in der es notwendig ist, den Schwerpunkt einer Figur zu berechnen. Und wenn für die einfachsten Figuren die Formeln zur Berechnung des Schwerpunkts bekannt sind, zum Beispiel für einen Kreis, fällt der Schwerpunkt mit dem Mittelpunkt des Kreises zusammen, dann komplexere Figuren und noch mehr Figuren, die aus gebrochenen bestehen Linien, sind sehr schwer manuell zu berechnen.

Was ist der Schwerpunkt? Das ist so ein Punkt an der Figur, durch Anheben bleibt die Figur in der gleichen Position wie sie zB auf dem Tisch lag. Das ist natürlich eine laienhafte Erklärung, außerdem sprechen wir von flachen Zahlen. Richtiger ist: Der Schwerpunkt eines mechanischen Systems ist der Punkt, relativ zu dem das gesamte auf das System wirkende Gravitationsmoment gleich Null ist.

Der Rechner berechnet den Schwerpunkt jeder flachen Figur, homogen in der Zusammensetzung, bestehend aus unterbrochenen Linien.

Was müssen Sie als Anwender wissen? Wir brauchen die Koordinaten der Punkte der Ecken eines solchen Vielecks.

Wie bestimmt man den Schwerpunkt?

Wenn die Punkte M1(x1,y1,z1) und М2(x2,y2,z2) parallele Kräfte wirken, dann teilt der Angriffspunkt M der Resultierenden dieser Kräfte die Strecke M1M2 umgekehrt proportional zu diesen Kräften

Daher werden die Koordinaten des Punktes M sein

Wenn wir über die Wirkung von drei wirkenden Kräften sprechen, dann sind die Formeln ähnlich und werden als arithmetisch gewichteter Durchschnitt berechnet

ebenso werden sie berechnet, wenn an den Kraftangriffspunkten nicht drei, sondern beispielsweise vier oder fünf oder zehn vorhanden sind.

Wenn wir akzeptieren, dass die auf die Punkte wirkende Kraft die Schwerkraft ist und die Masse der Punkte gleich ist, dann lautet unsere Formel für drei Punkte nach Reduzierung derselben Werte wie folgt

Hier hängt die Lage des Schwerpunktes nur von der Lage der Punkte ab. Der Punkt () wird als geometrischer Schwerpunkt dieser Punkte bezeichnet

Wenn die Figur symmetrisch ist, fällt der Schwerpunkt mit dem geometrischen Mittelpunkt der Figur zusammen. Dies gilt für solche Figuren wie Quadrate, Kreise, regelmäßige Polygone, gleichseitige Dreiecke und andere ähnliche Objekte.

Und doch, eine kleine Theorie, die hilft, den Schwerpunkt komplexer Formen zu berechnen.

Die Lage des Schwerpunkts der reinen Massenpunkte ändert sich nicht, wenn eine Teilgruppe von Massenpunkten des Systems durch einen Massenpunkt ersetzt wird, der sich im Schwerpunkt dieser Gruppe befindet und als Masse die Summe der Massen hat der Punkte dieser Gruppe.

BERECHNUNG DES SCHWERPUNKTS EINES DREIECKS DURCH KOORDINATEN

Wir berechnen den Schwerpunkt einer dreieckigen Platte beliebiger Form und gleicher Dicke.

Welches Material wir aus Stahl, Papier oder Kunststoff herstellen werden, ist nicht so wichtig.

Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist einer der sieben bemerkenswerten Punkte und wird als der Schnittpunkt der Mittellinien der Seiten dieses Dreiecks definiert.

Wenn wir zum Beispiel nur die Koordinaten eines Dreiecks kennen, schneiden wir es aus einem Notizbuch in eine Schachtel, dann werden die Koordinaten des Schwerpunkts wie folgt bestimmt

Versuchen Sie nicht, sich dieser Formel anzunähern, und denken Sie, dass der Mittelpunkt des Trapezes beispielsweise durch solche Formeln auf ähnliche Weise berechnet wird

Dies gilt nicht bzw. nicht für den Fall, dass die Masse in der Ebene zwischen diesen Punkten verteilt ist (z. B. Platten).

Wenn es sich um Punktmassen handelt, die sich in diesen Koordinaten befinden, ist die Formel für den Massenschwerpunkt korrekt.

BERECHNUNG DES SCHWERPUNKTS EINES TRAPEZ DURCH KOORDINATEN

Wie berechnet man dann den Schwerpunkt des Trapezes?

Kluge Leute haben eine Formel zur Berechnung eines Punktes gefunden, aber darin werden die Anfangsdaten als Seitenlängen eines Trapezes dargestellt.

Hier ist die Formel.

Es ist nicht bequem, wenn wir nur die Koordinaten des Trapezes kennen. Aber wir werden die Methode verwenden, das Trapez in zwei Dreiecke zu teilen, wo wir für jedes von ihnen den Schwerpunkt finden, und dann für zwei Punkte (Zentren) berechnen, finden wir die endgültige Lösung.

Für jedes Dreieck wird der Mittelpunkt nach der bekannten Formel berechnet

Aber jetzt, wenn wir den Endpunkt berechnen, müssen wir berücksichtigen, dass wir durch das "Ziehen" jedes Dreiecks zum Schwerpunkt auch die gesamte Masse der Oberfläche ziehen, die zwischen diesen Koordinaten liegt.

Da die Beziehung zwischen der Fläche der Figur (bei gleicher Dicke) und der Masse linear ist, ist es leicht anzunehmen, dass die endgültige Berechnung nicht dieselbe sein wird.

Zielsetzung – den Schwerpunkt einer komplexen Figur analytisch und experimentell bestimmen.

Theoretische Begründung. Materielle Körper bestehen aus Elementarteilchen, deren Lage im Raum durch ihre Koordinaten bestimmt wird. Die Anziehungskräfte jedes Teilchens zur Erde können als ein System paralleler Kräfte betrachtet werden, die Resultierende dieser Kräfte wird die Schwerkraft des Körpers oder das Gewicht des Körpers genannt. Der Schwerpunkt eines Körpers ist der Angriffspunkt der Schwerkraft.

Der Schwerpunkt ist ein geometrischer Punkt, der auch außerhalb des Körpers liegen kann (z. B. eine Scheibe mit Loch, eine Hohlkugel etc.). Von großer praktischer Bedeutung ist die Bestimmung des Schwerpunktes dünner, ebener, homogener Platten. Ihre Dicke kann in der Regel vernachlässigt werden und der Schwerpunkt kann als in einer Ebene liegend angenommen werden. Wenn Koordinatenebene xOy mit der Figurebene ausgerichtet werden, dann wird die Lage des Schwerpunkts durch zwei Koordinaten bestimmt:

wo ist die Fläche eines Teils der Figur, ();

- Koordinaten des Schwerpunkts der Teile der Figur, mm (cm).

Querschnitt einer Figur	A, mm 2	Xc,mm	Yc, mm
	bh	b/2	h/2
	bh/2	b/3	h/3
	R2a
Für 2α = π πR 2 /2

Arbeitsablauf.

Zeichne eine Figur mit komplexer Form, bestehend aus 3-4 einfache Zahlen(Rechteck, Dreieck, Kreis etc.) im Maßstab 1:1 und trage die Maße ein.

Zeichnen Sie Koordinatenachsen so, dass sie die gesamte Figur abdecken, zerlegen Sie eine komplexe Figur in einfache Teile, bestimmen Sie die Fläche und die Koordinaten des Schwerpunkts jeder einfachen Figur relativ zum ausgewählten Koordinatensystem.

Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts der gesamten Figur analytisch. Schneiden Sie diese Form aus dünnem Karton oder Sperrholz aus. Bohren Sie zwei Löcher, die Kanten der Löcher sollten glatt sein und der Durchmesser der Löcher sollte etwas größer sein als der Durchmesser der Nadel zum Aufhängen der Figur.

Hängen Sie die Figur zuerst an einem Punkt (Loch) auf, zeichnen Sie mit einem Bleistift eine Linie, die mit dem Lot zusammenfällt. Wiederholen Sie dasselbe, wenn Sie die Figur an einer anderen Stelle aufhängen. Der empirisch ermittelte Schwerpunkt der Figur muss übereinstimmen.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts einer dünnen homogenen Platte analytisch. Nach Erfahrung prüfen

Lösungsalgorithmus

1. Analytische Methode.

a) Zeichne die Zeichnung im Maßstab 1:1.

b) Zerlege eine komplexe Figur in einfache

c) Koordinatenachsen auswählen und zeichnen (wenn die Figur symmetrisch ist, dann - entlang der Symmetrieachse, sonst - entlang der Kontur der Figur)

d) Berechnen Sie die Fläche einfacher Figuren und die ganze Figur

e) Markieren Sie die Position des Schwerpunkts jeder einfachen Figur in der Zeichnung

f) Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts jeder Figur

(entlang der x- und y-Achse)

g) Berechnen Sie mit Hilfe der Formel die Koordinaten des Schwerpunkts der gesamten Figur

h) Markieren Sie die Position des Schwerpunkts auf der Zeichnung C (

2. Erfahrene Entschlossenheit.

Die Richtigkeit der Problemlösung wird experimentell überprüft. Schneiden Sie diese Form aus dünnem Karton oder Sperrholz aus. Bohren Sie drei Löcher, die Kanten der Löcher sollten glatt sein und der Durchmesser der Löcher sollte etwas größer sein als der Durchmesser der Nadel zum Aufhängen der Figur.

Hängen Sie die Figur zuerst an einem Punkt (Loch) auf, zeichnen Sie mit einem Bleistift eine Linie, die mit dem Lot zusammenfällt. Wiederholen Sie dasselbe, wenn Sie die Figur an anderen Stellen aufhängen. Der Wert der Koordinaten des Schwerpunkts der Figur, der gefunden wird, wenn die Figur an zwei Punkten aufgehängt wird: . Der empirisch ermittelte Schwerpunkt der Figur muss übereinstimmen.

3. Schlussfolgerung zur Lage des Schwerpunkts bei der analytischen und experimentellen Bestimmung.

Die Übung

Bestimmen Sie den Schwerpunkt eines Flachprofils analytisch und empirisch.

Ausführungsbeispiel

Eine Aufgabe

Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts einer dünnen homogenen Platte.

Ich Analytische Methode

1. Die Zeichnung ist maßstäblich gezeichnet (Maßangaben sind in der Regel in mm)

2. Wir zerlegen die komplexe Figur in einfache.

1- Rechteck

2- Dreieck (Rechteck)

3- Die Fläche eines Halbkreises (es gibt keine, Minuszeichen).

Wir finden die Lage des Schwerpunkts einfacher Punktfiguren und

3. Wir zeichnen die Koordinatenachsen nach Belieben und markieren den Ursprung der Koordinaten t. O.

4. Wir berechnen die Flächen einfacher Figuren und die Fläche der gesamten Figur. [Größe in cm]

(3. nein, Zeichen -).

Die Fläche der ganzen Figur

5. Finden Sie die Koordinate des c.t. , und in der Zeichnung.

6. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte C 1 , C 2 und C 3

7. Berechnen Sie die Koordinaten von Punkt C

8. Markieren Sie einen Punkt auf der Zeichnung

II erfahren

Koordinaten des Schwerpunkts empirisch.

Testfragen.

1. Kann die Gewichtskraft eines Körpers als resultierendes System paralleler Kräfte betrachtet werden?

2. Kann der Schwerpunkt des gesamten Körpers selbst lokalisiert werden?

3. Was ist das Wesen der experimentellen Bestimmung des Schwerpunkts einer flachen Figur?

4. Wie wird der Schwerpunkt einer komplexen Figur, die aus mehreren einfachen Figuren besteht, bestimmt?

5. Wie sollte es rational sein, eine Figur mit komplexer Form in einfache Figuren zu unterteilen, wenn der Schwerpunkt der gesamten Figur bestimmt wird?

6. Welches Vorzeichen hat die Lochfläche in der Formel zur Schwerpunktsbestimmung?

7. Am Schnittpunkt welcher Linien des Dreiecks liegt sein Schwerpunkt?

8. Wenn es schwierig ist, die Figur in eine kleine Anzahl einfacher Figuren zu zerlegen, welche Methode zur Bestimmung des Schwerpunkts kann die schnellste Antwort geben?

Praktische Arbeit №6

"Probleme komplexer Natur lösen"

Zielsetzung: komplexe Probleme lösen können (Kinematik, Dynamik)

Theoretische Begründung: Die Geschwindigkeit ist ein kinematisches Maß für die Bewegung eines Punktes und charakterisiert die Änderungsrate seiner Position. Die Geschwindigkeit des Punktes ist ein Vektor, der die Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung des Punktes charakterisiert dieser Moment Zeit. Wenn die Bewegung eines Punktes durch die Gleichungen angegeben wird, sind die Projektionen der Geschwindigkeit auf die Achsen der kartesischen Koordinaten gleich:

Der Punktgeschwindigkeitsmodul wird durch die Formel bestimmt

Die Richtung der Geschwindigkeit wird durch die Richtungskosinusse bestimmt:

Ein Merkmal der Geschwindigkeitsänderung ist die Beschleunigung a. Die Beschleunigung eines Punktes ist gleich der zeitlichen Ableitung des Geschwindigkeitsvektors:

Bei der Angabe der Bewegung eines Punktes lauten die Gleichungen für die Projektion der Beschleunigung auf die Koordinatenachsen:

Beschleunigungsmodul:

Vollständiges Beschleunigungsmodul

Der tangentiale Beschleunigungsmodul wird durch die Formel bestimmt

Der Normalbeschleunigungsmodul wird durch die Formel bestimmt

wo ist der Krümmungsradius der Bahn an einem bestimmten Punkt.

Die Richtung der Beschleunigung wird durch die Richtungskosinusse bestimmt

Die Drehbewegungsgleichung eines starren Körpers um eine feste Achse hat die Form

Winkelgeschwindigkeit des Körpers:

Manchmal wird die Winkelgeschwindigkeit durch die Anzahl der Umdrehungen pro Minute gekennzeichnet und mit dem Buchstaben bezeichnet. Die Beziehung zwischen und hat die Form

Winkelbeschleunigung des Körpers:

Eine Kraft, die gleich dem Produkt aus der Masse eines gegebenen Punktes und seiner Beschleunigung und der Richtung in der Richtung ist, die der Beschleunigung des Punktes direkt entgegengesetzt ist, wird als Trägheitskraft bezeichnet.

Leistung ist die Arbeit, die eine Kraft pro Zeiteinheit verrichtet.

Grundgleichung der Dynamik für Drehbewegungen

- das Trägheitsmoment des Körpers um die Rotationsachse, ist die Summe der Produkte der Massen von materiellen Punkten pro Quadrat ihrer Abstände zu dieser Achse

Die Übung

Ein Körper der Masse m bewegt sich mit Hilfe eines auf eine Trommel mit einem Durchmesser d gewickelten Kabels auf einer schiefen Ebene mit einem Neigungswinkel α aufwärts oder abwärts. Körperbewegungsgleichung S = f(t), Trommelrotationsgleichung , wobei S in Metern angegeben ist; φ - im Bogenmaß; t ist in Sekunden. P und ω sind jeweils die Leistung und die Winkelgeschwindigkeit an der Trommelwelle zum Zeitpunkt des Beschleunigungsendes bzw. des Verzögerungsbeginns. Zeit t 1 - Beschleunigungszeit (von Ruhe bis zu einer bestimmten Geschwindigkeit) oder Verzögerung (von einer bestimmten Geschwindigkeit bis zu einem Stopp). Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Körper und Ebene ist –f. Vernachlässigen Sie Reibungsverluste an der Trommel sowie die Masse der Trommel. Nehmen Sie beim Lösen von Problemen g \u003d 10 m / s 2

Nr. Var	α, Grad	Gesetz der Bewegung	Zum Beispiel bewegen	m, kg	t1, c	d, m	P, kW	, rad/s	f	Def. Mengen
		S=0,8t2	Abstieg	-	-	0,20	4,0		0,20	m,t1
		φ=4t2	Abstieg		1,0	0,30	-	-	0,16	P,ω
		S=1,5t-t2	hoch	-	-	-	4,5		0,20	m, d
		ω=15t-15t2	hoch	-	-	0,20	3,0	-	0,14	m,ω
		S=0,5t2	Abstieg		-	-	1,76		0,20	d,t1
		S=1,5t2	Abstieg	-	0,6	0,24	9,9	-	0,10	m,ω
		S=0,9t2	Abstieg		-	0,18	-		0,20	P, t1
		φ=10t2	Abstieg		-	0,20	1,92	-	0,20	P, t1
		S=t-1,25t2	hoch		-	-	-		0,25	P,d
		φ=8t-20t 2	hoch		-	0,20	-	-	0,14	P, w

Ausführungsbeispiel

Aufgabe 1(Bild 1).

Lösung 1 Geradlinige Bewegung (Abbildung 1, a). Ein Punkt, der sich zu einem bestimmten Zeitpunkt gleichmäßig bewegt, wurde empfangen neues Gesetz Bewegung, und nach einer gewissen Zeit hörte es auf. Bestimmen Sie alle kinematischen Eigenschaften der Bewegung eines Punktes für zwei Fälle; a) Bewegung entlang einer geradlinigen Bahn; b) Bewegung entlang einer krummlinigen Bahn mit konstantem Krümmungsradius r=100cm

Abbildung 1(a).

Gesetz der Punktgeschwindigkeitsänderung

Wir finden die Anfangsgeschwindigkeit des Punktes aus der Bedingung:

Die Verzögerungszeit bis zum Stopp kann aus der Bedingung ermittelt werden:

bei , von hier .

Das Bewegungsgesetz eines Punktes in einer Periode gleichförmiger Bewegung

Die von einem Punkt entlang der Bahn während der Bremszeit zurückgelegte Strecke,

Das Änderungsgesetz der Tangentialbeschleunigung eines Punktes

woraus folgt, dass während der Verzögerungszeit der bewegte Punkt gleichmäßig verlangsamt wird, da die Tangentialbeschleunigung negativ und konstant im Wert ist.

Die Normalbeschleunigung eines Punktes auf einer geradlinigen Bahn ist Null, d.h. .

Lösung 2 Krummlinige Bewegung (Abbildung 1, b).

Abbildung 1 (b)

In diesem Fall im Vergleich zu dem Fall geradlinige Bewegung alle kinematischen Eigenschaften bleiben unverändert, mit Ausnahme der normalen Beschleunigung.

Das Änderungsgesetz der Normalbeschleunigung eines Punktes

Normale Beschleunigung eines Punktes im Anfangsmoment der Verzögerung

Die Nummerierung der Positionen des Punktes auf der in der Zeichnung angenommenen Bahn: 1 - die aktuelle Position des Punktes in gleichförmiger Bewegung vor dem Beginn des Bremsens; 2 – Position des Punktes zum Zeitpunkt des Bremsbeginns; 3 – aktuelle Position des Punktes während der Bremszeit; 4 - Endposition des Punktes.

Aufgabe 2.

Die Last (Abb. 2, a) wird mit einer Trommelwinde angehoben. Der Durchmesser der Trommel ist d=0.3m, und das Rotationsgesetz ist .

Die Beschleunigung der Trommel dauerte bis zur Winkelgeschwindigkeit . Bestimmen Sie alle kinematischen Eigenschaften der Bewegung der Trommel und der Last.

Entscheidung. Das Gesetz der Änderung der Winkelgeschwindigkeit der Trommel. Wir finden die anfängliche Winkelgeschwindigkeit aus der Bedingung: ; daher begann die Beschleunigung aus dem Stillstand. Wir finden die Beschleunigungszeit aus der Bedingung: . Der Rotationswinkel der Trommel während der Beschleunigungsperiode.

Aus dem Änderungsgesetz der Winkelbeschleunigung der Trommel folgt also, dass während der Beschleunigungsperiode die Trommel gleichmäßig beschleunigt rotiert.

Die kinematischen Eigenschaften der Last sind gleich den entsprechenden Eigenschaften eines beliebigen Punktes des Zugseils und damit des Punktes A, der auf dem Trommelrand liegt (Abb. 2, b). Bekanntermaßen werden die linearen Eigenschaften eines Punktes eines rotierenden Körpers durch seine Winkeleigenschaften bestimmt.

Der von der Last während der Beschleunigungszeit zurückgelegte Weg, . Ladegeschwindigkeit am Ende der Beschleunigung.

Beschleunigung laden.

Gesetz der Frachtbewegung.

Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Last ließen sich auf andere Weise durch das gefundene Bewegungsgesetz der Last ermitteln:

Aufgabe 3. Eine Last, die sich entlang einer geneigten Bezugsebene zu einem bestimmten Zeitpunkt gleichmäßig nach oben bewegt, wird gemäß dem neuen Bewegungsgesetz abgebremst , wobei s in Metern und t in Sekunden angegeben ist. Lastmasse m = 100 kg, Gleitreibungskoeffizient zwischen Last und Ebene f=0,25. Bestimmen Sie die Kraft F und die Leistung am Zugseil für zwei Zeitpunkte: a) Gleichmäßige Bewegung vor Beginn des Bremsvorgangs;

b) der Anfangsmoment des Bremsens. Nehmen Sie bei der Berechnung g \u003d 10 m / .

Entscheidung. Wir bestimmen die kinematischen Eigenschaften der Bewegung der Last.

Das Gesetz der Änderung der Geschwindigkeit der Last

Startgeschwindigkeit Belastung (bei t=0)

Beschleunigung laden

Da die Beschleunigung negativ ist, ist die Bewegung langsam.

1. Gleichmäßige Bewegung der Last.

Um die Antriebskraft F zu bestimmen, betrachten wir das Gleichgewicht der Last, die durch ein System konvergierender Kräfte beeinflusst wird: die Kraft auf das Kabel F, die Gewichtskraft der Last G = mg, die normale Reaktion der Auflagefläche N und die auf die Bewegung des Körpers gerichtete Reibungskraft. Nach dem Reibungsgesetz . Wir wählen die Richtung der Koordinatenachsen, wie in der Zeichnung dargestellt, und stellen zwei Gleichgewichtsgleichungen für die Belastung auf:

Die Kraft auf dem Kabel vor Bremsbeginn wird durch die bekannte Formel bestimmt

Wo m / s.

2. Langsame Bewegung der Ladung.

Bekanntlich ist bei einer ungleichmäßigen Translationsbewegung eines Körpers das auf ihn in Bewegungsrichtung wirkende Kräftesystem nicht ausgeglichen. Nach dem d'Alembert-Prinzip (Kinetostatik-Methode) kann der Körper in diesem Fall als im bedingten Gleichgewicht betrachtet werden, wenn wir zu allen auf ihn einwirkenden Kräften die Trägheitskraft addieren, deren Vektor dem entgegengesetzt gerichtet ist Beschleunigungsvektor. Der Beschleunigungsvektor ist in unserem Fall dem Geschwindigkeitsvektor entgegengerichtet, da sich die Last langsam bewegt. Wir stellen zwei Gleichgewichtsgleichungen für die Last auf:

Schalten Sie das Kabel im Moment des Bremsens ein

Testfragen.

1. Wie bestimmt man den Zahlenwert und die Richtung der Geschwindigkeit eines Punktes zu einem bestimmten Zeitpunkt?

2. Was charakterisiert die Normal- und Tangentialkomponente der Gesamtbeschleunigung?

3. Wie kommt man vom Ausdruck der Winkelgeschwindigkeit in min -1 zum Ausdruck rad / s?

4. Was ist Körpergewicht? Was ist die maßeinheit der masse

5. Bei welcher Bewegung eines materiellen Punktes entsteht die Trägheitskraft? Welchen Zahlenwert hat sie, wie wird sie gelenkt?

6. Formulieren Sie das d'Alembert-Prinzip

7. Entsteht die Trägheitskraft in der gleichförmigen krummlinigen Bewegung eines materiellen Punktes?

8. Was ist Drehmoment?

9. Wie wird die Beziehung zwischen Drehmoment und Winkelgeschwindigkeit für eine gegebene übertragene Leistung ausgedrückt?

10. Die Grundgleichung der Dynamik für Rotationsbewegungen.

Praktische Arbeit Nr. 7

"Berechnung von Strukturen für die Festigkeit"

Zielsetzung: Bestimmen Sie die Festigkeit, die Querschnittsabmessungen und die zulässige Belastung

Theoretische Begründung.

Wenn wir die Kraftfaktoren und die geometrischen Eigenschaften des Abschnitts während der Zug- (Druck-) Verformung kennen, können wir die Spannung anhand der Formeln bestimmen. Und um zu verstehen, ob unser Teil (Welle, Zahnrad usw.) einer äußeren Belastung standhält. Dieser Wert muss mit der zulässigen Spannung verglichen werden.

Also die statische Festigkeitsgleichung

Darauf basierend werden 3 Arten von Aufgaben gelöst:

1) Krafttest

2) Bestimmung der Querschnittsabmessungen

3) Bestimmung der zulässigen Belastung

Also die statische Steifigkeitsgleichung

Basierend darauf werden auch 3 Arten von Aufgaben gelöst

Statische Zugfestigkeitsgleichung (Druckfestigkeitsgleichung).

1) Erster Typ - Festigkeitstest

,

d.h. wir lösen die linke Seite und vergleichen sie mit der zulässigen Spannung.

2) Der zweite Typ - Bestimmung der Abmessungen des Abschnitts

von der rechten Seite der Querschnittsfläche

Querschnitt Kreis

daher der Durchmesser d

Abschnitt Rechteck

Abschnitt quadratisch

A = a² (mm²)

Querschnitt eines Halbkreises

Abschnitte Kanal, I-Träger, Ecke usw.

Flächenwerte - aus der Tabelle nach GOST

3) Die dritte Art ist die Bestimmung der zulässigen Belastung;

heruntergenommen, ganzzahlig

DIE ÜBUNG

Eine Aufgabe

A) Festigkeitsprüfung (Nachrechnung)

Erstellen Sie für einen bestimmten Balken ein Diagramm der Längskräfte und überprüfen Sie die Festigkeit in beiden Abschnitten. Für das Material des Balkens (Stahl St3) nehmen

Optionsnummer
	12,5	5,3	-			-
		2,3			-	-
		4,2		-	-

B) Querschnittsauswahl (Bemessungsrechnung)

Erstellen Sie für einen gegebenen Träger ein Diagramm der Längskräfte und bestimmen Sie die Abmessungen des Querschnitts in beiden Abschnitten. Für das Material des Balkens (Stahl St3) nehmen

Optionsnummer
	1,9	2,5
	2,8	1,9
	3,2

C) Bestimmung der zulässigen Längskraft

Bestimmen Sie für einen bestimmten Balken die zulässigen Werte der Lasten und ,

Erstellen Sie ein Diagramm der Längskräfte. Für das Material des Trägers (Stahl St3) nehmen Sie . Berücksichtigen Sie bei der Problemlösung, dass die Belastungsart in beiden Balkenabschnitten gleich ist.

Optionsnummer
	-	-
			-	-
	-	-

Beispiel für den Abschluss einer Aufgabe

Aufgabe 1(Bild 1).

Überprüfen Sie die Festigkeit einer Säule aus I-Trägern einer bestimmten Größe. Für das Stützenmaterial (Stahl St3) gelten die zulässigen Zugspannungen und unter Kompression . Bei Über- oder erheblicher Unterlast wählen Sie die Abmessungen der I-Träger, die der Stütze die optimale Festigkeit verleihen.

Entscheidung.

Ein gegebener Balken hat zwei Abschnitte 1, 2. Die Grenzen der Abschnitte sind Abschnitte, in denen äußere Kräfte. Da die den Balken belastenden Kräfte entlang seiner Längsmittelachse liegen, tritt in den Querschnitten nur eine Schnittgröße auf - Längskraft, d.h. Zug (Stauchung) des Balkens erfolgt.

Zur Bestimmung der Längskraft verwenden wir die Schnittmethode, die Schnittmethode. Indem wir einen gedanklichen Querschnitt in jedem der Abschnitte durchführen, verwerfen wir den unteren festen Teil des Balkens und lassen den oberen Teil zur Betrachtung. Im Abschnitt 1 ist die Längskraft konstant und gleich

Das Minuszeichen zeigt an, dass der Balken in beiden Abschnitten gestaucht ist.

Wir erstellen ein Längskraftdiagramm. Nachdem wir die Grundlinie (Null) des Diagramms parallel zur Strahlachse gezeichnet haben, zeichnen wir die erhaltenen Werte senkrecht dazu in einem beliebigen Maßstab auf. Wie Sie sehen können, stellte sich heraus, dass das Diagramm durch gerade Linien parallel zur Basis umrissen wurde.

Wir führen eine Festigkeitsprüfung des Balkens durch, d.h. Wir bestimmen die Bemessungsspannung (für jeden Abschnitt separat) und vergleichen sie mit der zulässigen. Dazu verwenden wir die Bedingung der Druckfestigkeit

wobei die Fläche ein geometrisches Merkmal der Querschnittsstärke ist. Aus der Walzstahltabelle entnehmen wir:

für I-Träger
für I-Träger

Krafttest:

Die Werte der Längskräfte werden als Absolutwert genommen.

Die Festigkeit des Trägers ist gewährleistet, jedoch gibt es eine deutliche (mehr als 25 %) Unterlast, die aufgrund von Materialüberschreitungen nicht akzeptabel ist.

Aus der Festigkeitsbedingung bestimmen wir die neuen Abmessungen des I-Trägers für jeden der Abschnitte des Trägers:
Daher die benötigte Fläche

Gemäß der GOST-Tabelle wählen wir einen I-Träger Nr. 16 aus, für den;

Daher die benötigte Fläche

Gemäß der GOST-Tabelle wählen wir einen I-Träger Nr. 24 aus, für den;

Bei den ausgewählten Größen der I-Träger gibt es auch eine Unterlast, aber unbedeutend (weniger als 5%)

Aufgabe Nummer 2.

Bestimmen Sie für einen Stab mit gegebenen Querschnittsabmessungen die zulässigen Belastungswerte und . Für das Trägermaterial (St3-Stahl) sind die zulässigen Zugspannungen anzusetzen und unter Kompression .

Entscheidung.

Ein gegebener Stab hat zwei Abschnitte 1, 2. Es gibt eine Spannung (Kompression) des Stabes.

Mit der Schnittmethode bestimmen wir die Längskraft, drücken sie durch die gewünschten Kräfte aus und. Zeichnen Sie einen Abschnitt innerhalb jedes der Abschnitte, verwerfen wir die linke Seite des Balkens und lassen ihn zur Betrachtung rechte Seite. Im Abschnitt 1 ist die Längskraft konstant und gleich

Im Abschnitt 2 ist die Längskraft ebenfalls konstant und gleich

Das Pluszeichen zeigt an, dass der Balken in beiden Abschnitten gestreckt ist.

Wir erstellen ein Längskraftdiagramm. Das Diagramm wird durch gerade Linien parallel zur Basis umrissen.

Aus dem Zustand der Zugfestigkeit ermitteln wir die zulässigen Belastungswerte und nach Berechnung der Flächen gegebener Querschnitte:

Testfragen.

1. Welche Schnittgrößen treten im Balkenquerschnitt bei Zug und Druck auf?

2. Notieren Sie den Zustand der Zug- und Druckfestigkeit.

3. Wie werden Anzeichen von Längskraft und Normalspannung zugeordnet?

4. Wie ändert sich die Spannung, wenn die Querschnittsfläche um das 4-fache zunimmt?

5. Unterscheiden sich die Festigkeitsverhältnisse bei Zug- und Druckberechnungen?

6. In welchen Einheiten wird Spannung gemessen?

7. Welche der mechanischen Eigenschaften wird als Bruchspannung für duktile und spröde Werkstoffe gewählt?

8. Was ist der Unterschied zwischen Grenzspannung und zulässiger Spannung?

Praktische Arbeit Nr. 8

"Lösung der Probleme zur Bestimmung der wichtigsten zentralen Trägheitsmomente der Ebene geometrische Formen»

Zielsetzung: bestimmen Sie analytisch die Trägheitsmomente von flachen Körpern komplexer Form

Theoretische Begründung. Die Koordinaten des Schwerpunkts des Querschnitts können durch das statische Moment ausgedrückt werden:

wo relativ zur x-Achse

relativ zur Oy-Achse

Das statische Moment der Fläche einer Figur relativ zu einer in derselben Ebene liegenden Achse ist gleich dem Produkt aus der Fläche der Figur und dem Abstand ihres Schwerpunkts von dieser Achse. Das statische Moment hat die Dimension . Das statische Moment kann positiv, negativ und gleich Null sein (bezogen auf eine beliebige Mittelachse).

Das axiale Trägheitsmoment eines Schnitts ist die Summe der Produkte über den gesamten Schnitt oder das Integral der Elementarflächen durch die Quadrate ihrer Abstände zu einer Achse, die in der Ebene des betrachteten Schnitts liegt

Das axiale Trägheitsmoment wird in Einheiten ausgedrückt - . Das axiale Trägheitsmoment ist immer positiv und ungleich Null.

Achsen, die durch den Schwerpunkt der Figur gehen, werden als zentral bezeichnet. Das Trägheitsmoment um die Mittelachse wird als zentrales Trägheitsmoment bezeichnet.

Das Trägheitsmoment um jede Achse ist gleich dem Mittelpunkt

basierend auf dem oben genannten allgemeine Formeln können Sie bestimmte Methoden zur Bestimmung der Koordinaten der Schwerpunkte von Körpern festlegen.

1. Symmetrie. Hat ein homogener Körper eine Ebene, Achse oder Symmetriezentrum (Abb. 7), so liegt sein Schwerpunkt jeweils in der Symmetrieebene, Symmetrieachse oder im Symmetriezentrum.

Abb.7

2. Teilen. Der Körper ist in eine endliche Anzahl von Teilen unterteilt (Abb. 8), für die jeweils die Lage des Schwerpunkts und die Fläche bekannt sind.

Abb.8

3.Methode der negativen Bereiche. Ein Spezialfall der Partitionierungsmethode (Abb. 9). Sie gilt für Körper mit Ausschnitten, wenn die Schwerpunkte des Körpers ohne Ausschnitt und des Ausschnitts bekannt sind. Ein Körper in Form einer ausgeschnittenen Platte wird durch eine Kombination aus einer massiven Platte (ohne Ausschnitt) mit der Fläche S 1 und der Fläche des ausgeschnittenen Teils S 2 dargestellt.

Abb.9

4.Gruppierungsmethode. Es ist eine gute Ergänzung zu den letzten beiden Methoden. Nach dem Zerlegen der Figur in ihre Bestandteile kann es zweckmäßig sein, einige davon wieder zusammenzufassen, um dann die Lösung durch Berücksichtigung der Symmetrie dieser Gruppe zu vereinfachen.

Schwerpunkte einiger homogener Körper.

1) Schwerpunkt eines Kreisbogens. Betrachten Sie den Bogen AB Radius R mit Mittelwinkel. Aufgrund der Symmetrie liegt der Schwerpunkt dieses Bogens auf der Achse Ochse(Abb. 10).

Abb.10

Finden wir die Koordinate mit der Formel. Wählen Sie dazu auf dem Bogen aus AB Element MM' Länge , deren Position durch den Winkel bestimmt wird . Koordinate X Element MM' wird sein . Ersetzen dieser Werte X und d l und unter Berücksichtigung, dass das Integral über die gesamte Länge des Bogens erweitert werden muss, erhalten wir:

wo L- Bogenlänge AB, gleicht .

Von hier aus finden wir schließlich, dass der Schwerpunkt des Kreisbogens auf seiner Symmetrieachse im Abstand vom Mittelpunkt liegt Ö gleicht

wobei der Winkel im Bogenmaß gemessen wird.

2) Der Schwerpunkt der Fläche eines Dreiecks. Stellen Sie sich ein Dreieck vor, das in der Ebene liegt Oxy, deren Scheitelkoordinaten bekannt sind: Ein ich(x ich,y ich), (ich= 1,2,3). Brechen Sie das Dreieck parallel zur Seite in schmale Streifen UND 1 UND 2 kommen wir zu dem Schluss, dass der Schwerpunkt des Dreiecks zur Seitenhalbierenden gehören muss UND 3 M 3 (Abb.11) .

Abb.11

Brechen Sie das Dreieck parallel zur Seite in Streifen UND 2 UND 3 können Sie dafür sorgen, dass es auf dem Median liegen muss UND 1 M 1 . Auf diese Weise, Der Schwerpunkt eines Dreiecks liegt im Schnittpunkt seiner Seitenhalbierenden, die, wie Sie wissen, den dritten Teil von jedem Median trennt, von der entsprechenden Seite aus gezählt.

Insbesondere für den Median UND 1 M 1 erhalten wir, da die Koordinaten des Punktes M 1 ist das arithmetische Mittel der Scheitelkoordinaten UND 2 und UND 3:

x c = x 1 + (2/3)∙(xM 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

Somit sind die Koordinaten des Schwerpunkts des Dreiecks das arithmetische Mittel der Koordinaten seiner Eckpunkte:

x c =(1/3)Σ x ich ; j c =(1/3)Σ y ich.

3) Der Schwerpunkt der Fläche des Kreissektors. Betrachten Sie einen Sektor eines Kreises mit Radius R mit einem Zentriwinkel von 2α, symmetrisch um die Achse angeordnet Ochse(Abb. 12) .

Es ist klar, dass j c = 0, und der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises, von dem dieser Sektor geschnitten wird, zu seinem Schwerpunkt kann durch die Formel bestimmt werden:

Abb.12

Der einfachste Weg, dieses Integral zu berechnen, besteht darin, den Integrationsbereich in elementare Sektoren mit einem Winkel zu unterteilen dφ. Bis auf Infinitesimale erster Ordnung kann ein solcher Sektor durch ein Dreieck mit einer Basis gleich ersetzt werden R× dφ und Höhe R. Die Fläche eines solchen Dreiecks dF=(1/2)R 2 ∙dφ, und ihr Schwerpunkt liegt im Abstand von 2/3 R von oben, also setzen wir in (5) ein x = (2/3)R∙cosφ. Einsetzen in (5) F= α R 2 erhalten wir:

Mit der letzten Formel berechnen wir insbesondere den Abstand zum Schwerpunkt Halbkreis.

Setzen wir in (2) α = π/2 ein, erhalten wir: x c = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

Beispiel 1 Bestimmen wir den Schwerpunkt des in Abb. 13.

Abb.13

Der Körper ist homogen und besteht aus zwei Teilen mit symmetrischer Form. Die Koordinaten ihrer Schwerpunkte:

Ihre Bände:

Daher die Koordinaten des Schwerpunkts des Körpers

Beispiel 2 Finden Sie den Schwerpunkt einer rechtwinklig gebogenen Platte. Abmessungen - auf der Zeichnung (Abb. 14).

Abb.14

Schwerpunktkoordinaten:

Quadrate:

Reis. 6.5.

Beispiel 3 Aus einem quadratischen Blatt cm wird ein quadratisches Loch cm ausgeschnitten (Abb. 15). Finden Sie den Schwerpunkt des Blattes.

Abb.15

Bei diesem Problem ist es bequemer, den Körper in zwei Teile zu teilen: ein großes Quadrat und ein quadratisches Loch. Lediglich der Bereich des Lochs ist als negativ zu betrachten. Dann die Koordinaten des Schwerpunkts des Blechs mit dem Loch:

Koordinate da der Körper eine Symmetrieachse (Diagonale) hat.

Beispiel 4 Drahtbügel (Abb. 16) besteht aus drei Teilen gleicher Länge l.

Abb.16

Die Koordinaten der Schwerpunkte der Abschnitte:

Daher sind die Koordinaten des Schwerpunkts der gesamten Halterung:

Beispiel 5 Bestimmen Sie die Lage des Schwerpunkts des Fachwerks, dessen Stäbe alle die gleiche lineare Dichte haben (Abb. 17).

Erinnern Sie sich daran, dass in der Physik die Dichte eines Körpers ρ und seine spezifisches Gewicht g stehen in Beziehung zu: γ= ρ g, wo g- Erdbeschleunigung. Um die Masse eines solchen homogenen Körpers zu finden, müssen Sie die Dichte mit seinem Volumen multiplizieren.

Abb.17

Der Begriff "linear" oder "lineare" Dichte bedeutet, dass zur Bestimmung der Masse des Halsstabes die lineare Dichte mit der Länge dieses Stabes multipliziert werden muss.

Um das Problem zu lösen, können Sie die Partitionierungsmethode verwenden. Stellt man ein gegebenes Fachwerk als Summe von 6 Einzelstäben dar, erhält man:

wo L ich Länge ich-te Stange der Farm, und x ich, y ich sind die Koordinaten seines Schwerpunkts.

Die Lösung dieses Problems kann vereinfacht werden, indem die letzten 5 Halsstäbe gruppiert werden. Es ist leicht zu erkennen, dass sie eine Figur bilden, deren Symmetriezentrum in der Mitte des vierten Stabes liegt, wo sich der Schwerpunkt dieser Stabgruppe befindet.

Somit kann ein gegebenes Fachwerk durch eine Kombination von nur zwei Gruppen von Stäben dargestellt werden.

Die erste Gruppe besteht aus der ersten Stange, dafür L 1 = 4 m, x 1 = 0 m, j 1 = 2 m. Die zweite Stangengruppe besteht aus fünf Stangen, für die L 2 = 20 m, x 2 = 3 m, j 2 = 2 m.

Die Koordinaten des Schwerpunkts der Farm werden durch die Formel gefunden:

x c = (L 1 ∙x 1 +L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2m;

j c = (L 1 ∙j 1 +L 2 ∙j 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

Beachten Sie, dass die Mitte VON liegt auf der Verbindungslinie VON 1 und VON 2 und teilt das Segment VON 1 VON 2 zu: VON 1 VON/SS 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Fragen zur Selbstprüfung

Was ist das Zentrum paralleler Kräfte?

Wie werden die Koordinaten des Schwerpunkts paralleler Kräfte bestimmt?

Wie bestimmt man das Zentrum paralleler Kräfte, deren Resultierende Null ist?

Was ist die Eigenschaft des Zentrums paralleler Kräfte?

Welche Formeln werden verwendet, um die Koordinaten des Zentrums paralleler Kräfte zu berechnen?

Was ist der Schwerpunkt eines Körpers?

Warum kann man die Anziehungskräfte der Erde, die auf einen Punkt des Körpers wirken, als ein System paralleler Kräfte auffassen?

Schreiben Sie die Formel zur Bestimmung der Schwerpunktlage von inhomogenen und homogenen Körpern, die Formel zur Bestimmung der Schwerpunktlage von ebenen Schnitten auf!

Schreiben Sie die Formel zur Bestimmung der Lage des Schwerpunkts einfacher geometrischer Formen auf: ein Rechteck, ein Dreieck, ein Trapez und ein Halbkreis?

Wie heißt das statische Moment der Fläche?

Nennen Sie ein Beispiel für einen Körper, dessen Schwerpunkt außerhalb des Körpers liegt.

Wie werden Symmetrieeigenschaften genutzt, um die Schwerpunkte von Körpern zu bestimmen?

Was ist die Essenz der Methode der negativen Gewichte?

Wo liegt der Schwerpunkt des Kreisbogens?

Welche grafische Konstruktion kann verwendet werden, um den Schwerpunkt eines Dreiecks zu finden?

Schreiben Sie die Formel auf, die den Schwerpunkt eines Kreissektors bestimmt.

Leiten Sie mithilfe von Formeln, die die Schwerpunkte eines Dreiecks und eines Kreissektors bestimmen, eine ähnliche Formel für ein Kreissegment her.

Mit welchen Formeln werden die Koordinaten der Schwerpunkte von homogenen Körpern, ebenen Figuren und Geraden berechnet?

Wie nennt man das statische Moment der Fläche einer flachen Figur relativ zur Achse, wie wird es berechnet und welche Dimension hat es?

Wie bestimmt man die Lage des Schwerpunkts der Fläche, wenn die Lage der Schwerpunkte ihrer einzelnen Teile bekannt ist?

Welche Hilfssätze werden verwendet, um die Lage des Schwerpunkts zu bestimmen?

Notiz. Der Schwerpunkt einer symmetrischen Figur liegt auf der Symmetrieachse.

Der Schwerpunkt der Rute liegt in der Mitte der Höhe. Bei der Lösung von Problemen werden die folgenden Methoden verwendet:

1. Symmetriemethode: Der Schwerpunkt symmetrischer Figuren liegt auf der Symmetrieachse;

2. Trennmethode: Komplexe Abschnitte werden in mehrere einfache Teile zerlegt, deren Schwerpunktlage leicht zu bestimmen ist;

3. Methode der negativen Flächen: Hohlräume (Löcher) werden als Teil eines Abschnitts mit negativer Fläche betrachtet.

Beispiele für Problemlösungen

Beispiel 1. Bestimmen Sie die Position des Schwerpunkts der Figur in Abb. 8.4.

Entscheidung

Wir teilen die Figur in drei Teile:

Ähnlich definiert bei C = 4,5 cm.

Beispiel 2 Finden Sie die Position des Schwerpunkts eines symmetrischen Stabfachwerks ADBE(Abb. 116), dessen Abmessungen wie folgt sind: AB = 6m, D.E.= 3 m und EF= 1m.

Entscheidung

Da das Fachwerk symmetrisch ist, liegt sein Schwerpunkt auf der Symmetrieachse D.F. Mit dem gewählten (Abb. 116) System von Koordinatenachsen der Abszisse der Schwerpunkt des Hofes

Unbekannt ist daher nur die Ordinate bei C landwirtschaftlicher Schwerpunkt. Um dies zu bestimmen, teilen wir die Farm in separate Teile (Ruten) auf. Ihre Längen werden aus den entsprechenden Dreiecken bestimmt.

Von ∆AEF wir haben

Von ΔADF wir haben

Der Schwerpunkt jedes Stabes liegt in seiner Mitte, die Koordinaten dieser Zentren lassen sich leicht aus der Zeichnung ermitteln (Abb. 116).

Die gefundenen Längen und Ordinaten der Schwerpunkte einzelner Hofteile werden in die Tabelle und nach Formel eingetragen

bestimmt die Ordinate uns der Schwerpunkt dieses Flachfachwerks.

Daher der Schwerpunkt VON Der gesamte Fachwerkträger liegt auf der Achse D.F. Fachwerksymmetrie in einem Abstand von 1,59 m vom Punkt F.

Beispiel 3 Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts des Verbundprofils. Das Profil besteht aus einem Blech und gewalzten Profilen (Abb. 8.5).

Notiz. Oft werden Rahmen aus verschiedenen Profilen geschweißt, wodurch das erforderliche Design entsteht. Somit wird der Metallverbrauch reduziert und eine hochfeste Struktur gebildet.

Für Standardwalzprofile sind eigene geometrische Eigenschaften bekannt. Sie sind in den einschlägigen Normen angegeben.

Entscheidung

1. Wir bezeichnen die Zahlen mit Zahlen und schreiben die erforderlichen Daten aus den Tabellen:

1 - Kanal Nr. 10 (GOST 8240-89); Höhe h = 100mm; Regalbreite b= 46 mm; Querschnittsfläche Ein 1\u003d 10,9 cm²;

2 - I-Träger Nr. 16 (GOST 8239-89); Höhe 160 mm; Regalbreite 81 mm; Schnittfläche A 2 - 20,2 cm 2;

3 - Blatt 5x100; Dicke 5 mm; Breite 100 mm; Schnittfläche A 3 \u003d 0,5 10 \u003d 5 cm 2.

2. Die Koordinaten der Schwerpunkte jeder Figur können aus der Zeichnung bestimmt werden.

Der zusammengesetzte Schnitt ist symmetrisch, der Schwerpunkt liegt also auf der Symmetrieachse und der Koordinate X C = 0.

3. Bestimmung des Schwerpunkts eines Verbundprofils:

Beispiel 4 Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts des in Abb. 1 gezeigten Abschnitts. 8, a. Der Abschnitt besteht aus zwei Ecken 56x4 und Kanal Nr. 18. Überprüfen Sie die Richtigkeit der Bestimmung der Position des Schwerpunkts. Geben Sie seine Position auf dem Abschnitt an.

Entscheidung

1. : zwei Ecken 56 x 4 und Kanal Nr. 18. Bezeichnen wir sie mit 1, 2, 3 (siehe Abb. 8, a).

2. Geben Sie die Schwerpunkte an jedes Profil Tabelle verwenden. 1 und 4 adj. Ich, und bezeichne sie C1, C2, Ab 3.

3. Wählen wir ein System von Koordinatenachsen. Achse bei kompatibel mit der Symmetrieachse und der Achse X durch die Schwerpunkte der Ecken ziehen.

4. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts des gesamten Abschnitts. Da die Achse bei mit der Symmetrieachse zusammenfällt, dann geht sie also durch den Schwerpunkt des Abschnitts x s= 0. Koordinate uns durch die Formel definieren

Anhand der Anwendungstabellen ermitteln wir die Flächen jedes Profils und die Koordinaten der Schwerpunkte:

Koordinaten 1 und um 2 gleich Null sind, da die Achse X geht durch die Schwerpunkte der Ecken. Setzen Sie die erhaltenen Werte in die zu bestimmende Formel ein uns:

5. Geben wir den Schwerpunkt des Abschnitts in Abb. 8, und wir werden es mit dem Buchstaben C bezeichnen. Wir zeigen den Abstand y C \u003d 2,43 cm von der Achse X zu Punkt C.

Da die Ecken symmetrisch angeordnet sind, haben sie dann die gleiche Fläche und Koordinaten A 1 \u003d A 2, y1 = y2 . Daher die Formel zur Bestimmung bei C kann vereinfacht werden:

6. Lassen Sie uns einen Check machen. Für diese Achse X Zeichnen wir entlang der Unterkante des Eckregals (Abb. 8, b). Achse bei Lassen wir es wie in der ersten Lösung. Formeln zur Bestimmung xC und bei C verändere dich nicht:

Die Profilbereiche bleiben gleich, aber die Koordinaten der Schwerpunkte der Ecken und des Kanals ändern sich. Schreiben wir sie auf:

Ermittlung der Schwerpunktskoordinate:

Nach den gefundenen Koordinaten x s und uns wir setzen auf der Zeichnung Punkt C. Die auf zwei Arten gefundene Position des Schwerpunkts befindet sich am selben Punkt. Lass es uns überprüfen. Unterschied zwischen Koordinaten bei s, gefunden in der ersten und zweiten Lösung ist: 6,51 - 2,43 \u003d 4,08 cm.

Dies entspricht dem Abstand zwischen den x-Achsen in der ersten und zweiten Lösung: 5,6 - 1,52 = 4,08 cm.

Antwort: bei= 2,43 cm, wenn die x-Achse durch die Schwerpunkte der Ecken geht, oder y c = 6,51 cm, wenn die x-Achse entlang der Unterkante des Eckflansches verläuft.

Beispiel 5 Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts des in Abb. 1 gezeigten Abschnitts. neun, a. Der Abschnitt besteht aus einem I-Träger Nr. 24 und einem Kanal Nr. 24a. Zeigen Sie die Position des Schwerpunkts auf dem Abschnitt an.

Entscheidung

1.Lassen Sie uns den Abschnitt in gewalzte Profile zerlegen: I-Träger und Kanal. Nennen wir sie 1 und 2.

3. Wir geben die Schwerpunkte jedes Profils an C 1 und C 2 mit Anwendungstabellen.

4. Wählen wir ein System von Koordinatenachsen. Die x-Achse ist mit der Symmetrieachse kompatibel, und wir ziehen die y-Achse durch den Schwerpunkt des I-Trägers.

5. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts des Abschnitts. Die y-Koordinate c = 0, da die Achse X fällt mit der Symmetrieachse zusammen. Die x-Koordinate mit wird durch die Formel bestimmt

Laut Tabelle 3 und 4 app. Ich und das Abschnittsschema definieren wir

Setzen Sie die Zahlenwerte in die Formel ein und erhalten Sie

5. Markieren wir den Punkt C (Schwerpunkt des Abschnitts) gemäß den gefundenen Werten x c und y c (siehe Abb. 9, a).

Die Überprüfung der Lösung muss unabhängig mit der Position der Achsen durchgeführt werden, wie in Abb. 9, b. Als Ergebnis der Lösung erhalten wir x c \u003d 11,86 cm Der Unterschied zwischen den Werten von x c für die erste und die zweite Lösung beträgt 11,86 - 6,11 \u003d 5,75 cm, was dem Abstand zwischen entspricht y-Achsen mit denselben Lösungen b dv / 2 = 5,75 cm.

Antwort: x c \u003d 6,11 cm, wenn die y-Achse durch den Schwerpunkt des I-Trägers verläuft; x c \u003d 11,86 cm, wenn die y-Achse durch die linken Extrempunkte des I-Trägers verläuft.

Beispiel 6 Der Eisenbahnkran ruht auf Schienen, deren Abstand AB = 1,5 m beträgt (Abb. 1.102). Die Gewichtskraft der Krankatze beträgt G r = 30 kN, der Schwerpunkt der Katze liegt im Punkt C, der auf der Schnittlinie KL der Symmetrieebene der Katze mit der Zeichenebene liegt. Die Schwerkraft der Kranwinde Q l \u003d 10 kN wird an der Stelle aufgebracht D. Am Punkt E wirkt die Gewichtskraft des Gegengewichts G„ = 20 kN. Am Punkt H wirkt die Gewichtskraft des Auslegers G c = 5 kN. Der Kranüberhang gegenüber der Linie KL beträgt 2 m. Bestimmen Sie die Stabilitätskoeffizient des Krans im unbeladenen Zustand und welche Last F können mit diesem Kran gehoben werden, sofern der Standsicherheitsfaktor mindestens zwei betragen muss.

Entscheidung

1. Im unbelasteten Zustand besteht beim Wenden der Schiene die Gefahr des Umkippens des Krans UND. Daher in Bezug auf den Punkt UND Moment der Stabilität

2. Kippmoment um einen Punkt UND entsteht durch die Schwerkraft des Gegengewichts, d.h.

3. Daraus ergibt sich der Stabilitätsbeiwert des Krans im unbelasteten Zustand

4. Beim Beladen des Kranauslegers mit einer Last F bei einer Wende um die Schiene B besteht die Gefahr des Umkippens des Krans. Daher zu dem Punkt BEI Moment der Stabilität

5. Kippmoment relativ zur Schiene BEI

6. Je nach Problemstellung ist der Betrieb des Krans mit einem Standsicherheitsbeiwert k B ≥ 2 zulässig, d. h.

Kontrollfragen und Aufgaben

1. Warum können die Anziehungskräfte zur Erde, die auf die Punkte des Körpers wirken, als ein System paralleler Kräfte angesehen werden?

2. Formeln zur Bestimmung der Schwerpunktlage von inhomogenen und homogenen Körpern, Formeln zur Bestimmung der Schwerpunktlage von ebenen Schnitten aufschreiben.

3. Wiederholen Sie die Formeln zur Bestimmung der Position des Schwerpunkts einfacher geometrischer Formen: Rechteck, Dreieck, Trapez und Halbkreis.

4.
Wie heißt das statische Moment der Fläche?

5. Berechnen Sie das statische Moment dieser Figur um die Achse Ochse. h= 30 cm; b= 120 cm; Mit= 10 cm (Abb. 8.6).

6. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts der schraffierten Figur (Abb. 8.7). Abmessungen sind in mm angegeben.

7. Bestimmen Sie die Koordinate bei Abb. 1 des Verbundschnitts (Abb. 8.8).

Verwenden Sie bei der Entscheidung die Referenzdaten der GOST-Tabellen "Warmgewalzter Stahl" (siehe Anhang 1).