فواصل اطمینان برای تخمین انتظارات ریاضی. ریاضیات و علوم کامپیوتر

با توجه به اینکه واریانس و انحراف معیار این توزیع مشخص است، اجازه دهید متغیر تصادفی X از جمعیت عمومی به طور نرمال توزیع شود. لازم است انتظارات ریاضی ناشناخته از میانگین نمونه برآورد شود. در این مورد، مشکل پیدا کردن است فاصله اطمینانبرای انتظارات ریاضیبا قابلیت اطمینان ب. اگر مقدار احتمال اطمینان (قابلیت اطمینان) b را تنظیم کنیم، با استفاده از فرمول (6.9a) می‌توانیم احتمال سقوط به بازه انتظار ریاضی ناشناخته را پیدا کنیم:

که در آن Ф(t) تابع لاپلاس (5.17a) است.

در نتیجه، اگر واریانس D = s 2 شناخته شده باشد، می‌توانیم الگوریتمی برای یافتن مرزهای فاصله اطمینان برای انتظارات ریاضی فرموله کنیم:

1. مقدار قابلیت اطمینان را روی b قرار دهید.
2. از (6.14) Ф(t) = 0.5× b را بیان کنید. مقدار t را از جدول برای تابع لاپلاس با مقدار Ф(t) انتخاب کنید (پیوست 1 را ببینید).
3. انحراف e را با استفاده از فرمول (6.10) محاسبه کنید.
4. فاصله اطمینان را مطابق فرمول (6.12) بنویسید که با احتمال b نابرابری زیر درست باشد:

.

مثال 5.

متغیر تصادفی X دارای توزیع نرمال است. فواصل اطمینان را برای تخمینی با قابلیت اطمینان b = 0.96 از میانگین مجهول a بیابید، اگر داده شود:

1) انحراف استاندارد عمومی s = 5;

2) میانگین نمونه؛

3) حجم نمونه n = 49.

در فرمول (6.15) برآورد فاصله ای از انتظارات ریاضی ولی با قابلیت اطمینان b، همه کمیت ها به جز t شناخته می شوند. مقدار t را می توان با استفاده از (6.14) پیدا کرد: b = 2Ф(t) = 0.96. Ф(t) = 0.48.

با توجه به جدول پیوست 1 برای تابع لاپلاس Ф(t) = 0.48، مقدار مربوطه t = 2.06 را بیابید. در نتیجه، . با جایگزینی مقدار محاسبه شده e به فرمول (6.12)، می توانیم یک فاصله اطمینان بدست آوریم: 30-1.47< a < 30+1,47.

فاصله اطمینان مورد نظر برای یک تخمین با قابلیت اطمینان b = 0.96 از انتظارات ریاضی ناشناخته است: 28.53< a < 31,47.

ابتدا بیایید تعریف زیر را یادآور شویم:

بیایید وضعیت زیر را در نظر بگیریم. اجازه دهید انواع جمعیت عمومی دارای توزیع نرمال با انتظارات ریاضی $a$ و انحراف استاندارد $\sigma $ باشند. میانگین نمونه در این حالت به عنوان یک متغیر تصادفی در نظر گرفته می شود. هنگامی که $X$ به طور معمول توزیع می شود، میانگین نمونه نیز یک توزیع نرمال با پارامترها خواهد داشت

بیایید یک فاصله اطمینان پیدا کنیم که $a$ را با قابلیت اطمینان $\gamma $ پوشش دهد.

برای این کار به برابری نیاز داریم

از آن می گیریم

از اینجا می توانیم به راحتی $t$ را از جدول مقادیر تابع $Ф\left(t\right)$ پیدا کنیم و در نتیجه $\delta $ را پیدا کنیم.

جدول مقادیر تابع $Ф\left(t\right)$ را به یاد بیاورید:

شکل 1. جدول مقادیر تابع $Ф\left(t\right).$

انتگرال اعتماد برای تخمین انتظار زمانی که $(\mathbf \sigma )$ ناشناخته است

در این حالت از مقدار واریانس اصلاح شده $S^2$ استفاده خواهیم کرد. با جایگزینی $\sigma $ در فرمول فوق با $S$، دریافت می کنیم:

نمونه ای از وظایف برای یافتن فاصله اطمینان

مثال 1

اجازه دهید کمیت $X$ دارای توزیع نرمال با واریانس $\sigma =4$ باشد. بگذارید اندازه نمونه $n=64$ و قابلیت اطمینان برابر با $\gamma =0.95$ باشد. فاصله اطمینان برای تخمین انتظارات ریاضی توزیع داده شده را بیابید.

باید بازه ($\overline(x)-\delta ,\overline(x)+\delta)$ را پیدا کنیم.

همانطور که در بالا دیدیم

\[\delta =\frac(\sigma t)(\sqrt(n))=\frac(4t)(\sqrt(64))=\frac(\ t)(2)\]

پارامتر $t$ را از فرمول پیدا می کنیم

\[Ф\left(t\right)=\frac(\gamma)(2)=\frac(0.95)(2)=0.475\]

از جدول 1 ما t=1.96$ را دریافت می کنیم.

فاصله اطمینان- مقادیر حدی آمار، که با یک احتمال اطمینان داده شده γ در این بازه با حجم نمونه بزرگتر خواهد بود. با P(θ - ε . در عمل انتخاب کنید سطح اطمینانγ از مقادیر γ = 0.9، γ = 0.95، γ = 0.99 به اندازه کافی نزدیک به وحدت است.

واگذاری خدمات. این سرویس تعریف می کند:

• فاصله اطمینان برای میانگین کلی، فاصله اطمینان برای واریانس.
• فاصله اطمینان برای انحراف استاندارد، فاصله اطمینان برای کسر عمومی.

راه حل به دست آمده در یک فایل Word ذخیره می شود (به مثال مراجعه کنید). در زیر یک دستورالعمل ویدیویی در مورد نحوه پر کردن داده های اولیه وجود دارد.

مثال شماره 1. در یک مزرعه جمعی، از کل گله 1000 گوسفند، 100 گوسفند تحت برش کنترل انتخابی قرار گرفتند. در نتیجه، میانگین برشی پشم 4.2 کیلوگرم برای هر گوسفند ایجاد شد. میانگین را با احتمال 0.99 تعیین کنید خطای درجه دومنمونه برداری هنگام تعیین میانگین برش پشم در هر گوسفند و حدودی که مقدار برشی در آن وجود دارد اگر واریانس 2.5 باشد. نمونه غیر تکراری است
مثال شماره 2. از دسته محصولات وارداتی در پست گمرک شمالی مسکو، 20 نمونه از محصول "الف" به ترتیب نمونه گیری مجدد تصادفی گرفته شد. در نتیجه بررسی، میانگین رطوبت محصول "A" در نمونه مشخص شد که با انحراف معیار 1٪ 6٪ بود.
با احتمال 0.683 حدود میانگین رطوبت محصول در کل دسته محصولات وارداتی را تعیین کنید.
مثال شماره 3. نظرسنجی از 36 دانش آموز نشان داد که میانگین تعداد کتاب های درسی که آنها در آن می خوانند سال تحصیلیبا فرض اینکه تعداد کتاب های درسی خوانده شده توسط دانش آموز در هر ترم دارای قانون توزیع نرمال با انحراف معیار برابر با 6 باشد، پیدا کنید: الف) با پایایی 0.99، تخمین فاصله ای برای ریاضی. انتظار از این متغیر تصادفی؛ ب) با چه احتمالی می توان استدلال کرد که میانگین تعداد کتاب های درسی خوانده شده توسط دانش آموز در هر ترم، که برای این نمونه محاسبه می شود، بیش از 2 از انتظار ریاضی در مقدار مطلق انحراف داشته باشد.

طبقه بندی فواصل اطمینان

بر اساس نوع پارامتر مورد ارزیابی:

بر اساس نوع نمونه:

1. فاصله اطمینان برای نمونه برداری بی نهایت.
2. فاصله اطمینان برای نمونه نهایی؛

نمونه برداری را نمونه گیری مجدد می نامند، اگر شی انتخاب شده قبل از انتخاب مورد بعدی به جمعیت عمومی برگردانده شود. نمونه غیر تکراری نامیده می شود.اگر شی انتخاب شده به جمعیت عمومی بازگردانده نشود. در عمل معمولاً با نمونه های تکرار نشدنی سروکار داریم.

محاسبه میانگین خطای نمونه گیری برای انتخاب تصادفی

اختلاف بین مقادیر شاخص های به دست آمده از نمونه و پارامترهای مربوط به جامعه عمومی نامیده می شود. خطای نمایندگی.
تعیین پارامترهای اصلی جامعه عمومی و نمونه.

نمونه فرمول های میانگین خطا
انتخاب مجدد		انتخاب غیر تکراری
برای وسط	برای اشتراک گذاری	برای وسط	برای اشتراک گذاری

نسبت بین حد خطای نمونه گیری (Δ) با احتمال کمی تضمین شده است P(t)،و خطای متوسطنمونه دارای شکل است: یا Δ = t μ، که در آن تی- ضریب اطمینان، بسته به سطح احتمال P(t) مطابق جدول تابع لاپلاس انتگرال تعیین می شود.

فرمول های محاسبه حجم نمونه با روش انتخاب تصادفی مناسب

اجازه دهید یک متغیر تصادفی (می‌توانیم در مورد جمعیت عمومی صحبت کنیم) طبق قانون عادی توزیع شده است، که واریانس آن D = 2 (> 0) مشخص است. از جمعیت عمومی (بر روی مجموعه اشیایی که یک متغیر تصادفی از آنها تعیین می شود)، نمونه ای به اندازه n ساخته می شود. نمونه x 1 , x 2 ,..., x n به عنوان مجموعه ای از n متغیر تصادفی مستقل در نظر گرفته می شود که به همان شیوه (رویکردی که در بالا توضیح داده شد) توزیع شده است.

قبلاً برابری های زیر نیز مورد بحث و اثبات قرار گرفت:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

کافی است به سادگی ثابت کنیم (اثبات را حذف می کنیم) که متغیر تصادفی در این مورد نیز طبق قانون عادی توزیع شده است.

مقدار مجهول M را با a نشان می دهیم و با توجه به پایایی داده شده عدد d > 0 را انتخاب می کنیم تا شرط زیر برآورده شود:

P(-a< d) = (1)

از آنجایی که متغیر تصادفی بر اساس قانون نرمال با انتظار ریاضی M = M = a و واریانس D = D /n = 2 /n توزیع می شود، به دست می آوریم:

P(-a< d) =P(a - d < < a + d) =

باقی مانده است که d را طوری انتخاب کنیم که برابری باشد

برای هر کسی می توان چنین عدد t را از جدول پیدا کرد که (t) \u003d / 2. این عدد t گاهی اوقات نامیده می شود چندک.

حالا از برابری

مقدار d را تعریف کنید:

نتیجه نهایی را با ارائه فرمول (1) به شکل زیر بدست می آوریم:

معنی آخرین فرمول به شرح زیر است: با قابلیت اطمینان، فاصله اطمینان

پارامتر مجهول a = M جمعیت را پوشش می دهد. می توان طور دیگری گفت: تخمین نقطه ایمقدار پارامتر M را با دقت d=t / و قابلیت اطمینان تعیین می کند.

یک وظیفه. اجازه دهید یک جمعیت عمومی با برخی از مشخصه‌ها که طبق قانون عادی توزیع شده‌اند با پراکندگی برابر با 25/6 وجود داشته باشد. نمونه ای با اندازه n = 27 ساخته شد و میانگین مقدار نمونه مشخصه = 12 به دست آمد.

راه حل. ابتدا با استفاده از جدول تابع لاپلاس، مقدار t را از معادله (t) \u003d / 2 \u003d 0.495 پیدا می کنیم. بر اساس مقدار به دست آمده t = 2.58، ما دقت برآورد (یا نصف طول فاصله اطمینان) را تعیین می کنیم d: d = 2.52.58 / 1.24. از اینجا فاصله اطمینان مورد نظر را بدست می آوریم: (10.76؛ 13.24).

فرضیه آماری تغییرات کلی

فاصله اطمینان برای انتظار توزیع نرمال با واریانس مجهول

فرض کنید یک متغیر تصادفی توزیع شده بر اساس قانون عادی با یک انتظار ریاضی ناشناخته M باشد که آن را با حرف a نشان می دهیم. بیایید یک نمونه با اندازه n درست کنیم. اجازه دهید میانگین نمونه و واریانس نمونه تصحیح شده s 2 را با استفاده از فرمول های شناخته شده تعیین کنیم.

مقدار تصادفی

طبق قانون دانشجویی با n - 1 درجه آزادی توزیع شده است.

وظیفه یافتن چنین عدد t با توجه به قابلیت اطمینان داده شده و تعداد درجات آزادی n - 1 است تا برابری

یا برابری معادل

در اینجا در داخل پرانتز، این شرط نوشته شده است که مقدار پارامتر مجهول a متعلق به یک بازه مشخص است که همان فاصله اطمینان است. مرزهای آن به قابلیت اطمینان، و همچنین به پارامترهای نمونه برداری و s بستگی دارد.

برای تعیین مقدار t بر اساس قدر، تساوی (2) را به شکل زیر تبدیل می کنیم:

حال با توجه به جدول یک متغیر تصادفی t که طبق قانون Student توزیع شده است، با توجه به احتمال 1 - و تعداد درجات آزادی n - 1، t را پیدا می کنیم. فرمول (3) پاسخ مسئله را می دهد.

یک وظیفه. در آزمایش های کنترلی 20 لامپ الکتریکی، میانگین مدت کارکرد آنها برابر با 2000 ساعت با انحراف معیار (محاسبه به عنوان جذر واریانس نمونه اصلاح شده) معادل 11 ساعت بود. مشخص است که مدت زمان کار لامپ به طور معمول توزیع می شود متغیر تصادفی. با پایایی 0.95 فاصله اطمینان برای انتظارات ریاضی این متغیر تصادفی را تعیین کنید.

راه حل. مقدار 1 - در این مورد برابر با 0.05 است. با توجه به جدول توزیع Student، با تعداد درجات آزادی برابر با 19، بدست می آوریم: t = 2.093. اکنون دقت برآورد را محاسبه می کنیم: 2.093121/ = 56.6. از اینجا به فاصله اطمینان مورد نظر می رسیم: (1943.4; 2056.6).

بیایید در ام اس بسازیم اعتماد اکسلفاصله زمانی برای تخمین مقدار میانگین توزیع در مورد مقدار مشخص واریانس.

البته انتخاب سطح اعتمادکاملا به کار در دست بستگی دارد. بنابراین، درجه اطمینان مسافر هوایی به قابلیت اطمینان هواپیما، البته باید بیشتر از میزان اطمینان خریدار به قابلیت اطمینان لامپ باشد.

فرمول وظیفه

بیایید فرض کنیم که از جمعیتگرفتن نمونهاندازه n فرض بر این است که انحراف معیار این توزیع شناخته شده است. بر این اساس لازم است نمونه هاناشناخته را ارزیابی کنید میانگین توزیع(μ, ) و مربوطه را بسازید دو طرفه فاصله اطمینان.

تخمین نقطه ای

همانطور که از آمار(بیایید آن را صدا کنیم X رجوع کنید به) هست یک برآورد بی طرفانه از میانگیناین جمعیتو دارای توزیع N(μ; σ 2 /n) است.

توجه داشته باشید: اگر نیاز به ساخت داشته باشید چه؟ فاصله اطمیناندر مورد توزیع که نیست معمولی؟در این مورد، به کمک می آید، که می گوید که با اندازه کافی بزرگ است نمونه ها n از توزیع غیر- معمولی, توزیع نمونه آماری Х avاراده تقریبامطابقت توزیع نرمالبا پارامترهای N(μ; σ 2 /n).

بنابراین، تخمین نقطه ای وسط مقادیر توزیعما داریم میانگین نمونه، یعنی X رجوع کنید به. حالا بیایید مشغول شویم فاصله اطمینان.

ایجاد فاصله اطمینان

معمولاً با دانستن توزیع و پارامترهای آن، می‌توانیم احتمال اینکه یک متغیر تصادفی از بازه‌ای که ما تعیین کرده‌ایم، مقداری بگیرد را محاسبه کنیم. حالا بیایید برعکس عمل کنیم: بازه‌ای که متغیر تصادفی در آن قرار می‌گیرد را با احتمال معین پیدا کنید. مثلاً از خواص توزیع نرمالمشخص شده است که با احتمال 95 درصد، یک متغیر تصادفی روی آن توزیع شده است قانون عادی، در فاصله تقریباً +/- 2 از قرار می گیرد مقدار میانگین(به مقاله در مورد مراجعه کنید). این فاصله به عنوان نمونه اولیه ما عمل خواهد کرد فاصله اطمینان.

حالا بیایید ببینیم که آیا توزیع را می دانیم یا خیر , برای محاسبه این فاصله؟ برای پاسخ به سوال باید شکل توزیع و پارامترهای آن را مشخص کنیم.

می دانیم که شکل توزیع است توزیع نرمال(به یاد داشته باشید که ما در مورد آن صحبت می کنیم توزیع نمونه آمار X رجوع کنید به).

پارامتر μ برای ما ناشناخته است (فقط باید با استفاده از آن تخمین زده شود فاصله اطمینان) اما ما برآورد آن را داریم X cf،بر اساس محاسبه می شود نمونه،که قابل استفاده است.

پارامتر دوم است میانگین انحراف معیار نمونه شناخته خواهد شد، برابر با σ/√n است.

زیرا ما μ را نمی دانیم، سپس بازه +/- 2 را می سازیم انحراف معیارنه از مقدار میانگین، اما از برآورد شناخته شده آن X رجوع کنید به. آن ها هنگام محاسبه فاصله اطمینانما آن را فرض نخواهیم کرد X رجوع کنید بهدر بازه +/- 2 قرار می گیرد انحراف معیاراز μ با احتمال 95% و ما این فاصله را 2 +/- 2 فرض خواهیم کرد. انحراف معیاراز جانب X رجوع کنید بهبا احتمال 95% μ را پوشش می دهد - میانگین جمعیت عمومی،از کدام نمونه. این دو عبارت معادل هستند، اما عبارت دوم به ما اجازه می دهد که بسازیم فاصله اطمینان.

علاوه بر این، ما فاصله را اصلاح می کنیم: یک متغیر تصادفی که روی آن توزیع شده است قانون عادی، با احتمال 95٪ در بازه +/- 1.960 قرار می گیرد انحراف معیار،نه +/- 2 انحراف معیار. این را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد \u003d NORM.ST.OBR ((1 + 0.95) / 2)، سانتی متر. فایل نمونه فاصله ورق.

اکنون می‌توانیم یک گزاره احتمالی را فرموله کنیم که برای شکل دادن به ما کمک کند فاصله اطمینان:
"احتمال این که میانگین جمعیتواقع شده از میانگین نمونهدر 1.960 اینچ انحراف معیار میانگین نمونه"، برابر با 95 درصد است.

مقدار احتمال ذکر شده در بیانیه نام خاصی دارد ، که باسطح اهمیت α (آلفا) با یک عبارت ساده سطح اعتماد =1 -α . در مورد ما سطح اهمیت α =1-0,95=0,05 .

حال بر اساس این گزاره احتمالی، یک عبارت برای محاسبه می نویسیم فاصله اطمینان:

جایی که Za/2 – استاندارد توزیع نرمال(چنین مقداری از یک متغیر تصادفی z, چی پ(z>=Za/2 )=α/2).

توجه داشته باشید: α/2-چک بالاییعرض را مشخص می کند فاصله اطمینانکه در انحراف معیار میانگین نمونه α/2-چک بالایی استاندارد توزیع نرمالهمیشه بزرگتر از 0 است که بسیار راحت است.

در مورد ما، در α=0.05، α/2-چک بالایی برابر با 1.960 است. برای سایر سطوح اهمیت α (10%؛ 1%) α/2-چک بالایی Za/2 می توان با استفاده از فرمول \u003d NORM.ST.OBR (1-α / 2) یا در صورت شناخت سطح اعتماد, =NORM.ST.OBR((1+سطح اطمینان)/2).

معمولا هنگام ساخت فواصل اطمینان برای تخمین میانگینفقط استفاده کنید α بالایی/2-چندکو استفاده نکنید α پایین تر/2-چندک. این امکان پذیر است زیرا استاندارد توزیع نرمالمتقارن حول محور x ( چگالی توزیع آنمتقارن در مورد متوسط، یعنی 0). بنابراین نیازی به محاسبه نیست مقدار کمتر α/2(به سادگی α نامیده می شود /2-چندک)، زیرا برابر است α بالایی/2-چندکبا علامت منفی

به یاد بیاورید که با وجود شکل توزیع x، متغیر تصادفی مربوطه X رجوع کنید بهتوزیع شده است تقریبا خوب N(μ; σ 2 /n) (به مقاله در مورد مراجعه کنید). بنابراین، در مورد کلی، عبارت بالا برای فاصله اطمینانفقط تقریبی است اگر x روی آن توزیع شود قانون عادی N(μ; σ 2 /n)، سپس عبارت for فاصله اطمیناندقیق است.

محاسبه فاصله اطمینان در MS EXCEL

بیایید مشکل را حل کنیم.
زمان پاسخ یک قطعه الکترونیکی به سیگنال ورودی یکی از مشخصه های مهم یک دستگاه است. یک مهندس می خواهد یک فاصله اطمینان برای میانگین زمان پاسخ در سطح اطمینان 95٪ ترسیم کند. از تجربه قبلی، مهندس می داند که انحراف استاندارد زمان پاسخ 8 میلی ثانیه است. مشخص است که مهندس 25 اندازه گیری برای تخمین زمان پاسخ انجام داد که میانگین آن 78 میلی ثانیه بود.

راه حل: یک مهندس می خواهد زمان پاسخ یک دستگاه الکترونیکی را بداند، اما می فهمد که زمان پاسخ ثابت نیست، بلکه یک متغیر تصادفی است که توزیع خاص خود را دارد. بنابراین بهترین چیزی که او می تواند به آن امیدوار باشد تعیین پارامترها و شکل این توزیع است.

متأسفانه، از شرایط مشکل، شکل توزیع زمان پاسخ را نمی دانیم (الزامی نیست که معمولی). ، این توزیع نیز ناشناخته است. فقط او شناخته شده است انحراف معیارσ=8. بنابراین، در حالی که نمی توانیم احتمالات را محاسبه کنیم و بسازیم فاصله اطمینان.

با این حال، اگر چه ما توزیع را نمی دانیم زمان پاسخ جداگانه، می دانیم که با توجه به CPT, توزیع نمونه میانگین زمان پاسخگوییتقریبا است معمولی(شرایط را فرض خواهیم کرد CPTانجام می شوند، زیرا اندازه نمونه هابه اندازه کافی بزرگ (n=25)) .

علاوه بر این، میانگیناین توزیع برابر است با مقدار میانگینتوزیع پاسخ واحد، به عنوان مثال μ. ولی انحراف معیاراین توزیع (σ/√n) را می توان با استفاده از فرمول =8/ROOT(25) محاسبه کرد.

همچنین مشخص است که مهندس دریافت کرد تخمین نقطه ایپارامتر μ برابر با 78 ms (X cf). بنابراین، اکنون می توانیم احتمالات را محاسبه کنیم، زیرا ما فرم توزیع را می دانیم ( معمولی) و پارامترهای آن (Х ср و σ/√n).

مهندس می خواهد بداند ارزش مورد انتظارμ توزیع زمان پاسخ. همانطور که در بالا گفته شد، این μ برابر است با انتظار توزیع نمونه از میانگین زمان پاسخ. اگر استفاده کنیم توزیع نرمال N(X cf; σ/√n)، سپس μ مورد نظر در محدوده +/-2*σ/√n با احتمال تقریبی 95 درصد خواهد بود.

سطح اهمیتبرابر با 1-0.95=0.05 است.

در نهایت مرز چپ و راست را پیدا کنید فاصله اطمینان.
حاشیه سمت چپ: \u003d 78-NORM.ST.INR (1-0.05 / 2) * 8 / ROOT (25) = 74,864
حاشیه سمت راست: \u003d 78 + NORM. ST. OBR (1-0.05 / 2) * 8 / ROOT (25) \u003d 81.136

حاشیه سمت چپ: =NORM.INV(0.05/2، 78، 8/SQRT(25))
حاشیه سمت راست: =NORM.INV(1-0.05/2، 78، 8/SQRT(25))

پاسخ: فاصله اطمیناندر سطح اطمینان 95% و σ=8msecبرابر است 78+/-3.136 میلی‌ثانیه

که در فایل نمونه در برگه سیگماشناخته شده فرمی برای محاسبه و ساخت ایجاد کرد دو طرفه فاصله اطمینانبرای دلخواه نمونه هابا یک σ داده شده و سطح اهمیت.

تابع () CONFIDENCE.NORM

اگر مقادیر نمونه هادر محدوده هستند B20:B79 ، ولی سطح اهمیتبرابر با 0.05; سپس فرمول MS EXCEL:
=AVERAGE(B20:B79)-اعتماد(0.05،σ، COUNT(B20:B79))
حاشیه سمت چپ را برمی گرداند فاصله اطمینان.

همین مرز را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:
=AVERAGE(B20:B79)-NORM.ST.INV(1-0.05/2)*σ/SQRT(COUNT(B20:B79))

توجه داشته باشید: تابع TRUST.NORM() در MS EXCEL 2010 ظاهر شد. نسخه های قبلی MS EXCEL از تابع TRUST() استفاده می کردند.