Ebben a cikkben elmagyarázzuk, hogyan lehet képleteket használni a rendszerek megoldására lineáris egyenletek.

Íme egy példa egy lineáris egyenletrendszerre:
3x + 4y = 8
4x + 8y = 1

A megoldás az ilyen értékek megtalálása xÉs nál nél, amelyek mindkét egyenletet kielégítik. Ennek az egyenletrendszernek egy megoldása van:
x=7,5
y=-3,625

Az egyenletrendszerben a változók számának meg kell egyeznie az egyenletek számával. Az előző példa két egyenletet használ két változóban. Három egyenletre van szükség ahhoz, hogy megtaláljuk három változó értékét ( x,nál nélÉs z). Az egyenletrendszerek megoldásának általános lépései a következők (128.1. ábra).

1. Fejezd ki az egyenleteket szabványos formában! Ha szükséges, használjunk alapalgebrát, és írjuk át az egyenletet úgy, hogy minden változó az egyenlőségjeltől balra jelenjen meg. A következő két egyenlet azonos, de a második szabványos:
   3x - 8 = -4 év
   3x + 4y = 8 .
2. Helyezzen együtthatókat különböző méretű cellákba n x n, Ahol n az egyenletek száma. ábrán. A 128,1 együtthatók az I2:J3 tartományban vannak.
3. Helyezze a konstansokat (az egyenlőségjeltől jobbra lévő számokat) egy függőleges cellatartományba. ábrán. 128.1 az állandók az L2:L3 tartományban vannak.
4. A számításhoz használjon képlettömböt inverz mátrix együtthatók. ábrán. 128.1 a következő tömbképlet az I6:J7 tartományba kerül (ne felejtse el megnyomni Ctrl+Shift+Enter tömbképlet beírásához: =INV(I2:J3) .
5. Egy tömbképlet segítségével szorozza meg az együtthatók mátrixának inverzét egy állandó mátrixszal. ábrán. 128.1 A következő tömbképletet adjuk meg a J10:JJ11 tartományban, amely a megoldást tartalmazza (x = 7,5 és y = -3,625): =MMULT(I6:J7;L2:L3) . ábrán. A 128.2 egy három egyenletrendszer megoldására felállított lapot mutat.

BAN BEN Excel program megoldására kiterjedt eszköztár áll rendelkezésre különféle fajták egyenleteket különböző módon.

Nézzünk néhány példát a megoldásokra.

Egyenletek megoldása Excel paraméterek kiválasztásának módszerével

A Parameter Seek eszközt olyan helyzetben használják, amikor az eredmény ismert, de az argumentumok ismeretlenek. Az Excel addig választja az értékeket, amíg a számítás meg nem adja a kívánt összeget.

A parancs elérési útja: "Adatok" - "Munka adatokkal" - "Mi lenne, ha elemzés" - "Paraméter kiválasztása".

Nézzük a megoldást másodfokú egyenlet x 2 + 3x + 2 = 0. A gyökér megtalálásának sorrendje Excel segítségével:

A program ciklikus folyamatot használ a paraméter kiválasztásához. Az iterációk számának és a hibának a módosításához az Excel beállításaihoz kell lépnie. A "Képletek" lapon állítsa be az iterációk számának korlátját, relatív hiba. Jelölje be az "Iteratív számítások engedélyezése" négyzetet.



Egyenletrendszer megoldása mátrix módszerrel Excelben

Az egyenletrendszer adott:

Egyenletgyököket kapunk.

Egyenletrendszer megoldása Cramer-módszerrel Excelben

Vegyük az előző példából az egyenletrendszert:

A Cramer-módszerrel való megoldáshoz kiszámítjuk azon mátrixok determinánsait, amelyeket úgy kapunk, hogy az A mátrixban egy oszlopot B oszlopmátrixra cserélünk.

A determinánsok kiszámításához a MOPRED függvényt használjuk. Az argumentum egy tartomány a megfelelő mátrixszal.

Kiszámoljuk az A mátrix determinánsát is (tömb - A mátrix tartománya).

A rendszer determinánsa nagyobb, mint 0 - a megoldást a Cramer-képlet segítségével találhatjuk meg (D x / |A|).

Az X 1 kiszámításához: \u003d U2 / $ U $ 1, ahol U2 - D1. Az X 2 kiszámításához: =U3/$U$1. Stb. Megkapjuk az egyenletek gyökereit:

Egyenletrendszerek megoldása Gauss módszerrel Excelben

Vegyük például a legegyszerűbb egyenletrendszert:

3a + 2c - 5c = -1
2a-c-3c = 13
a + 2b - c \u003d 9

Az együtthatókat az A mátrixba írjuk. Szabad tagok - a B mátrixba.

Az egyértelműség kedvéért kitöltéssel kiemeljük az ingyenes tagokat. Ha az A mátrix első cellája 0, akkor a sorokat fel kell cserélni, hogy 0-tól eltérő érték legyen.

Példák egyenletek megoldására iterációval Excelben

A munkafüzetben a számításokat a következőképpen kell beállítani:

Ez az "Excel-beállítások" "Képletek" lapján történik. Keressük meg az x - x 3 + 1 = 0 (a = 1, b = 2) egyenlet gyökét iterációval ciklikus hivatkozások segítségével. Képlet:

X n+1 \u003d X n - F (X n) / M, n \u003d 0, 1, 2, ....

M a modulo derivált maximális értéke. Az M megtalálásához végezzük el a számításokat:

f'(1)=-2*f'(2)=-11.

A kapott érték kisebb, mint 0. Ezért a függvény ellentétes előjelű lesz: f (x) \u003d -x + x 3 - 1. M \u003d 11.

Az A3 cellába írja be az értéket: a = 1. Pontosság - három tizedesjegy. A szomszédos cellában (B3) lévő x aktuális értékének kiszámításához írja be a következő képletet: =IF(B3=0;A3;B3-(-B3+POWER(B3;3)-1/11)).

A C3 cellában f (x) értékét szabályozzuk a =B3-POWER(B3;3)+1 képlet segítségével.

Az egyenlet gyöke 1,179. Írja be a 2 értéket az A3 cellába. Ugyanazt az eredményt kapjuk:

Egy adott intervallumon csak egy gyök található.

» 15. lecke

15. lecke

Cramer módszer

(SLN)
- rendszerazonosító
Ha az SLE determinánsa nem nulla, akkor a rendszer megoldását a Cramer-képletek egyedileg határozzák meg:
, , ()
Ahol:

	Ehhez abba az oszlopba, ahol az x változó van, és ezért az első oszlopba az x-ben lévő együtthatók helyett a szabad együtthatókat tesszük, amelyek az egyenletrendszerben az egyenletek jobb oldalán találhatók.
	Ehhez abba az oszlopba, ahol az y változó van (2. oszlop), az y-ban lévő együtthatók helyett a szabad együtthatókat helyezzük el, amelyek az egyenletrendszerben az egyenletek jobb oldalán találhatók.
	Ehhez abba az oszlopba, ahol a z változó áll, ami a harmadik oszlopot jelenti, a z-ben lévő együtthatók helyett a szabad együtthatókat tesszük, amelyek az egyenletrendszerben az egyenletek jobb oldalán találhatók.

1. Feladat. Oldja meg az SLE-t Cramer képletekkel Excelben

A döntés előrehaladása

1. Az egyenletet mátrix alakban írjuk fel:

2. Írja be az A és B mátrixot az Excelbe.

3. Keresse meg az A mátrix determinánsát. Egyenlőnek kell lennie 30-al.

4. A rendszer determinánsa különbözik a nullától, ezért - a megoldást a Cramer-képletek egyedileg határozzák meg.

5. Töltse ki a dX, dY, dZ értékeket az Excel lapon (lásd az alábbi ábrát).

6. Az F8, F12, F16 cellák dX, dY, dZ értékeinek kiszámításához meg kell adnia egy függvényt, amely kiszámítja a dX, dY, dZ determinánst.

7. Az X értékének kiszámításához az I8 cellában az =F8/B5 képletet kell megadni (Cramer dX/|A| képlete szerint).

8. Írjon be képleteket az Y és Z kiszámításához.

2. feladat: önállóan keresse meg az SLE megoldását a Cramer módszerrel:

Cramer-képletek és mátrix módszer a lineáris egyenletrendszerek megoldásainak nincs komoly gyakorlati alkalmazása, mivel nehézkes számításokkal járnak. A gyakorlatban a Gauss-módszert leggyakrabban lineáris egyenletrendszerek megoldására használják.

Gauss módszer

A Gauss-féle megoldási folyamat két lépésből áll.

1. Egyenes löket: a rendszer lépcsőzetes (különösen háromszög alakú) formára redukálódik.

Egy egyenletrendszer megoldásához ennek a rendszernek a kiterjesztett mátrixát írjuk ki

és ennek a mátrixnak a sorai felett termel elemi átalakulások, hozza azt az űrlapot, amikor a nullák a főátló alatt lesznek.
Megengedett elemi transzformációk végrehajtása mátrixokon.
Ezen transzformációk segítségével minden alkalommal, amikor a kiterjesztett mátrixot megkapjuk új rendszer, az eredetivel egyenértékű, i.e. olyan rendszer, amelynek megoldása egybeesik az eredeti rendszer megoldásával.

2. Fordítva: ebből a lépcsőzetes rendszerből az ismeretlenek szekvenciális meghatározása történik.

Példa.Állítsa be a kompatibilitást és oldja meg a rendszert

Megoldás.
Közvetlen mozgás:Írjuk ki a rendszer kiterjesztett mátrixát, és cseréljük fel az első és a második sort úgy, hogy az elem egyenlő legyen eggyel (kényelmesebb így mátrixtranszformációkat végrehajtani).



.

Nekünk van A rendszermátrix és a kiterjesztett mátrix rangsorai egybeestek az ismeretlenek számával. A Kronecker-Capelli tétel szerint az egyenletrendszer konzisztens, megoldása egyedi.
Fordított mozgás:Írjuk fel azt az egyenletrendszert, melynek kibővített mátrixát transzformációk eredményeként kaptuk:

Szóval van .
Továbbá a harmadik egyenletbe behelyettesítve azt találjuk .
A második egyenletbe behelyettesítve azt kapjuk, hogy .
Az első talált egyenletben behelyettesítve azt kapjuk, hogy .
Így van megoldásunk a rendszerre.

Az SLE megoldása Gauss módszerrel Excelben:

A szöveg kérni fogja, hogy írjon be egy képletet a következő formátumban: (=A1:B3+$C$2:$C$3) a cellák tartományába stb., ezek az úgynevezett "tömbképletek". Microsoft Excel automatikusan göndör kapcsos zárójelek közé zárja (( )). Az ilyen típusú képlet megadásához válassza ki a teljes tartományt, ahová a képletet be kívánja szúrni, írja be a képletet zárójelek nélkül az első cellába (a fenti példában - =A1:B3+$C$2:$C$3), majd nyomja meg a Ctrl billentyűt. +Shift+Enter.
Legyen egy lineáris egyenletrendszer:

1. Írjuk az egyenletrendszer együtthatóit az A1:D4 cellákba, a szabad tagok oszlopát pedig az E1:E4 cellákba. Ha egy cellábanA10, akkor fel kell cserélni a sorokat, hogy ennek a cellának nullától eltérő értéke legyen. A nagyobb áttekinthetőség érdekében kitöltést adhat azokhoz a cellákhoz, amelyekben a szabad tagok találhatók.

2. Az x1-es együtthatót az első kivételével minden egyenletben 0-ra kell csökkenteni. Először tegyük ezt meg a második egyenletnél. Másolja az első sort az A6:E6 cellákba változtatások nélkül, az A7:E7 cellákba a következő képletet kell beírni: (=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)). Így a második sorból kivonjuk az első sort, megszorozva A2/$A$1-gyel, azaz. a második és az első egyenlet első együtthatóinak aránya. A 8. és 9. sorok kitöltésének megkönnyítése érdekében az első sor celláira való hivatkozásnak abszolútnak kell lennie (a $ szimbólumot használjuk).

3. A beírt képletet a 8. és 9. sorba másoljuk, így az első kivételével minden egyenletben megszabadulunk az x1 előtti együtthatóktól.

4. Most állítsuk az x2 előtti együtthatókat a harmadik és negyedik egyenletben 0-ra. Ehhez másolja a kapott 6. és 7. sort (csak értékek) a 11. és 12. sorba, és az A13:E13 cellákba írja be a képletet. (=A8:E8-$ A$7:$E$7*(B8/$B$7)), amit aztán az A14:E14 cellákba másolunk. Így a 8. és 7. sor különbsége, megszorozva a B8/$B$7 együtthatóval, megvalósul. .

5. Marad hátra, hogy a negyedik egyenlet x3-as együtthatóját 0-ra hozzuk, ehhez ismét ugyanazt tesszük: másoljuk a kapott 11., 12. és 13. sort (csak értékeket) a 16-18. sorokba, és írjuk be a képletet ( = A14: E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)). Így a 14. és 13. sor közötti különbség, megszorozva a C14/$C$13 együtthatóval, megvalósul. Ne felejtse el módosítani a sorokat, hogy megszabaduljon a 0-tól a tört nevezőjében.

6. A Gauss-féle előresöprés befejeződött. Kezdjük a fordított futást a kapott mátrix utolsó sorából. Az utolsó sor minden elemét el kell osztani az x4-es együtthatóval. Ehhez a 24. sorba írjuk be a képletet (=A19:E19/D19).

7. Hozzuk az összes sort egy hasonló formára, ehhez töltsük ki a 23, 22, 21 sorokat a következő képletekkel:

23: (=(A18:E18-A24:E24*D18)/C18) - kivonjuk a negyedik sort a harmadik sor x4-es együtthatójával szorozva a harmadik sorból.

22: (=(A17:E17-A23:E23*C17-A24:E24*D17)/B17) – a harmadik és negyedik sor kivonása a második sorból, megszorozva a megfelelő együtthatókkal.

21: (=(A16:E16-A22:E22*B16-A23:E23*C16-A24:E24*D16)/A16) – az első sorból ki kell vonni a második, harmadik és negyedik értéket, megszorozva a megfelelő együtthatókkal.

Az eredményt (az egyenlet gyökereit) az E21:E24 cellákban számítjuk ki.

Összeállította: Saliy N.A.

A Cramer-módszert lineáris rendszerek megoldására használják algebrai egyenletek(SLAE), amelyben az ismeretlen változók száma megegyezik az egyenletek számával, és a fő mátrix determinánsa nem nulla. Ebben a cikkben azt elemezzük, hogyan találhatók meg az ismeretlen változók a Cramer-módszerrel, és képleteket kapunk. Ezt követően példákra térünk, és részletesen ismertetjük a lineáris algebrai egyenletrendszerek Cramer-módszerrel történő megoldását.

Oldalnavigáció.

Cramer-módszer – képletek származtatása.

Alakú lineáris egyenletrendszert kell megoldanunk

Ahol x 1 , x 2 , …, x n ismeretlen változók, a i j , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- számszerű együtthatók, b 1 , b 2 , ..., b n - szabad tagok. Az SLAE megoldása egy olyan x 1 , x 2 , …, x n értékhalmaz, amelyre a rendszer összes egyenlete azonossággá alakul.

Mátrix formában ezt a rendszert úgy írhatjuk fel, hogy A ⋅ X = B , ahol - a rendszer fő mátrixa, elemei ismeretlen változók együtthatói, - a mátrix szabad kifejezések oszlopa, és - a mátrix ismeretlen változók oszlopa. Az x 1 , x 2 , …, x n ismeretlen változók megtalálása után a mátrix az egyenletrendszer megoldásává válik, és az A ⋅ X = B egyenlőség azonossággá alakul.

Feltételezzük, hogy az A mátrix nem degenerált, azaz a determinánsa nem nulla. Ebben az esetben a lineáris algebrai egyenletrendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet Cramer módszerével találhatunk meg. (A rendszerek megoldásának módszereit a lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása című részben tárgyaljuk).

A Cramer-módszer a mátrixdetermináns két tulajdonságán alapul:

Tehát kezdjük el megkeresni az ismeretlen x 1 változót. Ehhez megszorozzuk a rendszer első egyenletének mindkét részét A 1 1-gyel, a második egyenlet mindkét részét - A 2 1-gyel, és így tovább, az n-edik egyenlet mindkét részét - A n 1-gyel ( azaz megszorozzuk a rendszer egyenleteit az első mátrixoszlop A megfelelő algebrai komplementereivel):

Összeadjuk a rendszer egyenletének bal oldali részét, csoportosítva az ismeretlen változókkal rendelkező x 1, x 2, ..., x n tagokat, és ezt az összeget egyenlővé tesszük az egyenletek jobb oldali részének összegével:

Ha rátérünk a determináns korábban hangoztatott tulajdonságaira, akkor megvan

és az előző egyenlőség azt a formát ölti

ahol

Hasonlóképpen találjuk x 2-t. Ehhez megszorozzuk a rendszer egyenleteinek mindkét részét az A mátrix második oszlopának algebrai komplementereivel:

Összeadjuk a rendszer összes egyenletét, csoportosítjuk az ismeretlen változójú tagokat x 1, x 2, ..., x n és alkalmazzuk a determináns tulajdonságait:

Ahol
.

A fennmaradó ismeretlen változókat hasonló módon találjuk meg.

Ha kijelöljük

Akkor kapunk képletek ismeretlen változók megtalálásához a Cramer módszerrel .

Megjegyzés.

Ha a lineáris algebrai egyenletrendszer homogén, azaz , akkor csak triviális megoldása van (for ). Valójában a nulla szabad kifejezések esetében minden meghatározó nullak lesznek, mert null elemekből álló oszlopot fognak tartalmazni. Ezért a képletek adni fog .

Algoritmus lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására Cramer módszerrel.

Írjuk fel algoritmus lineáris algebrai egyenletrendszerek Cramer módszerrel történő megoldására.

Példák lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására Cramer módszerrel.

Nézzünk néhány példát.

Példa.

Keressen megoldást egy inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszerre Cramer módszerével .

Megoldás.

A rendszer fő mátrixának alakja . A determinánsát a képlettel számítjuk ki :

Mivel a rendszer fő mátrixának determinánsa nem nulla, az SLAE egyedi megoldással rendelkezik, amely a Cramer módszerrel kereshető meg. Felírjuk a meghatározókat és. A rendszer főmátrixának első oszlopát lecseréljük egy szabad tagok oszlopára, és megkapjuk a determinánst . Hasonlóképpen a főmátrix második oszlopát lecseréljük egy szabad kifejezések oszlopára, és azt kapjuk, hogy .

Kiszámítjuk ezeket a determinánsokat:

Ismeretlen x 1 és x 2 változókat találunk a képletekkel :

Csináljunk egy ellenőrzést. A kapott x 1 és x 2 értékeket behelyettesítjük az eredeti egyenletrendszerbe:

A rendszer mindkét egyenlete azonossággá alakul, így a megoldás helyesen található.

Válasz:

.

A fő SLAE mátrix egyes elemei egyenlőek lehetnek nullával. Ebben az esetben nem lesznek megfelelő ismeretlen változók a rendszer egyenleteiben. Vegyünk egy példát.

Példa.

Keressen megoldást egy lineáris egyenletrendszerre Cramer módszerével .

Megoldás.

Írjuk át a rendszert a formába hogy lássuk a rendszer fő mátrixát . Keresse meg a determinánsát a képlet alapján

Nekünk van

A fő mátrix determinánsa eltér a nullától, ezért a lineáris egyenletrendszernek egyedi megoldása van. Keressük meg Cramer módszerével. Számítsa ki a determinánsokat! :

És így,

Válasz:

Az ismeretlen változók megnevezése a rendszer egyenleteiben eltérhet x 1, x 2, …, x n-től. Ez nem befolyásolja a döntési folyamatot. De a rendszer egyenleteiben az ismeretlen változók sorrendje nagyon fontos a fő mátrix és a Cramer-módszer szükséges determinánsainak összeállításakor. Magyarázzuk meg ezt a pontot egy példával.

Példa.

Cramer módszerével keress megoldást egy három lineáris algebrai egyenletrendszerre három ismeretlenben .

Megoldás.

Ebben a példában az ismeretlen változóknak más a jelölése (x , y és z x 1 , x 2 és x 3 helyett). Ez nem befolyásolja a megoldás menetét, de ügyeljünk a változók jelölésére. NE vegye a rendszer fő mátrixának . Először a rendszer összes egyenletében meg kell rendezni az ismeretlen változókat. Ehhez átírjuk az egyenletrendszert így . Most már jól látható a rendszer fő mátrixa . Számítsuk ki a determinánsát:

A fő mátrix determinánsa eltér nullától, ezért az egyenletrendszernek egyedi megoldása van. Keressük meg Cramer módszerével. Írjuk fel a meghatározókat (ügyeljen a jelölésre), és számítsa ki őket:

Továbbra is meg kell találni az ismeretlen változókat a képletekkel :

Csináljunk egy ellenőrzést. Ehhez megszorozzuk a fő mátrixot a kapott megoldással (ha szükséges, lásd a részt):

Ennek eredményeként az eredeti egyenletrendszer szabad tagjainak oszlopát kaptuk, így a megoldást helyesen találtuk meg.

Válasz:

x = 0, y = -2, z = 3.

Példa.

Lineáris egyenletrendszer megoldása Cramer-módszerrel , ahol a és b néhány valós szám.

Megoldás.

Válasz:

Példa.

Keress megoldást az egyenletrendszerre! Cramer módszere egy valós szám.

Megoldás.

Számítsuk ki a rendszer főmátrixának determinánsát: . a kifejezéseknek van intervallumuk, tehát bármilyen valós érték esetén. Ezért az egyenletrendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet Cramer módszerével találhatunk meg. Kiszámoljuk és:

A lineáris algebrai egyenletrendszer is megoldható a segítségével "Megoldás keresése" bővítmény. Ennek a kiegészítőnek a használatakor közelítések sorozata épül fel , i=0,1,…n.

Hívjuk fel maradék vektor következő vektor:

Az Excel feladata az találni egy ilyen közelítést , amelynél a maradékvektor nullává válna, azaz hogy elérjük a rendszer jobb és bal oldali részének értékeinek egybeesését.

Példaként tekintsük az SLAE-t (3.27).

Sorrend:

1. Készítsünk táblázatot a 3.4. ábra szerint. Vezessük be a rendszer (A mátrix) együtthatóit az A3:C5 cellákba.

3.4. SLAE megoldása a "Megoldás keresése" kiegészítővel

2. Az A8:C8 cellákban kialakul a rendszer megoldása (x 1, x 2, x 3). Kezdetben üresen maradnak, i.e. nulla. A továbbiakban őket fogjuk hívni változó sejtek.. Az alább megadott képletek helyességének ellenőrzéséhez azonban kényelmes bármilyen értéket megadni ezekben a cellákban, például mértékegységeket. Ezeket az értékeket a rendszer megoldásának nulla közelítésének tekinthetjük, = (1, 1, 1).

3. A D oszlopban bevezetünk kifejezéseket az eredeti rendszer bal oldali részeinek kiszámításához. Ehhez a D3 cellába írja be, majd másolja le a képletet a táblázat végére:

D3=ÖSSZEG(A3:C3;$A$8:$C$8).

Használt funkció SZUMTERMÉK kategóriába tartozik Matematikai.

4. Az E oszlopba felírjuk a rendszer jobb oldali részeinek értékeit (B mátrix).

5. Az F oszlopba a (3.29) képletnek megfelelő maradékokat viszünk be, azaz. írja be az F3=D3-E3 képletet és másolja le a táblázat végére.

6. Nem lesz felesleges ellenőrizni a számítások helyességét az = (1, 1, 1) esetre.

7. Válasszon csapatot Adatok\Elemzés\Megoldás keresése.

Rizs. 3.5. Megoldó bővítmény ablak

Az ablakban Megoldás keresése(3.5. ábra) a terepen Cserélhető cellák blokkot adjon meg $A$8:$C$8,és a terepen Korlátozások – $F$3:$F$5=0. Ezután kattintson a gombra Hozzáadásés bevezetni ezeket a korlátozásokat. És akkor a gomb Fuss

A kapott rendszerek megoldása (3.28) x 1 = 1; x 2 = –1x 3 = 2 az A8:C8 cellákba van írva, 3.4. ábra.

Jacobi módszer megvalósítása MS Excel segítségével

Példaként tekintsük a (3.19) egyenletrendszert, amelynek megoldását a fenti Jacobi-módszerrel kaptuk meg (3.2. példa).

Elhozzuk ezt a rendszert normál megjelenés:

Szekvenálás

1. Készítsünk táblázatot a 3.6. ábra szerint:

A B6:E8 cellákba bevezetjük a (3.15) mátrixokat.

Jelentése e– H5-ben.

Iterációs szám k a táblázat A oszlopában az automatikus kiegészítéssel fogjuk kialakítani.

Nulla közelítésként a vektort választjuk

= (0, 0, 0), és írja be a B11:D11 cellákba.

2. A (3.29) kifejezések segítségével a B12:D12 cellákba képleteket írunk az első közelítés kiszámításához:

B12=$E$6+B11*$B$6+C11*$C$6+D11*$D$6,

C12=$E$7+B11*$B$7+C11*$C$7+D11*$D$7,

D12=$E$8+B11*$B$8+C11*$8+D11*$D$8.

Ezeket a képleteket különböző módon lehet felírni Excel funkció SZUMTERMÉK

Az E12 cellába írja be az E12=ABS(B11-B12) képletet, és másolja jobbra, az F12:G12 cellákba.

3.6. Az SLAE Jacobi módszerrel történő megoldásának sémája

3. A H12 cellába írja be a számítási képletet M(k) , a (3.18) kifejezés használatával: H12 = MAX(E12:G12). A MAX funkció a kategóriába tartozik statisztikai.

4. Jelölje ki a B12:H12 cellákat, és másolja le a táblázat végére. Így kapunk k a SLAE megoldás közelítései.

5. Határozza meg a rendszer közelítő megoldását és az adott pontosság eléréséhez szükséges iterációk számát e.

Ehhez a (3.18) képlet segítségével megbecsüljük két szomszédos iteráció közelségi fokát. Használjuk feltételes formázás az oszlop celláiban.

Az ilyen formázás eredménye a 3.6. ábrán látható. A H oszlop azon cellái, amelyek értékei kielégítik a (3.18) feltételt, pl. Kevésbé e=0,1, színezett.

Az eredményeket elemezve a negyedik iterációt az eredeti rendszer közelítő megoldásának vesszük, adott e=0,1 pontossággal, azaz.

Feltárása az iteratív folyamat természete. Ehhez válasszon ki egy A10:D20 cellablokkot, és használja a diagram mester, grafikonokat készítünk a megoldásvektor egyes összetevőinek változásairól az iterációs számtól függően,

A bemutatott grafikonok (3.7. ábra) megerősítik az iteratív folyamat konvergenciáját.

Rizs. 3.7. Egy konvergens iteratív folyamat illusztrációja

Az érték megváltoztatása e a H5 cellában az eredeti rendszer új közelítő megoldását kapjuk új pontossággal.

Sweep módszer megvalósítása Excel segítségével

Tekintsük az alábbi lineáris algebrai egyenletrendszer megoldását "sweep" módszerrel, a táblázatok segítségével excel.

Vektorok:

Szekvenálás

1. Készítsünk táblázatot a 3.8. ábra szerint. A rendszer (3.30) kiterjesztett mátrixának kezdeti adatai, i.e. A vektorok a B5:E10 cellákba kerülnek.

2. A versenyzési esélyekről U 0 =0 és V 0 =0 bejutnak a G4 és H4 cellákba.

3. Számítsa ki a sweep együtthatókat L i , U i , V i. Ehhez az F5, G5, H5 cellákban kiszámítjuk L 1 , U 1 , V 1. a (3.8) képlet alapján. Ehhez bevezetjük a képleteket:

F5=B5*G4+C5; G5=-D5/F5, H5 = (E5-B5*H4)/F5, majd másolja le őket.

3.8. ábra. A "sweep" módszer tervezési sémája

4. Az I10-es cellában kiszámoljuk x6 a (3.10) képlet alapján

I10 = (E10-B10*H9)/(B10*G9+C10).

5. A (3.7) képlet segítségével kiszámítjuk az összes többi ismeretlent x 5 x 4 , x 3 , x 2 , x 1 . Ehhez az I9 cellában kiszámítjuk x5 a (3.6) képlet szerint: I9=G9*I10+H9. Aztán másold fel ezt a képletet.

Ellenőrző kérdések

1. Lineáris algebrai egyenletrendszer (SLAE). Mi a SLAE megoldása. Amikor létezik egyedi SLAE megoldás.

2. Általános jellemzők közvetlen (pontos) módszerek az SLAE megoldására. Gauss-módszerek és sweepek.

3. SLAE megoldási iteratív módszerek általános jellemzői. Jacobi módszerek ( egyszerű iterációk) és Gauss-Seidel.

4. Az iteratív folyamatok konvergenciájának feltételei.

5. Mit értünk a feladatok és számítások feltételessége, az SLAE megoldási probléma helyessége alatt?

4. fejezet

Numerikus integráció

A technikai problémák kellően széles körének megoldása során szembe kell nézni egy bizonyos integrál kiszámításának szükségességével:

számítás területeken, görbék határolják, munka, tehetetlenségi nyomatékok, diagramok szorzása Mohr-féle képlet szerint stb. egy határozott integrál számítására redukálódik.

Ha folyamatos a [ a, b] funkciót y = f(x) antiderivatíva van ezen a szegmensen F(x), azaz F'(x) = f(x), akkor a (4.1) integrál kiszámítható a Newton-Leibniz képlet segítségével:

Azonban csak a függvények egy szűk osztályához y=f(x) antiderivatív F(x) elemi függvényekkel fejezhetjük ki. Ezen kívül a funkció y=f(x) grafikusan vagy táblázatos formában adható meg. Ezekben az esetekben alkalmazza különféle képletek integrálok közelítő kiszámításához.

Az ilyen képleteket ún kvadratúra képletek vagy numerikus integrációs képletek.

A numerikus integrációs képletek grafikusan jól láthatók. Ismeretes, hogy a határozott integrál értéke (4.1) arányosan az integrandus által alkotott görbe vonalú trapéz területe y=f(x), egyenes x=a és x=b, tengely Ó(4.1. ábra).

A határozott integrál (4.1) kiszámításának problémáját felváltja a görbe vonalú trapéz területének kiszámításának problémája. A görbe területének megtalálásának problémája azonban nem egyszerű.

Ezért lesz a numerikus integráció ötlete a görbe vonalú trapéz egy ábrával való helyettesítésekor, amelynek területét meglehetősen egyszerűen számítják ki.

y=f(x)

y

x

xi

xi+1

xn=b

xo=a

Si

4.1. A numerikus integráció geometriai értelmezése

Ehhez az integrációs intervallum [ a, b] feloszt n egyenlő elemi szegmensek (i=0, 1, 2, …..,n-1), lépésről lépésre h=(b-a)/n. Ebben az esetben a görbe vonalú trapéz fel lesz osztva n elemi görbe trapéz egyenlő alapokkal h(4.1. ábra).

Minden elemi görbe vonalú trapéz helyére egy szám van, amelynek területét meglehetősen egyszerűen számítják ki. Jelöljük ki ezt a területet Si. Mindezen területek összegét ún integrál összegés a képlet alapján számítják ki

Ekkor a határozott integrál kiszámítására szolgáló közelítő képlet (4.1) alakja

A (4.4) képlet szerinti számítás pontossága a lépéstől függ h, azaz a partíciók számáról n. A növekedéssel n az integrál összege megközelíti az integrál pontos értékét

Ezt jól szemlélteti a 4.2. ábra.

4.2. Az integrál számítási pontosságának függősége

a partíciók számáról

A matematikában bebizonyosodott tétel: ha az y=f(x) függvény folytonos -on, akkor a b n integrálösszeg határa létezik, és nem függ attól, hogy a szakaszt hogyan bontjuk elemi szakaszokra.

A (4.4) képlet akkor használható, ha az ilyen pontossági foka megfelel közelítések. Különféle képletek léteznek a (4.4) kifejezés hibájának becslésére, de ezek általában meglehetősen bonyolultak. A (4.4) közelítés pontosságát a módszerrel becsüljük meg fél lépés.