Oldja meg az egyenletrendszert online mátrixszámítással. Mátrix megoldás

Mátrix módszer SLAU megoldások olyan egyenletrendszerek megoldására szolgál, amelyekben az egyenletek száma megfelel az ismeretlenek számának. A módszer a legalkalmasabb alacsony rendű rendszerek megoldására. A lineáris egyenletrendszerek megoldásának mátrixmódszere a mátrixszorzás tulajdonságainak alkalmazásán alapul.

Így, más szóval inverz mátrix módszer,így nevezzük, mivel a megoldás a szokásos mátrixegyenletre redukálódik, aminek megoldásához meg kell találni az inverz mátrixot.

Mátrix megoldási módszer A nullánál nagyobb vagy kisebb determinánssal rendelkező SLAE a következő:

Tegyük fel, hogy létezik egy SLE (lineáris egyenletrendszer) azzal n ismeretlen (tetszőleges mező felett):

Így könnyen lefordítható mátrix formára:

AX=B, Ahol A a rendszer fő mátrixa, BÉs x- a rendszer szabad tagjainak és megoldásainak oszlopai:

Szorozzuk meg mátrix egyenlet elment A -1- inverz mátrixról mátrixra A: A −1 (AX)=A −1 B.

Mert A −1 A=E, azt jelenti, X=A −1 B. Jobb rész egyenlet megoldások oszlopát adja a kezdeti rendszernek. A mátrix módszer alkalmazhatóságának feltétele a mátrix nem-degeneráltsága A. Ennek szükséges és elégséges feltétele, hogy a mátrix meghatározója A:

detA≠0.

Mert homogén lineáris egyenletrendszer, azaz ha vektor B=0, az ellenkező szabály érvényesül: a rendszer AX=0 nem triviális (azaz nem egyenlő nullával) megoldás csak akkor, ha detA=0. Ezt a kapcsolatot a homogén és inhomogén lineáris egyenletrendszerek megoldásai között ún Fredholm alternatívája.

Így a SLAE megoldás mátrix módszer képlet szerint állítják elő . Vagy a SLAE megoldást a használatával találják meg inverz mátrix A -1.

Ismeretes, hogy egy négyzetmátrix A rendelés n tovább n Van inverz mátrix A -1 csak akkor, ha a determinánsa nem nulla. Így a rendszer n lineáris algebrai egyenletek Val vel n az ismeretleneket csak akkor oldjuk meg a mátrix módszerrel, ha a rendszer főmátrixának determinánsa nem egyenlő nullával.

Annak ellenére, hogy korlátozások vannak az ilyen módszer használatára vonatkozóan, és számítási nehézségek merülnek fel az együtthatók és rendszerek nagy értékeinél magasrendű, a módszer könnyen megvalósítható számítógépen.

Példa egy inhomogén SLAE megoldására.

Először is ellenőrizzük, hogy az ismeretlen SLAE-k együtthatói mátrixának determinánsa nem egyenlő-e nullával.

Most megtaláljuk szövetségi mátrix, transzponálja és helyettesítse be az inverz mátrix meghatározására szolgáló képletbe.

Behelyettesítjük a változókat a képletben:

Most az inverz mátrix és a szabad tagok oszlopának megszorzásával találjuk meg az ismeretleneket.

Így, x=2; y=1; z=4.

Amikor az SLAE szokásos alakjáról a mátrix alakra váltunk, ügyeljünk az ismeretlen változók sorrendjére a rendszeregyenletekben. Például:

NE így írd:

Először is meg kell rendezni az ismeretlen változókat a rendszer minden egyenletében, és csak ezután kell továbblépni a mátrix jelölésére:

Ezenkívül óvatosnak kell lennie az ismeretlen változók kijelölésével, ahelyett x 1, x 2, …, x n lehetnek más betűk is. Például:

mátrix formában ezt írjuk:

A rendszereket célszerű mátrix módszerrel megoldani lineáris egyenletek, amelyben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlen változók számával, és a rendszer főmátrixának determinánsa nem egyenlő nullával. Ha több mint 3 egyenlet van a rendszerben, akkor az inverz mátrix megtalálása több számítási erőfeszítést igényel, ezért ebben az esetben célszerű a Gauss-módszert használni a megoldáshoz.

M lineáris egyenletrendszer n ismeretlennel formarendszernek nevezzük

Ahol aijÉs b i (én=1,…,m; b=1,…,n) néhány ismert szám, és x 1,…,x n- ismeretlen. Az együtthatók jelölésében aij első index én jelöli az egyenlet számát, a másodikat j az ismeretlen száma, amelyen ez az együttható áll.

Az ismeretlenek együtthatói mátrix formájában lesznek felírva , amit hívni fogunk rendszermátrix.

Az egyenletek jobb oldalán található számok b 1 ,…,b m hívott ingyenes tagok.

Összesített n számok c 1 ,…,c n hívott döntés ennek a rendszernek, ha a rendszer minden egyenlete egyenlőséggé válik, miután számokat helyettesítünk bele c 1 ,…,c n a megfelelő ismeretlenek helyett x 1,…,x n.

A mi feladatunk az lesz, hogy megoldásokat találjunk a rendszerre. Ebben az esetben három helyzet állhat elő:

Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk, amelynek legalább egy megoldása van közös. Ellenkező esetben pl. ha a rendszernek nincsenek megoldásai, akkor ún összeegyeztethetetlen.

Fontolja meg, hogyan találhat megoldást a rendszerre.

MÁTRIX MÓDSZER LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSÁRA

A mátrixok lehetővé teszik egy lineáris egyenletrendszer rövid leírását. Adjunk meg egy három egyenletrendszert három ismeretlennel:

Tekintsük a rendszer mátrixát valamint az ismeretlen és szabad tagok mátrixoszlopai

Keressük meg a terméket

azok. a szorzat eredményeként megkapjuk ennek a rendszernek az egyenleteinek bal oldalát. Ezután a mátrixegyenlőség definícióját használva ezt a rendszert formába írható

vagy rövidebb A∙X=B.

Itt a mátrixok AÉs B ismertek, és a mátrix x ismeretlen. Meg kell találni, mert. elemei ennek a rendszernek a megoldása. Ezt az egyenletet ún mátrix egyenlet.

Legyen a mátrix determináns különbözik nullától | A| ≠ 0. Ekkor a mátrixegyenletet a következőképpen oldjuk meg. Szorozzuk meg a bal oldali egyenlet mindkét oldalát a mátrixszal A-1, a mátrix inverze A: . Mert a A -1 A = EÉs E∙X=X, akkor a mátrixegyenlet megoldását a formában kapjuk meg X = A -1 B .

Megjegyzendő, hogy mivel az inverz mátrix csak négyzetes mátrixokra található, a mátrixmódszer csak azokat a rendszereket tudja megoldani, amelyekben az egyenletek száma megegyezik az ismeretlenek számával. A rendszer mátrixos jelölése azonban lehetséges abban az esetben is, ha az egyenletek száma nem egyenlő az ismeretlenek számával, akkor a mátrix A nem négyzet alakú, és ezért lehetetlen megoldást találni a rendszerre a formában X = A -1 B.

Példák. Egyenletrendszerek megoldása.

CRAMER SZABÁLYA

Tekintsünk egy 3 lineáris egyenletrendszert három ismeretlennel:

A rendszer mátrixának megfelelő harmadrendű determináns, azaz. ismeretlenek együtthatóiból áll,

hívott rendszer meghatározó.

További három determinánst állítunk össze a következőképpen: a D determinánsban egymás után 1, 2 és 3 oszlopot cserélünk szabad tagokból álló oszlopra.

Ekkor a következő eredményt tudjuk bizonyítani.

Tétel (Cramer-szabály). Ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a vizsgált rendszernek csak egy megoldása van, és

Bizonyíték. Tehát vegyünk egy három egyenletből álló rendszert három ismeretlennel. Szorozzuk meg a rendszer 1. egyenletét az algebrai komplementerrel A 11 elem egy 11, 2. egyenlet - be A21és 3. - on A 31:

Adjuk hozzá ezeket az egyenleteket:

Tekintsük ennek az egyenletnek mindegyik zárójelét és jobb oldalát. A determináns 1. oszlop elemei szerinti kiterjesztésének tételével

Hasonlóképpen kimutatható, hogy és .

Végül is ezt könnyű belátni

Így megkapjuk az egyenlőséget: .

Ennélfogva, .

A és egyenlőségeket hasonlóan származtatjuk, ahonnan a tétel állítása következik.

Így megjegyezzük, hogy ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a rendszernek egyedi megoldása van, és fordítva. Ha a rendszer determinánsa egyenlő nullával, akkor a rendszernek vagy végtelen megoldáshalmaza van, vagy nincs megoldása, pl. összeegyeztethetetlen.

Példák. Egyenletrendszer megoldása

GAUSS MÓDSZER

A korábban vizsgált módszerekkel csak azokat a rendszereket lehet megoldani, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával, és a rendszer determinánsának nullától eltérőnek kell lennie. A Gauss-módszer univerzálisabb, és tetszőleges számú egyenletű rendszerekhez alkalmas. Ez abból áll, hogy a rendszer egyenleteiből egymást követően ki kell zárni az ismeretleneket.

Tekintsünk ismét egy három egyenletrendszert három ismeretlennel:

.

Az elsõ egyenletet változatlanul hagyjuk, a 2. és 3. egyenletbõl pedig kizárjuk a tartalmazó kifejezéseket x 1. Ehhez elosztjuk a második egyenletet A 21 és szorozzuk meg - A 11, majd add össze az 1. egyenlettel. Hasonlóképpen felosztjuk a harmadik egyenletet is A 31 és szorozzuk meg - A 11, majd add hozzá az elsőhöz. Ennek eredményeként az eredeti rendszer a következő formában lesz:

Most az utolsó egyenletből kiküszöböljük a tartalmazó kifejezést x2. Ehhez osszuk el a harmadik egyenletet -vel, szorozzuk meg és adjuk hozzá a másodikhoz. Ekkor lesz egy egyenletrendszerünk:

Ezért az utolsó egyenletből könnyű megtalálni x 3, majd a 2. egyenletből x2és végül 1-től - x 1.

A Gauss-módszer alkalmazásakor az egyenletek szükség esetén felcserélhetők.

Gyakran írás helyett új rendszer az egyenletek a rendszer kiterjesztett mátrixának kiírására korlátozódnak:

majd elemi transzformációk segítségével hozza háromszög vagy átló formába.

NAK NEK elemi átalakulások A mátrixok a következő transzformációkat tartalmazzák:

1. sorok vagy oszlopok permutációja;
2. egy karakterlánc szorzása nullától eltérő számmal;
3. egy sorhoz további sorokat ad.

Példák: Egyenletrendszerek megoldása Gauss módszerrel.

Így a rendszernek végtelen számú megoldása van.

Az egyenletek általában, a lineáris algebrai egyenletek és rendszereik, valamint a megoldásukra szolgáló módszerek különleges helyet foglalnak el a matematikában, mind elméleti, mind alkalmazott értelemben.

Ez annak köszönhető, hogy a fizikai, gazdasági, műszaki, sőt pedagógiai problémák túlnyomó többsége sokféle egyenlet és rendszerük segítségével leírható és megoldható. Az utóbbi időben különös népszerűségre tett szert a kutatók, tudósok és gyakorlati szakemberek körében matematikai modellezés szinte minden tantárgyi területen, ami azzal magyarázható, hogy nyilvánvaló előnyei vannak a különféle természetű objektumok tanulmányozásának más jól ismert és bevált módszereivel szemben, különösen az úgynevezett komplex rendszerekkel szemben. A matematikai modellnek nagyon sokféle definíciója létezik a tudósok által különböző időpontokban, de véleményünk szerint a legsikeresebb a következő állítás. Matematikai modell egy egyenlettel kifejezett elképzelés. Így az egyenletek és rendszereik összeállításának és megoldásának képessége a modern szakember szerves jellemzője.

Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására a leggyakrabban használt módszerek: Cramer, Jordan-Gauss és a mátrix módszer.

Mátrix megoldási módszer - lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldásának módszere nullától eltérő determinánssal inverz mátrix segítségével.

Ha az A mátrixba kiírjuk az xi ismeretlen értékek együtthatóit, az X oszlopba gyűjtjük az ismeretlen értékeket, a B oszlopba pedig a szabad tagokat, akkor a lineáris algebrai egyenletrendszer felírható a következő A X = B mátrixegyenlet alakja, amelynek csak akkor van egyedi megoldása, ha az A mátrix determinánsa nem egyenlő nullával. Ebben az esetben az egyenletrendszer megoldását a következő módon találhatjuk meg x = A-1 · B, Ahol A-1 - inverz mátrix.

A mátrix megoldási módszer a következő.

Adjunk meg egy lineáris egyenletrendszert n ismeretlen:

Átírható mátrix formában: FEJSZE = B, Ahol A- a rendszer fő mátrixa, BÉs x- a rendszer szabad tagjainak és megoldásainak oszlopai:

Szorozzuk meg ezt a bal oldali mátrixegyenletet ezzel A-1 - mátrix inverz a mátrixhoz A: A -1 (FEJSZE) = A -1 B

Mert A -1 A = E, kapunk x= A -1 B. Ennek az egyenletnek a jobb oldala az eredeti rendszer megoldásainak oszlopát adja meg. Ennek a módszernek (és általában a megoldás meglétének) az alkalmazhatósági feltétele nem homogén rendszer lineáris egyenletek, ahol az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával) a mátrix nem-degeneráltsága A. Ennek szükséges és elégséges feltétele, hogy a mátrix meghatározója A: det A≠ 0.

Egy homogén lineáris egyenletrendszerre, vagyis amikor a vektor B = 0 , sőt az ellenkező szabály: a rendszer FEJSZE = A 0-nak csak akkor van nem triviális (vagyis nem nulla) megoldása, ha det A= 0. Az ilyen kapcsolatot a homogén és inhomogén lineáris egyenletrendszerek megoldásai között Fredholm-alternatívának nevezzük.

Példa inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásai.

Győződjön meg arról, hogy a lineáris algebrai egyenletrendszer ismeretleneinek együtthatóiból álló mátrix determinánsa nem egyenlő nullával.

A következő lépés az ismeretlenek együtthatóiból álló mátrix elemeinek algebrai komplementereinek kiszámítása. Szükség lesz rájuk az inverz mátrix megtalálásához.

Fontolgat lineáris algebrai egyenletrendszer(LASSÚ) kapcsolatban n ismeretlen x 1 , x 2 , ..., x n :

Ez a rendszer "hajtogatott" formában a következőképpen írható fel:

S n i=1 a ij x j = b én , i=1,2, ..., n.

A mátrixszorzás szabályának megfelelően a vizsgált lineáris egyenletrendszer beírható mátrix forma ax=b, Ahol

, ,.

Mátrix A, melynek oszlopai a megfelelő ismeretlenek együtthatói, a sorai pedig az ismeretlenek együtthatói a megfelelő egyenletben, az ún. rendszermátrix. oszlopmátrix b, melynek elemei a rendszer egyenleteinek megfelelő részei, a jobb oldali rész mátrixának vagy egyszerűen a rendszer jobb oldala. oszlopmátrix x , melynek elemei ismeretlenek ismeretlenek, nevezzük rendszermegoldás.

Az így felírt lineáris algebrai egyenletrendszer ax=b, van mátrix egyenlet.

Ha a rendszer mátrixa nem degenerált, akkor van egy inverz mátrixa, majd a rendszer megoldása ax=b képlettel adjuk meg:

x=A -1 b.

Példa Oldja meg a rendszert mátrix módszer.

Megoldás keresse meg a rendszer együtthatómátrixának inverz mátrixát

Számítsa ki a determinánst az első sor kibontásával:

Mert a Δ ≠ 0 , Azt A -1 létezik.

Az inverz mátrix helyesen található.

Keressünk megoldást a rendszerre

Ennélfogva, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Vizsgálat:

7. A Kronecker-Capelli tétel lineáris algebrai egyenletrendszer kompatibilitására.

Lineáris egyenletrendszerúgy néz ki, mint a:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .

Itt a i j és b i (i = ; j = ) adott, x j pedig ismeretlen valós számok. A mátrixok szorzatának fogalmát használva átírhatjuk az (5.1) rendszert a következő alakba:

ahol A = (a i j) az (5.1) rendszer ismeretleneinek együtthatóiból álló mátrix, amelyet ún. rendszermátrix, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - oszlopvektorok, amelyek rendre ismeretlen x j és b i szabad tagokból állnak.

Rendelt gyűjtemény n valós számokat (c 1 , c 2 ,..., c n) hívunk rendszermegoldás(5.1) ha ezeknek a számoknak a behelyettesítése következtében a megfelelő x 1 , x 2 ,..., x n változók helyett a rendszer minden egyenlete aritmetikai azonossá válik; más szóval, ha létezik olyan C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T vektor, amelyre AC  B.

Az (5.1) rendszert hívjuk közös, vagy megoldható ha van legalább egy megoldása. A rendszer ún összeegyeztethetetlen, vagy oldhatatlan ha nincs megoldása.

,

A jobb oldali A mátrixhoz egy szabad tagok oszlopának hozzárendelésével képzõdik, hívjuk kiterjesztett mátrix rendszer.

Az (5.1) rendszer kompatibilitásának kérdését a következő tétel oldja meg.

Kronecker-Capelli tétel . A lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor konzisztens, ha az A és A mátrixok rangjai egybeesnek, azaz. r(A) = r(A) = r.

Az (5.1) rendszer M megoldásainak halmazára három lehetőség van:

1) M =  (ebben az esetben a rendszer inkonzisztens);

2) M egy elemből áll, azaz. a rendszernek egyedi megoldása van (ebben az esetben a rendszer ún bizonyos);

3) M egynél több elemből áll (akkor a rendszer ún bizonytalan). A harmadik esetben az (5.1) rendszernek végtelen számú megoldása van.

A rendszernek csak akkor van egyedi megoldása, ha r(A) = n. Ebben az esetben az egyenletek száma nem kevesebb, mint az ismeretlenek száma (mn); ha m>n, akkor m-n egyenletek a többiek következményei. Ha 0

Egy tetszőleges lineáris egyenletrendszer megoldásához tudni kell olyan rendszereket megoldani, amelyekben az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával, az ún. Cramer típusú rendszerek:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Az (5.3) rendszereket a következő módok egyikével lehet megoldani: 1) Gauss-módszerrel, vagy az ismeretlenek kiküszöbölésének módszerével; 2) Cramer-képletek szerint; 3) mátrix módszerrel.

Példa 2.12. Vizsgáljuk meg az egyenletrendszert, és oldjuk meg, ha kompatibilis:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Megoldás. Kiírjuk a rendszer kiterjesztett mátrixát:

 .

Számítsuk ki a rendszer főmátrixának rangját! Nyilvánvaló, hogy például a bal felső sarokban lévő másodrendű moll = 7  0; az azt tartalmazó harmadrendű kiskorúak egyenlők nullával:

Ezért a rendszer főmátrixának rangja 2, azaz. r(A) = 2. A kiterjesztett A mátrix rangjának kiszámításához tekintsük a határos minort

így a kiterjesztett mátrix rangja: r(A) = 3. Mivel r(A)  r(A), a rendszer inkonzisztens.

Az egyenletek használata széles körben elterjedt életünkben. Számos számításnál, szerkezetek építésénél és még sportolásnál is használják. Az egyenleteket az ember ősidők óta használja, és azóta használatuk csak nőtt. A mátrix módszer lehetővé teszi bármilyen bonyolultságú SLAE (lineáris algebrai egyenletrendszer) megoldását. Az SLAE megoldásának teljes folyamata két fő lépésből áll:

Az inverz mátrix meghatározása a főmátrix alapján:

A kapott inverz mátrix szorzása a megoldások oszlopvektorával.

Tegyük fel, hogy a következő formájú SLAE-t kapjuk:

\[\left\(\begin(mátrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(mátrix)\jobbra.\]

Kezdjük az egyenlet megoldását a rendszer mátrixának felírásával:

Jobb oldali mátrix:

Definiáljunk egy inverz mátrixot. A 2. rendű mátrixot a következőképpen találhatja meg: 1 - magának a mátrixnak nem szingulárisnak kell lennie; 2 - a főátlón lévő elemeit felcseréljük, és a másodlagos átló elemeire előjelváltást végzünk az ellenkezőjére, majd a kapott elemeket elosztjuk a mátrix determinánssal. Kapunk:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ kezdő(pmátrix) -11 \\ 31 \end(pmátrix) \]

2 mátrix akkor tekinthető egyenlőnek, ha a hozzájuk tartozó elemeik egyenlőek. Ennek eredményeként a következő választ kapjuk az SLAE megoldásra:

Hol tudok online egyenletrendszert megoldani mátrix módszerrel?

Weboldalunkon meg tudja oldani az egyenletrendszert. Az ingyenes online megoldó segítségével másodpercek alatt megoldhat bármilyen bonyolultságú online egyenletet. Csak annyit kell tennie, hogy beírja adatait a megoldóba. Az egyenlet megoldását weboldalunkon is megtudhatja. És ha bármilyen kérdése van, felteheti őket a Vkontakte csoportunkban.