Francuski matematyk rozwiązał problem ułożenia płaszczyzny. Przykłady problemów nierozwiązywalnych: problem kafelkowy Problemy zajęć pozalekcyjnych

miejsce lub przestrzeń za mostem.

Swoim studentom zaproponowałem jeden ze sposobów rozwiązania problemów nieokresowego układania płaszczyzny figurami o tym samym kształcie. Przeprowadziłem badanie dwóch naukowców z Duke University (USA) i spodobała mi się opcja nieokresowej mozaiki, która całkowicie pokrywa płaszczyznę, przy użyciu płytek o tym samym kształcie.

Po raz pierwszy zestaw płytek liczył 20426 sztuk, które wprowadził Robert Berger w 1966 roku. Po pewnym czasie zmniejszył ich liczbę do 104. W latach 70-tych XX wieku Penrose przedstawił rozwiązanie ze swoją mozaiką i użył 2 różnych figur. Ciekawe rozwiązanie znalazłem u Dmitrija Safina, który do swojej mozaiki użył jednej figury - sześciokąta foremnego. Podczas układania takich płytek czarne linie nie powinny być przerywane, a flagi na wierzchołkach sześciokątów, które znajdują się w pewnej odległości, równa długości jedna strona płytki (oznaczona strzałkami na rysunku) powinna patrzeć w jednym kierunku. Zastosowano tu dwie różne kolorystykę: drugą uzyskuje się poprzez odbicie pierwszej wokół linii pionowej. Możesz jednak obejść się bez drugiej opcji kolorowania, jeśli płytka jest trójwymiarowa. Wykładając płaszczyznę takimi płytkami (pokazanymi na jednym z poniższych rysunków) dla ułatwienia prezentacji, te flagi na sześciokątach, które patrzą w lewo, są tutaj zastąpione fioletowymi liniami, a flagi innego typu są czerwone.

Podano również przykłady płytek, które dają mozaikę nieokresową, gdy bierze się pod uwagę tylko ich kształt: w tym przypadku nie ma potrzeby ustalania zasad łączenia związanych z kolorowaniem. W wersji 2D takie kafelki składają się z kilku odizolowanych obszarów, ale w wersji 3D wszystkie ich części są ze sobą połączone.

Następnie przyjrzałem się kolejnemu ciekawemu sposobowi układania płytek przez matematyków z Australia autorstwa Johna Taylora i Joshuy Sokolara. Udało im się rozwiązać tak zwany problem pojedynczej płytki. Jednym z najprostszych przykładów jest sześciokątne kafelkowanie, kiedy płaszczyzna, podobnie jak plaster miodu, składa się z sześciokątów połączonych wzdłuż boków. W przypadku heksagonalnym jest to na przykład wektor łączący środki sąsiednich komórek, które mają sześć rogów. W trakcie nowej pracy matematycy rozwiązali problem struktury nieokresowego kafelka za pomocą tylko jednego kafelka. Otrzymany model komórki jest sześciokątny, ale ze względu na specjalne zabarwienie kafelkowanie jest nieokresowe. Oprócz problemu dwuwymiarowego matematycy oferują trójwymiarowy odpowiednik własnego wyniku.

Poza praktycznymi zastosowaniami, teoria układania płytek jest źródłem inspiracji dla artystów. Na przykład Maurits Escher (artysta z Holandii) tworzył całe obrazy przy użyciu nietypowych płytek. Sercem jego obrazu „Osiem głów” jest prostokątna płytka. Ten artysta tworzył rysunki figury geometryczne, gdzie można prześledzić zastosowanie teselacji figur i to nie tylko jednej figury, ale wielu innych. Uczniowie docenili cały urok kafelkowania różnymi postaciami, przynieśli ogromny wybór rysunków artysty, próbowali wykonać prace nad zadaniami w formie rysunków.

Poniżej znajdują się różne rysunki na zadany temat.

Z historii

Kwazikryształ - ciało stałe charakteryzujące się symetrią, w klasycznym , oraz obecnością . Posiada wraz z dyskretnym obrazem.

Kwazikryształy zaobserwowano po raz pierwszy w eksperymentach na szybko schłodzonym Al 6 Mn, przeprowadzonych, za co został nagrodzony. Pierwszy odkryty przez niego quasi-krystaliczny stop nazwano „szechtmanitem” ( szechtmanit). Artykuł Szechtmana nie został dwukrotnie przyjęty do druku i ostatecznie został opublikowany w skróconej formie we współpracy ze znanymi przez niego specjalistami I. Blechem, D. Gratiasem i J. Kahnem. Otrzymany obraz dyfrakcyjny zawierał typowe ostre () piki, ale jednocześnie na ogół miał dwudziestościan punktowy, to znaczy w szczególności miał oś symetrii piątego rzędu, co jest niemożliwe w trójwymiarowym układzie okresowym krata. Eksperyment z dyfrakcją początkowo pozwolił na wyjaśnienie niezwykłego zjawiska poprzez dyfrakcję na wielu krystalicznych bliźniakach połączonych w ziarna o symetrii dwudziestościennej. Jednak bardziej subtelne eksperymenty wkrótce dowiodły, że symetria kwazikryształów jest obecna we wszystkich skalach, aż do , a niezwykłe substancje są rzeczywiście nową strukturą organizacji materii.

Później okazało się, że fizycy stykali się z kwazikryształami na długo przed ich oficjalnym odkryciem, w szczególności podczas badania otrzymywanych latami z ziaren stopów. Jednak w tamtym czasie dwudziestościenne kwazikryształy były błędnie identyfikowane jako duże sześcienne kryształy. Przewidywania dotyczące istnienia struktury w kwazikryształach dokonano w i Maki.

Obecnie znanych jest kilkaset typów kwazikryształów, które mają symetrię punktową dwudziestościanu, a także dziesięcio-, ośmio- i dwunastokątów.

Model atomowy kwazikryształu Al-Pd-Mn

STRUKTURA

Deterministyczne i stabilizowane entropijnie kwazikryształy

Istnieją dwie hipotezy dotyczące tego, dlaczego kwazikryształy są fazami (meta-)stabilnymi. Według jednej z hipotez stabilność wynika z faktu, że energia wewnętrzna kwazikryształów jest minimalna w porównaniu z innymi fazami, w konsekwencji kwazikryształy muszą być stabilne nawet w temperaturze zera absolutnego. Przy takim podejściu ma sens mówienie o pewnych pozycjach atomów w idealnej strukturze quasi-kryształu, czyli mamy do czynienia z deterministycznym quasi-kryształem. Inna hipoteza zakłada wkład determinujący w stabilność. Kwazikryształy stabilizowane entropijnie są zasadniczo niestabilne w niskich temperaturach. Teraz nie ma powodu sądzić, że prawdziwe kwazikryształy są stabilizowane wyłącznie dzięki entropii.

Opis wielowymiarowy

Deterministyczny opis struktury kwazikryształów wymaga określenia położenia każdego atomu, a odpowiadający mu model struktury musi odtwarzać zaobserwowany eksperymentalnie wzór dyfrakcyjny. W ogólnie przyjętym sposobie opisu takich struktur wykorzystuje się fakt, że symetria punktowa, która jest zabroniona dla sieci krystalicznej w przestrzeni trójwymiarowej, może być dozwolona w przestrzeni o większym wymiarze D. Zgodnie z takimi modelami strukturalnymi atomy w kwazikryształach są znajdujących się na przecięciach pewnej (symetrycznej) trójwymiarowej podprzestrzeni RD (zwanej podprzestrzenią fizyczną) z okresowo położonymi rozmaitościami o granicy wymiaru D-3 poprzecznej do podprzestrzeni fizycznej.

„Zasady montażu”

Wielowymiarowy opis nie odpowiada na pytanie, jak lokalny może stabilizować kwazikryształ. Kwazikryształy mają budowę paradoksalną z punktu widzenia klasycznej krystalografii, przewidywaną na podstawie rozważań teoretycznych (). Teoria nachyleń Penrose'a umożliwiła odejście od utartych wyobrażeń o grupach krystalograficznych Fiodorowa (opartych na okresowych wypełnieniach przestrzeni).

METALURGIA

Otrzymanie kwazikryształów utrudnia fakt, że wszystkie z nich są albo metastabilne, albo powstają ze stopu, którego skład różni się od składu fazy stałej.().

NATURALNY

Znaleziono skały z naturalnymi kwazikryształami Fe-Cu-Al w 1979 r. Jednak dopiero w 2009 roku naukowcy z ustalili ten fakt. W 2011 roku opublikowali artykuł, w którym stwierdzili, że ten quasi-kryształ jest pochodzenia pozaziemskiego. Latem tego samego 2011 roku podczas wyprawy do Rosji mineralogowie odkryli nowe próbki naturalnych quasi-kryształów.

NIERUCHOMOŚCI

Początkowo eksperymentatorom udało się dostać do bardzo wąskiej „różnicy temperaturowej” i uzyskać quasi-krystaliczne materiały o niezwykłych nowych właściwościach. Jednak później znaleziono kwazikryształy w Al-Cu-Li i innych systemach, które mogą być stabilne i rosnąć prawie do , jak zwykłe kryształy.

W kwazikryształach, w przeciwieństwie do , jest anomalnie duży w niskich temperaturach i maleje wraz ze wzrostem temperatury. W warstwowych kwazikryształach wzdłuż osi opór elektryczny zachowuje się jak w normalnym metalu, aw warstwach kwazikrystalicznych w sposób opisany powyżej.

Właściwości magnetyczne. Większość quasi-krystalicznych - jednak stopów z - .

Kwazikryształy są bliższe elastycznym właściwościom substancji amorficznych niż krystalicznych. Charakteryzują się niższymi wartościami w porównaniu do kryształów. Jednak quasi-kryształy są mniejsze niż kryształy o podobnym składzie i prawdopodobnie odgrywają rolę w stopach metali.

KWAZYKRYSZTAŁ

specjalny rodzaj upakowania atomów w materii stałej, charakteryzujący się symetrią dwudziestościenną (tj. z osiami piątego rzędu), orientacją dalekiego zasięgu i brakiem symetrii translacyjnej właściwej dla zwykłychstan krystaliczny. Kwazikryształ im. upakowanie atomów odkryto w szybko schładzanym stopie metalu Al 6 Mn (1984), a następnie znalezione w układach Al-Fe, Ni-Ti itp. Zwykły mają trójwymiarową okresowość w układzie atomów, co wyklucza możliwość istnienia osi symetrii 5-tego rzędu. W stanie amorficznym (szklistym) możliwe są lokalne skupienia atomów o symetrii dwudziestościennej, ale w całej objętości ciała amorficznego nie ma dalekosiężnego uporządkowania w układzie atomów, ani translacyjnego, ani orientacyjnego. K. można uznać za pośredni. rodzaj uporządkowania atomów pomiędzy prawdziwie krystalicznymi a szklistymi. Dwuwymiarowym modelem K. są paczki („parkiety”) rombów o kącie wierzchołkowym 360 ° / 5 = 72 ° z osiami symetrii 5. rzędu: w tym przypadku luki są wypełnione innymi romby o kącie wierzchołkowym 360° / 10 = 36° (wzór Penrose'a, ryc. 1); zestawy tych rombów dają równe dziesięciokąty. Orientacja kątowa wszystkich elementów parkietu jest powtarzana na całej płaszczyźnie; jest to orientacja dalekiego zasięgu, ale nie ma prawdziwego translacyjnego porządku dalekiego zasięgu (chociaż istnieje przybliżona okresowość wzdłuż niektórych kierunków).

Ryż. 1 . 2D Model kwazikryształ ( podświetlony dziesięciokąty).

Ryż . 2. Elementy budowy kwazikryształu pięciu czworościanów: fragment dwudziestościanu (a), 32 - WierzchołekTriacontahedron(6 ).

Upakowanie atomów w przestrzeni trójwymiarowej K. można opisać za pomocą wielościanów zawierających osie piątego rzędu lub fragmenty takich wielościanów. na ryc. 2, a jest pokazana charakterystyka K. fragment dwudziestościanu

(12 - wierzchołek - dwudziestostronny o symetrii punktowej 53m), składający się z 5 czworościanów. Aby 6 atomów wierzchołków i atom centralny utworzyły ścisłe upakowanie, promień atomu centralnego musi być nieco mniejszy niż promień atomu drugorzędnego; np. w Al 6 Mn promień atomowy wynosi Mn - 0, 130 nm, Al - 0, 143 nm. Fragmenty struktury atomowej K. mogą istnieć również trójwymiarowe analogi wzorów Penrose'a - romboedry ostre i rozwarte o kątach wierzchołków 63, 43 ° i 116, 57 °, z których można dodać wielościan - triacontahedron o symetrii 53 m, mający 32 wierzchołki ( Figa. 2 , 6 ). W pakowaniu atomów w K. można zaobserwować zaburzenia podobne do dyslokacji (por. Wady ). DO . typ Al 6 Mn może być być uważanym za fazy metastabilne. Istnieje jednak struktura K. stop typu Al-Li-Cu-Mn, otrzymywany przez powolne chłodzenie wytopu, który najwyraźniej znajduje się w równowadze. Obecnie czas się rozwijać fizyczny teorie kwazikrystaliczny. stany .

Łatwo jest ułożyć płaszczyznę parkietem z regularnych trójkątów, kwadratów lub sześciokątów (pod dekarstwo rozumiemy takie układanie, w którym wierzchołki każdej figury są przyłożone tylko do wierzchołków figur sąsiednich i nie ma sytuacji, gdy wierzchołek jest dołączony do boku). Przykłady takich dachówek pokazano na ryc. 1.

Ryż. 1. Dachówka samolotu: I - trójkąty równoboczne II - kwadraty, iii - regularne sześciokąty

Żadna inna poprawna N-gony pokrywają płaszczyznę bez przerw i nakładek nie będą działać. Oto jak to wyjaśnić. Jak wiesz, suma kątów wewnętrznych dowolnych N-gon jest równe ( N– 2) 180°. Ponieważ wszystkie kąty są właściwe N-kąty są takie same, to miara stopnia każdego kąta wynosi . Jeśli płaszczyzna może być wyłożona takimi figurami, to w każdym wierzchołku zbiega się k wielokąty (dla niektórych k). Suma kątów w tym wierzchołku musi wynosić 360°, więc . Po kilku prostych przekształceniach ta równość zmienia się w następującą: . Ale, jak łatwo sprawdzić, ostatnie równanie ma tylko trzy pary rozwiązań, jeśli tak założymy N I k liczby całkowite: k = 3, N = 6; k = 4, N= 4 lub k = 6, N= 3. Te pary liczb odpowiadają dokładnie parom pokazanym na ryc. 1 dachówka.

A jakich innych wielokątów można użyć do ułożenia płaszczyzny bez przerw i nakładek?

Zadanie

a) Udowodnij, że każdy trójkąt może położyć płaszczyznę.

b) Udowodnij, że dowolny czworokąt (zarówno wypukły, jak i niewypukły) może ułożyć płaszczyznę.

c) Podaj przykład pięciokąta, z którego można wyłożyć płaszczyznę.

d) Podaj przykład sześciokąta, na którym nie można ułożyć płaszczyzny.

e) Podaj przykład N-gon dla każdego N> 6, które można wykorzystać do ułożenia płaszczyzny.

Poradnik

1) W punktach a), c), e) możesz spróbować zrobić „pasy” z tych samych figur, za pomocą których łatwo jest utorować całą płaszczyznę.

Punkt b): złóż sześciokąt z dwóch identycznych czworokątów, w których przeciwległe boki są parami równoległe. Ułożenie płaszczyzny takimi sześciokątami jest już dość proste.

Pozycja d): wykorzystaj fakt, że suma kątów w każdym wierzchołku musi wynosić 360°.

2) W punkcie e) możesz spróbować postąpić inaczej: nieznacznie zmienić istniejące figury, aby uzyskać nowe nachylenia.

Rozwiązanie

Przykładowe odpowiedzi przedstawiono na rysunkach.

A):

Ryż. 2

B):

Ryż. 3

c) Odpowiedni jest pięciokąt w kształcie domu:

Ryż. 4

d) Nie będzie można ułożyć płaszczyzny takimi sześciokątami: żadna część takiego sześciokąta po prostu nie zmieści się w „wyciętym” rogu. Jest to wyraźnie widoczne w komórkach:

Ryż. 5

Możesz wymyślić wiele innych sześciokątów, których nie można pokryć płaszczyzną.

e) Oto przykład dwunastokąta, którego można użyć do ułożenia płaszczyzny. Ta metoda układania płytek została uzyskana jako modyfikacja zwykłej kwadratowej siatki (patrz ryc. 1, II z warunku):

Ryż. 6

Problem ułożenia płaszczyzny identycznymi figurami bez przerw i nakładek znany jest od czasów starożytnych. Jednym z jego szczególnych przypadków jest pytanie, czym mogą być parkiety (czyli pokrycia płaszczyzny regularne wielokąty, niekoniecznie identyczne), a w szczególności zwykłe parkiety. Zwykły parkiet ma następującą właściwość: za pomocą translacji równoległych (przesunięć bez obrotów), które przekładają parkiet na siebie, można połączyć wybrany wcześniej węzeł z dowolnym innym węzłem parkietu. na ryc. 1 warunku przedstawia tylko właściwe parkiety.

Ryż. 9. Giants Road (Irlandia Północna). Zdjęcie z en.wikipedia.org

Uogólnienie naszego problemu - kafelkowanie przestrzeni - jest ważną współczesną gałęzią krystalografii, która odgrywa ważną rolę w optyce zintegrowanej i fizyce laserowej.

Co dziwne, do stosunkowo niedawnych czasów znane były tylko teselacje okresowe (które są całkowicie połączone ze sobą pod wpływem pewnego przesunięcia i jego powtórzeń). Jednak w 1974 roku angielski naukowiec Roger Penrose

Ryż. jedenaście. M.K. Escher, Gady, 1946 ( lewy) i „Motyle”, 1950

Parkiety i mozaiki znajdują się również w sztuki piękne. Być może najbardziej znane są prace Holendra M.K. Escher (MC Escher).

Dlaczego dana osoba ma niektóre narządy - sparowane (na przykład płuca, nerki), a inne - w jednym egzemplarzu?

Kaustyka to wszechobecne powierzchnie optyczne i krzywe, które pojawiają się, gdy światło jest odbijane i załamywane. Substancje żrące można opisać jako linie lub powierzchnie, wzdłuż których skupiają się promienie świetlne.

Szabat GB

Obecnie wiemy o strukturze wszechświata mniej więcej tyle, ile starożytni wiedzieli o powierzchni Ziemi. Dokładniej, wiemy, że niewielka część Wszechświata dostępna naszym obserwacjom jest ułożona w taki sam sposób, jak niewielka część trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Innymi słowy, żyjemy na trójwymiarowej rozmaitości (3-rozmaitości).

Wiktor Ławrus

Osoba rozróżnia przedmioty wokół siebie według kształtu. Zainteresowanie formą przedmiotu może być podyktowane życiową koniecznością lub może być spowodowane pięknem formy. Forma oparta na połączeniu symetrii i złotego podziału przyczynia się do jak najlepszego odbioru wizualnego oraz poczucia piękna i harmonii. Całość zawsze składa się z części, części o różnej wielkości są w pewnym stosunku do siebie i do całości. Zasada złotego podziału jest najwyższym przejawem strukturalnej i funkcjonalnej doskonałości całości i jej części w sztuce, nauce, technice i przyrodzie.

Dokument „Wymiary” to dwie godziny matematyki, które stopniowo przenoszą cię w czwarty wymiar.

Siergiej Stafiejew

Najbardziej wymagającym wiedzy zadaniem starożytnych ludów była orientacja w czasie i przestrzeni. Między innymi w tym celu ludzkość od niepamiętnych czasów wznosiła liczne budowle megalityczne - kromlechy, dromosy, dolmeny i menhiry. Wynaleziono niewiarygodnie pomysłowe urządzenia, które pozwalały liczyć czas z dokładnością do minuty lub orientować się w kierunkach z błędem nie większym niż pół stopnia. Pokażemy, jak na wszystkich kontynentach ludzie tworzyli pułapki na promienie słoneczne, budowali świątynie, jakby „naciągnięci” w kierunkach astronomicznych, kopali pochyłe tunele do dziennych obserwacji gwiazd czy wznosili obeliski gnomonów. Niewiarygodne, na przykład nasi odlegli przodkowie potrafili podążać nie tylko za cieniami słońca czy księżyca, ale nawet za cieniem Wenus.

Myślenie o rzeczach nie do pomyślenia i potwierdzanie, że wciąż jest to do pomyślenia, jest fenomenem geometrii.

AD Aleksandrow

Klasa: 8-9

Cele:

• Kształtowanie i rozwijanie pomysłów studentów na temat nowych obiektów matematycznych i pojęć matematycznych.
• Rozwijanie twórczych zainteresowań matematyką.
• Poszerzanie horyzontów matematycznych uczniów.
• Wychowanie do życzliwości i wzajemnej pomocy we wspólnym działaniu.

Zadania zajęć pozalekcyjnych:

• Praktyczne zastosowanie wiedzy matematycznej w badaniu nowych obiektów matematycznych.
• Rozwój logicznego myślenia i umiejętności badawczych.
• Zapoznanie się z zastosowaniem nowo nabytej wiedzy we współczesnej nauce.
• Zadawanie pytań w celu dalszego studiowania tematu.

Przygotowanie: pracują w grupach, każda grupa przygotowuje modele wielokątów foremnych, a także kopie dowolnych trójkątów i czworokątów.

Formy organizacji pracy studentów: czołowy, grupa.

Formy organizacji pracy nauczyciela: kierowanie, organizowanie, koordynowanie.

Dane techniczne: pokój multimedialny.

Używany sprzęt: komputer, projektor, ekran, nośnik CD.

Prezentacja „Parkiety – układanie płaszczyzny wielokątami”.

Postęp kursu.

Parkiety przyciągają uwagę ludzi od czasów starożytnych. Pokrywały podłogi, pokrywały ściany pomieszczeń, zdobiły elewacje budynków, wykorzystywały je w sztuce i rzemiośle.
Chociaż nauka parkietów nie jest uwzględniona w szkolnym programie nauczania matematyki, zainteresowanie tą tematyką pojawiło się po rozwiązaniu prostego zadania szkolnego: „Wykazać, że możliwe jest wykonanie parkietu całkowicie pokrywającego dowolną część płaszczyzny z identycznych płytek, które mają kształt trapezu równoramiennego”. A jakie inne wielokąty mogą układać płaszczyznę?

Prawidłowe parkiety

Parkiet Nazywa się układanie płaszczyzny wielokątami w taki sposób, że cała płaszczyzna jest pokryta tymi wielokątami, a dowolne dwa wielokąty mają wspólny bok, wspólny wierzchołek lub nie mają wspólnych punktów.

Parkiet to tzw Prawidłowy jeśli składa się z równych regularnych wielokątów.
Przykłady regularnych parkietów znane były już pitagorejczykom. Dają wypełnienie płaszczyzny: kwadraty, trójkąty równoboczne, sześciokąty foremne.

Zadanie dla uczniów: wykonać parkiet regularny z dostępnych modeli wielokątów foremnych.

Zadbajmy o to, aby żaden inny regularny parkietowy wielokąt nie tworzył. I tutaj potrzebujemy wzoru na sumę kątów wielokąta. Jeżeli parkiet składa się z N-gonów, wtedy k = 360°/ A N wielokąty, gdzie A N – prawidłowy kąt N-Gon. Łatwo to znaleźć A 3 = 60°, A 4 = 90°, A 5 = 108°, A 6 = 120° i 120°<A N < 180° при P > 7. Zatem 360° jest równo podzielne przez A N tylko kiedy P = 3; 4; 6.
Co ciekawe, wśród trójkąta foremnego, kwadratu i sześciokąta foremnego, o danym obwodzie, największy obszar ma sześciokąt. Ta okoliczność w naturze prowadzi do tego, że plastry miodu mają kształt sześciokątów foremnych, ponieważ pszczoły budując plastry, instynktownie starają się, aby były jak najbardziej pojemne, zużywając przy tym jak najmniej wosku.

Półregularne parkiety.

Rozwińmy sposoby komponowania parkietów z wielokątów foremnych, pozwalając na stosowanie wielokątów foremnych o różnej liczbie boków, ale w taki sposób, aby wielokąty foremne wokół każdego wierzchołka były ułożone w tej samej kolejności. Takie parkiety to tzw półpoprawne.

Zadanie dla studentów: z dostępnych modeli wielokątów foremnych wykonać parkiety półregularne.

Aby poznać liczbę parkietów półregularnych, należy przeanalizować możliwe przypadki ułożenia wielokątów foremnych wokół wspólnego wierzchołka. W tym celu oznaczamy przez A 1 ,A 2 ... to wierzchołki wielokątów foremnych, które mają wspólny wierzchołek. Ułóż je w porządku rosnącym A 1 < a 2 < … Mając na uwadze, że suma wszystkich takich kątów powinna być równa 360°, sporządźmy tabelę zawierającą możliwe zestawy kątów i wskażmy odpowiadające im parkiety.
W sumie jest 11 parkietów regularnych i półregularnych.

Planigony

Rozważmy jeszcze inne uogólnienie - parkiety wykonane z kopii dowolnego wielokąta, foremnego "wzdłuż ścian" (czyli które przekształcają daną płytkę w dowolną inną). Nazywa się wielokąty, które mogą być płytkami w tych parkietach planigony.
Jest oczywiste, że płaszczyznę można ułożyć za pomocą kopii dowolnego trójkąta, ale mniej oczywiste jest, że dowolny czworokąt jest planigonem. To samo dotyczy każdego sześciokąta, którego przeciwległe boki są równe i równoległe.

Zadanie dla studentów: z dostępnych kopii dowolnych trójkątów i czworoboków wykonaj parkiety.

Wszystkie rozważane powyżej parkiety są okresowe, to znaczy w każdym z nich można wyróżnić (i to nawet na wiele sposobów) region złożony z kilku płytek, z którego uzyskuje się cały parkiet poprzez równoległe przesunięcia.
Zainteresowanie naukowców takimi konstrukcjami tłumaczy się tym, że nachylenia okresowe, zwłaszcza nachylenia przestrzenne, modelują struktury krystaliczne.

Pytanie na przyszłość: Czy istnieją nieokresowe nachylenia?

Zamiast konkluzji

Szczególnie interesujące jest tworzenie własnych parkietów - wypełnianie płaszczyzny identycznymi figurami (elementami parkietu) z wykorzystaniem np. symetrii osiowej i translacji równoległej. Najważniejsze, że konstrukcja oparta jest na wielokącie równym elementowi parkietu.

Praca domowa. Skomponuj swój ulubiony parkiet dowolnymi środkami: od kolorowego papieru po technologię komputerową.

Bibliografia:

1. Atanazjan L.S. i inne Geometria, 7-9. - M .: Edukacja, 2010.
2. Atanazjan L.S. itd. Geometria: Dodaj. rozdziały do ​​szkoły podręcznik Stopień 8: Prok. dodatek dla uczniów szkół. i kl. z głębokim badanie matematyka. – M.: Oświecenie, 1996.
3. Atanazjan L.S. itd. Geometria: Dodaj. rozdziały do ​​szkoły podręcznik Stopień 9: proc. dodatek dla uczniów szkół. i kl. z głębokim badanie matematyka. – M.: Oświecenie, 1997.
4. Kołmogorow A.N. Parkiety z regularnych wielokątów.//Kvant, 1970, nr 3.
5. Smirnow VA Komputer pomaga geometrii // Matematyka: Cotygodniowe zastosowanie edukacyjne i metodyczne. do gazu. „Pierwszy września”. - 2003, nr 21.
6. Sovertkov PI i inne Geometryczny parkiet na ekranie komputera.//Informatyka i edukacja, 2000, nr 9.
7. Encyklopedia dla dzieci. T.11 Matematyka / red. naczelny MD Aksenova. – M.: Avanta+, 2008.

Aby zbadać i opisać objętość, ludzie używają metody rzutowania bryły wolumetrycznej na płaszczyznę. Wygląda to mniej więcej tak:

Wiedząc, jak wyglądają projekcje, możesz rozpoznać, zbadać, zbudować prawdziwy trójwymiarowy obiekt.

Jest to metoda badawcza powszechna w krystalografii klasycznej. Badacze najpierw badają jedną projekcję lub płaszczyznę, „łącząc ją” z obliczonymi elementami ciasno jak parkiet, a jednocześnie badają symetrię i inne cechy płaszczyzny wyłożonej kafelkami.

Następnie cała trójwymiarowa objętość jest wypełniona tymi płaszczyznami, tak jak książki wypełniają sześcienne pudło. Ta metoda nazywa się metodą kafelkową.

Zainteresowanie taflowaniem narodziło się w związku z konstruowaniem mozaik, ornamentów i innych wzorów opartych na wielościanach foremnych: trójkątach, kwadratach i sześciokątach.

Nigdy nie było możliwe ułożenie płaszczyzny z regularnego pięciokąta lub pięciokąta. Pozostawia luki - niewypełnione luki. Dlatego w krystalografii klasycznej symetria pięciokątna jest nadal uważana za zabronioną.

I wreszcie taki sposób się znalazł.

W 1976 roku angielski matematyk Roger Penrose, który aktywnie działa w różnych dziedzinach matematyki, ogólnej teorii względności i teorii kwantów, podał matematyczny opis „mozaiki Penrose'a” nazwanej jego imieniem.

Pozwoliło to za pomocą zaledwie dwóch płytek o bardzo prostej formie wybrukować niekończącą się płaszczyznę o niepowtarzalnym wzorze.

Aby zrozumieć matematyczną istotę „diamentów Penrose'a”, przejdźmy do pentagramu.

W najprostszej postaci „płytki Penrose” to zestaw dwóch typów figur w kształcie rombu, jedna o kącie wewnętrznym 36°, druga o kącie wewnętrznym 72°. Każdy składa się z dwóch trójkątów, które wypełniają odpowiedni wzór pentagramu.

Stosunki elementów pentagramu w pełni odzwierciedlają złoty podział Fibonacciego. Jego podstawą jest liczba niewymierna = 1,6180339…

Pomysł Penrose'a na gęste wypełnienie płaszczyzny za pomocą „złotych” rombów został przekształcony w przestrzeń trójwymiarową.

W tym przypadku rolę „rombów Penrose'a” w nowych strukturach przestrzennych mogą pełnić dwudziestościany i dwunastościany.

To było piękne znalezisko, tylko jeden z wielu pomysłów jasnego i wytrwałego umysłu Rogera Penrose'a, który lubi przestrzenne paradoksy. Oto jego nienaganne zrozumienie złotego podziału Fibonacciego, które zbliżyło jego badania do sztuki.

I to właśnie stało się podstawą do dalszych badań i odkrywania kwazikryształów w laboratoriach chemicznych oraz nowego, bardziej kreatywnego rozumienia przestrzeni trójwymiarowej, zarówno dla nauki, jak i dla sztuki.

Jednym z najjaśniejszych przykładów twórczych poszukiwań, który zwrócił moją uwagę, była młoda słoweńska artystka Matiushka Teija Kraszek.

Uzyskała tytuł licencjata z malarstwa w College of Visual Arts (Ljubljana, Słowenia). Jej praca teoretyczna i praktyczna koncentruje się na symetrii jako koncepcji łączącej sztukę i naukę.

Jej prace były prezentowane na wielu międzynarodowych wystawach i publikowane w międzynarodowych magazynach. .

MT Kraszek na swojej wystawie „Kalejdoskopowe zapachy”, Ljubljana, 2005

Twórczość Matyushki Teija Kraszek związana jest z różnymi rodzajami symetrii, płytkami i rombami Penrose'a, kwazikryształami, złotym podziałem jako głównym elementem symetrii, liczbami Fibonacciego itp.

Za pomocą refleksji, wyobraźni i intuicji stara się wychwycić nowe relacje, nowe poziomy struktury, nowe i różne rodzaje porządku w tych elementach i strukturach.

W swoich pracach szeroko wykorzystuje grafikę komputerową jako bardzo przydatne medium do tworzenia dzieł sztuki, będące łącznikiem między nauką, matematyką i sztuką.

Jeśli wybierzemy jedną z liczb Fibonacciego (na przykład 21 cm) dla długości boku diamentu Penrose'a w tej zauważalnie niestabilnej kompozycji, możemy zaobserwować, jak długości niektórych segmentów w kompozycji tworzą ciąg Fibonacciego.

Wiele kompozycji artystycznych artysty poświęconych jest kwazikryształom Shechtmana i sieciom Penrose'a.

W tych niesamowitych kompozycjach można zaobserwować przejawy symetrii kołowej w relacji między rombami Penrose'a:

co dwa sąsiednie diamenty Penrose'a tworzą pięciokątną gwiazdę. Możesz zobaczyć Dekagon utworzony przez krawędzie 10 sąsiadujących diamentów Penrose'a, tworząc nowy regularny wielościan.

A na ostatnim zdjęciu niekończąca się interakcja rombów Penrose'a - pentagramów, pięciokątów, malejących w kierunku centralnego punktu kompozycji. Złote proporcje są reprezentowane na wiele różnych sposobów w różnych skalach.

Kompozycje artystyczne Matyushki Teiji Kraszek cieszyły się dużym zainteresowaniem przedstawicieli nauki i sztuki.

Mozaika Penrose'a jest doskonałym przykładem tego, jak piękny budynek na przecięciu różnych dyscyplin z pewnością znajdzie zastosowanie.

Przykład kafelkowania na płaszczyźnie hiperbolicznej

Francuski matematyk Michael Rao z Uniwersytetu w Lyonie rozwiązał problem układania płaszczyzny wypukłymi wielokątami. Preprint pracy można znaleźć na stronie naukowca.

Wielokąt nazywamy wypukłym, jeśli wszystkie jego kąty są mniejsze niż 180 stopni lub co to samo, razem z dowolną parą punktów, taki wielokąt zawiera również łączący je odcinek. Problem układania płytek (zwany także problemem parkietu) jest sformułowany w następujący sposób: niech płaszczyzna zostanie podzielona na wielokąty w taki sposób, aby dowolne dwa wielokąty albo nie miały wspólnych punktów, albo miały tylko graniczne punkty wspólne. Jeśli wszystkie wielokąty takiej partycji są takie same (to znaczy, że jeden można przełożyć na inny przez złożenie translacji, obrotu lub symetrii osiowej), wówczas mówi się, że wielokąt pokrywa płaszczyznę. Zadanie brzmi tak: opisz wszystkie wypukłe wielokąty układające się na płaszczyźnie.

Korzystając z rozumowania kombinatorycznego, można udowodnić, że taki wielokąt może mieć tylko 3, 4, 5 lub 6 boków. Łatwo sprawdzić, że płaszczyznę można wyłożyć dowolnym trygonem lub czworobokiem. Więcej na ten temat przeczytacie w naszym materiale.

Aby opisać wszystkie sześciokąty, oznaczmy ich rogi jako A, B, C, D, E, F, a ich boki jako a, b, c, d, e, f. W tym przypadku zakładamy, że bok a przylega do rogu A po prawej stronie, a wszystkie boki i kąty są nazwane zgodnie z ruchem wskazówek zegara. W latach 60. udowodniono, że wszystkie sześciokąty, którymi można wyłożyć samolot, należą do co najmniej jednej z trzech klas (klasy się tu przecinają, powiedzmy, sześciokąt foremny należy do wszystkich trzech):

1. A + B + C = 360
2. A + B + R = 360, za = re, do = mi
3. A=C=E=120, a=b, c=d, e=f.

Wszystkie 15 znanych nachyleń pięciokątnych

Najtrudniejszy przypadek to przypadek parkietu pięciokątnego. W 1918 roku matematyk Karl Reinhardt opisał pięć klas takich parkietów, z których najprostszą była klasa pięciokątów z warunkiem, że istnieje bok, do którego suma kątów przylegających wynosi 180 stopni. W 1968 roku Robert Kershner znalazł jeszcze trzy takie klasy, aw 1975 roku Richard James znalazł kolejną. Pewien magazyn napisał o odkryciu Jamesa amerykański naukowiec, artykuł w nim zobaczyła amerykańska gospodyni domowa i matematyk-amator Marge Rice, która ręcznie znalazła 5 kolejnych rodzin w ciągu 10 lat.

Ostatni postęp w problemie układania płytek miał miejsce w sierpniu 2015 r. Następnie matematycy z filii Uniwersytetu Waszyngtońskiego w Bothell użyli programu komputerowego do pięciokątnego parkietu klasy 15. W jego Nowa praca Michael Rao zredukował problem klasyfikacji pięciokątnych parkietów do wyszukiwania 371 wariantów. Przejrzał opcje na komputerze i pokazał, że istnieje tylko 15 znanych już klas nachyleń. W ten sposób ostatecznie zamknął problem z kafelkami.

Andriej Koniajew