Tożsamości i przekształcenia trygonometryczne. Równanie sin x = a Co to jest cos 2

08.11.2021 | Technika

Na tej stronie znajdziesz wszystkie podstawowe wzory trygonometryczne, które pomogą Ci rozwiązać wiele ćwiczeń, znacznie upraszczając samo wyrażenie.

Formuły trygonometryczne to matematyczne równości dla funkcji trygonometrycznych, które obowiązują dla wszystkich prawidłowych wartości argumentów.

Wzory określają stosunki pomiędzy głównymi funkcjami trygonometrycznymi - sinus, cosinus, tangens, cotangens.

Sinus kąta jest współrzędną y punktu (rzędnej) na okręgu jednostkowym. Cosinus kąta to współrzędna x punktu (odcięta).

Tangens i cotangens to odpowiednio stosunek sinusa do cosinusa i odwrotnie.
`sin\\alfa,\cos\\alfa`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z`

I dwa rzadziej używane - sieczna, cosecans. Oznaczają one stosunek 1 do cosinusa i sinusa.

`s \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

Z definicji funkcji trygonometrycznych możesz zobaczyć, jakie znaki mają w każdej ćwiartce. Znak funkcji zależy tylko od tego, w której ćwiartce znajduje się argument.

Przy zmianie znaku argumentu z „+” na „-” tylko funkcja cosinus nie zmienia swojej wartości. Nazywa się to nawet. Jego wykres jest symetryczny względem osi y.

Pozostałe funkcje (sinus, tangens, cotangens) są nieparzyste. Gdy znak argumentu zostanie zmieniony z „+” na „-”, ich wartość również zmieni się na ujemną. Ich wykresy są symetryczne względem pochodzenia.

`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Podstawowymi tożsamościami trygonometrycznymi są wzory, które ustalają związek między funkcjami trygonometrycznymi jednego kąta (`sin \ \alpha, \ cos \ \alpha, \ tg \ \alpha, \ ctg \ \alpha`) i które pozwalają znaleźć wartość każdej z tych funkcji poprzez dowolną inną znaną.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \ n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \ n \in Z`

Wzory na sumę i różnicę kątów funkcji trygonometrycznych

Wzory dodawania i odejmowania argumentów wyrażają funkcje trygonometryczne sumy lub różnicy dwóch kątów w postaci funkcji trygonometrycznych tych kątów.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

Formuły podwójnego kąta

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \ sin^2 \alpha=2 \ cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg\\alfa+tg\\alfa)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)=` `\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

Formuły potrójnego kąta

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Wzory połówkowe

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ alpha)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alpha)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`

Formuły z dwoma, dwoma i trzema argumentami wyrażają funkcje `sin, \cos, \tg, \ctg` tych argumentów (`\frac(\alpha)2, \ 2\alpha, \ 3\alpha,… `) w warunki tych samych funkcji argument `\alpha`.

Ich wyjście można uzyskać z poprzedniej grupy (dodawanie i odejmowanie argumentów). Na przykład tożsamości podwójnego kąta można łatwo uzyskać, zastępując `\beta` przez `\alpha`.

Formuły redukcyjne

Formuły kwadratów (kostek itp.) funkcji trygonometrycznych pozwalają przejść od 2,3, ... stopni do funkcji trygonometrycznych pierwszego stopnia, ale z wieloma kątami (`\alpha, \ 3\alpha, \ ... ` lub `2\alfa, \ 4\alfa, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`

Wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych

Formuły to przekształcenia sumy i różnicy funkcji trygonometrycznych różnych argumentów na iloczyn.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

Tutaj dodawanie i odejmowanie funkcji jednego argumentu są przekształcane w iloczyn.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \ cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`

Poniższe wzory konwertują sumę i różnicę jednostki oraz funkcji trygonometrycznej na iloczyn.

`1+cos \ \alpha=2 \ cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \ cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) grzech(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

Formuły konwersji funkcji

Formuły do konwersji iloczynu funkcji trygonometrycznych z argumentami „\alfa” i „\beta” na sumę (różnicę) tych argumentów.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \ cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \ cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ beta))`

Uniwersalne podstawienie trygonometryczne

Wzory te wyrażają funkcje trygonometryczne w postaci tangensa półkąta.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \w Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \w Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

Formuły odlewane

Wzory redukcyjne można uzyskać wykorzystując takie własności funkcji trygonometrycznych jak okresowość, symetria, własność przesunięcia o zadany kąt. Pozwalają one na konwersję dowolnych funkcji kątowych na funkcje, których kąt mieści się w zakresie od 0 do 90 stopni.

Dla kąta (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) lub (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Dla kąta (`\pi \pm \alpha`) lub (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Dla kąta (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) lub (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Dla kąta (`2\pi \pm \alpha`) lub (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Wyrażanie niektórych funkcji trygonometrycznych w terminach innych

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos \ \alpha)=\frac 1(ctg \ \alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`

Trygonometria dosłownie tłumaczy się jako „pomiar trójkątów”. Zaczyna się ją studiować w szkole i kontynuuje się bardziej szczegółowo na uniwersytetach. Dlatego potrzebne są podstawowe wzory do trygonometrii, począwszy od klasy 10, a także do zdania egzaminu. Oznaczają one połączenia między funkcjami, a ponieważ tych połączeń jest wiele, istnieje całkiem sporo samych formuł. Zapamiętywanie ich wszystkich nie jest łatwe i nie jest konieczne – w razie potrzeby można je wszystkie wydedukować.

Wzory trygonometryczne są używane w rachunku całkowym, a także w uproszczeniach trygonometrycznych, obliczeniach i przekształceniach.

Wartości sinusów mieszczą się w zakresie [-1; 1], tj. -1 ≤ sin α ≤ 1. Zatem, jeśli |a| > 1, to równanie sin x = a nie ma pierwiastków. Na przykład równanie sin x = 2 nie ma pierwiastków.

Przejdźmy do kilku zadań.

Rozwiąż równanie sin x = 1/2.

Rozwiązanie.

Zauważmy, że sin x jest rzędną punktu okręgu jednostkowego, która jest otrzymywana w wyniku obrotu punktu Р (1; 0) o kąt x wokół początku.

W dwóch punktach okręgu M 1 i M 2 występuje rzędna równa ½.

Ponieważ 1/2 \u003d grzech π / 6, punkt M 1 uzyskuje się z punktu P (1; 0), obracając o kąt x 1 \u003d π / 6, a także przez kąty x \u003d π / 6 + 2πk, gdzie k \u003d +/-1, +/-2,…

Punkt M 2 otrzymujemy z punktu P (1; 0) w wyniku skrętu o kąt x 2 = 5π/6 oraz o kąt x = 5π/6 + 2πk, gdzie k = +/- 1, +/-2, ... , tj. pod kątami x = π – π/6 + 2πk, gdzie k = +/-1, +/-2, ….

Zatem wszystkie pierwiastki równania sin x = 1/2 można znaleźć za pomocą wzorów x = π/6 + 2πk, x = π - π/6 + 2πk, gdzie k € Z.

Te formuły można połączyć w jeden: x \u003d (-1) n π / 6 + πn, gdzie n € Z (1).

Rzeczywiście, jeśli n jest liczbą parzystą, tj. n = 2k, to ze wzoru (1) otrzymujemy х = π/6 + 2πk, a jeśli n jest liczbą nieparzystą, czyli n = 2k + 1, to ze wzoru (1) otrzymujemy х = π – π/6 + 2πk.

Odpowiedź. x \u003d (-1) n π / 6 + πn, gdzie n € Z.

Rozwiąż równanie sin x = -1/2.

Rozwiązanie.

Rzędna -1/2 ma dwa punkty okręgu jednostkowego M 1 i M 2, gdzie x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6. Dlatego wszystkie pierwiastki równania sin x = -1/2 można znaleźć wzorami x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

Możemy połączyć te formuły w jeden: x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2).

Rzeczywiście, jeśli n = 2k, to ze wzoru (2) otrzymujemy x = -π/6 + 2πk, a jeśli n = 2k – 1, to ze wzoru (2) otrzymujemy x = -5π/6 + 2πk.

Odpowiedź. x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z.

Zatem każde z równań sin x = 1/2 i sin x = -1/2 ma nieskończoną liczbę pierwiastków.

Na odcinku -π/2 ≤ x ≤ π/2 każde z tych równań ma tylko jeden pierwiastek:
x 1 \u003d π / 6 - pierwiastek równania sin x \u003d 1/2 i x 1 \u003d -π / 6 - pierwiastek równania sin x \u003d -1/2.

Liczbę π/6 nazywamy arcus sinus liczby 1/2 i zapisujemy: arcsin 1/2 = π/6; liczbę -π/6 nazywamy arcus sinus liczby -1/2 i piszą one: arcsin (-1/2) = -π/6.

Ogólnie równanie sin x \u003d a, gdzie -1 ≤ a ≤ 1, na segmencie -π / 2 ≤ x ≤ π / 2 ma tylko jeden pierwiastek. Jeśli a ≥ 0, to korzeń jest zawarty w przedziale; Jeśli< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.

Zatem arcus sinus liczby a € [–1; 1] taki numer nazywa się € [–π/2; π/2], którego sinus to a.

arcsin a = α jeśli sin α = a i -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).

Na przykład arcsin √2/2 = π/4, ponieważ sin π/4 = √2/2 i – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
arcsin (-√3/2) = -π/3, ponieważ sin (-π/3) = -√3/2 i – π/2 ≤ – π/3 ≤ π/2.

Podobnie jak to zrobiono przy rozwiązywaniu zadań 1 i 2, można wykazać, że pierwiastki równania sin x = a, gdzie |a| ≤ 1 są wyrażone wzorem

x \u003d (-1) n arcsw a + πn, n € Z (4).

Możemy również udowodnić, że dla każdego € [-1; 1] obowiązuje formuła arcsin (-a) = -arcsin a.

Ze wzoru (4) wynika, że pierwiastki równania
sin x \u003d a dla a \u003d 0, a \u003d 1, a \u003d -1 można znaleźć za pomocą prostszych formuł:

sin x \u003d 0 x \u003d πn, n € Z (5)

grzech x \u003d 1 x \u003d π / 2 + 2πn, n € Z (6)

sin x \u003d -1 x \u003d -π / 2 + 2πn, n € Z (7)

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

|BD| - długość łuku wyśrodkowany w punkcie A.
α to kąt wyrażony w radianach.

Styczna ( tgα) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a odnogą trójkąta prostokątnego, równego stosunkowi długości przeciwprostokątnej |BC| do długości sąsiedniej nogi |AB| .
Cotangens ( ctgα) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a ramieniem trójkąta prostokątnego, równego stosunkowi długości sąsiedniego ramienia |AB| do długości przeciwległej nogi |BC| .

Tangens

Gdzie n- cały.

W literaturze zachodniej tangens oznaczany jest następująco:
.
;
;
.

Wykres funkcji stycznej, y = tg x

Cotangens

Gdzie n- cały.

W literaturze zachodniej cotangens oznacza się następująco:
.
Przyjęto również następującą notację:
;
;
.

Wykres funkcji cotangens, y = ctg x

Własności tangensa i cotangensa

Okresowość

Funkcje y= tg x i y= ctg x są okresowe z okresem π.

Parytet

Funkcje tangens i cotangens są nieparzyste.

Domeny definicji i wartości, rosnąco, malejąco

Funkcje tangens i cotangens są ciągłe w swojej dziedzinie definicji (zob. dowód ciągłości). Główne właściwości stycznej i cotangensa przedstawiono w tabeli ( n- liczba całkowita).

	y= tg x	y= ctg x
Zakres i ciągłość
Zakres wartości	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Rosnąco		-
Malejąco	-
Ekstrema	-	-
Zera, y= 0
Punkty przecięcia z osią y, x = 0	y= 0	-

Formuły

Wyrażenia w postaci sinusa i cosinusa

; ;
; ;
;

Wzory na tangens i cotangens sumy i różnicy

Reszta formuł jest łatwa do zdobycia, na przykład

Iloczyn stycznych

Wzór na sumę i różnicę stycznych

Ta tabela pokazuje wartości tangensów i cotangensów dla niektórych wartości argumentu.

Wyrażenia w postaci liczb zespolonych

Wyrażenia w kategoriach funkcji hiperbolicznych

;
;

Pochodne

; .

.
Pochodna n-tego rzędu względem zmiennej x funkcji :
.
Wyprowadzenie wzorów na styczną > > > ; dla cotangensa > > >

Całki

Rozszerzenia w serie

Aby uzyskać rozwinięcie tangensa w potęgach x, musisz wziąć kilka wyrazów rozwinięcia w szereg potęgowy dla funkcji grzech x oraz bo x oraz podziel te wielomiany na siebie,. Daje to następujące formuły.

Na .

w .
gdzie B n- Liczby Bernoulliego. Są one wyznaczane albo z relacji rekurencyjności:
;
;
gdzie .
Lub według formuły Laplace'a:

Funkcje odwrotne

Funkcje odwrotne do tangensa i cotangensa to arc tangens i arc tangens, odpowiednio.

Arcus tangens, arctg

, gdzie n- cały.

Arc tangens, arcctg