Общий случай плоского напряженного состояния. Плоское напряженное состояние, плоская деформация

06.08.2020 | Компьютеры

Лекция 15

Примером конструкции, все точки которой находятся в плоском напряженном состоянии, может служить тонкая пластинка, нагруженная по торцам силами, которые лежат в ее плоскости. Поскольку боковые поверхности пластинки свободны от напряжений, то в силу малости ее толщины можно считать, что и внутри пластинки на площадках, параллельных ее поверхности, напряжения пренебрежимо малы. Подобная ситуация возникает, например, при нагружении валов и балок тонкостенного профиля.

В общем случае, говоря о плоском напряженном состоянии, мы имеем в виду не всю конструкцию, а только рассматриваемую точку ее элемента. Признаком того, что в данной точке напряженное состояние является плоским, служит наличие проходящей через нее площадки, на которой отсутствуют напряжения. Такими точками будут, в частности, точки свободной от нагрузок внешней поверхности тела, которые в большинстве случаев и являются опасными. Отсюда понятно внимание, которое уделяется анализу этого вида напряженного состояния.

При изображении элементарного параллелепипеда, находящегося в плоском напряженном состоянии, достаточно показать одну из его ненагруженных граней, совместив ее с плоскостью чертежа (рис. 15.1).Тогда нагруженные грани элемента совместятся с границами показанной площадки. При этом система обозначений для напряжений и правила знаков остаются прежними – изображенные на рисунке компоненты напряженного состояния положительны. С учетом закона парности касательных напряжений

t xy = t yx , плоское напряженное состояние (ПНС) описывается тремя независимыми компонентами - s x , s y , t xy . .

НАПРЯЖЕНИЯ НА НАКЛОННЫХ ПЛОЩАДКАХ ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

Выделим из элемента, изображенного на рис. 15.1, треугольную призму, мысленно разрезав его наклонным сечением, перпендикулярным плоскости чертежа xOy . Положение наклонной площадки и связанных с ней осей x 1 , y 1 зададим с помощью угла a, который будем считать положительным при повороте осей против часовой стрелки.

Как и для описанного выше общего случая, показанные на рис. 15.2, напряжения можно считать действующими в одной точке, но на различно ориентированных площадках. Напряжения на наклонной площадке найдем из условия равновесия призмы, выразив их через заданные напряжения s x , s y , t xy на гранях, совпадающих с координатными плоскостями. Обозначим площадь наклонной грани dA , тогда площади координатных граней найдутся так:

dA x = dA cos a,

dA y = dA sin a.

Спроектируем действующие на гранях призмы силы на оси x 1 и y 1:

Сократив на общий множитель dA , и выполнив элементарные преобразования, получим

Если учесть, что

выражениям (15.1) можно придать следующий окончательный вид:

На рис. 15.3 вместе с исходным показан бесконечно малый элемент, ориентированный по осям x 1 ,y 1 . Напряжения на его гранях, нормальных к оси x 1 , определяются формулами (15.2). Чтобы найти нормальное напряжение на грани, перпендикулярной к оси y 1 , необходимо вместо угла a подставить значение a + 90°:

Касательные напряжения и в повернутой системе координат x 1 y 1 подчиняются закону парности, т. е.

Сумма нормальных напряжений, как известно из анализа объемного напряженного состояния, является одним из его инвариантов и должна оставаться постоянной при замене одной системы координат на другую. В этом легко убедиться, сложив нормальные напряжения, определяемые из формул (15.2), (15.3):

ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

Ранее мы установили, что площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называют главными площадками, а напряжения на них – главными напряжениями. При плоском напряженном состоянии положение одной из главных площадок известно заранее – это площадка, на которой нет напряжений, т.е. совмещенная с плоскостью чертежа (см. рис.15.1). Найдем перпендикулярные ей главные площадки. Для этого положим равным нулю касательное напряжение в (15.1), откуда получим

Угол a 0 показывает направление нормали к главной площадке, или главное направление , поэтому его называют главным углом. Поскольку тангенс двойного угла является периодической функцией с периодом p/2 , то угол

a 0 + p/2 – тоже главный угол. Таким образом, всего имеется три главных площадки, причем все они взаимно перпендикулярны. Исключение составляет лишь случай, когда главных площадок не три, а бесконечное множество – например, при всестороннем сжатии, когда любое выбранное направление является главным, а напряжения одинаковы на всех проходящих через точку площадках.

Для нахождения главных напряжений можно воспользоваться первой из формул (15.2), подставляя вместо угла a последовательно значения a 0 и

Здесь учтено, что

Тригонометрические функции из выражений (15.5) можно исключить, если использовать известное равенство

А так же учесть формулу (15.4). Тогда получим

Знак плюс в формуле соответствует одному из главных напряжений, минус – другому. После их вычисления можно воспользоваться принятыми обозначениями для главных напряжений s 1 ,s 2 ,s 3 , учитывая, что s 1 – алгебраически наибольшее, а s 3 – алгебраически наименьшее напряжение. Иными словами, если найденные по выражениям (15.6) оба главных напряжения окажутся положительны, мы получим

Если оба напряжения будут отрицательны, будем иметь

Наконец, если выражение (15.6) даст значения напряжений с разными знаками, то главные напряжения будут равны

НАИБОЛЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ НОРМАЛЬНЫХ И КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Если мысленно поворачивать оси x 1 y 1 и связанный с ними элемент (см. рис. 15.3), напряжения на его гранях будут меняться, и при некотором значении угла a нормальное напряжение достигнет максимума. Поскольку сумма нормальных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках остается величиной постоянной, то напряжение будет в этот момент наименьшим.

Чтобы найти это положение площадок, нужно исследовать на экстремум выражение , рассматривая его как функцию аргумента a:

Сравнив выражение в скобках с (15.2), приходим к выводу, что на искомых площадках равны нулю касательные напряжения. Таким образом, нормальные напряжения достигают экстремальных значений именно на главных площадках.

Чтобы найти наибольшее по величине касательное напряжение, примем в качестве исходных главные площадки, совместив оси x и y с главными направлениями. Формулы (15.1), в которых угол a будет теперь отсчитываться от направления s 1 , получат вид:

Из последнего выражения следует, что касательные напряжения достигают наибольших значений на площадках, повернутых к главным на 45°, когда

sin 2a = ±1 . Их максимальное значение при этом равно

Отметим, что формула (15.8) справедлива и в том случае, когда

ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ. КРУГИ МОРА

Формулы (15.7), по которым определяются напряжения на площадке, повернутой на некоторый угол α по отношению к главной, имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Считая для определенности оба главных напряжения положительными, введем следующие обозначения:

Тогда выражения (15.7) приобретут вполне узнаваемый вид параметрического уравнения окружности в координатах σ и τ :

Индекс “ α “, в обозначениях подчеркивает, что напряжения находятся на площадке, повернутой к исходной на этот угол. Величина а определяет положение центра окружности на оси σ; радиус окружности равен R . Изображенная на рис. 15.5 круговая диаграмма напряжений по сложившейся традиции называется кругом Мора, по имени предложившего ее известного немецкого ученого Отто Мора (1835 – 1918 г.г.). Направление вертикальной оси выбрано с учетом знака τ α в (15.10). Каждому значению угла α соответствует изображающая точка K (σ α, τ α ) на окружности, координаты которой равны напряжениям на повернутой площадке. Взаимно перпендикулярным площадкам, у которых угол поворота отличается на 90˚, соответствуют точки K и K ’, лежащие на противоположных концах диаметра.

Здесь учтено, что

поскольку формулы (15.2) и (15.7) при изменении угла на 90 0 дают знак касательного напряжения в повёрнутой системе координат, у которой одна из осей совпадает по направлению с исходной осью, а другая противоположна по направлению (рис. 15.5)

Если в качестве исходных площадок выступают главные, т.е. известна величина σ 1 и σ 2 , круг Мора легко строится по точкам 1 и 2. Луч, проведённый из центра круга под углом 2a к горизонтальной оси, в пересечении с окружностью даст изображающую точку, координаты которой равны искомым напряжениям на повёрнутой площадке. Однако, удобнее пользоваться так называемым полюсом круга, направляя из него луч под углом a. Из очевидного соотношения между радиусом и диаметром круга, полюс, обозначаемый на чертеже буквой A , будет в данном случае совпадать с точкой 2. В общем случае полюс находится на пересечении нормалей к исходным площадкам. Если исходные площадки не являются главными, круг Мора строится следующим образом: на плоскость σ - t наносятся изображающие точки K (σ x ,t xy ) и K ’(σ y ,-t xy ), соответствующие вертикальной и горизонтальной исходным площадкам. Соединяя точки прямой, в пересечении с осью σ находим центр круга, после чего строится сама круговая диаграмма. Пересечение окружности с горизонтальной осью даст значение главных напряжений, а радиус будет равен наибольшему касательному напряжению. На рис. 15.7 показан круг Мора, построенный по исходным площадкам, не являющимся главными. Полюс A находится на пересечении нормалей к исходным площадкам KA и K ’A . Луч AM , проведённый из полюса под углом a к горизонтальной оси, в пересечении с окружностью даст изображающую точку M (σ a ,t a), координаты которой представляют собой напряжения на интересующей нас площадке. Лучи, проведённые из полюса в точки 1 и 2, покажут главные углы a 0 и a 0 +90 0 . Таким образом, круги Мора являются удобным графическим средством анализа плоского напряжённого состояния.

б) Напряжение на грани элемента, повёрнутого на 45 0 , найдём по (15.1)

Нормальное напряжение на перпендикулярной площадке

(a = 45 0 +90 0) будет равно

в) Наибольшие касательные напряжения найдём по (15.8)

2. Графическое решение.

Построим круг Мора по изображающим точкам K (160,40) и K ’ (60, -40)

Полюс круга A найдем на пересечении нормалей к исходным площадкам.

Круг пересечёт горизонтальную ось в точках 1 и 2. Точка 1 соответствует главному напряжению σ 1 =174 МПа, точка 2 – значению главного напряжения σ 2 = 46 МПа. Луч, проведенный из полюса A через точки 1 и 2, покажет значение главных углов. Напряжения на площадке, повёрнутой на 45 0 к исходной, равны координатам изображающей точки M , находящейся на пересечении окружности с лучом, проведенным из полюса A под углом 45 0 . Как видим, графическое решение задачи анализа напряжённого состояния совпадает с аналитическим.

Если все векторы напряжений параллельны одной и той же плоскости, напряженное состояние называется плоским (рис. 1). Иначе: напряженное состояние является плоским, если одно из трех главных напряжений равно нулю.

Рисунок 1.

Плоское напряженное состояние реализуется в пластине, нагруженной по ее контуру силами, равнодействующие которых расположены в ее срединной плоскости (срединная плоскость - плоскость, делящая пополам толщину пластины).

Направления напряжений на рис. 1 приняты за положительные. Угол α положителен, если он откладывается от оси х к оси у. На площадке с нормалью n:

Нормальное напряжение σ n положительно, если оно растягивающее. Положительное напряжение показано на рис. 1. Правило знаков для по формуле (1) то же самое, что для напряжений по формуле (1).

Данное здесь правило знаков относится к наклонным площадкам. В статье «Объёмное напряженное состояние» сформулировано правило знаков для компонентов напряжений в точке, т. е. для напряжений на площадках, перпендикулярных осям координат. Это правило знаков принято в теории упругости.

Главные напряжения на площадках, перпендикулярных плоскости напряжений:

(Поскольку здесь рассматриваются только два главных напряжения, они обозначены через σ 1 и σ 2 , хотя может оказаться, что σ 2 <0, т. е. σ 2 не будет средним из трех главных напряжений). Угол α 1 составляемый нормалью к первой главной площадке с осью х, находится из равенства:

Эти напряжения действуют на площадках, расположенных под углом 45° к первой и второй главным площадкам.

Если главные напряжения σ 1 и σ 2 имеют одинаковый знак, то наибольшее касательное напряжение действует на площадке, расположенной под углом 45° к плоскости напряжений (плоскости ху). В этом случае:

В стенке балки (здесь имеется в виду обычная балка, а не балка-стенка) при ее изгибе силами реализуется частный случай плоского напряженного состояния. В стенках балки одно из нормальных напряжений σ y равно нулю. В этом случае напряжения получатся по формулам (1), (2) и (4), если в этих формулах положить σ y =0. Положение первой главной площадки определяется формулой (3).

РАСТЯЖЕНИЕ ПО ДВУМ НАПРАВЛЕНИЯМ (рис 2).

Основы теории упругости

Лекция 4

Плоская задача теории упругости

Слайд 2

В теории упругости имеется большой класс задач, важных в смысле практических приложений и вместе с тем допускающих значительные упрощения математической стороны решения. Упрощение заключается в том, что в этих задачах одну из координатных осей тела, например ось z, можно отбросить и все явления рассматривать происходящими в одной координатной плоскости х0у нагруженного тела. В этом случае напряжения, деформации и перемещения будут являться функциями двух координат – х и у.

Задача, рассматриваемая в двух координатах, называется плоской задачи теории упругости .

Под термином «плоская задача теории упругости » объединяют две физически разные задачи, приводящие к весьма сходным математическим зависимостям:

1) задачу о плоском деформированном состоянии (плоская деформация);

2) задачу о плоском напряжённом состоянии.

Для этих задач чаще всего характерно значительное отличие одного геометрического размера от двух других размеров рассматриваемых тел: большая длина в первом случае и малая толщина во втором случае.

Плоская деформация

Деформация называется плоской, если перемещения всех точек тела могут происходить только в двух направлениях в одной плоскости и не зависят от координаты, нормальной к этой плоскости, т. е.

u=u(x,y); v=v(x,y); w=0 (4.1)

Плоская деформация возникает в длинных призматических или цилиндрических телах с осью, параллельной оси z, вдоль которой по боковой поверхности действует нагрузка, перпендикулярная этой оси и не меняющаяся по величине вдоль неё.

Примером плоской деформации может служить напряжённо-деформированное состояние, возникающее в длинной прямой плотине и длинном своде подземного тоннеля (рис. 4.1).

Рисунок – 4.1. Плоская деформация возникает в теле плотины и своде подземного тоннеля

Слайд 3

Подставляя компоненты вектора перемещения (4.1) в формулы Коши (2.14), (2.15), получим:

(4.2)

Отсутствие линейных деформаций в направлении оси z ведёт к появлению нормальных напряжений σ z . Из формулы закона Гука (3.2) для деформации ε z следует, что

откуда получается выражение для напряжения σ z:

(4.3)

Подставляя это соотношение в две первые формулы закона Гука, находим:

(4.4)

Слайд 4

Из анализа формул (4.2) − (4.4) и (3.2) также следует, что

Таким образом, основные уравнения трёхмерной теории упругости в случае плоской деформации значительно упрощаются.

Из трёх дифференциальных уравнений равновесия Навье (2.2) остаются только два уравнения:

(4.5)

а третье обращается в тождество.

Так как на боковой поверхности везде направляющий косинус n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v =0, то из трёх условий на поверхности (2.4) остаются только два уравнения:

(4.6)

где l, m – направляющие косинусы внешней нормали v к поверхности контура;

X, Y, X v , Y v – компоненты объёмных сил и интенсивности внешних поверхностных нагрузок на оси x и у, соответственно.

Слайд 5

Шесть уравнений Коши (2.14), (2.15) сводятся к трём:

(4.7)

Из шести уравнений неразрывности деформаций Сен-Венана (2.17), (2.18) остаётся одно уравнение:

(4.8)

а остальные обращаются в тождества.

Из шести формул закона Гука (3.2), с учётом (4.2), (4.4), остаются три формулы:

В этих соотношениях для традиционного в теории упругости вида записи введены новые упругие постоянные:

Слайд 6

Плоское напряжённое состояние

Плоское напряжённое состояние возникает в том случае, когда длина того же призматического тела мала, по сравнению с двумя другими, размерами. В этом случае она называется толщиной. Напряжения в теле действуют только в двух направлениях в координатной плоскости хОу и не зависят от координаты z . Примером такого тела может служить тонкая пластина толщиной h , нагруженная по боковой поверхности (ребру) силами, параллельными плоскости пластины и равномерно распределёнными по её толщине (рис. 4.2).

Рисунок 4.2 – Тонкая пластинка и приложенные к ней нагрузки

В этом случае также возможны упрощения, аналогичные упрощениям в задаче о плоской деформации. Компоненты тензора напряжений σ z , τ xz , τ yz на обеих плоскостях пластины равны нулю. Так как пластина тонкая, то можно считать, что они равны нулю и внутри пластины. Тогда напряжённое состояние будет определяться только компонентами σ x , σ y , τ xy которые не зависят от координаты z, т. е. не меняются по толщине пластины, а являются функциями только x и y.

Таким образом, в тонкой пластине возникает следующее напряжённое состояние:

Слайд 7

В отношении напряжений плоское напряжённое состояние отличается от плоской деформации условием

Кроме того, из формулы закона Гука (3.2), с учётом (4.10), для линейной деформации ε z получаем, что она не равна нулю:

Следовательно, основания пластины будут искривляться, так как появятся перемещения по оси z.

При этих предположениях основные уравнения плоской деформации: дифференциальные уравнения равновесия (4.5), условия на поверхности (4.6), уравнения Коши (4.7) и уравнения неразрывности деформаций (4.8) сохраняют такой же вид в задаче о плоском напряжённом состоянии.

Формулы закона Гука примут следующий вид:

Формулы (4.11) отличаются от формул (4.9) закона Гука для плоской деформации только значениями упругих постоянных: E и E 1 , v и v 1 .

Слайд 8

В обратной форме закон Гука запишется так:

(4.12)

Таким образом, при решении этих двух задач (плоская деформация и плоское напряжённое состояние) можно пользоваться одними и теми же уравнениями и объединять задачи в одну плоскую задачу теории упругости.

В плоской задаче теории упругости восемь неизвестных:

– две компоненты вектора перемещений u и v;

– три компоненты тензора напряжений σ x , σ y , τ xy ;

– три компоненты тензора деформаций ε x , ε y , γ xy .

Для решения задачи используют восемь уравнений:

– два дифференциальных уравнения равновесия (4.5);

– три уравнения Коши (4.7);

– три формулы закона Гука (4.9), или (4.11).

Кроме того, полученные деформации должны подчиняться уравнению неразрывности деформаций (4.8), а на поверхности тела должны выполняться условия равновесия (4.6) между внутренними напряжениями и интенсивностями внешней поверхностной нагрузки X v , Y v .

Действие отброшенной части на оставшуюся вблизи точки B будет представлено напряжениями напоминаем что первый индекс для касательных напряжений соответствует оси нормальной к сечению второй оси параллельно которой направлено касательное напряжение. Напряжения в наклонных сечениях Поставим задачу: Определить напряжения в произвольном сечении проходящем через заданную точку B плиты.

Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

Плоское напряженное состояние

Напряженное состояние , когда нормальные напряжения возникают как в направлении оси Х, так и оси Y (например, в тонкостенных сосудах нагруженных внешним давлением). А в сечениях, перпендикулярных осям X и Y действуют касательные напряжения (в балках при изгибе) называется плоским (двухосным) напряженном состоянием .

Покажем, что в плоском напряженном состоянии находится, например, плита (или пластина) произвольной формы с толщиной малой по сравнению с прочими размерами. По контуру плиты действует любая взаимно уравновешенная система внешних сил, распределенных равномерно по толщине и параллельных срединному слою. Вследствие малости изменением напряжений в направлении, перпендикулярном к наружным плоскостям плиты, можно пренебречь. В то же время, т.к. внешние силы на наружных плоскостях отсутствуют, то любой элементарной площадке этих поверхностей усилий и напряжений равны нулю, а следовательно, они равны нулю, и для всех сечений, параллельных этим поверхностям. Эти сечения являются главными, поэтому в рассматриваемом случае одно из главных напряжений равно нулю.

Отнесем тело к координатным осям XOY , расположенным в плоскости срединного слоя. Мысленно рассечем плиту (пластину) сечениями I и II , перпендикулярными осям X и Y . Действие отброшенной части на оставшуюся, вблизи точки B будет представлено напряжениями (напоминаем, что первый индекс для касательных напряжений соответствует оси нормальной к сечению, второй- оси параллельно которой направлено касательное напряжение). Таким образом в общем случае вблизи произвольной точки плиты создается плоское напряженное состояние, при котором.

Напряжения в наклонных сечениях

Поставим задачу: Определить напряжения в произвольном сечении, проходящем через заданную точку B плиты.

Для этого проведем сечение III бесконечно близко от точки B . Полное напряжение в этом сечении можно считать равным полному напряжению в сечении, проходящем через точку B . Положение сечения определяется углом, который составляет с осью X нормаль N к сечению.

Мысленно выделим из плиты треугольную пластину BCD находящуюся, как и все тело в равновесии. В Виду бесконечно малых размеров пластинки полагаем напряжения равномерно распределенными по граням. Тогда равнодействующая сил, действующих на каждую грань пластинки, может вычисляться, как произведение напряжения на площадь соответствующей грани и будет приложена к центру тяжести грани. Поместим начало координат в точке -центр тяжести грани CD .

Считаем, что напряжения известны. Найдем - составляющие полного напряжения S по координатным осям, а также нормальные и касательные напряжения на грани CD . Составляем уравнения равновесия:

Сумму моментов относительно точки

После сокращения получим

(1)

Этот результат выражает условие равновесия касательных сил во взаимно перпендикулярных сечениях в непосредственной близости прямого угла, касательные напряжения имеют равные модули и направлены к вершине прямого угла (или от вершины, когда направлены в стороны, противоположные показанным на рисунке).

Обозначим, тогда, где, -направляющие косинусы.

Уравнения проекции

После сокращения на A

(2)

Найдем нормальную и касательную компоненты полного напряжения

Учитывая, что, получим

(3)

Можно показать, что:

- во взаимно перпендикулярных сечениях сумма нормальных напряжений постоянна, а модули касательных напряжений равны;
- в параллельных сечениях нормальные и касательные напряжения равны по модулю и знаку.

Правила знаков:

положительные:

Нормальные напряжения, если растягивающие;

Касательные напряжения, если создают вращения элемента BCD относительно точки внутри него против часовой стрелки, а -по часовой стрелки.

Главные напряжения и сечения

Сечения называются главными, если:

нормальные напряжения достигают экстремальных значений;
касательные напряжения отсутствуют (равны нулю).

При этом, каким из признаков пользоваться - безразлично, один из них всегда может представлен как следствие другого.

Определим положение главных сечений по второму признаку, полагая, что сечение CD главное, т.е. , а, следовательно

, (а)

Подставив (а) в (2) получим

(4)

Здесь - определяют положение грани CD , когда она становится главным сечением. Система (4) относительно неизвестных является однородной и имеет решение отличное от нуля, только когда определитель системы (4) равен нулю (теорема Руше), т.е.

(5)

В развернутом виде, а после преобразований

(6)

Решая квадратное уравнение, находим модули главных напряжений

Откуда

(7)

Оба корня (7) уравнения (6) являются вещественными, они и дают значения двух главных напряжений и, а третье как отмечалось ранее, в плоском случае напряженного состояния равны нулю. Если, то, то в соответствии с условием, получим, .

Главные напряжения и, т.е. корни уравнения (6) определяются характером напряженного состояния, и не зависит, от того какая система координатных осей была принята в качестве исходной. Следовательно, при повороте осей X , Y коэффициенты и уравнения (6) должны оставаться неизменными (что). Поэтому называются инвариантами напряженного состояния.

Найдем направление главных напряжений, или - направляющие косинусы, определяющие положение главных сечений, полагая и вычисленными из выражений (7).

Для этого имеется система уравнений (5), но она однородная и корни её, отличные от нуля, определить невозможно. Из курса тригонометрии известно

(8)

(в)

то получим систему уравнений (8) и (в) неоднородную и определенную, решая которую и установим положение главных сечений.

Подставив в (в) вначале будем иметь

(с)

Косинусы углов, которые составляет с координатными осями X и Y нормаль к первому главному сечению, что те же главные напряжения.

Решая систему уравнения (с) получим

(9)

Таким же образом, подставив в (в)

(10)

В (9) и (10) - углы отмеряемые вращением против хода часовой стрелки от оси X до нормалей к сечениям, в которых действуют соответственно главные напряжения и.

Установим положение главных сечений по отношению друг к другу. Для этого, перемножим почленно уравнения (9) и (10)

(d )

При подстановке в (d ) значений и из (7) после преобразований приходим к следующему выражению

(е)

Т.к. , то можно написать. Значить

Отсюда следует, что главные сечения взаимно перпендикулярны, а и (9 ), (10 )

Заметим, что сложив обе строки формулы (7), будем иметь - во взаимно перпендикулярных сечениях сумма нормальных напряжений постоянна .

Главные деформации

Определим деформации в направлении главных напряжений. Для этого мысленно выделим из тела, находящегося в плоском напряженном состоянии прямоугольный элемент, грани которого параллельны главным сечениям. Т.к. по граням действуют только нормальные напряжения, то направления главных напряжений будет совпадать с деформациями, называемыми главными. Используя формулы обобщенного закону Гука и полагая, получим

(11)

Экстремальные касательные напряжения

Предположим, что по граням BC и BD треугольной пластинки BCD действуют главные напряжения и. Тогда и выражения (3) примут вид

(k )

(m )

Исследуем функцию (m ) на экстремум, исходя из условия существования. Дифференцируем (m ) по.

В общем случае, следовательно (s ).

Значок при поставлен для того, чтобы отличить корни уравнения (s ), определяющие положение сечений, в которых достигает экстремальных значений, от корней уравнений (9), (10) определяющих положение главных сечений.

Уравнение (s ) в пределах имеет два корня, отличающихся друг от друга на и, откуда получаем.

Т.о. сечения в которых касательные напряжения достигают наибольшего абсолютного значения, располагаются под углом к главным сечениям. Эти сечения также взаимно перпендикулярны.

При и выражение (k 0 принимает вид

(12)

В этих же сечениях

или (13)

На рисунке и в дальнейшем отсчет углов ведется от оси (2 или 3), совпадающей по направлению с наименьшим из главных напряжений (или). Тогда, в соответствии с изложенным, под углом к этой оси располагается нормаль к сечению с, а под углом - с. На гранях пластинки abcd , кроме касательных напряжений могут быть и нормальные, определяемые по формуле (13). Заметим, что всегда больше нуля и поэтому имеет направление, при котором создает вращение элемента abcd относительно любой точки внутри него против часовой стрелки, -по часовой стрелки. В общем случае плоского напряженного состояния, когда заданы не главные напряжения, а и модули экстремальных можно определить по формуле

(14)

которые получены при подстановке (7) в (12).

Удельная потенциальная энергия

При растяжении (сжатии) внешние силы совершают работу вследствие перемещения точек их приложения и вызывают деформации материала. При деформации совершают работу и внутренние силы упругости. Известно, что энергия, накопленная телом при деформации, называется потенциальной энергией деформации, а величина этой энергии, отнесенная к единице объема материала удельной потенциальной энергией. При центральном растяжении (сжатии) вычисляли из выражения. В плоском напряженном состоянии удельная потенциальная энергия деформации получится как сумма двух слагаемых

Т.к. и, тогда

(15)

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.вшм>
6543.		Объемное (пространственное) напряженное состояние	228.62 KB
	Совокупность напряжений возникающих во множестве сечений проходящих через рассматриваемую точку называется напряженным состоянием вблизи точки. Исследование законов изменения напряжений вблизи точки не является чисто отвлеченным. После сокращений получаем...
6011.		Техническое состояние автомобиля	126.23 KB
	Оно бывает: Исправное состояние автомобиля это состояние при котором он соответствует всем требованиям технических условий и конструкторской документации. Так же неисправное состояние можно разделить на: Работоспособное состояние автомобиля это такое состояние при котором он способен выполнять определенную работу с параметрами указанными в его технической характеристике. Предельное состояние автомобиля агрегата или детали это такое состояние при котором их эксплуатировать дальше недопустимо.
8472.		Жидкое состояние вещества	230.17 KB
	Потенциальная энергия молекулы внутри жидкости меньше чем вне жидкости. Результирующая сила внутри жидкости равна 0. На весь слой лежащий у поверхности жидкости действуют силы направленные нормально внутрь жидкости. Масса жидкости на которую не действуют внешние силы должна принять сферическую форму.
12293.		Брак как правовое состояние	62.92 KB
	Возникновение состояния брака: понятие и форма брака в российском семейном законодательстве. Правовые последствия наличия и прекращения брака как правового состояния. Правовые последствия заключения брака. Правовые последствия прекращения брака.
9441.		ТЕХНИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ МАШИН И ЕГО ОЦЕНКА	109.07 KB
	Важная стадия жизненного цикла эксплуатация которая включает транспортирование монтаж и демонтаж использование по назначению техническое обслуживание ремонт и хранение машины. Техническим состоянием машины оборудования называют совокупность ее свойств подверженных изменению в процессе производства и эксплуатации и характеризуемых в определенный момент времени признаками установленными технической документацией. Важнейшими в жизненном цикле любой машины являются этапы производства и эксплуатации на которых осуществляются ее...
7608.		Состояние рынка земли в России	67.95 KB
	Проблема совершенствования правового регулирования земельных отношений в России в последнее время стала одной из самых актуальных, и широко обсуждается не только среди юристов, законодателей и политиков, но и в обществе в целом. Мнения сторон, участвующих в обсуждении иногда противоречивы
18050.		Финансовое состояние санатория «Джайлау»	114.75 KB
	Многочисленные предприятия и организации которые начали свою деятельность еще до кризиса а также рискнувшие начать деятельность сразу после него ощутили на себе всю тяжесть бытия в условиях нестабильной кризисной обстановки. Многие предприятия обанкротились закрылись прекратили свою деятельность переквалифицировались в другой вид деятельности более востребованный на рынке. Если обратится к становлению деятельности и сегодня существующих предприятий и организаций которые сегодня могут составить конкуренцию развитым западным...
9975.		Финансовое состояние предприятия ООО «Восход»	204.18 KB
	Важная роль в реализации этой задачи отводится анализу финансового состояния предприятия. С его помощью вырабатывается стратегия и тактика развития предприятия обосновываются планы и управленческие решения осуществляется контроль за их выполнением выявляются пути повышения эффективности коммерческой деятельности а также оцениваются результаты деятельности предприятия его подразделений и работников. Финансы предприятия гостиничного комплекса являются важной составной частью финансовой системы. Входящие в финансы предприятий гостиничного...
18527.		Страхование в Казахстане - состояние и перспективы	98 KB
	Становление и развитие института страхования в Республике Казахстан. Основные понятия страхового рынка в Республике Казахстан. Правовая характеристика отдельных видов страхования. Понятие и признаки договора страхования.
4941.		Состояние и пути совершенствования СКД в музее	244.26 KB
	Теоретические аспекты организации СКД музея средствами информационно-просветительских методик. Состояние проблемы организации социально-культурной деятельности музея. Характеристика информационно-просветительских методик в процессе организации социальнокультурной деятельности музея...

Плоское напряженное состояние

В случае плоского напряженного состояния одно из трех напряжений равно нулю.

Объемное напряженное состояние сопромат

Зависимость между напряжениями и деформациями

В сопротивлении материалов , при исследовании деформаций в случае объемного напряженного состояния предполагаем, что материал

подчиняется закону Гука и что деформации малы. Рассмотрим элемент, размеры граней которого равны

а х в х с, и

Все напряжения для простоты рассуждений считаем положительными. Вследствие деформации рёбра

элемента изменяют свою длину и становяться равными а+^а; в+^в; с+^с.

Отношение приращений длин рёбер элементов к первоначальной их длине дадут

главные относительные удлинения в главных направлениях:

Полная относительная деформация элемента ах в хс в направлении ребра а выразится как сумма

Аналогично можно найти полные относительные деформации в направлении рёбер в и с.

Эти три формулы носят название обобщенного закона Гукй. Объемная деформация может быть выражена так:

Изменение объема зависит лишь от суммы главных напряжений, а не от их соотношения. Поэтому такое же

изменение объема получит элементарный кубик, на гранях которот будут действовать одинаковые напряжения

Энергия упругой деформации

Потенциальной энергией упругой деформации в сопромате называется энергия, накапливаемая в теле при

его упругой деформации, вызванной действием внешних сил.

Удельная энергия (энергия упругой деформации, отнесенная к единице объема) равна:

Эта энергия состоит из 2-х частей: 1) энергии, затрачиваемой на изменение объема, и 2) энергии,

затрачиваемой на изменение формы.

Энергия изменения объема:

Теории прочности сопромат

Теории прочности, в сопротивлении материалов , стремятся установить критерий прочности для материала, находящегося в сложном напряженном состоянии (объемном или плоском). При этом исследуемое напряженное состояние рассчитываемой детали сравнивается с линейным напряженным состоянием - растяжением или сжатием.

За предельное состояние пластичных материалов принимается такое состояние, при котором начинают появляться заметные остаточные (пластические) деформации.

Для материалов хрупких, или находящихся в хрупком состоянии, предельным состоянием считается такое, при котором материал находится на границе появления первых трещин, т.е. на границе нарушения целостности материала.

Условие прочности при объемном напряженном состоянии следующее:

Коэффициентом запаса (n) при данном напряженном состоянии называется число, показывающее, во сколько раз следует одновременно увеличить все компоненты напряженного состояния, чтобы оно стало предельным.

Эквивалентное напряжение Oэкв представляет собою растягивающее напряжение при линейном (одноосном) напряженном состоянии, равноопасном с заданным объемным или плоским напряженным состоянием.

Формулы для эквивалентного напряжения, выражающие его через главные напряжения устанавливаются теориями прочности в зависимости от принятой каждой теорией гипотезы прочности.

Теорий прочности или гипотез предельных напряженных состояний существует несколько:

Первая теория, или теория наибольших нормальных напряжений и вторая теория, или теория наибольших линейных деформаций, в настоящее время не применяются в практических расчетах. Третья теория, или теория наибольших касательных напряжений. В основу теории положена гипотеза о том, что два напряженных состояния - сложное и линейное - эквивалентны по прочности, если наибольшие касательные напряжения одинаковы.

Эквивалентные напряжения при объемном напряженном состоянии:

Третья теория прочности дает удовлетворительные результаты для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию при условии, что главные напряжения имеют разные знаки.

Основным недостатком этой теории является то, что она не учитывает о"з, которая как показывают опыты, оказывает некоторое влияние на прочность материала.

Четвертая теория прочности - энергетическая. Она исходит из предпосылки о том, что количество потенциальной энергии формоизменения, накопленной к моменту наступления опасного состояния (текучести материала), одинаково как при сложном напряженном состоянии, так и при простом- растяжении. Эквивалентное напряжение при объемном напряженном состоянии

Четвертая теория прочности хорошо подтверждается опытами с пластичными материалами, имеющими одинаковый предел текучести при растяжении и сжатии.

Теория предельных состояний (теория Мора) исходит из предположения, что прочность в общем случае напряженного состояния зависит главным-образом от величины ж знака наибольшего О1 и наименьшего Оз главных напряжений. Среднее по величине главное напряжение О2 лишь незначительно влияет на прочность. Опыты показали, что погрешность, вызванная пренебрежением О2 в худшем случае не превышает 12-15 %, а обычно бывает меньше.

Для объемного напряженного состояния: