1. Linien zweiter Ordnung auf der euklidischen Ebene.

2. Invarianten der Geradengleichungen zweiter Ordnung.

3. Bestimmen des Typs von Linien zweiter Ordnung aus den Invarianten ihrer Gleichung.

4. Linien zweiter Ordnung an affine Ebene. Eindeutigkeitssatz.

5. Mittelpunkte von Linien zweiter Ordnung.

6. Asymptoten und Durchmesser von Linien zweiter Ordnung.

7. Reduktion der Liniengleichungen zweiter Ordnung auf das Einfachste.

8. Hauptrichtungen und Durchmesser von Linien zweiter Ordnung.

LITERATURVERZEICHNIS

1. Linien zweiter Ordnung in der euklidischen Ebene.

Definition:

Euklidische Ebene ist ein Raum der Dimension 2,

(zweidimensionaler realer Raum).

Geraden zweiter Ordnung sind Schnittlinien eines Kreiskegels mit Ebenen, die nicht durch seine Spitze gehen.

Diese Zeilen finden sich häufig in verschiedenen naturwissenschaftlichen Fragestellungen. Beispielsweise erfolgt die Bewegung eines materiellen Punktes unter dem Einfluss des zentralen Gravitationsfeldes entlang einer dieser Linien.

Wenn die Schnittebene alle geradlinigen Erzeugenden eines Hohlraums des Kegels schneidet, wird im Abschnitt eine Linie erhalten, genannt Ellipse(Abb. 1.1, a). Wenn die Schnittebene die Generatoren beider Hohlräume des Kegels schneidet, wird im Schnitt eine Linie erhalten, genannt Hyperbel(Abb. 1.1.6). Und schließlich, wenn die Sekantenebene parallel zu einem der Erzeuger des Kegels ist (nach 1.1, v- Das ist der Generator AB), dann erhalten Sie im Abschnitt eine Zeile mit dem Namen Parabel. Reis. 1.1 gibt eine visuelle Darstellung der Form der betrachteten Linien.

Abbildung 1.1

Die allgemeine Gleichung der Geraden zweiter Ordnung hat folgende Form:

(1)

(1*)

Ellipse ist die Menge der Punkte in der Ebene, für die die Summe der Entfernungen zwei ist Fixpunkte F 1 Und F 2 diese Ebene, Brennpunkte genannt, ist ein konstanter Wert.

Dies schließt das Zusammenfallen der Brennpunkte der Ellipse nicht aus. Offensichtlich Wenn die Brennpunkte gleich sind, ist die Ellipse ein Kreis.

Zur Herleitung der kanonischen Gleichung der Ellipse wählen wir den Ursprung O des kartesischen Koordinatensystems in der Mitte der Strecke F 1 F 2 , Achsen Oh Und OU direkt wie in Abb. 1.2 (wenn Tricks F 1 Und F 2 zusammenfallen, dann fällt O mit zusammen F 1 Und F 2 und für die Achse Oh man kann jede durchgehende Achse nehmen UM).

Lassen Sie die Länge des Segments F 1 F 2 F 1 Und F 2 haben jeweils die Koordinaten (-c, 0) und (c, 0). Bezeichne mit 2a die Konstante, auf die in der Definition einer Ellipse verwiesen wird. Offensichtlich ist 2a > 2c, d.h. a > c ( Wenn M- Punkt der Ellipse (siehe Abb. 1.2), dann | MF ] |+ | MF 2 | = 2 A , und seit der Summe zweier Seiten MF 1 Und MF 2 Dreieck MF 1 F 2 mehr als ein Dritter F 1 F 2 = 2c, dann 2a > 2c. Es liegt nahe, den Fall 2a = 2c auszuschließen, da dann der Punkt M befindet sich auf dem Segment F 1 F 2 und die Ellipse degeneriert zu einem Segment. ).

Lassen M- Punkt der Ebene mit Koordinaten (x, y)(Abb. 1.2). Bezeichne mit r 1 und r 2 die Abstände von dem Punkt M zu Punkten F 1 Und F 2 bzw. Gemäß der Definition einer Ellipse Gleichwertigkeit

R 1 + R 2 = 2a (1.1)

ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Lage des Punktes M(x, y) auf der gegebenen Ellipse.

Unter Verwendung der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten erhalten wir

(1.2)

Aus (1.1) und (1.2) folgt das Verhältnis

(1.3)

stellt eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Lage eines Punktes M mit den Koordinaten x und y auf einer gegebenen Ellipse dar. Daher kann die Beziehung (1.3) betrachtet werden als Ellipsengleichung. Mit der Standardmethode der "Radikalzerstörung" wird diese Gleichung auf die Form gebracht

(1.4) (1.5)

Da Gleichung (1.4) ist algebraische Konsequenz Ellipsengleichung (1.3), dann die Koordinaten x und y irgendein Punkt M Ellipse wird auch Gleichung (1.4) erfüllen. Da bei algebraischen Transformationen im Zusammenhang mit dem Entfernen von Radikalen "zusätzliche Wurzeln" auftreten können, müssen wir dies unbedingt sicherstellen M, dessen Koordinaten die Gleichung (1.4) erfüllen, befindet sich auf der gegebenen Ellipse. Dazu genügt es offensichtlich zu beweisen, dass die Größen r 1 und r 2 für jeden Punkt die Beziehung (1.1) erfüllen. Also lassen Sie die Koordinaten X Und bei Punkte M Gleichung (1.4) erfüllen. Ersatzwert um 2 von (1.4) bis rechte Seite Ausdruck (1.2) für r 1 nach einfachen Umformungen finden wir das

, Dann .

Genauso finden wir das

. Also für den betrachteten Punkt M , (1.6)

d.h. R 1 + R 2 = 2a, und daher befindet sich der Punkt M auf einer Ellipse. Gleichung (1.4) wird aufgerufen die kanonische Gleichung der Ellipse. Mengen A Und B werden jeweils genannt große und kleine Halbachsen einer Ellipse(Der Name „groß“ und „klein“ erklärt sich dadurch, dass a > b).

Kommentar. Wenn die Halbachsen der Ellipse A Und B gleich sind, dann ist die Ellipse ein Kreis, dessen Radius gleich ist R = A = B, und der Mittelpunkt fällt mit dem Ursprung zusammen.

Hyperbel ist die Menge der Punkte in der Ebene, für die der Betrag der Differenz der Entfernungen zu zwei festen Punkten, F 1 Und F 2 diese Ebene, Brennpunkte genannt, ist ein konstanter Wert ( Fokussiert F 1 Und F 2 Es ist natürlich, Hyperbeln anders zu betrachten, denn wenn die in der Definition einer Hyperbel angegebene Konstante nicht gleich Null ist, dann gibt es keinen einzigen Punkt der Ebene, wenn F 1 Und F 2 , was den Anforderungen der Definition einer Hyperbel genügen würde. Wenn diese Konstante Null ist und F 1 fällt zusammen mit F 2 , dann erfüllt jeder Punkt der Ebene die Anforderungen der Definition einer Hyperbel. ).

Um die kanonische Gleichung der Hyperbel herzuleiten, wählen wir den Koordinatenursprung in der Mitte der Strecke F 1 F 2 , Achsen Oh Und OU direkt wie in Abb. 1.2. Lassen Sie die Länge des Segments F 1 F 2 ist gleich 2s. Dann im gewählten Koordinatensystem die Punkte F 1 Und F 2 haben jeweils die Koordinaten (-с, 0) und (с, 0) Bezeichne mit 2 A die Konstante, auf die in der Definition einer Hyperbel Bezug genommen wird. Offensichtlich 2a< 2с, т. е. A < с. Wir müssen sicherstellen, dass Gleichung (1.9), erhalten durch algebraische Transformationen von Gleichung (1.8), keine neuen Wurzeln erhalten hat. Dazu genügt es, dies für jeden Punkt zu beweisen M, Koordinaten X Und bei die Gleichung (1.9) erfüllen, erfüllen die Größen r 1 und r 2 die Beziehung (1.7). In ähnlicher Argumentation wie bei der Ableitung der Formeln (1.6) finden wir für die uns interessierenden Größen r 1 und r 2 folgende Ausdrücke:

(1.11)

Also für den betrachteten Punkt M wir haben

, und liegt daher auf einer Hyperbel.

Gleichung (1.9) wird aufgerufen Kanonische Gleichung einer Hyperbel. Mengen A Und B heißen reell bzw. imaginär. Halbachsen der Hyperbel.

Parabel ist die Menge von Punkten in der Ebene, für die der Abstand zu einem festen Punkt F Diese Ebene ist gleich dem Abstand zu einer festen Linie, die sich ebenfalls in der betrachteten Ebene befindet.

Linien zweiter Ordnung.
Ellipse und ihre kanonische Gleichung. Kreis

Nach gründlichem Studium gerade Linien in der Ebene Wir studieren weiterhin die Geometrie der zweidimensionalen Welt. Die Einsätze werden verdoppelt und ich lade Sie ein, die malerische Galerie der Ellipsen, Hyperbeln, Parabeln zu besuchen, die typische Vertreter von sind Linien zweiter Ordnung. Die Tour hat bereits begonnen und Brief Informationüber die gesamte Ausstellung auf verschiedenen Etagen des Museums:

Das Konzept einer algebraischen Linie und ihre Ordnung

Eine Linie in einer Ebene wird aufgerufen algebraisch, wenn drin affines Koordinatensystem seine Gleichung hat die Form , wobei ein Polynom ist, das aus Termen der Form besteht ( ist eine reelle Zahl, sind nicht negative ganze Zahlen).

Wie Sie sehen können, enthält die Gleichung einer algebraischen Linie keine Sinus-, Kosinus-, Logarithmus- und andere funktionale Schönheit. Nur "x" und "y" drin Ganzzahl nicht negativ Grad.

Zeilenreihenfolge gleich dem Maximalwert der darin enthaltenen Terme ist.

Nach dem entsprechenden Satz hängen sowohl der Begriff einer algebraischen Linie als auch ihre Ordnung nicht von der Wahl ab affines Koordinatensystem, daher gehen wir der Einfachheit halber davon aus, dass alle nachfolgenden Berechnungen in stattfinden Kartesischen Koordinaten.

Allgemeine Gleichung die Zeile zweiter Ordnung hat die Form , wo sind beliebige reelle Zahlen (es ist üblich, mit einem Multiplikator zu schreiben - "zwei"), und die Koeffizienten sind nicht gleichzeitig gleich Null.

Wenn , dann vereinfacht sich die Gleichung zu , und wenn die Koeffizienten nicht gleichzeitig gleich Null sind, dann ist dies genau so allgemeine Gleichung einer "flachen" Geraden, was darstellt erste Ordnungslinie.

Viele haben die Bedeutung der neuen Begriffe verstanden, aber um das Material zu 100% aufzunehmen, stecken wir unsere Finger in die Steckdose. Um die Zeilenreihenfolge zu bestimmen, iterieren Sie über alle Begriffe seine Gleichungen und für jeden von ihnen finden Summe der Kräfte eingehende Variablen.

Zum Beispiel:

der Begriff enthält „x“ bis zum 1. Grad;
der Begriff enthält „Y“ hoch 1;
Es gibt keine Variablen im Term, also ist die Summe ihrer Potenzen Null.

Lassen Sie uns nun herausfinden, warum die Gleichung die Linie setzt zweite Befehl:

der Begriff enthält „x“ 2. Grades;
der Term hat die Summe der Grade der Variablen: 1 + 1 = 2;
der Begriff enthält „y“ im 2. Grad;
alle anderen Begriffe - geringer Grad.

Höchstwert: 2

Wenn wir zusätzlich zu unserer Gleichung hinzufügen, sagen wir, , dann wird es bereits bestimmen dritte Ordnungslinie. Es ist offensichtlich, dass die allgemeine Form der Liniengleichung 3. Ordnung einen „vollständigen Satz“ von Termen enthält, deren Summe der Grade der Variablen gleich drei ist:
, wobei die Koeffizienten nicht gleichzeitig gleich Null sind.

Für den Fall, dass ein oder mehrere passende Begriffe hinzugefügt werden, die enthalten , dann reden wir darüber Linien 4. Ordnung, usw.

Insbesondere mit algebraischen Geraden 3., 4. und höherer Ordnung werden wir uns beim Kennenlernen mehr als einmal befassen müssen Polarkoordinatensystem.

Kehren wir jedoch zur allgemeinen Gleichung zurück und erinnern uns an ihre einfachsten Schulvarianten. Als Beispiel bietet sich die Parabel an, auf deren Gleichung man leicht zurückführen kann Gesamtansicht, und eine Hyperbel mit einer äquivalenten Gleichung . Allerdings ist nicht alles so glatt ....

Ein wesentlicher Nachteil der allgemeinen Gleichung besteht darin, dass fast immer nicht klar ist, welche Linie sie definiert. Selbst im einfachsten Fall werden Sie nicht sofort erkennen, dass dies eine Übertreibung ist. Solche Layouts sind nur bei einer Maskerade gut, daher wird im Verlauf der analytischen Geometrie ein typisches Problem betrachtet Reduktion der Liniengleichung 2. Ordnung auf die kanonische Form.

Was ist die kanonische Form einer Gleichung?

Dies ist die allgemein akzeptierte Standardform der Gleichung, wenn in Sekundenschnelle klar wird, welches geometrische Objekt sie definiert. Darüber hinaus ist die kanonische Form sehr praktisch, um viele praktische Aufgaben zu lösen. Also zum Beispiel nach der kanonischen Gleichung "flach" gerade, ist erstens sofort klar, dass es sich um eine Gerade handelt, und zweitens sind der zugehörige Punkt und der Richtungsvektor einfach sichtbar.

Offensichtlich irgendwelche 1. Ordnungszeile stellt eine Gerade dar. Im zweiten Stock wartet kein Hausmeister mehr auf uns, sondern eine viel vielfältigere Gesellschaft von neun Statuen:

Klassifizierung von Linien zweiter Ordnung

Mit Hilfe einer speziellen Reihe von Aktionen wird jede Liniengleichung zweiter Ordnung auf einen der folgenden Typen reduziert:

( und sind positive reelle Zahlen)

1) ist die kanonische Gleichung der Ellipse;

2) ist die kanonische Gleichung der Hyperbel;

3) ist die kanonische Gleichung der Parabel;

4) – imaginär Ellipse;

5) - ein Paar sich kreuzender Linien;

6) - Paar imaginär sich schneidende Linien (mit dem einzigen wirklichen Schnittpunkt im Ursprung);

7) - ein Paar paralleler Linien;

8) - Paar imaginär parallele Linien;

9) ist ein Paar zusammenfallender Linien.

Einige Leser könnten den Eindruck gewinnen, dass die Liste unvollständig ist. Beispielsweise legt die Gleichung in Absatz Nummer 7 das Paar fest Direkte, parallel zur Achse, und es stellt sich die Frage: Wo ist die Gleichung, die die Linien parallel zur y-Achse bestimmt? Antwort: es nicht als Kanon angesehen. Die Geraden stellen denselben um 90 Grad gedrehten Standardfall dar, und der zusätzliche Eintrag in der Klassifikation ist überflüssig, da er nichts grundlegend Neues enthält.

Also gibt es neun und nur neun verschiedene Sorten Linien 2. Ordnung, aber in der Praxis am häufigsten Ellipse, Hyperbel und Parabel.

Schauen wir uns zuerst die Ellipse an. Wie üblich konzentriere ich mich auf die Punkte, die haben sehr wichtig zum Lösen von Problemen und wenn Sie eine detaillierte Herleitung von Formeln, Beweisen von Theoremen benötigen, lesen Sie beispielsweise das Lehrbuch von Bazylev / Atanasyan oder Aleksandrov.

Ellipse und ihre kanonische Gleichung

Rechtschreibung ... bitte wiederholen Sie nicht die Fehler einiger Yandex-Benutzer, die sich für "wie man eine Ellipse baut", "den Unterschied zwischen einer Ellipse und einem Oval" und "Elebs-Exzentrizität" interessiert.

Die kanonische Gleichung einer Ellipse hat die Form , wobei positive reelle Zahlen sind, und . Ich werde die Definition einer Ellipse später formulieren, aber jetzt ist es an der Zeit, eine Pause vom Reden einzulegen und ein häufiges Problem zu lösen:

Wie baut man eine Ellipse?

Ja, nimm es und zeichne es einfach. Die Aufgabe ist üblich, und ein erheblicher Teil der Schüler kommt mit der Zeichnung nicht ganz so gut zurecht:

Beispiel 1

Konstruieren Sie eine durch die Gleichung gegebene Ellipse

Lösung: zuerst bringen wir die Gleichung auf die kanonische Form:

Warum mitbringen? Einer der Vorteile der kanonischen Gleichung ist, dass Sie damit sofort bestimmen können Ellipsenecken, die an den Punkten sind . Es ist leicht zu sehen, dass die Koordinaten jedes dieser Punkte die Gleichung erfüllen.

In diesem Fall :


Liniensegment genannt Hauptachse Ellipse;
Liniensegment – Nebenachse;
Nummer genannt große Halbachse Ellipse;
Nummer – kleine Halbachse.
in unserem Beispiel: .

Um sich schnell vorzustellen, wie diese oder jene Ellipse aussieht, schauen Sie sich einfach die Werte von "a" und "be" ihrer kanonischen Gleichung an.

Alles ist in Ordnung, ordentlich und schön, aber es gibt eine Einschränkung: Ich habe die Zeichnung mit dem Programm fertiggestellt. Und Sie können mit jeder Anwendung zeichnen. Doch in der harten Realität liegt ein kariertes Stück Papier auf dem Tisch und Mäuse tanzen um unsere Hände. Menschen mit künstlerischem Talent können natürlich argumentieren, aber Sie haben auch Mäuse (wenn auch kleinere). Nicht umsonst hat die Menschheit ein Lineal, einen Zirkel, einen Winkelmesser und andere einfache Zeichengeräte erfunden.

Aus diesem Grund ist es unwahrscheinlich, dass wir eine Ellipse genau zeichnen können, wenn wir nur die Eckpunkte kennen. Immer noch in Ordnung, wenn die Ellipse klein ist, zum Beispiel mit Halbachsen. Alternativ können Sie den Maßstab und damit auch die Maße der Zeichnung verkleinern. Aber in Allgemeiner Fall Es ist sehr wünschenswert, zusätzliche Punkte zu finden.

Es gibt zwei Ansätze zum Konstruieren einer Ellipse - geometrisch und algebraisch. Ich mag es nicht, mit Zirkel und Lineal zu bauen, wegen des kurzen Algorithmus und der erheblichen Unordnung der Zeichnung. Im Fall von Notfall verweisen Sie bitte auf das Lehrbuch, aber in Wirklichkeit ist es viel rationaler, die Mittel der Algebra zu verwenden. Aus der Ellipsengleichung auf dem Entwurf drücken wir schnell aus:

Die Gleichung wird dann in zwei Funktionen aufgeteilt:
– definiert den oberen Bogen der Ellipse;
– definiert den unteren Bogen der Ellipse.

Die durch die kanonische Gleichung gegebene Ellipse ist sowohl bezüglich der Koordinatenachsen als auch bezüglich des Ursprungs symmetrisch. Und das ist großartig - Symmetrie ist fast immer ein Vorbote eines Werbegeschenks. Offensichtlich reicht es aus, sich mit dem 1. Koordinatenviertel zu befassen, also brauchen wir eine Funktion . Es schlägt vor, zusätzliche Punkte mit Abszissen zu finden . Wir treffen drei SMS auf dem Rechner:

Erfreulich ist natürlich auch, dass ein grober Fehler bei der Berechnung sofort beim Bau auffällt.

Markieren Sie Punkte auf der Zeichnung (rote Farbe), symmetrische Punkte auf den anderen Bögen (blaue Farbe) und verbinden Sie das gesamte Unternehmen sorgfältig mit einer Linie:


Es ist besser, die erste Skizze dünn und dünn zu zeichnen und erst dann Druck auf den Stift auszuüben. Das Ergebnis sollte eine ziemlich anständige Ellipse sein. Möchten Sie übrigens wissen, was diese Kurve ist?

Definition einer Ellipse. Ellipsenbrennpunkte und Ellipsenexzentrizität

Eine Ellipse ist ein Sonderfall eines Ovals. Das Wort „Oval“ ist nicht im spießbürgerlichen Sinne zu verstehen („das Kind zeichnete ein Oval“ etc.). Dies ist ein mathematischer Begriff mit einer detaillierten Formulierung. Der Zweck dieser Lektion besteht nicht darin, die Theorie der Ovale und ihrer verschiedenen Typen zu betrachten, die im Standardkurs der analytischen Geometrie praktisch nicht behandelt werden. Und in Übereinstimmung mit aktuelleren Bedürfnissen gehen wir sofort zur strengen Definition einer Ellipse über:

Ellipse- dies ist die Menge aller Punkte der Ebene, die Summe der Abstände zu jedem von zwei gegebenen Punkten, genannt Tricks Ellipse, ist ein konstanter Wert, numerisch gleich der Länge Hauptachse dieser Ellipse: .
In diesem Fall ist der Abstand zwischen den Brennpunkten geringer gegebenen Wert: .

Jetzt wird es klarer:

Stell dir das vor blauer Punkt"reitet" auf einer Ellipse. Also, egal welchen Punkt der Ellipse wir nehmen, die Summe der Längen der Segmente wird immer gleich sein:

Stellen wir sicher, dass in unserem Beispiel der Wert der Summe wirklich gleich acht ist. Setzen Sie den Punkt "em" im Geiste auf den rechten Eckpunkt der Ellipse, dann: , was überprüft werden musste.

Eine andere Möglichkeit, eine Ellipse zu zeichnen, basiert auf der Definition einer Ellipse. Höhere Mathematik ist manchmal die Ursache für Anspannung und Stress, also ist es Zeit für eine weitere Entlastungssitzung. Nehmen Sie bitte ein Blatt Papier oder einen großen Bogen Pappe und heften Sie es mit zwei Nägeln an den Tisch. Das werden Tricks sein. Binden Sie einen grünen Faden an die hervorstehenden Nagelköpfe und ziehen Sie ihn mit einem Bleistift ganz durch. Der Hals des Bleistifts wird an einem Punkt sein, der zur Ellipse gehört. Beginnen Sie nun, den Stift über das Blatt Papier zu führen, wobei Sie den grünen Faden sehr straff halten. Setzen Sie den Vorgang fort, bis Sie zum Ausgangspunkt zurückkehren ... ausgezeichnet ... die Zeichnung kann zur Überprüfung durch den Arzt beim Lehrer eingereicht werden =)

Wie finde ich den Fokus einer Ellipse?

Im obigen Beispiel habe ich "fertige" Fokuspunkte dargestellt, und jetzt lernen wir, wie man sie aus den Tiefen der Geometrie extrahiert.

Wenn die Ellipse durch die kanonische Gleichung gegeben ist, dann haben ihre Brennpunkte Koordinaten , wo ist es Abstand von jedem der Brennpunkte zum Symmetriezentrum der Ellipse.

Berechnungen sind einfacher als mit gedämpften Rüben:

! Mit der Bedeutung "ce" ist es unmöglich, die spezifischen Koordinaten von Tricks zu identifizieren! Ich wiederhole, das ist ABSTAND von jedem Fokus zum Zentrum(die im allgemeinen Fall nicht genau am Ursprung liegen muss).
Und daher kann der Abstand zwischen den Brennpunkten auch nicht an die kanonische Position der Ellipse gebunden werden. Mit anderen Worten, die Ellipse kann an eine andere Stelle verschoben werden und der Wert bleibt unverändert, während die Brennpunkte natürlich ihre Koordinaten ändern. Beachten Sie bitte dieser Moment beim weiteren Studium des Themas.

Die Exzentrizität einer Ellipse und ihre geometrische Bedeutung

Die Exzentrizität einer Ellipse ist ein Verhältnis, das Werte innerhalb annehmen kann.

In unserem Fall:

Lassen Sie uns herausfinden, wie die Form einer Ellipse von ihrer Exzentrizität abhängt. Dafür Fixieren Sie die linken und rechten Eckpunkte der betrachteten Ellipse, d. h. der Wert der großen Halbachse bleibt konstant. Dann nimmt die Exzentrizitätsformel die Form an: .

Beginnen wir damit, den Wert der Exzentrizität auf Eins anzunähern. Dies ist nur möglich, wenn . Was bedeutet das? ... Tricks erinnern . Dies bedeutet, dass die Brennpunkte der Ellipse entlang der Abszissenachse zu den seitlichen Eckpunkten "zerstreut" werden. Und da „die grünen Segmente kein Gummi sind“, wird die Ellipse unweigerlich flacher und verwandelt sich in eine immer dünnere Wurst, die auf einer Achse aufgereiht ist.

Auf diese Weise, je näher die Exzentrizität der Ellipse bei eins liegt, desto länglicher ist die Ellipse.

Lassen Sie uns nun den umgekehrten Vorgang simulieren: die Brennpunkte der Ellipse gingen aufeinander zu und näherten sich der Mitte. Das bedeutet, dass der Wert von „ce“ kleiner wird und dementsprechend die Exzentrizität gegen Null geht: .
In diesem Fall werden die „grünen Segmente“ dagegen „überfüllt“ und beginnen, die Linie der Ellipse nach oben und unten zu „schieben“.

Auf diese Weise, Je näher der Exzentrizitätswert bei Null liegt, desto mehr sieht die Ellipse aus... betrachten Sie den Grenzfall, wenn die Fokusse erfolgreich am Ursprung wiedervereinigt werden:

Ein Kreis ist ein Spezialfall einer Ellipse

Tatsächlich nimmt bei Gleichheit der Halbachsen die kanonische Gleichung der Ellipse die Form an, die sich reflexartig in die bekannte Kreisgleichung aus der Schule mit dem Mittelpunkt im Ursprung des Radius „a“ überführt.

In der Praxis wird häufiger die Schreibweise mit dem „sprechenden“ Buchstaben „er“ verwendet:. Der Radius wird als Länge des Segments bezeichnet, während jeder Punkt des Kreises um den Abstand des Radius vom Mittelpunkt entfernt ist.

Beachten Sie, dass die Definition einer Ellipse völlig korrekt bleibt: Die Brennpunkte passen zusammen, und die Summe der Längen der angepassten Segmente für jeden Punkt auf dem Kreis ist ein konstanter Wert. Da der Abstand zwischen Brennpunkten ist Die Exzentrizität jedes Kreises ist Null.

Ein Kreis ist einfach und schnell aufgebaut, es reicht aus, sich mit einem Kompass zu bewaffnen. Manchmal ist es jedoch notwendig, die Koordinaten einiger seiner Punkte herauszufinden, in diesem Fall gehen wir den bekannten Weg - wir bringen die Gleichung in eine fröhliche Matan-Form:

ist die Funktion des oberen Halbkreises;
ist die Funktion des unteren Halbkreises.

Dann finden wir gewünschte Werte, differenzierbar, integrieren und andere gute Dinge tun.

Der Artikel dient natürlich nur als Referenz, aber wie kann man ohne Liebe in der Welt leben? Kreative Aufgabe zur eigenständigen Lösung

Beispiel 2

Stellen Sie die kanonische Gleichung einer Ellipse auf, wenn einer ihrer Brennpunkte und die kleine Halbachse bekannt sind (der Mittelpunkt ist der Ursprung). Finde Scheitelpunkte, zusätzliche Punkte und zeichne eine Linie auf der Zeichnung. Berechnen Sie die Exzentrizität.

Lösung und Zeichnung am Ende der Lektion

Lassen Sie uns eine Aktion hinzufügen:

Dreht und verschiebt eine Ellipse

Kehren wir zur kanonischen Gleichung der Ellipse zurück, nämlich zu der Bedingung, deren Rätsel seit der ersten Erwähnung dieser Kurve neugierige Geister quält. Hier haben wir eine Ellipse betrachtet , aber in der Praxis kann die Gleichung nicht ? Immerhin scheint es hier aber auch wie eine Ellipse zu sein!

Eine solche Gleichung ist selten, aber sie kommt vor. Und es definiert eine Ellipse. Lassen Sie uns die Mystik zerstreuen:

Als Ergebnis der Konstruktion wird unsere native Ellipse um 90 Grad gedreht erhalten. Also, - Das nicht-kanonischer Eintrag Ellipse . Aufzeichnen!- Die gleichung spezifiziert keine andere Ellipse, da es keine Punkte (Fokus) auf der Achse gibt, die die Definition einer Ellipse erfüllen würden.

Betrachten Sie das Problem, die Liniengleichung zweiter Ordnung auf die einfachste (kanonische) Form zu reduzieren.

Denken Sie daran, dass die algebraische Linie zweiter Ordnung der Ort der Punkte in der Ebene ist, was in einigen affines System Die Koordinaten Ox_1x_2 können durch eine Gleichung der Form p(x_1,x_2)=0 gegeben werden, wobei p(x_1,x_2) ein Polynom zweiten Grades von zwei Variablen Ox_1x_2 ist. Es ist erforderlich, ein rechtwinkliges Koordinatensystem zu finden, in dem die Liniengleichung die einfachste Form annehmen würde.

Das Ergebnis der Lösung des formulierten Problems ist der folgende Hauptsatz (3.3)

Klassifikation algebraischer Geraden zweiter Ordnung (Satz 3.3)

Für jede algebraische Gerade zweiter Ordnung gibt es ein rechtwinkliges Koordinatensystem Oxy, in dem die Gleichung dieser Geraden eine der folgenden neun kanonischen Formen annimmt:

Satz 3.3 gibt analytische Definitionen von Geraden zweiter Ordnung. Gemäß Absatz 2 von Bemerkung 3.1 heißen die Zeilen (1), (4), (5), (6), (7), (9) reell (real), und die Zeilen (2), (3), ( 8) heißen imaginär.

Lassen Sie uns den Beweis des Theorems präsentieren, da er tatsächlich einen Algorithmus zur Lösung des angegebenen Problems enthält.

Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir davon ausgehen, dass die Geradengleichung zweiter Ordnung im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy gegeben ist. Andernfalls kann man vom nicht rechtwinkligen Koordinatensystem Ox_1x_2 zum rechtwinkligen Oxy übergehen, während die Geradengleichung nach Satz 3.1 über die Invarianz der Ordnung einer algebraischen Geraden die gleiche Form und den gleichen Grad haben wird.

Die algebraische Gerade zweiter Ordnung im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy sei durch die Gleichung gegeben

A_(11)x^2+2a_(12)xy+a_(22)y^2+2a_1x+2a_2y+a_0=0,

in denen mindestens einer der führenden Koeffizienten a_(11),a_(12),a_(22) von Null verschieden ist, d.h. die linke Seite von (3.34) ist ein Polynom zweier Variablen x, y zweiten Grades. Die Koeffizienten bei den ersten Potenzen der Variablen x und y sowie bei ihrem Produkt x \ cdot y werden einfach zur Vereinfachung weiterer Transformationen verdoppelt.

Um Gleichung (3.34) auf die kanonische Form zu bringen, werden die folgenden Transformationen von rechtwinkligen Koordinaten verwendet:

– um Winkel \varphi drehen

\begin(cases)x=x"\cdot\cos\varphi-y"\cdot\sin\varphi,\\y=x"\cdot\sin\varphi+y"\cdot\cos\varphi;\end( Fälle)

- parallele Übertragung

\begin(cases)x=x_0+x",\\y=y_0+y";\end(cases)

– Ändern der Richtungen der Koordinatenachsen (Spiegelungen in den Koordinatenachsen):

y-Achse \begin(cases)x=x",\\y=-y",\end(cases) Abszisse \begin(cases)x=-x",\\y=y",\end(cases) beide Achsen \begin(cases)x=-x",\\y=-y";\end(cases)

– Umbenennung der Koordinatenachsen (Spiegelung an einer Geraden y=x )

\begin(cases)x=y",\\y=x",\end(cases)

wobei x,y und x",y" die Koordinaten eines beliebigen Punktes im alten (Oxy) bzw. neuen O"x"y"-Koordinatensystem sind.

Zusätzlich zur Koordinatentransformation können beide Seiten der Gleichung mit einer Zahl ungleich Null multipliziert werden.

Betrachten wir zunächst Spezialfälle, wenn Gleichung (3.34) die Form hat:

\begin(aligned) &\mathsf((I)\colon)~ \lambda_2\cdot y^2+a_0,~\lambda_2\ne0;\\ &\mathsf((II)\colon)~ \lambda_2\cdot y ^2+2\cdot a_1\cdot x,~\lambda_2\ne0,~a_1\ne0;\\ &\mathsf((III)\colon)~ \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2 +a_0,~\lambda_1\ne0,~\lambda_2\ne0. \end(ausgerichtet)

Diese Gleichungen (auch Polynome auf der linken Seite) heißen reduziert. Zeigen wir, dass die obigen Gleichungen (I), (II), (III) auf die kanonischen Gleichungen (1)–(9) reduziert werden.

Gleichung (I). Wenn in Gleichung (I) der freie Term gleich Null ist (a_0=0) , dann erhalten wir y^2=, wenn wir beide Seiten der Gleichung \lambda_2y^2=0 durch den führenden Faktor (\lambda_0\ne0) dividieren 0 - Gleichung zweier zusammenfallender Geraden(9) enthält die x-Achse y=0 . Wenn der freie Term ungleich Null a_0\ne0 ist, teilen wir beide Seiten der Gleichung (I) durch den führenden Koeffizienten (\lambda_2\ne0): y^2+\frac(a_0)(\lambda_2)=0. Wenn der Wert negativ ist, bezeichnen Sie ihn durch -b^2 , wobei b=\sqrt(-\frac(a_0)(\lambda_2)), erhalten wir y^2-b^2=0 - Gleichung eines Paares paralleler Geraden(7): y=b oder y=-b . Wenn der Wert \frac(a_0)(\lambda_2) positiv ist, was mit b^2 bezeichnet wird, wobei b=\sqrt(\frac(a_0)(\lambda_2)), erhalten wir y^2+b^2=0 - Gleichung eines Paares imaginärer paralleler Linien(8). Diese Gleichung hat also keine reellen Lösungen Koordinatenebene es gibt keine Punkte, die dieser Gleichung entsprechen. Allerdings in der Gegend komplexe Zahlen die Gleichung y^2+b^2=0 hat zwei konjugierte Lösungen y=\pm ib , die durch gestrichelte Linien dargestellt sind (siehe Punkt 8 von Theorem 3.3).

Gleichung (II). Teilen Sie die Gleichung durch den führenden Koeffizienten (\lambda_2\ne0) und verschieben Sie den linearen Term auf die rechte Seite: y^2=-\frac(2a_1)(\lambda_2)\,x. Wenn der Wert negativ ist, dann bezeichnet p=-\frac(a_1)(\lambda_2)>0, erhalten wir y^2=2px - Parabelgleichung(6). Wenn der Wert \frac(a_1)(\lambda_2) positiv, also durch Richtungsänderung der x-Achse, d.h. Durch die zweite Transformation in (3.37) erhalten wir die Gleichung (y")^2=\frac(2a_1)(\lambda_2)\,x" oder (y")^2=2px" , wobei p=\frac(a_1)(\lambda_2)>0. Dies ist die Gleichung einer Parabel im neuen Koordinatensystem Ox"y" .

Gleichung (III). Zwei Fälle sind möglich: entweder führende Koeffizienten mit demselben Vorzeichen (elliptischer Fall) oder entgegengesetzten Vorzeichen (hyperbolischer Fall).

Im elliptischen Fall (\lambda_1\lambda_2>0)

\mathsf((III))\quad\Leftrightarrow\quad \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2=-a_0\quad \Leftrightarrow \quad \frac(\lambda_1)(-a_0)\cdot x ^2+\frac(\lambda_2)(-a_0)\cdot y^2=1

Das Gegenteil des Vorzeichens a_0 bedeutet also positive Werte und \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 - Ellipsengleichung (1).

Wenn das Vorzeichen der führenden Koeffizienten \lambda_1, \lambda_2 fällt dann mit dem Vorzeichen von a_0 zusammen und bezeichnet positive Größen \frac(a_0)(\lambda_1) Und \frac(a_0)(\lambda_2) durch a^2 und b^2 erhalten wir -\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1~\Leftrightarrow~\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^ 2)(b^2)=-1 - imaginäre Ellipsengleichung(2). Diese Gleichung hat keine reellen Lösungen. Allerdings hat es Lösungen im Bereich der komplexen Zahlen, die durch eine gestrichelte Linie dargestellt sind (siehe Punkt 2 von Theorem 3.3).

Wir können davon ausgehen, dass in den Gleichungen einer Ellipse (real oder imaginär) die Koeffizienten die Ungleichung a\geqslant b erfüllen, andernfalls kann dies durch Umbenennen der Koordinatenachsen erreicht werden, d.h. Durchführen der Transformation (3.38) des Koordinatensystems.

Wenn der freie Term von Gleichung (III) gleich Null ist (a_0 = 0), dann bedeutet dies positive Größen \frac(1)(|\lambda_1|) Und \frac(1)(|\lambda_2|) durch a^2 und b^2 erhalten wir \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=0 - Gleichung eines Paares imaginärer Schnittlinien(3). Nur der Punkt mit den Koordinaten x=0 und y=0 erfüllt diese Gleichung, d.h. Punkt O ist der Koordinatenursprung. Im Bereich der komplexen Zahlen kann jedoch die linke Seite der Gleichung faktorisiert werden \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=\left(\frac(y)(b)+i\,\frac(x)(a)\ rechts)\!\!\links(\frac(y)(b)-i\,\frac(x)(a)\rechts), also hat die Gleichung konjugierte Lösungen y=\pm i\,\frac(b)(a)\,x, die durch gestrichelte Linien dargestellt sind, die sich im Ursprung schneiden (siehe Punkt 3 von Theorem 3.3).

Im hyperbolischen Fall (\lambda_1,\lambda_2<0) für a_0\ne0 verschieben wir den freien Term auf die rechte Seite und dividieren beide Seiten durch -a_0\ne0 :

\mathsf((III))\quad \Leftrightarrow \quad \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2=-a_0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac(\lambda_1)(-a_0)\cdot x ^2+\frac(\lambda_2)(-a_0)\cdot y^2=1.

Mengen \frac(-a_0)(\lambda_1) Und \frac(-a_0)(\lambda_2) entgegengesetzte Vorzeichen haben. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass das Vorzeichen von λ_2 mit dem Vorzeichen des freien Terms a_0 zusammenfällt, also \frac(a_0)(\lambda_2)>0. Andernfalls müssen Sie die Koordinatenachsen umbenennen, d.h. führe eine Transformation (3.38) des Koordinatensystems durch. Bezeichnet positive Größen \frac(-a_0)(\lambda_1) Und \frac(a_0)(\lambda_2) durch a^2 und b^2 erhalten wir \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1 - Hyperbelgleichung (4).

Der freie Term in Gleichung (III) sei gleich Null (a_0=0). Dann können wir annehmen, dass \lambda_1>0 und \lambda_2<0 (в противном случае обе части уравнения умножим на –1) . Обозначая положительные величины \frac(1)(\lambda_1) Und -\frac(1)(\lambda_2) durch a^2 und b^2 erhalten wir \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=0 - Gleichung eines Paares sich schneidender Geraden(5). Die Geradengleichungen erhält man durch Faktorisieren der linken Seite der Gleichung

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=\left(\frac(x)(a)-\frac(y)(b)\right)\ !\!\left(\frac(x)(a)+\frac(y)(b)\right)=0, also y=\pm\frac(b)(a)\cdot x

Damit werden die reduzierten Gleichungen (I),(II),(III) der algebraischen Geraden zweiter Ordnung auf eine der in Satz 3.3 aufgeführten kanonischen Formen (1)–(9) reduziert.

Es bleibt zu zeigen, dass die allgemeine Gleichung (3.34) durch Transformationen des rechtwinkligen Koordinatensystems auf die reduzierten reduziert werden kann.

Die Vereinfachung der allgemeinen Gleichung (3.34) erfolgt in zwei Stufen. Im ersten Schritt wird durch Drehen des Koordinatensystems der Term mit dem Produkt der Unbekannten "zerstört". Wenn es kein Produkt von Unbekannten gibt (a_(12)=0) , dann besteht keine Notwendigkeit, eine Drehung durchzuführen (in diesem Fall gehen wir direkt zur zweiten Stufe). In der zweiten Stufe werden mit Hilfe des Paralleltransfers ein oder beide Terme ersten Grades „zerstört“. Als Ergebnis werden die reduzierten Gleichungen (I), (II), (III) erhalten.

Erste Stufe: Transformation der Gleichung einer Geraden zweiter Ordnung beim Rotieren eines rechtwinkligen Koordinatensystems.

Wenn der Koeffizient a_(12)\ne0 ist, dann rotiere das Koordinatensystem um den Winkel \varphi . Durch Einsetzen der Ausdrücke (3.35) in Gleichung (3.34) erhalten wir:

\begin(gesammelt) a_(11)(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)^2+2a_(12)(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)(x"\ sin\varphi+y"\cos\varphi)+a_(22)(x"\sin\varphi+y"\cos\varphi)^2+\\ +2a_1(x"\cos\varphi-y"\sin \varphi)+2a_2(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)+a_0=0. \end(gesammelt)

Bringt man gleiche Terme, erhält man eine Gleichung der Form (3.34):

A"_(11)(x")^2+2a"_(12)x"y"+a"_(22)(y")^2+2a"_1x"+2a"_2y"+a"_0 =0,

\begin(aligned)a"_(11)&=a_(11)\cos^2\varphi+2a_(12)\cos\varphi\sin\varphi+a_(22)\sin^2\varphi;\\ a"_(12)&=-a_(11)\cos\varphi\sin\varphi+a_(12)(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)+a_(22)\cos\varphi \sin\varphi;\\ a"_(22)&=a_(11)\sin^2\varphi-2a_(12)\cos\varphi\sin\varphi+a_(22)\cos^2\varphi; \\ a"_1&=a_1\cos\varphi+a_2\sin\varphi;\quad a"_2=-a_1\sin\varphi+a_2\cos\varphi; \quad a"_0=a_0. \end(ausgerichtet)

Lassen Sie uns den Winkel \varphi so definieren, dass a"_(12)=0 . Lassen Sie uns den Ausdruck für a"_(12) umwandeln und in einen doppelten Winkel übergehen:

A"_(12)= -\frac(1)(2)\,a_(11)\sin2\varphi+a_(12)\cos2\varphi+\frac(1)(2)\,a_(22)\ sin2\varphi= \frac(a_(22)-a_(11))(2)\,\sin2\varphi+a_(12)\cos2\varphi.

Der Winkel \varphi muss der homogenen trigonometrischen Gleichung genügen \frac(a_(22)-a_(11))(2)\,\sin2\varphi+a_(12)\cos2\varphi=0, was der Gleichung entspricht

\operatorname(ctg)2\varphi=\frac(a_(11)-a_(22))(2a_(12)),

weil a_(12)\ne 0 . Diese Gleichung hat unendlich viele Wurzeln

\varphi=\frac(1)(2)\operatorname(arcctg)\frac(a_(11)-a_(22))(2a_(12))+\frac(\pi)(2)\,n, \ Quader n\in\mathbb(Z).

Wählen wir einen davon aus, zum Beispiel den Winkel \varphi aus dem Intervall 0<\varphi<\frac{\pi}{2} . Dann verschwindet der Term 2a"_(12)x"y" in Gleichung (3.39), da a"_(12)=0 .

Bezeichnen wir die verbleibenden führenden Koeffizienten durch \lambda_1= a" und \lambda_2=a"_(22) , erhalten wir die Gleichung

\lambda_1\cdot(x")^2+\lambda_2\cdot(y")^2+2\cdot a"_1\cdot x"+2\cdot a"_2\cdot y"+a"_0=0.

Nach Satz 3.1 ist Gleichung (3.41) eine Gleichung zweiten Grades (Transformation (3.35) erhält die Ordnung der Geraden), d.h. mindestens einer der führenden Koeffizienten \lambda_1 oder \lambda_2 ist ungleich Null. Weiterhin nehmen wir an, dass der Koeffizient bei (y")^2 ungleich Null ist (\lambda_2\ne0) . Ansonsten (für \lambda_2=0 und \lambda_1\ne0 ) müsste das Koordinatensystem gedreht werden um einen Winkel \varphi+\frac(\pi)(2), die auch Bedingung (3.40) erfüllt. Dann erhalten wir statt der Koordinaten x",y" in (3.41) jeweils y",-x", also Nicht-Null-Koeffizient \lambda_1 wird bei (y")^2 sein.

Zweite Phase: Transformation der Geradengleichung zweiter Ordnung mit Parallelverschiebung eines rechtwinkligen Koordinatensystems.

Gleichung (3.41) kann vereinfacht werden, indem man perfekte Quadrate wählt. Zwei Fälle müssen betrachtet werden: \lambda_1\ne0 oder \lambda_1=0 (nach Annahme \lambda_2\ne0 ), die zentral (einschließlich der elliptischen und hyperbolischen Fälle) bzw. parabolisch genannt werden. Die geometrische Bedeutung dieser Namen wird später offenbart.

Zentraler Fall: \lambda_1\ne0 und \lambda_2\ne0 . Wenn wir ganze Quadrate in x", y"-Variablen auswählen, erhalten wir

\begin(gathered)\lambda_1\left[(x")^2+2\,\frac(a"_1)(\lambda_1)\,x"+(\left(\frac(a"_1)(\lambda_1 )\Rechts)\^2\right]+ \lambda_2\left[(y")^2+2\,\frac{a"_2}{\lambda_2}\,y"+{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2\right]- \lambda_1{\left(\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0~\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow~ \lambda_1{\left(x"+\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2+\lambda_2{\left(y"+\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2- \lambda_1{\left(\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0. \end{gathered} !}

Nach der Änderung von Variablen

\left\(\begin(aligned) x""&=x"+\frac(a"_1)(\lambda_1),\\ y""&=y"+\frac(a"_2)(\lambda_2) , \end(aligned)\right.

wir bekommen die gleichung

\lambda_1\,(x"")^2+\lambda_2\,(y"")^2+a""_0=0,

Wo a""_0=-\lambda_1(\left(\frac(a"_1)(\lambda_1)\right)\^2-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0 !}.

Parabelfall: \lambda_1=0 und \lambda_2\ne0 . Wenn wir das volle Quadrat in der Variablen y" auswählen, erhalten wir

\begin(gathered) \lambda_2\left[(y")^2+2\cdot\frac(a"_2)(\lambda_2)\cdot y"+(\left(\frac(a"_2)(\lambda_2 )\Rechts)\^2\right]+2\cdot a"_1\cdot x"-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0 \quad \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \quad \lambda_2{\left(y"+\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+2\cdot a"_1\cdot x"-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0.\end{gathered} !}

Wenn a"_1\ne0 , dann wird die letzte Gleichung auf die Form reduziert

\lambda_2(\left(y"+ \frac(a"_2)(\lambda_2)\right)\^2+ 2\cdot a"_1\left=0. !}

Durch eine Änderung der Variablen

\left\(\begin(aligned) x""&=x"+\frac(a"_0)(2a"_1)- \frac(\lambda_2)(2a"_1)(\left(\frac(a" _2)(\lambda_2)\right)\^2,\\ y""&=y"+ \frac{a"_2}{\lambda_2}, \end{aligned}\right. !}

bekommen wo a""_1=a"_1

\lambda_2\cdot(y"")^2+2\cdot a""_1\cdot x""=0,

Wenn a "_1=0, dann reduziert sich Gleichung (3.44) auf die Form wo a""_0=-\lambda_2(\left(\frac(a"_2)(\lambda_2) \right)\^2+a"_0 !},

\lambda_2\cdot(y"")^2+a""_0,

\left\(\begin(aligned)x""&=x",\\y""&=y"+\frac(a"_2)(\lambda_2).\end(aligned)\right.

Variablenänderungen (3.42), (3.45), (3.48) entsprechen der Parallelverschiebung des Koordinatensystems Ox"y" (siehe Punkt 1"a" der Bemerkung 2.3).

Somit erhalten wir unter Verwendung der parallelen Translation des Ox"y"-Koordinatensystems neues System Koordinaten O""x""y"" , in denen die Liniengleichung zweiter Ordnung die Form (3.43) oder (3.46) oder (3.47) annimmt. Diese Gleichungen werden reduziert (von der Form (III), (II) bzw. (I)).

Der Hauptsatz 3.3 über die Reduktion der algebraischen Geradengleichung zweiter Ordnung auf die kanonische Form ist bewiesen.

Bemerkungen 3.8

1. Das Koordinatensystem, in dem die algebraische Geradengleichung zweiter Ordnung eine kanonische Form hat, heißt kanonisch. Das kanonische Koordinatensystem ist mehrdeutig definiert. Wenn wir beispielsweise die Richtung der Ordinatenachse in die entgegengesetzte Richtung ändern, erhalten wir wieder das kanonische Koordinatensystem, da die Ersetzung der Variablen y durch (-y) die Gleichungen (1)–(9) nicht ändert. Daher ist die Ausrichtung des kanonischen Koordinatensystems nicht von grundlegender Bedeutung, es kann immer richtig gemacht werden, indem die Richtung der y-Achse bei Bedarf geändert wird.

2. Es wurde bereits gezeigt, dass sich die Transformationen rechtwinkliger Koordinatensysteme in der Ebene auf eine der Transformationen (2.9) oder (2.10) zurückführen lassen:

\begin(cases) x=x_0+x"\cdot\cos\varphi-y"\cdot\sin\varphi,\\ y=y_0+x"\cdot\sin\varphi+y"\cdot\cos\varphi , \end(cases)\quad \begin(cases) x=x_0+x"\cdot\cos\varphi+y"\cdot\sin\varphi,\\ y=y_0+x"\cdot\sin\varphi- y"\cdot\cos\varphi.\end(cases)

Daher reduziert sich die Aufgabe, die Gleichung der Geraden zweiter Ordnung auf die kanonische Form zu bringen, darauf, den Ursprung O "(x_0, y_0) des kanonischen Koordinatensystems O" x "y" und den Neigungswinkel \varphi davon zu finden Abszissenachse O "x" zur Abszissenachse Ox des ursprünglichen Koordinatensystems Oxy.

3. In den Fällen (3),(5),(7),(8),(9) heißen die Geraden zerlegen, da die entsprechenden Polynome zweiten Grades in ein Produkt von Polynomen ersten Grades zerfallen.

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Die kleine Diskriminante 5 (§ 66) ist positiv für eine Ellipse (siehe Beispiel 1 von § 66), negativ für eine Hyperbel und Null für eine Parabel.

Nachweisen. Die Ellipse wird durch eine Gleichung dargestellt. Diese Gleichung hat eine kleine Diskriminante, die bei einer Koordinatentransformation ihren Wert behält, und wenn beide Teile der Gleichung mit einer Zahl multipliziert werden, wird die Diskriminante mit multipliziert (§ 66, Bemerkung). Daher ist die Diskriminante einer Ellipse in jedem Koordinatensystem positiv. Bei einer Hyperbel und bei einer Parabel ist der Beweis ähnlich.

Dementsprechend gibt es drei Arten von Linien zweiter Ordnung (und Gleichungen zweiten Grades):

1. Elliptischer Typ, gekennzeichnet durch den Zustand

Sie umfasst neben der realen Ellipse auch eine imaginäre Ellipse (§ 58, Beispiel 5) und ein Paar imaginärer Linien, die sich in einem realen Punkt schneiden (§ 58, Beispiel 4).

2. Hyperbolischer Typ, gekennzeichnet durch die Bedingung

Sie enthält außer der Hyperbel ein Paar reeller Schnittlinien (§ 58, Beispiel 1).

3. Parabolischer Typ, gekennzeichnet durch den Zustand

Es enthält zusätzlich zur Parabel ein Paar paralleler (realer oder imaginärer) gerader Linien (sie können zusammenfallen).

Beispiel 1. Gleichung

gehört zum parabolischen Typ, da

Denn die große Diskriminante

ungleich Null ist, dann stellt Gleichung (1) eine nicht abklingende Gerade dar, also eine Parabel (vgl. §§ 61-62, Beispiel 2).

Beispiel 2. Gleichung

gehört zum hyperbolischen Typ, da

weil das

dann repräsentiert Gleichung (2) ein Paar sich schneidender Linien. Ihre Gleichungen können nach der Methode von § 65 gefunden werden.

Beispiel 3. Gleichung

gehört zum elliptischen Typ, da

Weil das

dann bricht die Linie nicht und ist daher eine Ellipse.

Kommentar. Linien des gleichen Typs sind geometrisch wie folgt verwandt: ein Paar sich schneidender imaginärer Linien (d. h. ein realer Punkt) ist der Grenzfall einer Ellipse, die sich "zu einem Punkt zusammenzieht" (Abb. 88); ein Paar sich schneidender realer Linien - der Grenzfall einer Hyperbel, die sich ihren Asymptoten nähert (Abb. 89); ein Paar paralleler Geraden ist der Grenzfall einer Parabel, bei der die Achse und ein um die Achse symmetrisches Punktepaar (Abb. 90) fixiert sind und der Scheitel ins Unendliche zurückgeht.