Erweitern Sie den Vektor zu einer Basis. Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit von Vektoren

Basis(altgriechisch βασις, Basis) – eine Menge von Vektoren in einem Vektorraum, sodass jeder Vektor in diesem Raum eindeutig als lineare Kombination von Vektoren aus dieser Menge dargestellt werden kann – Basisvektoren

Eine Basis im Raum Rn ist jedes System aus N-linear unabhängige Vektoren. Jeder Vektor von R n, der nicht in der Basis enthalten ist, kann als lineare Kombination von Basisvektoren dargestellt werden, d.h. über die Basis verteilen.
Sei die Basis des Raumes R n und . Dann gibt es Zahlen λ 1, λ 2, …, λ n so dass .
Die Erweiterungskoeffizienten λ 1, λ 2, ..., λ n heißen Vektorkoordinaten in Basis B. Ist die Basis gegeben, dann sind die Vektorkoeffizienten eindeutig bestimmt.

Kommentar. In jedem N Im -dimensionalen Vektorraum kann man unendlich viele verschiedene Basen wählen. In verschiedenen Basen hat derselbe Vektor unterschiedliche Koordinaten, die jedoch in der gewählten Basis eindeutig sind. Beispiel. Erweitern Sie den Vektor in seine Basis.
Lösung. . Ersetzen wir die Koordinaten aller Vektoren und führen Aktionen für sie aus:

Durch Gleichsetzung der Koordinaten erhalten wir ein Gleichungssystem:

Lass es uns lösen: .
Somit erhalten wir die Zerlegung: .
In der Basis hat der Vektor Koordinaten.

Ende der Arbeit -

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Vektorkonzept. Lineare Operationen an Vektoren

Ein Vektor ist ein gerichtetes Segment mit einer bestimmten Länge, das heißt ein Segment mit einer bestimmten Länge, das einen seiner Grenzpunkte hat.

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Vektor. Diese Aufgabe, die hat allgemeiner Fall eine unendliche Anzahl von Lösungen, wird ganz bestimmt, wenn wir einige Elemente der Komponentenvektoren angeben.

2. Beispiele für Zersetzung.

Betrachten wir einige sehr häufige Zersetzungsfälle.

1. Zerlegen Sie einen gegebenen Vektor c in zwei Komponentenvektoren, von denen einer, zum Beispiel a, in Betrag und Richtung angegeben ist.

Das Problem besteht darin, die Differenz zwischen zwei Vektoren zu bestimmen. Wenn die Vektoren tatsächlich Komponenten des Vektors c sind, muss die Gleichheit erfüllt sein

Von hier aus wird der zweite Komponentenvektor bestimmt

2. Zerlegen Sie den gegebenen Vektor c in zwei Komponenten, von denen eine in einer gegebenen Ebene und die zweite auf einer gegebenen Geraden a liegen muss.

Um die Komponentenvektoren zu bestimmen, verschieben wir den Vektor c so, dass sein Anfang mit dem Schnittpunkt der gegebenen Geraden mit der Ebene zusammenfällt (Punkt O – siehe Abb. 18). Vom Ende des Vektors c (Punkt C) zeichnen wir eine gerade Linie nach

Schnittpunkt mit der Ebene (B ist der Schnittpunkt), und dann zeichnen wir von Punkt C aus eine gerade Linie parallel

Die Vektoren und werden die gewünschten sein, d.h. Natürlich ist die angegebene Entwicklung möglich, wenn die Gerade a und die Ebene nicht parallel sind.

3. Gegeben sind drei koplanare Vektoren a, b und c, und die Vektoren sind nicht kollinear. Es ist erforderlich, den Vektor c in Vektoren zu zerlegen

Bringen wir alle drei gegebenen Vektoren zu einem Punkt O. Dann liegen sie aufgrund ihrer Koplanarität in derselben Ebene. Mit diesem Vektor c als Diagonale konstruieren wir ein Parallelogramm, dessen Seiten parallel zu den Wirkungslinien der Vektoren sind (Abb. 19). Diese Konstruktion ist immer möglich (es sei denn, die Vektoren sind kollinear) und eindeutig. Aus Abb. 19 Das ist klar

Die Basis des Raumes Sie nennen ein solches Vektorsystem, in dem alle anderen Vektoren im Raum als lineare Kombination von in der Basis enthaltenen Vektoren dargestellt werden können.
In der Praxis lässt sich das alles ganz einfach umsetzen. Die Basis wird in der Regel in einer Ebene oder im Raum überprüft, und dazu müssen Sie die Determinante einer Matrix zweiter, dritter Ordnung finden, die aus Vektorkoordinaten besteht. Unten sind schematisch geschrieben Bedingungen, unter denen Vektoren eine Basis bilden

Zu Erweitern Sie den Vektor b in Basisvektoren
e,e...,e[n] Es ist notwendig, die Koeffizienten x, ..., x[n] zu finden, für die die Linearkombination der Vektoren e,e...,e[n] gleich ist Vektor B:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Dazu sollte die Vektorgleichung in das System umgewandelt werden lineare Gleichungen und Lösungen finden. Auch dies ist recht einfach umzusetzen.
Die gefundenen Koeffizienten x, ..., x[n] werden aufgerufen Koordinaten des Vektors b in der Basis e,e...,e[n].
Kommen wir zur praktischen Seite des Themas.

Zerlegung eines Vektors in Basisvektoren

Aufgabe 1. Prüfen Sie, ob die Vektoren a1, a2 eine Basis in der Ebene bilden

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Lösung: Wir bilden aus den Koordinaten der Vektoren eine Determinante und berechnen diese

Determinante ist nicht Null, somit Die Vektoren sind linear unabhängig, bilden also eine Basis.

2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Lösung: Wir berechnen die aus Vektoren bestehende Determinante

Die Determinante ist gleich 13 (ungleich Null) – daraus folgt, dass die Vektoren a1, a2 eine Basis in der Ebene sind.

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Schauen wir uns typische Beispiele aus dem MAUP-Programm in der Disziplin „Höhere Mathematik“ an.

Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass die Vektoren a1, a2, a3 die Basis eines dreidimensionalen Vektorraums bilden, und entwickeln Sie den Vektor b entsprechend dieser Basis (bei der Lösung eines linearen Systems). algebraische Gleichungen verwenden Sie die Cramer-Methode).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Lösung: Betrachten Sie zunächst das Vektorsystem a1, a2, a3 und überprüfen Sie die Determinante der Matrix A

auf Vektoren ungleich Null aufgebaut. Die Matrix enthält ein Nullelement, daher ist es sinnvoller, die Determinante als Diagramm in der ersten Spalte oder dritten Zeile zu berechnen.

Als Ergebnis der Berechnungen haben wir festgestellt, dass die Determinante daher von Null verschieden ist Die Vektoren a1, a2, a3 sind linear unabhängig.
Per Definition bilden Vektoren eine Basis im R3. Schreiben wir den Zeitplan von Vektor b basierend auf auf

Vektoren sind gleich, wenn ihre entsprechenden Koordinaten gleich sind.
Daher erhalten wir aus der Vektorgleichung ein System linearer Gleichungen

Lassen Sie uns SLAE lösen Cramers Methode. Dazu schreiben wir das Gleichungssystem in die Form

Die Hauptdeterminante eines SLAE ist immer gleich der aus Basisvektoren zusammengesetzten Determinante

Daher kommt es in der Praxis nicht zu einer Doppelzählung. Um Hilfsdeterminanten zu finden, fügen wir anstelle jeder Spalte der Hauptdeterminante eine Spalte mit freien Termen ein. Determinanten werden nach der Dreiecksregel berechnet



Ersetzen wir die gefundenen Determinanten in Cramers Formel



Die Entwicklung des Vektors b in Bezug auf die Basis hat also die Form b=-4a1+3a2-a3. Die Koordinaten des Vektors b in der Basis a1, a2, a3 sind (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Lösung: Wir prüfen die Vektoren auf eine Basis – wir bilden aus den Koordinaten der Vektoren eine Determinante und berechnen diese

Die Determinante ist also ungleich Null Vektoren bilden eine Basis im Raum. Es bleibt weiterhin, den Zeitplan des Vektors b anhand dieser Basis zu finden. Dazu schreiben wir die Vektorgleichung

und in ein System linearer Gleichungen umwandeln

Aufnahme Matrixgleichung

Als nächstes finden wir für Cramers Formeln Hilfsdeterminanten



Wir wenden Cramers Formeln an



Ein gegebener Vektor b hat also einen Zeitplan durch zwei Basisvektoren b=-2a1+5a3, und seine Koordinaten in der Basis sind gleich b(-2,0, 5).