Zajęcia: przybliżanie funkcji metodą najmniejszych kwadratów.
Praca kursu
przez dyscyplinę: Informatyka
Temat: przybliżenie funkcji metodą najmniejsze kwadraty
Wprowadzenie
1. Zadanie zadania
2. Realous formuły
Obliczanie za pomocą tabel wykonanych za pomocą środków Microsoft Excel.
Schemat algorytmu
Obliczanie w programie MathCAD
Wyniki uzyskane przy użyciu funkcji linene
Prezentacja wyników w grafice
Wprowadzenie
Celem pracy kursu jest pogłębienie wiedzy na temat informatyki, rozwoju i utrwalania umiejętności pracy z procesorem Microsoft Excel i produkt Software MathCAD i zastosuj je do rozwiązywania problemów za pomocą komputera z obszaru tematycznego związanego z badaniami.
Przybliżenie (z łacińskiego "przybliżenia" - "podejście") jest przybliżoną ekspresją jakichkolwiek obiektów matematycznych (na przykład liczb lub funkcji) przez inne prostsze, wygodniejsze w użyciu lub po prostu lepiej znane. W badania naukowe Przybliżenie stosuje się do opisywania, analizy, uogólnień i dalszego wykorzystania wyników empirycznych.
Jak wiadomo, może być dokładny (funkcjonalny) połączenie między wartościami, gdy jedna wartość argumentu odpowiada jednej określonej wartości i mniej dokładnej (korelacji) komunikacji, gdy jedna określona wartość argumentu odpowiada przybliżonej wartości lub jakiś zestaw wartości funkcyjnych, w jednym lub drugim lub drugim. Kiedy badania naukowe, przetwarzanie wyników obserwacji lub eksperymentu zwykle stoi z drugą opcją.
Podczas badania ilościowych zależności różnych wskaźników, których wartości są określone empirycznie, z reguły istnieją część ich zmienności. Częściowo proszony jest heterogeniczność badanych przedmiotów przez nieożywioną, a zwłaszcza dziką przyrodę, jest częściowo ze względu na dokładność obserwacji i ilościowego przetwarzania materiałów. Ostatni komponent nie zawsze jest w stanie całkowicie wykluczyć, można go zminimalizować tylko z dokładnym wyborem odpowiedniej metody badawczej i dokładności pracy. Dlatego, gdy wykonując wszelkie prace badawcze, problem pojawia się problem zidentyfikowania prawdziwego charakteru zależności wskaźników badanych, z tego lub innego stopnia zamaskowanego przez nieaktywność zmienności: wartości. W tym celu stosuje się przybliżony opis uzależnienia korelacji zmiennych przez odpowiednie równanie zależności funkcjonalnej przekazującą podstawową tendencję do zależności (lub jego "trendu").
Wybierając przybliżenie, przejdź do konkretnego zadania obiektywnego. Zwykle bardziej proste równanie jest używane do przybliżenia, tym bardziej przybliżony opis uzależnienia. Dlatego ważne jest, aby odczytać, jak znaczące i co spowodowało odchylenia określonych wartości z trendu. W opisie zależności empirycznie pewnych wartości, możliwe jest osiągnięcie znacznie większej dokładności przy użyciu bardziej złożonego, wiele równania parametryczne. Nie ma jednak żadnego punktu dążenia do przeniesienia losowych odchyleń w określonej serii danych empirycznych o maksymalnej dokładności. Jest o wiele ważniejsze, aby złapać ogólny wzór, który w tym przypadku jest najbardziej logiczny, a przy akceptowalnej dokładności jest wyrażona przez równanie dwóch parametrów funkcja zasilania. W ten sposób wybór metody przybliżenia, badacz zawsze kompromisuje: decyduje o ustaleniu szczegółów w tym przypadku i odpowiednio ", aby poświęcić" szczegóły, a odpowiednio, jak uogólnia zależność stowarzyszonych zmiennych powinna być wyrażona. Wraz z identyfikacją wzorców zamaskowanych przez przypadkowe odchylenia danych empirycznych ogólny wzorzecPrzybliżenie umożliwia również rozwiązywanie wielu innych ważnych zadań: sformalizowanie uzależnienia; Znajdź nieznane wartości zmiennej zależnej przez interpolację lub, jeśli jest dopuszczalne, ekstrapolacja.
W każdym zadaniu warunki problemu, dane początkowe, forma wyników wydawania, wskazują podstawowe zależności matematyczne, aby rozwiązać problem. Zgodnie z metodą rozwiązywania problemu rozwijany jest algorytm roztworu, który wydaje się być graficznie.
1. Oświadczenie o zadaniu
1. Korzystanie z funkcji metody najmniejszych kwadratów ustawiony na tabelę, przybliżony:
a) wielomian pierwszego stopnia;
b) wielomian drugiego stopnia;
c) uzależnienie od wykładniczego.
Dla każdej zależności oblicz współczynnik determinizmu.
Oblicz współczynnik korelacji (tylko w przypadku a).
Dla każdej zależności zbuduj linię trendu.
Korzystanie z funkcji liniowej do obliczenia charakterystyki liczbowej zależności od.
Porównaj swoje obliczenia z wynikami uzyskanymi przy użyciu funkcji linene.
Złożyć wniosek, który z wynikowych formuł najlepiej przybliżają funkcję.
Napisz program w jednym z języków programowania i porównaj wyniki konta z powyższym.
Opcja 3. Funkcja jest określona tabela. jeden.
Tabela 1.
xyxyxyxyxy0.281.052.349.113.3329.434.2386.445.55187.540.872.872.6516.863.4137.454.8390.856.32200.451.656.432.7717.973.5542.444.9299.066.66212.971.998.962.8318.993.8556.945.14120.457.13275.742.088.083.0623.754.0175.085.23139.657. 25321.43.
2. Obliczone formuły
Często, gdy analizując dane empiryczne, konieczne jest znalezienie funkcjonalnej zależności między wartościami X i Y, które są uzyskiwane w wyniku doświadczenia lub pomiarów.
XI (niezależna wartość) jest podawana przez eksperymentatora, a Yi, zwane wartościami empirycznymi lub doświadczonymi wynikającymi z doświadczenia.
Analityczny rodzaj zależności funkcjonalnej, która istnieje między wartościami X i Y, jest zwykle nieznana, więc wystąpi niemal ważny zadanie - aby znaleźć formułę empiryczną
(gdzie - parametry), których wartości, których prawdopodobnie niewiele różnią się od doświadczonych wartości.
Zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów, najlepszym współczynnikami są te, dla których suma kwadratów odchyleń znalezionej funkcji empirycznej z określonych wartości funkcji będzie minimalna.
Za pomocą warunek wstępny Funkcje ekstremum kilku zmiennych - równość zero prywatnych pochodnych, znajdują zestaw współczynników, które zapewniają minimalną funkcję zdefiniowaną o wzorze (2) i odbierać normalny system w celu określenia współczynników:
Zatem znalezienie współczynników zmniejsza się do roztworu systemu (3).
Rodzaj systemu (3) zależy od sposobu, w jaki klasę wzorów empirycznych szukamy zależności (1). Gdy zależność liniowa System (3) weźmie formularz:
W przypadku zależności kwadratowej system (3) weźmie formularz:
W niektórych przypadkach, jako formuła empiryczna, funkcja, w której współczynniki nieokreślone są włączone nieliniowo. Jednocześnie czasami zadanie jest w stanie linearyzować IE. Liniowy. Takie zależności obejmują uzależnienie od wykładniczego
gdzie A1I A2 jest niezdefiniowane współczynniki.
Linearyzacja jest osiągana przez równość logarytmowania (6), po czym otrzymujemy stosunek
Oznacz i odpowiednio, poprzez, a następnie zależność (6) może być rejestrowana w formie, która pozwala na zastosowanie formuł (4) z wymianą A1 włączonej.
Wykres zmniejszonej zależności funkcjonalnej Y (X) zgodnie z wynikami pomiarów (XI, YI), I \u003d 1,2, ... Nazywa się krzywą regresji. Aby zweryfikować zgodę konstruowanej krzywej regresji z wynikami eksperymentu, zazwyczaj wprowadza się następujące właściwości numeryczne: współczynnik korelacji (zależność liniowa), zależność korelacji i współczynnik determinizmu.
Współczynnik korelacji jest miarą komunikacji liniowej między zależnym losowe wartości: Pokazuje, jak dobra średnia może być reprezentowana przez jedną z wartości w postaci funkcji liniowej z innego.
Współczynnik korelacji jest obliczany przez wzór:
gdzie - wartość średnia arytmetyczna, odpowiednio przez x, y.
Współczynnik korelacji między wartościami losowymi w wartości bezwzględnej nie przekracza 1. bliżej 1, bliższe połączenie liniowe między X a Y.
W przypadku korelacji nieliniowych, średnie wartości warunkowe znajdują się w pobliżu krzywej linii. W tym przypadku zaleca się stosunek korelacji jako charakterystyka siły przyłączeniowej, której interpretacja nie zależy od rodzaju badanego zależności.
Stosunek korelacji jest obliczany przez wzór:
gdzie i numerator charakteryzuje rozpraszanie średnich warunkowych o bezwarunkowej średniej.
Zawsze. Równość \u003d odpowiada losowemu nielokalizowanych wartościach; \u003d Następnie i tylko wtedy, gdy istnieje dokładne połączenie funkcyjne między X a Y. W przypadku zależności liniowej Y X, zależność korelacji pokrywa się z kwadratem współczynnika korelacji. Wartość jest używana jako wskaźnik regresji odrzucania od liniowy.
Relacja korelacji jest miarą korelacji Y C x w jakiejś formie, ale nie może dać idei stopnia przybliżenia danych empirycznych do specjalnej formy. Aby dowiedzieć się, jak dokładnie wbudowana krzywa odzwierciedla dane empiryczne, wprowadza kolejną charakterystykę - współczynnik detalimy.
gdzie Sost \u003d jest rezydualną sumą kwadratów, które charakteryzuje odchylenie danych eksperymentalnych z teoretyki. Pełna jest całkowitą sumą kwadratów, gdzie średnia wartość Yi.
Ilość regresji kwadratów charakteryzujących rozprzestrzenianie się danych.
Im mniejsza suma pozostałości kwadratów w porównaniu z całkowitym kwadratem, tym większa wartość współczynnika determinizmu R2, która pokazuje, jak dobrze Równanie uzyskane przez analiza regresji, wyjaśnia związek między zmiennymi. Jeśli jest równy 1, istnieje pełna korelacja z modelem, tj. Nie ma różnicy między rzeczywistymi i szacunkowymi wartościami Y. W przeciwnym przypadku, jeśli współczynnik determinizmu wynosi 0, równanie regresji nie powiodło się, aby przewidzieć wartości Y.
Współczynnik determinizmu zawsze nie przekracza relacji korelacji. W przypadku przeprowadzenia równości można założyć, że zbudowana formuła empiryczna najbardziej odzwierciedla dane empiryczne.
3. Obliczanie za pomocą tabel wykonanych przez Microsoft Excel
Aby przeprowadzić obliczenia, dane są wskazane w celu zorganizowania jako tabeli 2 przy użyciu narzędzi procesora Microsoft Excel Table.
Tabela 2
ABCDEFGHI10,281,02,07840,00,0219520,0061470,0823,0,08,0,082,0,0,08,0,0,0,0,0,2,2,2,69,69,29,690,658 50,5280,0,10,230,0, 25,431,65,22,72,22,65 2,61,22,0,0,0,22,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,08 41,50,070,030,09,50,0,060,08,41, 998,963,960117,83047,88059915,6823935,48252,192774,36361352,088,084,326416,80648,99891218,7177434,957312,0893924,34593562,349,115,475621, 317412,812929,982249,882722,2093735,16993272,6516, 867,022544,67918,6096349,31551118,39942,8249447,48610182,7717,977,672949,776921,2539358,87339137,8822,8887048,00170992,8318, 998,008953,741722,6651964,14248152,0892,9439138, 331272103,0623,759,363672,67528,6526287,677222,38553,1675839,692803113,3329,4311,088998,001936,92604122,9637326,34633,38201511, 26211123,4137,4511,6281127,704539,65182135,2127435, 47233,62300712,35445133,5542,4412,60,73888158,823534,85013,74,09,13,65,72143,8556,9414,625219,219, 0,06663,219,065843,0,22,091,08,0,0,09,0864 4812258,56961207,5944,31855417,3174164,2386,417,8929365,641275,68697320,15591546,624,45945 118,86348174,8390,8523,3289438,8055112,6786544,23762119,4314,5092121,77948184,9299,0624,2064487,3752119,0955585,94982397,8864,59572622,61097195,14120,4526,4196619,113135,7967697, 99533182,2414,79123524,62695205,23139,6527,3529730,3695143,0557748,18113819,8324,93913925,8317215,55187,5430,80251040,847170,9539948,7945776,7015,23399229,04866226,32200,4539,94241266, 844252,4361595,3958006,4545,30056533,49957236,66212,9744,35561418,38295,40831967,4199446,4125,36115135,70527247,13275,7450,83691966,026362,46712584,3914017,775,61945840,06674257,25321, 4352,56252330,368381,07812762,81616895,752727841,95252695,93,051181,9514275.971341327,3490,97,13415,0797 М. Wyjaśnijmy, jak skompilowany jest Tabela 2. Krok 1. W komórce A1: A25 wchodzimy do znaczenia XI. Krok 2. W komórce B1: B25 Wprowadzamy wartości UI. Krok 3. W komórce C1 wprowadzamy formułę \u003d A1 ^ 2. Krok 4. W komórkach C1: C25, ta formuła jest kopiowana. Krok 5. W komórce D1 przedstawiamy formułę \u003d A1 * B1. Krok 6. W komórkach D1: D25, ta formuła jest kopiowana. Krok 7. W komórce F1 wprowadzamy formułę \u003d A1 ^ 4. Krok 8. Komórka F1: F25 Ta formuła jest kopiowana. Krok 9. W komórce G1 wprowadzamy formułę \u003d A1 ^ 2 * B1. Krok 10. Komórki G1: G25 Ta formuła jest kopiowana. Krok 11. W komórce H1 wprowadzamy formułę \u003d LN (B1). Krok 12. komórki H1: H25 Ta formuła jest kopiowana. Krok 13. W komórce I1 wprowadzamy formułę \u003d A1 * LN (B1). Krok 14. W komórkach I1: I25 Ta formuła jest kopiowana. Kolejne kroki, które robimy z Avaeping S. .
Krok 15. W komórce A26 wprowadzamy formułę \u003d suma (A1: A25). Krok 16. W komórce B26 wchodzimy do formuły \u003d suma (B1: B25). Krok 17. W komórce C26 wchodzimy do formuły \u003d sumy (C1: C25). Krok 18. W komórce D26 wchodzimy do formuły \u003d sumy (D1: D25). Krok 19. W komórce E26 przedstawiamy formułę \u003d kwoty (E1: E25). Krok 20. W komórce F26 wchodzimy do formuły \u003d sumy (F1: F25). Krok 21. W komórce G26 wchodzimy do formuły \u003d sumy (G1: G25). Krok 22. W komórce H26 wchodzimy do formuły \u003d sumy (H1: H25). Krok 23. W komórce I26 wprowadzamy formułę \u003d sumy (I1: I25). Przybliżona funkcja z funkcją liniową. Aby określić współczynniki i używać systemu (4). Stosując końcowe sumy tabeli 2, znajdujące się w komórkach A26, B26, C26 i D26, zapisz system (4) w postaci decydując, że dostajemy i. System został rozwiązany metodą Cramer. Istota jest następująca. Rozważmy system n algebraic równania liniowe. Z n nieznanym: System określony jest wyznacznikiem Matrix System: Oznacz - wyznacznik, który spowoduje wyznacznik systemu Δ, zastępując kolumnę J-TH w kolumnie Tak więc przybliżenie liniowe ma formularz System rozwiązania (11) Przeprowadzamy przy użyciu Microsoft Excel. Wyniki przedstawiono w tabeli 3. Tabela 3. Abcde282595,932089,9929593453,310511850,6530311850,6530312-0.04503a1 \u003d -88,9208133-0,0450,011736a2 \u003d 44,95997 Tabela 3 W komórkach rejestrowana jest formuła A32: B33 (\u003d Mebo (A28: B29)). W komórkach rejestrowano formułę E30 (\u003d Mumng (A32: B33), (C28: C29)). Następnie przybliża funkcję z funkcją kwadratową. Aby określić współczynniki A1, A2 i A3, używamy systemu (5). Stosując końcowe sumy tabeli 2, znajdujące się w komórkach A26, B26, C26, D26, E26, F26, G26, zainstaluj system (5) w postaci decydowanie, które otrzymujemy A1 \u003d 10,663624, a Tak więc przybliżenie kwadratowe ma wygląd System rozwiązania (16) Przeprowadzamy przy użyciu Microsoft Excel. Wyniki przedstawiono w tabeli 4. Tabela 4. ABCDEF362595,93453,31052089,993795,93453,3105417,58453,3105538453,31052417,5813982,9971327,345391327-0,314390,033846a1 \u003d 10,66362442-0,314390,184534-0.021712a2 \u003d -18 924512430,0333846- 0,021710.002728a3 \u003d 8,0272305.
W tabeli 4 w komórkach zarejestrowano formułę (\u003d Mebo (A36: C38)). W komórkach F41: F43 wzoru jest rejestrowany (\u003d Mumng (A41: C43), (D36: D38)). Teraz przybliża funkcję przez funkcję wykładniczą. Aby określić współczynniki i prologować wartości i, stosując całkowite sumy tabeli 2, znajdujące się w komórkach A26, C26, H26 i I26, otrzymujemy system Decydowanie systemu (18), dostajemy i. Po potencjalizacji dostajemy. Zatem przybliżenie wykładniczego ma formularz System rozwiązania (18) Przeprowadzamy przy użyciu Microsoft Excel. Wyniki przedstawiono w tabeli 5. Tabela 5. BCDEF462595,9390,977134795,93453,3105415,079748415,079,212802-0.0450323 \u003d 0,774368 51-0.045030,011736A1 \u003d 1,949707
W komórkach A50 - rejestrowano formułę B51 (\u003d MEBR (A46: B47)). W komórce E51 formula \u003d EXP (EXP (E49) jest rejestrowana. Obliczamy średnią arytmetyczną i formuły: Wyniki obliczeń i narzędzia Microsoft Excel są prezentowane w tabeli 6. Tabela 6. BC54XSR \u003d 3,837255ysR \u003d 83,5996 Formuła nagrana komórka B54 \u003d A26 / 25. W formule nagrane komórki B55 \u003d B26 / 25 Tabela 7. Abjklmno10,281,052,64,645412,653676814,4365987,97624,444081,8817,29,540,98,8042766517,2682774,726,73,0,910,26,73,0,910,71,73,0,10,72,7445, 0,10,10,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,10,0,10,10,0,10,12 998,96137,87433,4121485571,0770 , 7358817,368220,02062652,088,08132,7033,0877525703,2112,138714,2039422,82478262,349,11111,52582,2416085548,70151,488211,4985887,99584272,6516, 8679,233251,40944444454,174178,5730 , 40622,83382582,7717,9770,03,991,1,24,431,29,24,431,091,730,29,29,29,29,092,79,29,22,22,22,22,22,22,74,446 515110,60,04043581, 975620,34498,4230,211133329,43274748,22,22,22,2,22,22,2,2,22,2,22,22,22,2,2,22,22,22,22,22,22,22 21,10,12,90,25,41,12,21,25,41,11,10,10,24,11,10,10,1040, 0824841694,113797,89844,861044143,8556,94-0, 341240,000164710,7343741,750,023142342,3946154,0175,08-1,472,190,0298672,12,57,026,21,21,02,407,996,2126 1157090,1542928,067872219,6288148,75781,78174,8390,857,1981970,98565252 , 56831397,703245.695876 6489184,929,0616,740,52. 1,172456239,0241103,718163,9776121,868195,14120,4548,00871,6972881357,952471,908425,17881258,6007205,23139,6578,0671,9398923141,64743,1629470,45155769,9408215,55187,54178,02912, 93368410803,61725,38421200,5291951,06226,32200,45290,11626,16429613654,0227,28786126,28273577,409236,66212,97365,18687,968216736,76,038755767,788515795,87247,13275,74632,679910,8425336917, 931944,47565,14693447666,92257,2532,92257,23,6761,647256563,37121,842677,966445516,8795,9589,207919964427404,864427404,823786,2861156786,2861156786,2861156786,2861156786,2861156786,286156786 liniowy.kvad.expon. Wyjaśnijmy, jak jest skompilowany. Komórki A1: A26 i B1: B26 są już wypełnione. Krok 1. W komórce J1 przedstawiamy formułę \u003d (A1- $ B $ 54) * (B1- $ B $ 55). Krok 2. Za pomocą komórki J2: J25, formułę ta jest kopiowana. Krok 3. W komórce K1 przedstawiamy formułę \u003d (A1- $ B 54) ^ 2. Krok 4. W komórkach K2: K25 ta formuła jest kopiowana. Krok 5. W komórce L1 wprowadzamy formułę \u003d (B1- $ B $ 55) ^ 2. Krok 6. Komórka L2: L25 Ta formuła jest kopiowana. Krok 7. W komórce M1 przedstawiamy formułę \u003d ($ E $ 32 + $ E $ 33 * A1-B1) ^ 2. Krok 8. Komórka M2: M25 Ta formuła jest kopiowana. Krok 9. W komórce N1 przedstawiamy formułę \u003d ($ F $ 41 + $ F $ 42 * A1 + $ F $ 43 * A1 ^ 2-B1) ^ 2. Krok 10. Komórki N2: N25 Ta formuła jest kopiowana. Krok 11. W komórce O1 przedstawiamy formułę \u003d ($ E $ 51 * EXP ($ E $ 50 * A1) -B1) ^ 2. Krok 12. W komórkach O2: O25, ta formuła jest kopiowana. Kolejne kroki robimy sumowanie samochodu S. .
Krok 13. W komórce J26 przedstawiamy formułę \u003d Cumm (J1: J25). Krok 14. W komórce K26 przedstawiamy formułę \u003d CUMS (K1: K25). Krok 15. W komórce L26 przedstawiamy formułę \u003d Cumm (L1: L25). Krok 16. W komórce M26 przedstawiamy formułę \u003d Cumm (M1: M25). Krok 17. W komórce N26 Wprowadzamy formułę \u003d Cumm (N1: N25). Krok 18. W komórce O26 wprowadzamy formułę \u003d CUMS (O1: O25). Teraz przeprowadzamy obliczenia współczynnika korelacji według wzoru (8) (tylko w przypadku przybliżenia liniowego) i współczynnik określony według wzoru (10). Wyniki obliczeń programu Microsoft Excel przedstawiono w tabeli 8. Tabela 8. Korelacja AB57CEFTIDE0.92883358CHEFEFTOWANIE (przybliżenie liniowe) 0,8627325960 determinizm (przybliżenie kwadratowe) 0,9810356162Cheelective determinizm (aproksymacja wykładnicza) 0,42057863 W komórce E57 formuła jest rejestrowana \u003d J26 / (K26 * L26) ^ (1/2). Formula \u003d 1-M26 / L26 jest rejestrowana w komórce E59. Formula \u003d 1-N26 / L26 jest rejestrowana w komórce E61. Formula \u003d 1-O26 / L26 jest rejestrowana w komórce E63. Analiza wyników obliczeń pokazuje, że przybliżenie kwadratowe najlepiej opisuje dane eksperymentalne. Schemat algorytmu Figa. 1. Schemat algorytmu programu obliczeniowego. 5. Obliczanie w programie MathCAD Regresja liniowa · linia (x, y) - wektor dwóch elementów (b, a) współczynniki regresja liniowa B + topór; · x - Wektor prawidłowych danych argumentów; · y to wektor ważnych wartości danych o tym samym rozmiarze. Rysunek 2. Regresja wielomialna oznacza zbliżanie danych (X1, U1) wielomian k-TH stopień W K \u003d I wielomian jest linią prostą, w K \u003d 2 - Parabola, w K \u003d 3 - sześcienna parabola itp. Z reguły w praktyce<5. · regres (x, y, k) - współczynniki wektorowe do budowy regresji danych wielomianowych; · interp (S, X, Y, T) jest wynikiem regresji wielomianowej; · s \u003d regress (x, y, k); · x jest wektorowymym prawidłowym dane argumentu, których elementy są rozmieszczone w porządku rosnącym; · y - wektorowe ważne wartości danych o tym samym rozmiarze; · k jest stopniem regresji wielomianowej (całej liczby dodatnich); · t - wartość argumentu wielomianowego regresji. Rysunek 3. Oprócz rozważanych, kilka kolejnych rodzajów regresji trzech parametrów jest wbudowany w MathCAD, ich realizacja jest nieco różna od powyższych opcji regresji przez fakt, że dla nich, oprócz tablicy danych, wymagane jest ustalenie niektórych początkowych Wartości współczynników A, B, C. Użyj odpowiedniego rodzaju regresji, jeśli dobrze znajdziesz siebie, jakiego uzależnienia opisano twoją tablicę danych. Gdy rodzaj regresji dobrze odzwierciedla sekwencję danych, jego wynik jest często niezadowalający, a nawet bardzo różny w zależności od wyboru wartości początkowej. Każda z funkcji daje wektor zaktualizowanych parametrów A, B, C. Wyniki uzyskane przy użyciu funkcji linene Rozważ cel funkcji linene. Ta funkcja wykorzystuje metodę najmniejszych kwadratów do obliczenia linii bezpośredniej, która najlepiej przybliża dostępne dane. Funkcja zwraca tablicę, która opisuje wynikowy prosto. Równanie dla linii prostej ma następujący formularz: M1X1 + M2X2 + ... + B lub Y \u003d MX + B, algorytm Tabeli Microsoft Software Aby uzyskać wyniki, konieczne jest utworzenie formuły tabeli, która zajmie 5 linii i 2 kolumn. Ten interwał może znajdować się w dowolnej lokalizacji na arkuszu roboczym. Ten interwał wymaga funkcji liniowej. W rezultacie wszystkie komórki interwału A65 powinny być wypełnione: B69 (jak pokazano w tabeli 9). Tabela 9. AB6544,95997-88,920866373946615,9234670,86273234,518316814.5492369172234.274404,82. Wyjaśnijmy cel niektórych wartości znajdujących się w tabeli 9. Wartości znajdujące się w komórkach A65 i B65 charakteryzują się nachyleniem i zmianą. - współczynnik determinizmu. - Wartość obserwowana f-obserwowana. - Liczba stopni swobody. - Ilość regresji kwadratów. - Suma rezydualna - reszna suma kwadraty. Prezentacja wyników w grafice Figa. 4. Harmonogram przybliżenia liniowego Figa. 5. Harmonogram przybliżenia kwadratowego Figa. 6. Harmonogram przybliżenia wykładniczego wnioski Dokonywać wniosków na podstawie wyników uzyskanych danych. Analiza wyników obliczeń pokazuje, że aproksymacja kwadratowa najlepiej opisuje dane eksperymentalne, ponieważ Linia trendu dla niego najbardziej odzwierciedla zachowanie funkcji w tym obszarze. Porównanie wyników uzyskanych przy użyciu funkcji linene, widzimy, że całkowicie pokrywa się z obliczeniami przeprowadzonymi powyżej. Oznacza to, że obliczenia są poprawne. Wyniki uzyskane przy użyciu programu MathCAD całkowicie zbiegają się z powyższymi wartościami. Mówi to o lojalnościach obliczeń. Bibliografia
Ustawianie zadania przybliżenia na MNA. Warunki najlepszego przybliżenia.
Jeśli zestaw danych eksperymentalnych uzyskano ze znacznym błędem, interpolacja jest nie tylko wymagana, ale także niepożądana! Tutaj musi zbudować krzywą, która odtwarzaby wykres oryginalnego wzoru eksperymentalnego, tj. Byłoby tak blisko, jak to możliwe do eksperymentalnych punktów, ale jednocześnie byłoby niewrażliwe na przypadkowe odchylenia zmierzonej wartości.
Wprowadzamy funkcję ciągłą φ (x) Dla przybliżenia dyskretnej zależności f (x. JA. ) , I \u003d 0 ... n.. Zakładamy to φ (x) Zbudowany według stanu najlepsze kwadratowe przybliżenie, Jeśli
. (1)
Waga ρ dla jA.Punkty nadają znaczeniu dokładności pomiaru tej wartości: tym więcej ρ Im bliżej przybliżonej krzywej "przyciąga" do tego punktu. W przyszłości będziemy domyślnie ρ \u003d 1 dla wszystkich punktów.
Rozważmy sprawę przybliżenie liniowe.:
φ (x) = c 0 φ 0 (x) + c 1 φ 1 (x) + … + c m φ m (x), (2)
gdzie φ 0 ... φ m - arbitralny funkcje podstawowe, c 0 ... c m - nieznane czynniki, m. < n.. Jeśli liczba współczynników przybliżeń w celu wykorzystania liczby węzłów, wówczas średnie średnie przybliżenie przybliżone z interpolacji Lagancha, a nie uwzględniać błędu obliczeniowego, P. = 0.
Jeśli znany jest błąd eksperymentalny (źródłowy) ξ , a następnie wybór liczby współczynników, czyli wartości m.określony przez warunek:
Innymi słowy, jeśli liczba współczynników przybliżeń nie wystarczy, aby poprawnie odtworzyć harmonogram uzależnienia eksperymentalnego. Jeśli wiele współczynników w (2) nie będzie miało znaczenia fizycznego.
Rozwiązać problem przybliżenia liniowego generał Należy znaleźć warunki minimalnej ilości ilości odchyleń dla (2). Zadaniem minimalnego wyszukiwania można zmniejszyć do zadania wyszukiwania systemu korzeniowego równań, k. = 0…m.. (4) .
Podstawienie (2) w (1), a następnie obliczanie (4) spowoduje następujący system liniowa algebraica Równania:
Następnie konieczne jest rozwiązanie wynikającego ze stoku w stosunku do współczynników c 0 ... c m. Aby rozwiązać slavę, rozszerzona macierz współczynników jest zwana, który jest nazywany matrix Gram., których elementy są skalarnymi produktami podstawowych funkcji i kolumny wolnych współczynników:
,
gdzie 
, 
, j \u003d 0 ... m, k. = 0…m..
Po znalezieniu metody GASS, na przykład, współczynniki zostaną znalezione c 0 ... c m, Możesz skonstruować przybliżoną krzywą lub obliczyć współrzędne określonego punktu. Zatem zadanie przybliżenia jest rozwiązane.
Przybliżenie przez wielomianę kanoniczną.
Wybierz podstawowe funkcje w postaci sekwencji stopniach argumentu X:
φ 0 (x) = x 0. = 1; φ 1 (x) = x 1. = x.; φ m (x) = x m., m. < n..
Rozszerzona matryca grama dla zasilania będzie wygląda tak:
Cechą obliczeń takiej matrycy (w celu zmniejszenia liczby wykonywanych działań) jest to, że konieczne jest zliczenie tylko elementów pierwszej linii, a dwie ostatnie kolumny: pozostałe elementy są wypełnione wcześniejszą zmianą ciągu (z Wyjątek ostatnich dwóch kolumn) do jednej pozycji po lewej stronie. W niektórych językach programowania, w których nie ma szybkiej procedury ćwiczeń, przydatny jest algorytm do obliczenia matrycy grama poniżej.
Wybór podstawowych funkcji w postaci stopni x nie jest optymalny Z punktu widzenia osiągnięcia najmniejszego błędu. To konsekwencja unortolizm. Wybrane podstawowe funkcje. własność ortogonalność Jest to taki, że dla każdego rodzaju wielomianu jest segment [ x 0, x n], na którym stosowane są prace skalarne wielomianów o różnej kolejności:
, jOT. ≠ k, ρ. - Niektóre funkcje wagi.
Jeżeli podstawowe funkcje były ortogonalne, a następnie wszystkie elementy nieatyczne matrycy Gram byłyby blisko zera, co zwiększyłyby dokładność obliczeń, w przeciwnym razie z wyznacznikiem, matryca Gram bardzo szybko ma tendencję do zero, tj. System staje się słabo określony.
Przybliżenie przez ortogonalne klasyczne wielomianów.
Przedstawione poniżej wielomianów związanych z wielomiany Jacobi., mieć własność ortogonalności w powyższym sensie. Oznacza to, że osiągnięcie wysokiej dokładności obliczeń zaleca się wybór podstawowych funkcji przybliżenia w postaci tych wielomianów.
Przykład.
Dane eksperymentalne o wartościach zmiennych h.i w.dioda w tabeli.
W wyniku ich wyrównania uzyskano funkcję 
Za pomocą metoda najmniej kwadratowa, przybliżają te dane zależność liniowa y \u003d ax + b (Znajdź parametry ale i b.). Dowiedz się, która z dwóch linii jest lepsza (w sensie najmniejszej metody kwadratów) wyrównuje dane eksperymentalne. Narysuj coś.
Istota metody najmniejszych kwadratów (MNC).
Zadaniem jest znalezienie współczynników liniowej zależności, w której funkcja dwóch zmiennych ale i b.
bierze najmniejszą wartość. To znaczy z danymi ale i b. Suma kwadratów odchyleń danych eksperymentalnych z linii bezpośredniej będzie najmniejsza. Jest to cała istota metody najmniejszych kwadratów.
Tak więc przykładowy rozwiązanie sprowadza się do znalezienia funkcji ekstremum dwóch zmiennych.
Wyświetla formułę do znalezienia współczynników.
System dwóch równań z dwoma Nieznaniowymi jest skompilowany i rozwiązany. Znajdujemy prywatne pochodne 
według zmiennych ale i b., równi te pochodne do zera. 
Rozwiązać wynikowy system równań według dowolnej metody (na przykład dla metody substytucji lub metoda Cramer.) I otrzymujemy formuły do \u200b\u200bznalezienia współczynników za pomocą metody najmniejszych kwadratów (MNC). 
Z danymi alei b.funkcjonować 
bierze najmniejszą wartość. Dowód tego faktu poniżej w tekście na końcu strony.
To jest cała metoda najmniejszych kwadratów. Formuła do znalezienia parametru zA. Zawiera ilości ,, i parametr n. - liczba danych eksperymentalnych. Wartości tych kwot są zalecane do obliczania oddzielnie. Współczynnik b. Znajduje się po obliczeniu zA..
Nadszedł czas, aby pamiętać o przykładzie źródłowym.
Decyzja.
W naszym przykładzie n \u003d 5.. Wypełnij stół do wygody obliczania kwot, które są zawarte w wzorze pożądanych współczynników. 
Wartości w czwartym wierszu tabeli są uzyskiwane przez pomnożenie wartości drugiego ciągu do wartości ciągu 3RD dla każdej liczby jA..
Wartości w piątym wierszu tabeli są uzyskiwane przez konstrukcję dwóch wartości ciągu dla każdego numeru. jA..
Wartości ostatniej kolumny tabeli są sumami wartości przez linie.
Używamy formuł metodą najmniejszych kwadratów do znalezienia współczynników ale i b.. Zastępujemy odpowiednie wartości z ostatniej kolumny tabeli: 
W związku z tym, y \u003d 0,165x + 2.184 - pożądana przybliżona linia prosta.
Pozostaje dowiedzieć się, który z linii y \u003d 0,165x + 2.184 lub 
lepiej jest przybliżyć początkowe dane, czyli szacuje się metodą najmniejszych kwadratów.
Ocena błędu metody najmniejszych kwadratów.
Wymaga to obliczenia sum kwadratów odchyleń danych źródłowych z tych linii. 
i 
Mniejsza wartość odpowiada linii, która jest lepsza w sensie mniejszej metody kwadratowej przybliża dane źródłowe. 
Odkąd, prosto y \u003d 0,165x + 2.184 Lepiej przynosi dane źródłowe.
Graficzna ilustracja metody najmniejszych kwadratów (MNC).
Na wykresach wszystko jest doskonale widoczne. Czerwona linia jest znalezionym prostym y \u003d 0,165x + 2.184, niebieska linia jest 
Różowe kropki to dane źródłowe.
W praktyce, podczas modelowania różnych procesów - w szczególności, ekonomicznych, fizycznych, technicznych, społecznych - pewnych sposobów obliczania przybliżonych wartości funkcji zgodnie z ich znanymi wartościami w niektórych punktach stałych są szeroko stosowane.
Takie zadania często występują przybliżenie funkcji:
podczas konstruowania przybliżonych formuł do obliczania wartości wartości charakterystycznych wartości badanych na danych tabeli uzyskanych w wyniku eksperymentu;
z integracją numeryczną, różnicowaniem, rozwiązywanie równań różniczkowych itp.;
jeśli musisz obliczyć wartości funkcji w punktach pośrednich w rozważanych przedziale;
przy określaniu wartości charakterystycznych wartości procesu poza rozważeniem przedziału, w szczególności podczas prognozowania.
Jeśli aby symulować jakiś proces określony przez tabelę, aby skonstruować funkcję, która w przybliżeniu opisuje ten proces na podstawie metody najmniejszych kwadratów, zostanie ona nazywana przybliżonym funkcją (regresja), a zadaniem konstruowania funkcji przybliżających jest zadaniem samego przybliżenia .
W tym artykule omówiono możliwości pakietu MS Excel do rozwiązania tego rodzaju zadań, dodatkowo, metody i metody konstruowania (tworzenie) regresji są podane dla tabel określonych funkcji (co stanowi podstawę analizy regresji).
W Excelu istnieją dwie możliwości budowy regresji.
Dodawanie wybranych regresji (linie trendowe - Trendlines) na schemacie na podstawie tabeli danych dla badanego procesu (dostępne tylko w obecności zbudowanego diagramu);
Korzystając z wbudowanych funkcji statystycznych arkusza roboczego Excel, umożliwiając uzyskanie regresji (linie trendu) bezpośrednio na podstawie tabeli danych źródłowych.
Dodawanie linii trendów na wykresie
W przypadku tabeli danych opisując jakiś proces i przedstawiony przez schemat, istnieje skuteczne narzędzie do analizy regresji w programie Excel, który umożliwia:
zbuduj na podstawie sposobu najmniejszych kwadratów i dodać pięć rodzajów regresji na diagramie, które z jednym stopniem dokładności symulują proces badaniem;
dodaj do diagramu równanie konstruowanej regresji;
określ stopień zgodności wybranej regresji wyświetlanej na diagramie danych.
W oparciu o dane diagramu Excel pozwala uzyskać liniową, wielomian, logarytmiczną, moc, wykładnicze typy odcinków, które są podane przez równanie:
y \u003d y (x)
gdzie X jest zmienną niezależną, która często przyjmuje wartości sekwencji naturalnego zakresu liczb (1; 2; 3; ...) i produkuje na przykład, licząc przebieg procesu w ramach badań (cechy ).
1 . Regresja liniowa jest dobra podczas modelowania cech, których wartości zwiększają lub zmniejszają się ze stałą prędkością. Jest to najbardziej proste w budowie badanego procesu. Jest zbudowany zgodnie z równaniem:
y \u003d mx + b
gdzie m jest stycznym kątem nachylenia regresji liniowej do osi odcięcia; B jest współrzędną punktem przecięcia regresji liniowej z właścicielem ordynacji.
2 . Linia wielomiczna trendu jest przydatna do opisywania charakterystyk mających kilka wymawianych skrajności (maxima i minima). Wybór stopnia wielomianu zależy od ilości ekstremów badanej cechy. Więc wielomian drugiego stopnia może dobrze opisać proces tylko jednego maksymalnego lub minimum; wielomian trzeciego stopnia - nie więcej niż dwie skrajności; Wielomian czwarty stopień - nie więcej niż trzy ekstremalne itp.
W tym przypadku linia trendu opiera się zgodnie z równaniem:
y \u003d C0 + C1X + C2X2 + C3X3 + C4X4 + C5x5 + C6x6
jeżeli współczynniki C0, C1, C2, ... C6 są stałe, których wartości są określane podczas konstrukcji.
3 . Linia logarytmiczna trendu jest z powodzeniem stosowana podczas modelowania właściwości, których wartości, z których pierwsza zmiana szybko, a następnie stopniowo ustabilizować.
y \u003d c ln (x) + b
4 . Linia energetyczna Trend zapewnia dobre wyniki, jeśli wartości zależności zależności charakteryzują się stałą zmianą prędkości wzrostu. Przykładem takiej zależności może być wykres ruchu równowagi samochodu. Jeśli są zerowe lub ujemne wartości wśród danych, niemożliwe jest użycie trendu zasilającego.
Skonstruowany zgodnie z równaniem:
y \u003d c xb
gdzie współczynniki b, C - stałe.
5 . Linia wykładniczego Trend powinna być używana, jeśli szybkość zmiany danych wzrasta w sposób ciągły. W przypadku danych zawierających wartości zerowe lub ujemne, ten typ przybliżenia nie ma również zastosowania.
Skonstruowany zgodnie z równaniem:
y \u003d c ebx
gdzie współczynniki b, C - stałe.
Wybierając linię Trendu Excel automatycznie oblicza wartość wartości R2, która charakteryzuje dokładność przybliżenia: bliżej wartości R2 do jednego, tym bardziej wiarygodna linia trendu przybliża proces badaniem. W razie potrzeby wartość R2 może być zawsze wyświetlana na diagramie.
Określony przez wzór:
Aby dodać linię trendu do wielu danych:
aktywuj schemat zbudowany na podstawie wielu danych, tj. Kliknij w obszarze diagramu. W menu głównym pojawi się akapit;
po kliknięciu w tym momencie pojawi się menu na ekranie, w którym należy wybrać polecenie Linia Add Trend.
Te same działania są łatwe do wdrożenia, jeśli przynosisz wskaźnik myszy do wykresu odpowiadającego jedną z serii danych i kliknij prawym przyciskiem myszy; W wyświetlonym menu kontekstowym wybierz linię Dodaj trend. Pojawi się okno dialogowe linii Trend z otwartym typem typu otwartego (rys. 1).
Potem potrzebujesz:
Wybierz typ typu trendu na karcie typu (domyślny typ liniowy jest wybrany). W przypadku wielomialnego w polu stopnia określ stopień wybranego wielomianu.
1 . Pole zbudowane na poniższej liczbie wyświetla liczbę danych rozważanych diagramu. Aby dodać linię trendu do określonej liczby danych, pole jest wbudowane w polu, aby wybrać jego nazwę.
W razie potrzeby, przechodząc do karty Opcje (rys. 2), można ustawić następujące parametry linii trendu:
zmień nazwę linii trendu w nazwie krzywej przybliżonej (wygładzonej).
ustaw liczbę okresów (do przodu lub do tyłu), aby przewidzieć pole prognozowania;
aby uzyskać równanie linii trendu do wykresu do wykresu, dla tego, co należy włączyć pole wyboru Pokaż równanie na diagramie;
aby wyświetlić wartość dokładności przybliżenia R2 do wykresu, dla którego należy włączyć, aby umieścić wartość dla diagramu wartości dokładności przybliżenia (R ^ 2);
ustaw punkt przecięcia linii trendu za pomocą osi Y, dla której należy włączyć pole wyboru w przekroczeniu krzywej osi Y w punkcie;
kliknij przycisk OK, aby zamknąć okno dialogowe.
Aby rozpocząć edycję już skonstruowanej linii trendu, istnieją trzy sposoby:
skorzystaj z wybranej linii Trend z menu Format, po wybraniu linii trendu;
wybierz polecenie Format linii Trend z menu kontekstowego, który nazywa się klikając prawym przyciskiem myszy wzdłuż linii trendu;
dwukrotne kliknięcie wzdłuż linii trendu.
Linia Trend (rys. 3) pojawi się na ekranie, zawierający trzy zakładki: Widok, typ, parametry, a zawartość ostatnich dwóch całkowicie pokrywa się z tymi samymi kartami okna dialogowego linii trendu (rys. 1-2 ). Na karcie Widok można określić typ linii, jego kolor i grubość.
Aby usunąć już zbudowaną linię Trend, wybierz skreślony linię Trend i naciśnij klawisz Usuń.
Zalety narzędzia do analizy badanych regresji to:
względna łatwość konstrukcji na diagramach linii trendu bez tworzenia dla niego tabeli danych;
dość duża lista typów proponowanych linii trendów, a ta lista zawiera najczęściej używane typy regresji;
możliwość przewidywania zachowań w ramach badaniem do arbitralnego (w ramach zdrowego rozsądku) liczba kroków do przodu, jak również z powrotem;
możliwość uzyskania równania linii trendu w formie analitycznej;
możliwość, jeśli to konieczne, uzyskaj ocenę dokładności prowadzonej przybliżenia.
Następujące punkty obejmują wady:
konstrukcja linii trendów jest wykonywana tylko wtedy, gdy istnieje schemat na wielu danych;
proces tworzenia serii danych dla badanej charakterystyki opartej na liniach trendów uzyskanych dla nieco jest nieco zachmurzony: pożądane równania regresji są aktualizowane przy każdej zmianie wartości rzędu wiersza danych, ale tylko w obszarze diagramu, Podczas gdy wiele danych utworzonych na podstawie trendu starego równania linii pozostaje niezmieniona;
w raportach skonsolidowanych diagramów Podczas zmiany wykresu lub powiązanych raportów istniejące linie trendów nie są zapisywane, czyli przed utrzymaniem linii trendów lub innych formatowania diagramów podsumowania, upewnij się, że układ raportu spełnia niezbędne wymagania.
Linie trendu obejmują wiersze danych, prezentowane na schemarek wykresów, histogramie, płaskich nieformalnych wykresów z regionami, linią, punktem, bańki i giełdą.
Niemożliwe jest uzupełnienie linii trendowych danych o masie, znormalizowanych, płatkach, okrągłych i pierścieniowych diagramach.
Korzystanie z dodatkowych funkcji Excel
Excel ma również narzędzie do analizy regresji do budowy linii trendów na zewnątrz obszaru diagramu. W tym celu można użyć wielu funkcji statystycznych arkusza roboczego, ale wszyscy pozwalają nam zbudować tylko regresje liniowe lub wykładnicze.
Excel ma kilka funkcji do budowy regresji liniowej, w szczególności:
Przechylić i wyciąć.
TENDENCJA;
Jak również kilka funkcji do konstruowania linii wykładniczej trendu, w szczególności:
Lgrpribl.
Należy zauważyć, że metody konstruowania regresji przy użyciu trendów i wzrostu funkcji praktycznie zbiegają się. To samo można powiedzieć o pary linene i lgrpribl. W przypadku czterech z tych funkcji, tworząc tabelę wartości, funkcje Excel są używane jako formuły do \u200b\u200btablic, które lekko wspinają proces konstruowania regresji. Należy również zauważyć, że budowa regresji liniowej, naszym zdaniem, jest najłatwiejsza, aby była łatwiejsza do przeprowadzenia nachylenia i segmentu przy użyciu funkcji, gdzie pierwszy z nich określa współczynnik kątowy regresji liniowej, a druga jest segmentem odcięciem przez regresję na osi rzędnej.
Zalety narzędzia wbudowanych funkcji analizy regresji są:
dość prosty pojedynczy rodzaj tworzenia serii danych badanych cech dla wszystkich wbudowanych funkcji statystycznych, które określają linie trendów;
standardowa metoda konstruowania linii trendów opartych na utworzonej serii danych;
zdolność do przewidywania zachowania procesu w ramach badania do wymaganej liczby kroków do przodu lub do tyłu.
A wady obejmują fakt, że w programie Excel nie ma wbudowanych funkcji, aby stworzyć innych (z wyjątkiem liniowych i wykładniczych) typów linii trendów. Ta okoliczność często nie pozwala na wybranie dość dokładnego modelu badania procesu, a także uzyskać prognozy blisko rzeczywistości. Ponadto, używając funkcji, tendencja i wzrost nie są znane równaniu linii trendów.
Należy zauważyć, że autorzy nie ustalili celów artykułu przedstawienia przebiegu analizy regresji z jednym stopniem kompletności. Jego główne zadanie - na konkretnych przykładach pokaż funkcje pakietu Excel podczas rozwiązywania zadań przybliżeń; Zademonstruj, jakie skuteczne narzędzia do budowania regresji i prognozowania ma Excel; Ilustrować, ponieważ stosunkowo łatwe zadania można rozwiązać nawet przez użytkownika, który nie mówią o głębokiej wiedzy o analizie regresji.
Przykłady rozwiązywania konkretnych zadań
Rozważ rozwiązanie do konkretnych zadań przy użyciu wyliczonych narzędzi pakietów Excel.
Zadanie 1.
Z tabelą danych na temat zysku transportu samochodowego na lata 1995-2002. Należy wykonać następujące kroki.
Zbuduj wykres.
Dodaj linię trendu liniowego i wielomianowego (kwadratowy i sześcienny) do diagramu.
Korzystając z równań linii trendów, aby uzyskać dane tabelaryczne na zysku przedsiębiorstwa dla każdej linii trendu na 1995-2004.
Utwórz prognozę zysku Spółki na 2003 i 2004 r.
Rozwiązanie problemu
W zakresie komórek A4: C11, arkusz Excel jest wprowadzany tabelę roboczą pokazaną na FIG. cztery.
Przydzielając zakres komórek B4: C11, budujemy diagram.
Aktywujemy wykonany schemat i zgodnie z opisanym powyżej metodą po wybraniu typu linii trendu w oknie dialogowym linii trendu (patrz rys. 1) Alternatywnie dodaj liniową, kwadratową i sześcienną linię trendu do diagramu. W tym samym oknie dialogowym otwórz zakładkę Parametry (patrz rys. 2), w polu Nazwa przybliżonej (wygładzonej) krzywej, wprowadź nazwę dodanej trendu, a w polu prognozy do: Okresy ustawione na 2, Ponieważ planuje się prognozować na zyski przez dwa lata przed sobą. Aby wyświetlić równanie równania regresji i ważność równania R2 przybliżenia, włącz flagi, aby pokazać równanie na ekranie i umieścić na diagramie wartość dokładności przybliżenia (R ^ 2). W celu lepszego postrzegania wizualnego, zmieniamy typ, kolor i grubość linii trendów zbudowanych, dla których korzystamy z widoku zakładki w oknie dialogowym Formatuj linię Trend (patrz rys. 3). Uzyskany schemat z dodatkowymi liniami trendami przedstawiono na FIG. pięć.
Aby uzyskać dane o tabelach na zysku przedsiębiorstwa dla każdej linii trendu na 1995-2004. Używamy równań linii trendowych prezentowanych na FIG. 5. Aby to zrobić w zakresie D3: F3, wprowadzamy informacje tekstowe o rodzaju wybranej linii trendu: trend liniowy, trend kwadratowy, trend sześcienny. Następnie wprowadzamy formułę regresji liniowej do komórki D4 i, przy użyciu markera napełniania, skopiuj ten wzór z względnymi odniesieniach w zakresie komórek D5: D13. Należy zauważyć, że każda komórka o wzorze regresji liniowej z zakresu komórek D4: D13 jest odpowiednią komórką z zakresu A4: A13 jako argument. Podobnie, w przypadku regresji kwadratowej, zakres komórek E4: E13 jest wypełniona, a do regresji sześciennej - zakres komórek F4: F13. Zatem prognoza zysku przedsiębiorstwa w 2003 i 2004 r. Sporządzono. Z pomocą trzech trendów. Otrzymany tabelę wartości przedstawiono na FIG. 6.
Zadanie 2.
Zbuduj wykres.
Na diagramie dodaj logarytmiczne, zasilanie i wykładnicze linie trendów.
Uwolnij równanie uzyskanych linii trendów, a także ważności przybliżenia R2 dla każdego z nich.
Korzystanie z równań linii trendowych, aby uzyskać dane tabeli na zyskach spółki dla każdej linii trendów na lata 1995-2002.
Aby dokonać prognozy dla zysku Spółki na 2003 i 2004, przy użyciu tych linii trendów.
Rozwiązanie problemu
Po sposobie opisanej w rozwiązywaniu problemów 1, otrzymujemy diagram z logarytmicznym, mocą i wykładniczymi liniami trendów (rys. 7) dodano do niego (rys. 7). Następnie, przy użyciu uzyskanych linii trendów, wypełnić tabelę wartości zysków przedsiębiorstwa, w tym przewidywane wartości na 2003 i 2004 r. (Rys. 8).
Na rys. 5 i ryż. Widać, że modele z trendem logarytmicznym odpowiadają najmniejszej wartości dokładności przybliżenia
R2 \u003d 0,8659.
Największe wartości R2 odpowiadają modeli z trendem wielomianowym: kwadratowe (R2 \u003d 0,9263) i sześcienne (R2 \u003d 0,933).
Zadanie 3.
Z tabelą danych na temat zysku przedsiębiorstwa transportu silnika dla 1995-2002, podane w problemie 1, należy wykonać następujące czynności.
Uzyskaj serię danych dla linii trendu liniowego i wykładniczego za pomocą trendu i wzrostu funkcji.
Korzystając z funkcji trendu i wzrostu, prognozować zyski Spółki na rok 2003 i 2004.
W przypadku danych źródłowych i odebranych serii danych do budowy diagramu.
Rozwiązanie problemu
Używamy tabeli roboczych zadań 1 (patrz rys. 4). Zacznijmy trend:
wybierz zakres komórek D4: D11, który powinien być wypełniony wartościami funkcji, trend odpowiadający znanym danym zysku przedsiębiorstwa;
zadzwoń do funkcji poleceń z menu Wstaw. W wyświetlonym oknie dialogowym Kreator funkcji przydziel funkcję Trend z kategorii statystycznej, a następnie kliknij przycisk OK. Ta sama operacja może być wykonana, naciskając przycisk (wkład funkcji) standardowego paska narzędzi.
W wyświetlonym oknie dialogowym argumenty funkcji wchodzą w polu znane_stacje_y zakres komórek C4: C11; W dziedzinie znanych_stations_x - zakres komórek B4: B11;
aby uzyskać wynikowy formuła, aby stać się formułą tablicy, używamy kombinacji klawiszy + +.
Formuła wprowadzona przez nas w ciągu wzoru będzie: \u003d (Trend (C4: C11; B4: B11)).
W rezultacie zakres komórek D4: D11 jest wypełniony odpowiednimi wartościami funkcji trendów (rys. 9).
Aby przygotować prognozę na temat zysków Spółki na 2003 i 2004 r. Potrzeba:
wybierz zakres komórek D12: D13, gdzie zostaną wprowadzone wartości przewidywane przez funkcję Trend.
zadzwoń do funkcji Trend i w oknie dialogowym Argumenty pojawiają się wprowadzone znane_y_S_N - zakres komórek C4: C11; W dziedzinie znanych_stations_x - zakres komórek B4: B11; Oraz w dziedzinie new_stations_x - zakres komórek B12: B13.
obróć ten wzór w formule rozwiązania za pomocą kombinacji klawisza Ctrl + Shift + Enter.
Wprowadzona formuła zostanie oglądana: \u003d (Trend (C4: C11; B4: B11; B12: B13)), a zakres komórek D12: D13 zostanie wypełniona przewidywanymi wartościami funkcji Trend (patrz rys. . 9).
Podobnie, wiele danych jest wypełnionych funkcją używaną podczas analizowania zależności nieliniowych i działa w taki sam sposób, jak liniowy trend analogowy.
Rysunek 10 przedstawia tabelę w trybie wyświetlania formuł.
W przypadku danych źródłowych i uzyskanej serii danych schemat pokazany na FIG. jedenaście.
Zadanie 4.
Z tabelą danych przy przyjęciu do usługi wysyłkowej przedsiębiorstwa transportu silnika do usług przez okres od 1 do 11, należy wykonać numer bieżącego miesiąca.
Uzyskaj serię danych dla regresji liniowej: Korzystanie z funkcji TILT i CIĘCIE; Za pomocą funkcji liniowej.
Uzyskaj wiele danych do regresji wykładniczej za pomocą funkcji LGRFPLL.
Korzystając z powyższych funkcji, należy prognozować od otrzymania aplikacji do usługi wysyłkowej przez okres od 12 do 14 numeru bieżącego miesiąca.
W przypadku początkowej i odebranej serii do zbudowania wykresu.
Rozwiązanie problemu
Zauważ, że w przeciwieństwie do funkcji, trend i wzrostu, żadna z wymienionych funkcji (nachylenie, segment, liniowy, LGRFIB) nie jest regresją. Funkcje te odgrywają tylko rolę pomocniczą, definiującą niezbędne parametry regresji.
W przypadku regresji liniowej i wykładniczej, zbudowanej z pomocą nachylenia, segmentu, liniowego, LGRFPRIB, pojawienie się ich równań jest zawsze znane, w przeciwieństwie do regresji liniowych i wykładniczej odpowiadających funkcji trendów i wzrostu.
1 . Budujemy regresję liniową o równaniu:
y \u003d mx + b
korzystając z funkcji, nachylenia i segmentu, z współczynnikiem regresji kątowej M, jest określony przez funkcję nachylenia, a wolny członek B jest funkcją segmentu.
Aby to zrobić, wykonaj następujące czynności:
przedstawiamy tabelę źródłową w zakresie komórek A4: B14;
wartość parametru M zostanie określona w komórce C19. Wybierz funkcję statystyczną nachylenia z kategorii; Wprowadzamy zakres komórek B4: B14 w dziedzinie znanych_stations_y i zakresu komórek A4: A14 w dziedzinie znanych_stacji_x. Wzór zostanie wprowadzony do komórki C19: \u003d Tilt (B4: B14; A4: A14);
w podobnej metodzie parametr Wartości B jest określony w komórce D19. A jego zawartość zostanie oglądana: \u003d Cut (B4: B14; A4: A14). W ten sposób konieczne do konstruowania regresji liniowej, parametry M i B będą konserwowane odpowiednio w komórkach C19, D19;
następnie wchodzimy do formuły komórek C4 regresji liniowej w postaci: \u003d $ C * A4 + $ d. W tym wzorze komórka C19 i D19 jest rejestrowana z bezwzględnymi odniesieniach (adres komórki nie powinien zmieniać się z możliwym kopiowaniem). Bezwzględny znak referencyjny może być wypełniony z klawiatury lub przy użyciu klawisza F4, po ustawieniu kursora na adres komórki. Korzystając z markera napełniającego, skopiuj ten wzór w zakresie komórek C4: C17. Uzyskujemy żądaną serię danych (rys. 12). Ze względu na fakt, że liczba aplikacji jest liczbą całkowitą, należy ustawić numer okna formatu komórki formatu numerycznego z liczbą znaków dziesiętnych 0.
2 . Teraz budujemy regresję liniową podaną przez równanie:
y \u003d mx + b
za pomocą funkcji liniowej.
Dla tego:
wchodzimy w funkcjonowanie zakresu C20: D20 jako formuła liniowego: \u003d (B4: B14; A4: A14)). W rezultacie uzyskujemy w komórce C20 Value M Parametr M, aw komórce D20 - wartość parametru B;
wprowadzamy do formuły komórek D4: \u003d $ C * A4 + $ d;
skopiuj tę formułę za pomocą markera napełniającego w zakresie komórek D4: D17 i otrzymujemy żądaną serię danych.
3 . Budujemy regresję wykładniczą o równaniu:
korzystanie z funkcji LGRFPRIB jest wykonywane podobnie:
w zakresie komórek C21: D21, wprowadzamy funkcję LGRFPribl jako formuły tablicy: \u003d (LGRFPriblin (B4: B14; A4: A14)). W tym przypadku w komórce C21 zostanie określona parametr M Wartość M, aw komórce D21 - wartość parametru B;
wzór wprowadza się do komórki E4: \u003d $ d * $ C ^ A4;
korzystając z markera do napełniania, formuła ta jest kopiowana do zakresu komórek E4: E17, gdzie pojawi się wiele danych do regresji wykładniczej (patrz rys. 12).
Na rys. 13 przedstawia tabelę, w której widoczne są funkcje, których używamy z niezbędnymi zakresami komórek są widoczne, a także wzory.
Wartość R. 2 nazywa współczynnik determinacji.
Zadaniem konstruowania zależności regresji jest znalezienie wektora współczynników M Model (1), w którym współczynnik R ma wartość maksymalną.
Aby ocenić znaczenie R, Kryteria Fischera Fishera jest używane, obliczone przez wzór
gdzie n. - rozmiar próbki (liczba eksperymentów);
k - liczba współczynników modelowych.
Jeśli f przekroczy wartość krytyczną dla danych n. i k. i przyjęto prawdopodobieństwo zaufania, wartość R jest uważana za niezbędną. Tabele wartości krytycznych F są podane w książkach referencyjnych na statystykach matematycznych.
Zatem znaczenie R oznacza nie tylko jego wartość, ale także przez relację między ilością eksperymentów a liczbą współczynników (parametrów) modelu. Rzeczywiście, współczynnik korelacji dla N \u003d 2 dla prostego modelu liniowego wynosi 1 (po 2 punktach na płaszczyźnie można zawsze przeprowadzić jedyne proste). Jeśli jednak dane eksperymentalne są wartościami losowymi, zaufaj taką wartością r z dużą ostrożnością. Zwykle, do uzyskania znaczącej regresji R i niezawodnej, dążą do zapewnienia, że \u200b\u200bliczba eksperymentów znacznie przekracza liczbę współczynników modelowych (N\u003e K).
Aby zbudować model regresji liniowej, konieczne jest:
1) Przygotuj listę n ciągi i m kolumny zawierające dane eksperymentalne (kolumna zawierająca wartość wyjściową Y.musi być albo pierwszy lub ostatni na liście); Na przykład przyjmujemy poprzednie dane zadania, dodając kolumnę z nazwą "Numer okresu", numer liczby okresów od 1 do 12. (te będą wartościami H.)
2) Skontaktuj się z menu Data / Data Analysis / Regression
Jeśli brakuje elementu "Analiza danych" w menu "Serwis", należy skontaktować się z "Dodawaniem" tego samego menu i zaznacz pole wyboru "Analiza pakietu".
3) W oknie dialogowym "Regresja":
· Interwał wejściowy y;
· Interwał wejściowy X;
· Przedział wyjściowy jest górną lewą komórką przedziału, w którym zostaną umieszczone wyniki obliczeń (zaleca się miejsce na nowym arkuszu pracy);
4) Naciśnij "OK" i przeanalizuj wyniki.
Przybliżenie (z łacińskiego "przybliżonego" przybliżonego "-" podejście ") - przybliżona ekspresja dowolnych obiektów matematycznych (na przykład liczb lub funkcji) przez inne prostsze, wygodniejsze w użyciu lub po prostu lepiej znane. W badaniach naukowych przybliżenie jest stosowane do opisania, analizy, uogólnienia i dalszego wykorzystania wyników empirycznych.
Jak wiadomo, może być dokładny (funkcjonalny) połączenie między wartościami, gdy jedna wartość argumentu odpowiada jednej określonej wartości.
Wybierając przybliżenie, przejdź do konkretnego zadania obiektywnego. Zwykle bardziej proste równanie jest używane do przybliżenia, tym bardziej przybliżony opis uzależnienia. Dlatego ważne jest, aby odczytać, jak znaczące i co spowodowało odchylenia określonych wartości z trendu. Opisując zależność empirycznie pewnych wartości, możliwe jest osiągnięcie znacznie większej dokładności przy użyciu bardziej złożonego, równania wieloparametrowego. Nie ma jednak żadnego punktu dążenia do przeniesienia losowych odchyleń w określonej serii danych empirycznych o maksymalnej dokładności. Wybór metody przybliżenia, badacz zawsze przychodzi na kompromis: decyduje o określeniu szczegółów w tym przypadku i odpowiednio "poświęcić" szczegóły, a odpowiednio, w jaki sposób uogólnia zależność związanych z powiązanych zmiennych powinna być wyrażona. Wraz z identyfikacją wzorców przebranych przez losowe odchylenia danych empirycznych z wzorów ogólnych, przybliżenie umożliwia również rozwiązanie wielu innych ważnych zadań: sformalizowanie uzależnienia; Znajdź nieznane wartości zmiennej zależnej przez interpolację lub, jeśli jest dopuszczalne, ekstrapolacja.
Celem pracy kursu jest zbadanie teoretycznych podstaw przybliżenia funkcji tabulatoryjnej przez metodę najmniejszych kwadratów, oraz stosując wiedzę teoretyczną, znalezienie przybliżonych wielomianów. Znalezienie przybliżonych wielomianów w ramach tych prac kursowych następuje napisanie programu w języku Pascalu, wdrażając opracowany algorytm do znalezienia współczynników przybliżonego wielomianu, a także rozwiązać to samo zadanie z narzędziami MathCAD.
W tym kursie program języka Pascala jest rozwijany w wersji Pascalabc Shell 1.0 Beta. Rozwiązanie zadania MathCAD jest wykonane w MathCAD w wersji 14.0.0.163.
Sformułowanie problemu
W tym kursie musisz wykonać następujące czynności:
1. Rozwijaj algorytm do znalezienia współczynników trzech przybliżonych wielomianów (wielomianów) gatunku
Dla funkcji tabulatoryjnej Y \u003d f (x):dla stopnia wielomianów n \u003d 2, 4, 5.
2. Zbuduj schemat blokowy algorytmu.
3. Utwórz program w języku Pascala, który implementuje rozwinięty algorytm.
5. Buduj wykresy 3 otrzymanych funkcji w jednym układzie współrzędnych. Wykres powinien zawierać i początkowe punkty. (H. JA. , y I. ) .
6. Rozwiąż zadanie ze środkami MATHCAD.
Wyniki rozwiązania problemu z zastosowaniem utworzonego programu w języku Pascalowym i środowisku MathCAD muszą być reprezentowane w postaci trzech współczynników wielomianów znalezionych przy użyciu znalezionych współczynników; Tabele zawierające funkcje funkcji uzyskane przez znalezione wielomianów w punktach XI i odchyleń standardowych.
Budowa formuł empirycznych przez najmniejsze kwadraty
Bardzo często, zwłaszcza podczas analizowania danych empirycznych, konieczne jest znalezienie funkcjonalnej zależności między wartościami X i Y, które otrzymuje się w wyniku pomiarów.
Dzięki analitycznym badaniem relacji między dwoma wartościami X a Y dokonano wielu obserwacji, a wynikiem jest tabela wartości:
| x. | ¼ | ¼ | ||||
| y. | ¼ | ¼ |
Ta tabela jest zwykle uzyskiwana w wyniku wszelkich eksperymentów, w których
Przybliżenie danych eksperymentalnych jest metodą opartą na wymianie uzyskanych danych uzyskanych przez funkcję analityczną najbardziej ściśle przekazującym lub zbiegającym się w punktach węzłów z wartościami początkowymi (dane uzyskane podczas doświadczenia lub eksperymentu). Obecnie istnieją dwa sposoby określania funkcji analitycznej:
Z budową wielomianowego stopnia międzyludzkiego, który przechodzi bezpośrednio przez wszystkie punkty określona tablica danych. W tym przypadku funkcja przybliżona jest reprezentowana jako wielomian interpolacji w postaci Lagange lub wielomian interpolacji w formie Newton.
Z budową przybliżonej wielomianu N-stopni, który przechodzi w najbliższej odległości do punktów Z określonej tablicy danych. Zatem funkcja przybliżająca wygładza wszystkie przypadkowe zakłócenia (lub błędy), które mogą pojawić się podczas wykonywania eksperymentu: zmierzone wartości podczas doświadczenia zależy od przypadkowych czynników, które zmienia się we własnym zakresie losowe prawo (błędy pomiarowe lub instrumenty, niedokładność lub błąd doświadczenia). W tym przypadku funkcja przybliżona jest określana przez metodę najmniejszych kwadratów.
Metoda najmniej kwadratowa (W literaturze angielskiej zwykłych najmniejszych kwadratów, OLS) - metoda matematycznaW oparciu o definicję funkcji przybliżonej, który jest zbudowany w najbliższej odległości do punktów z określonej tablicy danych eksperymentalnych. Bliskość funkcji początkowej i przybliżonej F (X) jest określona przez środek numeryczny, a mianowicie: suma kwadratów odchyleń danych eksperymentalnych z krzywej przybliżonej F (X) powinna być najmniejsza.
Przybliżona krzywa, zbudowana zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów
Metoda najmniejszych kwadratów są używane:
Aby rozwiązać przesłonięte systemy równań, gdy liczba równań przekracza liczbę nieznanych;
Aby wyszukać rozwiązania w przypadku konwencjonalnych (nieredefiniowanych) systemów nieliniowych równań;
W przypadku przybliżenia wartości punktowych niektóre przybliżone funkcje.
Funkcja przybliżona zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów określa się z warunku minimalnej sumy kwadratów odchyleń szacowanej funkcji przybliżonej z danej tablicy danych eksperymentalnych. To kryterium metody najmniejszych kwadratów jest rejestrowane w postaci następującego wyrażenia:
Wartości szacowanej funkcji przybliżonej w punktach węzłowych,
Określona tablica danych eksperymentalnych w punktach węzłowych.
Kryterium kwadratowe ma wiele "dobrych" właściwości, takich jak różniczkowe, zapewniające jedyne rozwiązanie problemu przybliżenia z wielomianowymi funkcjami przybliżeniami.
W zależności od warunków problemu funkcja przybliżona jest stopniem wielomianowym M
Stopień funkcji przybliżonej nie zależy od liczby punktów węzłowych, ale jego wymiar powinien być zawsze mniejszy niż wymiar (liczba punktów) danej tablicy danych eksperymentalnych.
Jeśli stopień funkcji przybliżonej M \u003d 1, wówczas przybliżamy funkcję tabeli linii prostej (regresja liniowa).
Jeśli stopień funkcji przybliżonej M \u003d 2, wówczas przybliżamy funkcję tabeli z kwadratową parabola (przybliżenie kwadratowe).
Jeśli stopień funkcji przybliżonej M \u003d 3, przybliżamy funkcję tabeli paraboli sześciennej (przybliżenie sześcienne).
Ogólnie, gdy konieczne jest skonstruowanie przybliżonego stopnia wielomialnego M dla określonych wartości tabeli, stan minimum suma kwadratów odchyleń na wszystkich punktach węzłowych jest przepisany w następującym formularzu:
- nieznane współczynniki przybliżonego stopnia wielomianowego M;
Liczba określonych wartości tabeli.
Warunkiem koniecznym istnienia minimalnej funkcji jest zero równości jego prywatnych pochodnych zgodnie z nieznaną zmienną . W rezultacie otrzymujemy następujący system równań:
Przekształcimy uzyskane system liniowy Równania: wspieranie wsporników i transferowe warunki do prawej strony wyrażenia. W rezultacie wynikowy system liniowych wyrażeń algebraiczny zostanie zapisany w następujący sposób:
Ten system liniowych wyrażeń algebraicznych może być przepisany w postaci matrycy:
W rezultacie uzyskano system równań liniowych wymiar M + 1, który składa się z nieznanego M + 1. System ten można rozwiązać przy użyciu dowolnej metody rozwiązywania liniowego równania algebraiczne (Na przykład metoda Gaussa). W wyniku rozwiązania zostaną znalezione nieznane parametry funkcji przybliżonej, zapewniając minimalną sumę kwadratów odchyleń funkcji przybliżonej z danych źródłowych, tj. Najlepsze możliwe przybliżenie kwadratowe. Należy pamiętać, że podczas zmiany nawet jednej wartości danych źródłowych wszystkie współczynniki zmieniają swoje wartości, ponieważ są one w pełni określone przez dane źródłowe.
Aproksymacja danych źródłowych zależność liniowa
(regresja liniowa)
Przykładem, rozważ metodologię określania funkcji przybliżonej, która jest określona jako zależność liniowa. Zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów, stan minimalnej ilości kwadratów odchyleń jest zapisywany w następującym formularzu:
Współrzędne punktów węzłowych tabeli;
Nieznane współczynniki funkcji przybliżonej, które są określone w formie zależności liniowej.
Warunkiem istnienia minimalnej funkcji jest równe zero swoich prywatnych pochodnych zgodnie z nieznaną zmienną. W rezultacie otrzymujemy następujący system równań:
Przekształcamy wynikowy system liniowy równań.
Rozwiązujemy wynikowy system równań liniowych. Współczynniki funkcji przybliżonej w postaci analitycznej są określane w następujący sposób (metoda Cramer):
Współczynniki te zapewniają budowę liniowej funkcji przybliżonej zgodnie z kryterium minimalizacji suma kwadratów funkcji przybliżonej z określonych wartości tabeli (dane eksperymentalne).
Algorytm do wdrożenia metody najmniejszych kwadratów
1. Dane początkowe:
Ustaw tablicę danych eksperymentalnych z liczbą pomiarów n
Dostany stopień zbliżenia wielomianu (m)
2. Algorytm obliczeniowy:
2.1. Współczynniki konstruowania systemu wymiaru równań
Współczynniki systemu równań (lewa część równania)
- Numery indeksu kolumny matrycy kwadratowej systemu równań
Darmowe członkowie systemu równań liniowych ( prawa część równania)
- Numer liczby indeksu kwadratowej matrycy systemu równań
2.2. Tworzenie systemu wymiaru równań liniowych.
2.3. Rozwiązanie układu równań liniowych w celu określenia nieznanych współczynników przybliżonego stopnia wielomianowego m.
2.4. Określenie sumy kwadratów odchyleń przybliżonej wielomianu z wartości źródłowych dla wszystkich punktów węzłowych
Znaleziono wartość kambiera odchyleń jest minimalnie możliwe.
Przybliżenie z innymi funkcjami
Należy zauważyć, że po początkowym przybliżeniu danych, zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów, funkcji logarytmicznej, funkcji wykładniczej i funkcji mocy czasami używają jako funkcja przybliżona.
Logarytmiczne przybliżenie
Rozważmy przypadek, gdy funkcja przybliżona jest ustawiona przez funkcję logarytmiczną formularza:
