Vzorce koreňov štvorcovej rovnice. Poviehajú prípady platných, viacerých a zložitých koreňov. Rozklad štvorcových troch lúčov multiplikátorov. Geometrický výklad. Príklady určovania koreňov a rozkladu multiplikátorov.

Základné vzorce

Zvážte štvorcovú rovnicu:
(1) .
Korene štvorcová rovnica (1) sú určené vzorcami:
; .
Tieto vzorce môžu byť kombinované takto:
.
Keď sú známe korene štvorcovej rovnice, druhý stupeň polynóm môže byť reprezentovaný ako práca faktorov (rozkladajú sa na multiplikátoroch):
.

Ďalej veríme, že - skutočné čísla.
Zvážiť diskriminačná štvorcová rovnica:
.
Ak je diskriminant pozitívna, potom má štvorcová rovnica (1) dva rôzne platné koreň:
; .
Potom rozklad štvorcového tri zníženie faktorov má formu:
.
Ak je diskriminant nulová, potom štvorcová rovnica (1) má dva viacnásobné (rovnaké) platný koreň:
.
Faktorizácia:
.
Ak je diskriminant negatívna, potom štvorcová rovnica (1) má dva komplexne konjugované koreň:
;
.
Tu - imaginárna jednotka;
A - skutočné a imaginárne časti koreňov:
; .
Potom

.

Grafický výklad

Ak je stavba funkcia harmonogramu
,
ktorý je paraboly, potom bod priesečníka grafu s osou bude korene rovnice
.
Keď sa program prekročí os Abscissu (os) v dvoch bodoch.
Keď sa graf týka osi osi abscissu v jednom bode.
Keď sa plán nepretiahne os Abscissa.

Nižšie sú uvedené príklady takýchto grafov.

Užitočné vzorce spojené so štvorcou rovnicou

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

Výstup vzorcu pre korene štvorcovej rovnice

Vykonávame transformácie a aplikujeme vzorce (F.1) a (F.3):




,
Kde
; .

Takže sme dostali vzorec pre polynóm druhého stupňa vo forme:
.
Odtiaľ je možné vidieť, že rovnica

vykonávané na
a.
To znamená, že korene štvorcovej rovnice sú korene
.

Príklady určovania koreňov štvorcovej rovnice

Príklad 1.

(1.1) .

Rozhodnutie

.
Porovnanie s našou rovnicou (1.1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdeme diskriminant:
.
Keďže diskriminant je pozitívna, rovnica má dva platné koreň:
;
;
.

Odtiaľ dostaneme rozklad štvorcových troch stávok na multiplikátoroch:

.

Plán Funkcia Y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 Prejdite os osi abscissu v dvoch bodoch.

Vytvárame funkčný plán
.
Plán tejto funkcie je parabola. Ona umiestni os Abscissu (os) v dvoch bodoch:
a.
Tieto body sú korene počiatočnej rovnice (1.1).

Odpoveď

;
;
.

Príklad 2.

Nájdite korene štvorcovej rovnice:
(2.1) .

Rozhodnutie

Píšeme štvorcovú rovnicu vo všeobecnosti:
.
Porovnanie s počiatočnou rovnicou (2.1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdeme diskriminant:
.
Od diskriminácie je nula, rovnica má dva viacnásobné (rovnaké) koreň:
;
.

Potom rozklad troch rozhodnutí na multiplikátoroch má formulár:
.

Funkčný graf y \u003d x 2 - 4 x + 4 Žiada o osi osi v jednom bode.

Vytvárame funkčný plán
.
Plán tejto funkcie je parabola. Ide o os osi (os) v jednom bode:
.
Tento bod je koreňom počiatočnej rovnice (2.1). Keďže tento root vstupuje do expanzie multiplikátorov dvakrát:
,
Že takýto koreň sa nazýva viac. To znamená, že je to, že existuje dva rovnaké koreň:
.

Odpoveď

;
.

Príklad 3.

Nájdite korene štvorcovej rovnice:
(3.1) .

Rozhodnutie

Píšeme štvorcovú rovnicu vo všeobecnosti:
(1) .
Revízujeme počiatočnú rovnicu (3.1):
.
Porovnať C (1), nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdeme diskriminant:
.
Diskriminant je negatívny. Preto nie sú žiadne platné korene.

Môžete nájsť komplexné korene:
;
;
.

Potom


.

Funkčný graf neprekročí os Abscissu. Neexistujú žiadne platné korene.

Vytvárame funkčný plán
.
Plán tejto funkcie je parabola. Netriahne sa os Ascissa (AXIS). Preto nie sú žiadne platné korene.

Odpoveď

Neexistujú žiadne platné korene. Hnoje sú integrované:
;
;
.

Dúfam, že štúdium tohto článku sa naučíte nájsť korene kompletnej štvorcovej rovnice.

S pomocou diskriminantov sa vyriešia iba kompletné štvorcové rovnice, aby sa vyriešili neúplné Štvorcové rovnice Použite iné metódy, ktoré nájdete v článku "Rozhodnutie neúplných štvorcových rovníc".

Aké štvorcové rovnice sa nazývajú plné? na to rovnice formulára AH 2 + B x + C \u003d 0kde koeficienty A, B a nie sú rovné nule. Na vyriešenie úplnej štvorcovej rovnice je potrebné vypočítať diskriminant D.

D \u003d B 2 - 4A.

V závislosti od toho, aký význam je diskriminačný, napíšeme odpoveď.

Ak je diskriminant záporné číslo (D< 0),то корней нет.

Ak je diskriminant nulová, x \u003d (-b) / 2a. Keď je diskriminant kladný počet (D\u003e 0),

potom x 1 \u003d (-B - √d) / 2a a x 2 \u003d (-B + √d) / 2a.

Napríklad. Riešiť rovnicu x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 · 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Odpoveď: 2

Riešiť rovnicu 2. x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 · 2 · 3 \u003d - 23

Odpoveď: žiadne korene.

Riešiť rovnicu 2. x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 · 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 · 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Odpoveď: - 3.5; jeden.

Predstavme si, že riešenie kompletných štvorcových rovníc podľa schémy na obrázku1.

Podľa týchto vzorcov môžete vyriešiť celú prvú štvorcovú rovnicu. Potrebujete starostlivo monitorovať rovnica bola zaznamenaná polynómom štandardného typu.

ale x 2 + BX + C, V opačnom prípade môžete urobiť chybu. Napríklad v zázname rovnice x + 3 + 2x 2 \u003d 0 je možné chybne vyriešiť

a \u003d 1, B \u003d 3 a C \u003d 2. Potom

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 a potom rovnica má dva korene. A to je nesprávne. (Pozri roztok z príkladu 2 vyššie).

Preto, ak rovnica nie je napísaná na polynómovi štandardného druhu, na prvom mieste by mala byť úplná štvorcová rovnica zaznamenaná polynómom štandardných druhov (na prvom mieste by mali byť obnovené s najväčším ukazovateľom, to znamená ale x 2 Potom s menším – bx.A potom zadarmo Dick z.

Pri riešení danej štvorcovej rovnice a štvorcovej rovnice s rovnomerným koeficientom, s druhým termínom, môžu byť použité iné vzorce. Zoznámte sa s týmito vzorcami. Ak v kompletnej štvorcovej rovnici v druhom období bude koeficient dokonca (B \u003d 2K), potom je rovnica podľa vzorcov na obrázku 2 vyriešiť.

Úplná štvorcová rovnica sa nazýva vyššie uvedená, ak je koeficient x 2 rovná jednej a rovnici bude mať formulár x 2 + px + q \u003d 0. Takáto rovnica sa môže poskytnúť, alebo sa získa rozdelením všetkých koeficientov na rovnicu koeficientov alestáť x 2 .

Obrázok 3 ukazuje schému riešenia vyššie uvedeného štvorca
rovnice. Zvážte príklad uplatňovania vzorcov zvážených v tomto článku.

Príklad. Riešiť rovnicu

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Poďme rozhodnúť o tejto rovnici pomocou vzorcov uvedených v schéme obrázku 1.

D \u003d 6 2 - 4 · 3 · (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√d \u003d √108 \u003d √ (36 · 3) \u003d 6√3

x1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √3

x2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d -1 + √3

Odpoveď: -1 - √3; -1 + √3

Je možné vidieť, že koeficient v X v tejto rovnici je párne číslo, to znamená, že B \u003d 6 alebo B \u003d 2K, odkiaľ k \u003d 3. Potom sa snažíme vyriešiť rovnicu podľa vzorcov uvedených v diagrame D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 · 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3)) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Odpoveď: -1 - √3; -1 + √3. Všimol si, že všetky koeficienty v tejto štvorcovej rovnici sú rozdelené do 3 a vykonaním divízie, získavame zníženú štvorcovú rovnicu x 2 + 2x - 2 \u003d 0 riešením tejto rovnice pomocou vzorcov pre zadané námestie
rovnice Obrázok 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 · (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 · 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3)) / 2 \u003d - 1 - √3

x2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Odpoveď: -1 - √3; -1 + √3.

Ako vidíme, pri riešení tejto rovnice na rôzne vzorce sme dostali tú istú odpoveď. Preto je dobre si vedomý vzorcov zobrazených na schéme obrázku 1, môžete vždy vyriešiť akúkoľvek kompletnú štvorcovú rovnicu.

miesto, s plným alebo čiastočným kopírovaním materiálu odkazu na pôvodný zdroj.

V moderná spoločnosť Schopnosť vykonávať akcie s rovnicami obsahujúcimi premennú zvýšenú na námestie môže byť užitočná v mnohých oblastiach činnosti a je široko používaný v praxi vo vedeckom a technickom vývoji. Dôkaz o tom môže slúžiť dizajnu námorných a riečnych plavidiel, lietadiel a rakiet. S pomocou takýchto výpočtov trajektórie pohybu rôznych telies, vrátane priestorových objektov. Príklady s riešením štvorcových rovníc sa používajú nielen v ekonomickej prognóze, v dizajne a výstavbe budov, ale aj v najčastejších každodenných okolnostiach. Môžu byť potrebné turistické hity, v športe, v obchodných predajniach av iných veľmi bežných situáciách.

Rozbijeme výraz na komponentoch multiplikátorov

Stupeň rovnice je určený maximálnou hodnotou stupňa v premennej, ktorá obsahuje tento výraz. V prípade, že je 2, potom taká rovnica sa práve nazýva štvorcový.

Ak je jazyk vzorcov vyjadruje, potom uvedené výrazy, bez ohľadu na to, ako vyzerajú, môžu byť vždy spôsobené formou, keď ľavá časť výrazu pozostáva z troch termínov. Medzi nimi: AX 2 (to znamená, že variabilná postavená na štvorcový s jej koeficientom), BX (neznáme bez námestia s jej koeficientom) a C (slobodná zložka, to znamená obvyklé číslo). To všetko na pravej strane sa rovná 0. V prípade, že nie je nikto z jeho zložiek podmienok, s výnimkou AX2, sa nazýva neúplná štvorcová rovnica. Príklady s riešením takýchto úloh, hodnota premenných, v ktorých sa dá ľahko nájsť, by sa mala považovať za prvé.

Ak sa výraz objaví vo forme, vyzerá takým spôsobom, že dve, presnejšie, AX 2 a BX, výraz na výraz na výraz na pravej strane, je najjednoduchšie nájsť premennú pre držiaky. Teraz bude naša rovnica vyzerať takto: X (AX + B). Ďalej sa stáva zrejmé, že alebo x \u003d 0, alebo úloha je znížená na nájdenie premennej z nasledujúceho výrazu: AX + B \u003d 0. Špecifikovaný diktovaný jeden z multiplikačných vlastností. Pravidlo hovorí, že výrobok dvoch faktorov dáva v dôsledku 0, len ak jeden z nich je nula.

Príklad

x \u003d 0 alebo 8x - 3 \u003d 0

V dôsledku toho získame dva korene rovnice: 0 a 0,375.

Rovosti tohto druhu môžu opísať pohyb orgánov pod vplyvom gravitácie, ktorý sa začal pohyb z určitého bodu prijatého na začiatku súradníc. Tu matematické nahrávanie Trvá nasledujúci formulár: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Nahradenie potrebných hodnôt, vyrovnanie pravej strany 0 a nájsť možné neznáme, môžete zistiť čas prechádzajúceho z momentu tela stúpa až do jeho pádu, ako aj mnoho ďalších hodnôt. Ale neskôr o tom budeme hovoriť.

Rozklad výrazu na multiplikátoroch

Vyššie opísané pravidlo umožňuje vyriešiť špecifikované úlohy av zložitejších prípadoch. Zvážte príklady s riešením štvorcových rovníc tohto typu.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Tento štvorcový trojitý je kompletný. Ak chcete začať, premeníme výraz a rozložíme ho pre multiplikátorov. Získajú sa dva: (x-8) a (x-25) \u003d 0. V dôsledku toho máme dva korene 8 a 25.

Príklady s riešením štvorcových rovníc v triede 9 umožňujú túto metódu nájsť premennú v výrazoch nielen na druhom, ale aj tretím a štvrtým príkazom.

Napríklad: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. S rozkladom pravej časti multiplikátorov s premennou sa získajú tri, to znamená (x + 1), (X-3) a ( X + 3).

V dôsledku toho sa to zrejmé táto rovnica Má tri korene: -3; -Vyberte; 3.

Extrahovať odmocniny

Ďalším prípadom neúplnej rovnice druhej objednávky je výraz, v jazyku písmen prezentovaných takým spôsobom pravá časť Konštruované zo zložiek AX 2 a C. Tu, pre hodnotu premennej, voľný člen sa prenesie na pravej strane, a potom z oboch častí rovnosti sa extrahuje odmocnina. Treba poznamenať, že v tomto prípade korene rovnice zvyčajne dva. Výnimka môže byť rovnaká len rovnosť, všeobecne neobsahujú termín C, kde je premenná nulová, ako aj možnosti pre výrazy, keď sa pravá strana ukáže, aby bola negatívna. V druhom prípade sa riešenia vôbec neexistujú, pretože vyššie uvedená akcia nemôže byť vyrobená s koreňmi. Musia sa zvážiť príklady riešení štvorcových rovníc tohto typu.

V tomto prípade budú korene rovnice -4 a 4.

Výpočet pozemkov

Potreba takýchto výpočtov sa objavili v hlbokej staroveku, pretože vývoj matematiky v mnohých ohľadoch v tých vzdialených časoch bol spôsobený potrebou určovania najpresnejšej oblasti a obvodom pozemných pozemkov.

Príklady s riešením štvorcových rovníc, ktoré zostavili na základe úloh tohto druhu, by sa mali považovať za nás.

Povedzme, že je to pravouhlý pozemok, ktorých dĺžka je 16 metrov viac ako šírka. Mal by sa nájsť dĺžku, šírku a obvod lokality, ak je známe, že jeho plocha je rovná 612 m 2.

Začiatok záležitosti, najprv vykonať potrebnú rovnicu. Naznačte sa x šírkou lokality, potom bude jeho dĺžka (x + 16). Z napísaného vyplýva, že oblasť je určená výrazom X (X + 16), ktorá je podľa stavu nášho problému 612. To znamená, že X (X + 16) \u003d 612.

Riešenie kompletných štvorcových rovníc a tento výraz je presne taký, nemožno vykonať rovnakým spôsobom. Prečo? Hoci ľavá strana z toho stále obsahuje dva faktory, produkt nie je vôbec rovný 0, takže tu sa používajú iné metódy.

Diskriminant

V prvom rade vyrábame potrebné transformácie vzhľad Tento výraz bude vyzerať takto: X 2 + 16x - 612 \u003d 0. To znamená, že sme dostali expresiu vo forme zodpovedajúcej predtým zadanej norme, kde A \u003d 1, B \u003d 16, C \u003d -612.

To môže byť príklad riešením štvorcových rovníc prostredníctvom diskriminácie. Tu sú potrebné výpočty podľa schémy: D \u003d B2-4Ac. Táto pomocná hodnota nie je len možné nájsť požadované hodnoty v druhej rovnici objednávky, určuje počet možných možností. V prípade D\u003e 0 existujú dva; Keď d \u003d 0, je tu jeden koreň. V prípade d<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O koreňoch a ich vzorec

V našom prípade je diskriminant: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. To naznačuje, že odpoveď z našej úlohy existuje. Ak viete, K, riešenie štvorcových rovníc musí pokračovať pomocou nižšie uvedeného vzorca. To vám umožní vypočítať korene.

To znamená, že v predloženom prípade: X 1 \u003d 18, X2 \u003d -34. Druhá verzia v tomto dileme nemôže byť riešením, pretože rozmery pôdy nemožno merať v negatívnych hodnotách, znamená to x (tj šírka miesta) je 18 m. Odtiaľto vypočítavame dĺžku: 18 + 16 \u003d 34 a obvod 2 (34+ 18) \u003d 104 (m2).

Príklady a ciele

Pokračujeme v študovaní štvorcových rovníc. Príklady a podrobné riešenie viacerých z nich budú uvedené neskôr.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Prenesieme všetko do ľavej časti rovnosti, urobíme transformáciu, to znamená, že získame formu rovnice, ktorá sa nazýva štandard, a vyrovnávajte ho nule.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Po skladaní sa definujeme diskriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Takže naša rovnica bude mať dve korene. Vypočítavame ich podľa vyššie uvedeného vzorca, čo znamená, že prvý z nich je 4/3 a druhý.

2) Teraz odhaliť hádanky iného druhu.

Zistite, je tu nejaké korene X 2 - 4x + 5 \u003d 1? Na získanie komplexnej reakcie dávame polynóm na vhodnú známosť a vypočítať diskriminant. V zadanom príklade nie je potrebné riešenie štvorcovej rovnice, pretože podstata úlohy nie je vôbec. V tomto prípade D \u003d 16 - 20 \u003d 4, čo znamená, že nie sú naozaj žiadne korene.

VIETA THEOEM

Square rovnice sú vhodne riešené cez vyššie uvedené vzorce a diskriminant, keď je druhá odmocnina extrahovaná z poslednej hodnoty. Ale to nie je vždy. Existuje však mnoho spôsobov, ako získať premenné v tomto prípade. Príklad: Roztoky štvorcových rovníc na VieTA teorem. Je pomenovaná, keď žila v XVI Century vo Francúzsku a urobila brilantnú kariéru vďaka svojmu matematickému talentovi a nádvorí. Portrét možno vidieť v článku.

Vzor, ktorý slávny hranica poznamenala, bola nasledovná. Dokázal, že korene rovnice v množstve sú numericky rovné -P \u003d b / a, a ich produkt zodpovedá Q \u003d c / a.

Teraz zvážte konkrétne úlohy.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Pre jednoduchosť, premeníme výraz:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Používame VieTA teorem, dá nám nasledujúce: množstvo koreňov je -7 a ich práca -18. Odtiaľ získame, že korene rovnice sú čísla -9 a 2. Po skončení kontroly, uistite sa, že tieto hodnoty premenných sú naozaj vhodné v výraze.

Graf a parabolská rovnica

Koncepcie kvadratickej funkcie a štvorcové rovnice sú úzko spojené. Príklady toho už boli ukázané skôr. Teraz zvážte nejaké matematické hádanky trochu viac. Môže sa predstaviť každá rovnica opísaného typu. Podobná závislosť čerpaná vo forme grafu sa nazýva parabola. Jej rôzne typy sú uvedené na obrázku nižšie.

Akákoľvek parabola má vrchol, to znamená, že bod, z ktorého vychádzajú jeho vetvy. V prípade\u003e 0, odchádzajú vysoko v nekonečno a keď a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizuálne obrázky funkcií pomáhajú vyriešiť všetky rovnice vrátane štvorca. Táto metóda sa nazýva grafika. A hodnota premennej X je súradnica osi abscisy v miestach, kde graf grafu prechádza od 0x. Súradnice vrcholov možno nájsť podľa jediného vzorec X 0 \u003d -B / 2A. A, nahradenie výslednej hodnoty na počiatočnú rovnicu funkcie, môžete sa naučiť Y 0, to znamená, že druhá súradnica vrcholu Pearabol patriaceho do osi Ordinácie.

Prekročenie pobočiek parabola s osou Abscisy

Príklady s roztokmi štvorcových rovníc sú veľmi, ale existujú všeobecné vzory. Zvážiť ich. Je zrejmé, že križovatka grafu s osou 0x na\u003e 0 je možná len vtedy, ak 0 prijíma záporné hodnoty. A pre A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Podľa grafu môžu byť paraboly definované a korene. Opak je tiež pravdivý. To znamená, že ak dostanete vizuálny obraz kvadratickej funkcie, nie je ľahké, môžete rovnotovať pravú stranu výrazu na 0 a vyriešiť získanú rovnicu. A poznať priesečníky s osou 0x, je jednoduchšie vybudovať plán.

Z histórie

S pomocou rovníc obsahujúcich premennú zvýšenú na námestie, v starých dňoch nielen matematické výpočty a určili oblasť geometrických obrázkov. Podobné výpočty staroveku boli potrebné pre veľké objavy v oblasti fyziky a astronómie, ako aj na kompiláciu astrologických prognóz.

Keďže moderné vedecké údaje naznačujú, medzi prvými riešeniami štvorcových rovníc, obyvatelia Babylonu vzali. Stalo sa to štyri storočia pred nástupom našej éry. Samozrejme, ich výpočty v koreni sa odteraz líšili a ukázali sa, že sú veľmi primitívne. Napríklad mezopotamian matematici nemali žiadnu predstavu o existencii záporných čísel. Cudzinci mali aj iné jemnosti od tých, ktorí poznajú akýkoľvek študent našej doby.

Možno, že aj skorší vedci Babylonu, riešenie štvorcových rovníc, šalvia Indie Budhoyama bola zapojená. Stalo sa to asi osem storočia pred ňou Krista. Je pravda, že rovnica druhého poriadku, metódy riešenia, ktoré viedol, bol najviac simultánny. Okrem toho sa takéto otázky zaujímali o staré a čínske matematiky. V Európe začali štvorcové rovnice riešiť len na začiatku XIII storočia, ale neskôr boli použité vo svojej práci takýchto veľkých vedcov ako Newton, Descartes a mnoho ďalších.

Kvadratické rovnice. Diskriminant. Riešenie, príklady.

Pozor!
Táto téma má ďalšie
Materiály v špeciálnej časti 555.
Pre tých, ktorí sú silne "nie veľmi ..."
A pre tých, ktorí sú "veľmi ...")

Typy štvorcových rovníc

Čo je štvorcová rovnica? Ako to vyzerá? V podmienkach kvadratická rovnica Kľúčové slovo "Námestie". To znamená, že v rovnici predtým Musí byť na námestí na námestí. Okrem toho, v rovnici môže byť (a nemusí byť!) Jednoducho x (v prvom stupni) a len číslo (slobodný člen). A nemali by existovať žiadne ICS do určitej miery, viac dvoch.

Hovoriť matematickým jazykom, štvorcová rovnica je rovnica formulára:

Tu a, B as - niektoré čísla. b a C. - všetky všetky a ale- Každý, kto ale nulový. Napríklad:

Tu ale =1; b. = 3; c. = -4

Tu ale =2; b. = -0,5; c. = 2,2

Tu ale =-3; b. = 6; c. = -18

No, chápané ...

V týchto štvorcových rovníc je vľavo prítomná plný set členov. X štvorec s koeficientom ale,x v prvom stupni s koeficientom b. a voľný péro s.

Takéto štvorcové rovnice sa nazývajú plný.

Čo ak b. \u003d 0, čo robíme? Máme x je prvým stupňom zmizne. Z množenia na nulu sa to deje.) Ukazuje sa napríklad:

5x 2 -25 \u003d 0,

2x 2 -6x \u003d 0,

- 2 + 4x \u003d 0

Atď. A ak obaja koeficient, b. a c. rovná nule, je to stále jednoduchšie:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Takéto rovnice, kde sa niečo chýba nedokončené štvorcové rovnice. Čo je celkom logické.) Žiadam vás, aby ste si všimli, že X je prítomný na námestí vo všetkých rovniciach.

Mimochodom, prečo ale Nemôže byť nula? A namiesto toho nahrádzate ale Nolik.) Zmizneme na námestí! Rovnica sa stane lineárnou. A je to už vyriešené pomerne rozdielne ...

To sú všetky hlavné typy štvorcových rovníc. A neúplné.

Riešenie štvorcových rovníc.

Riešenie úplných štvorcových rovníc.

Štvorcové rovnice sa jednoducho vyriešia. Podľa vzorcov a jasne jednoduchých pravidiel. V prvej fáze musí byť daná rovnica upravená na štandardný formulár, t.j. Na mysli:

Ak sa vám darí rovnica, už v tomto formulári - prvá etapa nie je potrebná.) Hlavnou vecou je správne definovať všetky koeficienty, ale, b. a c..

Vzorec na nájdenie koreňov štvorcovej rovnice vyzerá takto:

Výraz pod znakom koreňa sa nazýva diskriminant. Ale o tom - nižšie. Ako môžete vidieť, nájsť ICA, používame len A, B as. Tí. Koeficienty štvorcovej rovnice. Len úhľadne nahradiť hodnoty a, B as V tomto vzorci a považujeme. Náhradník s vašimi znakmi! Napríklad v rovnici:

ale =1; b. = 3; c. \u003d -4. Tu a napíšte:

Príklad je prakticky vyriešený:

Toto je odpoveď.

Všetko je veľmi jednoduché. A čo si myslíte, že nie je možné urobiť chybu? No, áno, ako ...

Najčastejšie chyby - zmätok s príznakmi hodnôt a, B as. Skôr, nie so svojimi znakmi (kde je zmätený?), Ale s nahradením záporných hodnôt vo vzorci pre výpočet koreňov. Tu je podrobný záznam vzorca so špecifickými číslami. Ak existujú problémy s počítačom, urobiť!

Predpokladajme, že potrebujete vyriešiť tento:

Tu a. = -6; b. = -5; c. = -1

Predpokladajme, že viete, že ste zriedkavo odpovedali od prvého času.

No, nenechajte sa leniví. Napíšte nadbytočnú čiaru bude trvať niekoľko sekúnd 30. A počet chýb prudko znížiť. Tu píšeme podrobne, so všetkými zátvorkami a značkami:

Zdá sa neuveriteľne ťažké, tak opatrne maľovať. Ale zdá sa to len. Skúste. Alebo si vyberte. Čo je lepšie, rýchle alebo správne? Tiež ťa kopám. Po chvíli zmizne tak opatrne, aby sa všetko maľoval. Bude správne. Najmä ak aplikujete praktické techniky, ktoré sú opísané tesne nižšie. Tento zlý príklad s banda mínusov bude vyriešený ľahko a bez chýb!

Ale často sa štvorcové rovnice trochu líšia. Napríklad, takto:

Zistite?) Áno! na to nedokončené štvorcové rovnice.

Rozhodnutie neúplných štvorcových rovníc.

Môžu byť tiež vyriešené všeobecným vzorcom. Je potrebné správne si predstaviť, čo sa rovná a, B as.

Opravený? V prvom príklade a \u003d 1; b \u003d 4; ale c.? Neexistuje nikto vôbec! No, áno, správne. V matematike to znamená, že c \u003d 0. ! To je všetko. Namiesto toho nahrádzame nulový vzorec c, A všetko sa ukáže. Podobne, s druhým príkladom. Len nula tu nie z, ale b. !

Ale neúplné štvorcové rovnice možno vyriešiť oveľa jednoduchšie. Bez akýchkoľvek vzorcov. Zvážte prvú neúplnú rovnicu. Čo sa tam môže urobiť na ľavej strane? Môžete urobiť, je pre držiaky! Urobme.

A čo z toho? A skutočnosť, že práca je nula, a to len vtedy, keď niektorí z multiplikátorov sa rovná nule! Neverte? No, príďte s dvoma non-nula číslami, ktoré poskytnú nulu s množstvom!
Nefunguje? To je niečo ...
V dôsledku toho môžete s istotou napísať: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

Všetko. To bude korene našej rovnice. Sú vhodné. Pri nahrávaní niektorého z nich do pôvodnej rovnice získame vernú identitu 0 \u003d 0, ako vidíte, riešenie je oveľa jednoduchšie ako všeobecný vzorec. Mimochodom, ktorý X bude prvý, a ktorý druhý je absolútne ľahostajný. Vhodné nahrávať v niekoľkých, x 1 - čo je menej, a x 2 - Čo je viac.

Druhá rovnica môže byť tiež vyriešená. Nosíme 9 na pravej strane. Dostaneme:

Zostáva koreň, aby sa extrahoval z 9, a to je všetko. Ukázalo sa:

Tiež dva korene . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.

Takže všetky neúplné štvorcové rovnice sú vyriešené. Buď pomocou konzoly, alebo jednoduchým prenosom čísla doprava, po ktorom nasleduje extrakcia koreňa.
Je mimoriadne ťažké tieto techniky zamieňať. Jednoducho preto, že v prvom prípade budete musieť extrahovať koreň z XCA, čo je nejako nie je jasné, a v druhom prípade nie je nič pre zátvorky ...

Diskriminant. Diskriminačný vzorec.

Magické slovo diskriminant ! Zriedkavý študent strednej školy nepočul slovo! Fráza "rozhodnúť prostredníctvom diskriminantov" bude vštepiť dôveru a podporuje. Pretože nie je potrebné čakať na triky z diskriminantov! Je to jednoduché a bezproblémové v obehu.) Pripomínam vám najobecnejší vzorec na riešenie akýkoľvek Štvorcové rovnice:

Výraz pod znakom koreňa sa nazýva diskriminant. Zvyčajne diskriminant je označený listom D.. Diskriminačný vzorec:

D \u003d B 2 - 4AC

A čo je pozoruhodné vyjadrenie? Prečo si zaslúžil špeciálny názov? V čom význam diskriminácie? Po všetkom -b alebo 2A. V tomto vzore, nie sú špecificky zavolajú ... písmená a písmená.

To je to, čo. Pri riešení štvorcovej rovnice pre tento vzorec je možné celkovo tri prípady.

1. Diskriminačný pozitívny. To znamená, že je možné extrahovať koreň. Dobrý koreň je extrahovaný alebo zlý - otázka je iná. Je dôležité, aby sa v zásade extrahovala. Potom má vaša štvorcová rovnica dva korene. Dve rôzne riešenia.

2. Diskriminant je nulová. Potom dostanete jedno riešenie. Vzhľadom k tomu, nula odpočítavanie v numerátore nič nemení. Prísne povedané, toto nie je jeden koreň, ale dve identické. Ale v zjednodušenej verzii je to obvyklé hovoriť o jedno riešenie.

3. Diskriminant je negatívna. Zo záporného čísla sa odmocnina neodstráni. Dobre. To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Ak chcete byť úprimný, s jednoduchým riešením štvorcových rovníc, nie je obzvlášť potrebný pojem diskriminant. Nahradíme hodnoty koeficientov vo vzorci, áno, veríme. Všetko sa deje všetko, obe dva korene, a jeden, a nie jeden. Avšak pri riešení zložitejších úloh, bez vedomia význam a vzorca diskriminant nedostatočné. Najmä - v rovniciach s parametrami. Takéto rovnice sú najvyšší pilot na GIA a EGE!)

Tak, ako riešiť štvorcové rovnice Prostredníctvom diskriminantov, ktorý ste si spomenuli. Alebo sa dozvedeli, že to nie je zlé.) Viem, ako správne určiť a, B as. Znalosť opatrne nahradiť ich do koreňového vzorca a opatrne počítať výsledok. Pochopili ste, že kľúčové slovo je tu - starostlivo?

A teraz berú na vedomie praktické techniky, ktoré dramaticky znižujú počet chýb. Najviac z dôvodu nepozornosti. ... pre ktoré potom sa to stane zranením a zranením ...

Najprv recepcia . Nebuďte leniví pred vyriešením štvorcovej rovnice, aby ste ho priviedli do štandardného formulára. Čo to znamená?
Predpokladajme, že po všetkých transformáciach ste dostali takú rovnicu:

Nepoužívajte ponáhľať písať koreňový vzorec! Takmer pravdepodobne si zamiešte koeficienty A, B a S. Vytvorte príklad správne. Po prvé, X je na námestí, potom bez štvorca, potom bez voľného vtáka. Páči sa ti to:

A nie je opäť ponáhľať! Mínus pred IX na námestí môže byť zdravý rozrušený. Zabudnite na to jednoduché ... Zbavte sa mínus. Ako? Áno, ako sa učil v predchádzajúcej téme! Je potrebné znásobiť celú rovnicu na -1. Dostaneme:

Ale teraz môžete bezpečne zaznamenať vzorec pre korene, zvážte diskriminant a príklad. Dore sami. Musíte mať korene 2 a -1.

Recepcia. Skontrolujte korene! Na teorem. Nesúhlasím, vysvetlím všetko! Skontrolovať posledná vec rovnice. Tí. Že sme nahrali vzorec koreňov. Ak (ako v tomto príklade) koeficient a \u003d 1., Skontrolujte korene ľahko. Natoľko, aby ste ich mohli znásobiť. Mal by existovať slobodný člen, t.j. V našom prípade -2. Poznámka, nie 2 a -2! Voľný péro s vaším znakom . Ak to nefungovalo, to znamená niekde, že sa nahromadili. Pozrite sa na chybu.

Ak sa to stalo - je potrebné zložiť korene. Posledná a záverečná kontrola. Musí sa stať koeficientom b. z oproti podpísať. V našom prípade -1 + 2 \u003d +1. A koeficient b.ktorý je pred IX, rovný -1. Takže všetko je správne!
Je škoda, že je to tak jednoduché pre príklady, kde X je čistý, s koeficientom a \u003d 1. Ale aspoň skontrolujte v takýchto rovniciach! Bude menej chýb.

Tretinu . Ak sú vo vašej rovnici frakčné koeficienty, - zbaviť sa frakcií! Nakreslite rovnicu pre spoločný menovateľ, ako je opísané v lekcii "Ako riešiť rovnice? Identické konverzie". Pri práci s frakciami chyby, z nejakého dôvodu a stúpania ...

Mimochodom, som sľúbil zlý príklad s partiou mínusov na zjednodušenie. Rado sa stalo! Tu je.

Aby sa nebola zmätená v minese, rovnica na -1 je dominantná. Dostaneme:

To je všetko! Rozhodnite sa - jedno potešenie!

Takže, sumarizujte tému.

Praktické tipy:

1. Pred riešením dávame štvorcovú rovnicu na štandardný formulár, postaviť ho správny.

2. Ak negatívny koeficient stojí za negatívny koeficient pred X, odstráňte jeho násobenie celej rovnice na -1.

3. Ak frakčné koeficienty eliminujú frakciu vynásobením celej rovnice na zodpovedajúci multiplikátor.

4. Ak X je na námestí - čistý, koeficient sa rovná jednému, roztok sa dá ľahko kontrolovať podľa teoremity VieTA. Urob to!

Teraz je možné vypočítať.)

Riešiť rovnice:

8x 2 - 6x + 1 \u003d 0

x 2 + 3x + 8 \u003d 0

x 2 - 4x + 4 \u003d 0

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (X + 2)

Odpovede (v poruche):

x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5

x 1.2 \u003d2

x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0,5

x - akékoľvek číslo

x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3

Žiadne riešenia

x 1 \u003d 0,25
x 2 \u003d 0,5

Všetko konverguje? Výborný! Square rovnice nie sú tvojou bolesťou hlavy. Prvé tri sa ukázali, a zvyšok - nie? Potom problém nie je v štvorcových rovniciach. Problém je v rovnakých transformáciách rovníc. Prechádzka podľa odkazu je užitočná.

Nie je naozaj nedostane? Alebo nefunguje vôbec? Potom musíte pomôcť rozdeliť 555. Tam sú všetky tieto príklady rozobraté okolo kostí. Ukazujúci hlavný Chyby pri riešení. Je to popísané, samozrejme, použitie identických transformácií pri riešení rôznych rovníc. Pomáha veľa!

Ak sa vám táto stránka páči ...

Mimochodom, mám pre teba ďalší pár zaujímavých miest.)

Je možné pristupovať k vyriešeniu príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitou kontrolou. Učte sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Prvá úroveň

Kvadratické rovnice. Vyčerpávateľný sprievodca (2019)

Pokiaľ ide o "štvorcovú rovnicu", kľúčom je slovo "námestie". To znamená, že premenná musí byť prítomná v rovnici (rovnaká IX) na námestí a nemali by existovať žiadne ICS v treťom (a väčšom) stupni.

Riešenie mnohých rovníc sa znižuje na riešenie presne štvorcových rovníc.

Naučte sa, ako zistiť, že máme štvorcovú rovnicu, a nie iné.

Príklad 1.

Každý člen rovnice na denominátor a dominoval

Prenesieme všetko do ľavého a umiestneného členov v zostupnom poradí stupňov ICA

Teraz môžete s istotou povedať, že táto rovnica je námestí!

Príklad 2.

Domáca ľavá a pravá strana na:

Táto rovnica, aj keď to bolo pôvodne v ňom, nie je námestie!

Príklad 3.

Doming All:

Desivé? Štvrtý a druhý stupeň ... Avšak, ak nahradíme, potom uvidíme, že máme jednoduchú štvorcovú rovnicu:

Príklad 4.

Zdá sa, že je to, ale pozrime sa pozorne. Preneste všetko vľavo:

Pozri, znížená - a teraz je to jednoduchá lineárna rovnica!

Teraz sa pokúste určiť, ktorá z nasledujúcich rovníc sú štvorcové a ktoré nie:

PRÍKLADY:

Odpovede:

1. námestie;
2. námestie;
3. nie štvorcové;
4. nie štvorcové;
5. nie štvorcové;
6. námestie;
7. nie štvorcové;
8. námestie.

Matematika konvenčne rozdeľujú všetky štvorcové rovnice na typ:

• Celé štvorcové rovnice - rovnice, v ktorých sa koeficienty a, ako aj voľný člen nie sú rovné nule (ako v príklade). Okrem toho, medzi kompletnými štvorcovými rovnicami prezentovaný - Toto sú rovnice, v ktorých je koeficient (rovnica z príkladu nie je úplne úplná, ale aj!)

• Nedokončené štvorcové rovnice - rovnice, v ktorých je koeficient a voľný člen nulový:

  Neúplne, pretože chýbajú nejaký druh položky. Ale rovnica by mala byť vždy prítomná na námestí !!! V opačnom prípade to nebude štvorcové, ale nejaká iná rovnica.

Prečo ste prišli s takýmto rozdelením? Zdá sa, že tam je x na námestí a v poriadku. Takéto rozdelenie je spôsobené metódami riešení. Podrobnejšie zvážte každý z nich.

Rozhodnutie neúplných štvorcových rovníc

Ak chcete začať s, prestaneme sa pri riešení neúplných štvorcových rovníc - sú oveľa jednoduchšie!

Nedokončené štvorcové rovnice sú typy:

1. V tejto rovnici je koeficient rovnaký.
2. V tejto rovnici je slobodný člen rovnocenný.
3. V tejto rovnici sú koeficient a voľný člen rovnaký.

1. a. Ako vieme, ako extrahovať odmocninu, poďme vyjadnať z tejto rovnice

Výraz môže byť negatívny aj pozitívny. Číslo postavený do námestia nemôže byť negatívny, pretože s vynásobením dvoch negatívnych alebo dvoch kladných čísel - výsledok bude vždy kladným číslom, takže ak rovnica nemá riešenia.

A ak dostanete dva korene. Tieto vzorce sa nemusia zapamätať. Hlavná vec, ktorú by ste mali vedieť a pamätať si vždy, že to nemusí byť menej.

Pokúsme sa vyriešiť niekoľko príkladov.

Príklad 5:

Rozhodovať o rovnici

Teraz je potrebné odstrániť z ľavej a pravej strany. Koniec koncov, pamätáte si, ako extrahovať korene?

Odpoveď:

Nikdy nezabudnite na korene s negatívnym znakom !!!

Príklad 6:

Rozhodovať o rovnici

Odpoveď:

Príklad 7:

Rozhodovať o rovnici

Oh! Námestie čísla nemôže byť negatívny, čo znamená rovnicu

Žiadne korene!

Pre takéto rovnice, v ktorých nie sú žiadne korene, matematika prišla so špeciálnou ikonou - (prázdna sada). A odpoveď môže byť napísaná ako:

Odpoveď:

Táto štvorcová rovnica teda má dva korene. Neexistujú žiadne obmedzenia, pretože sme neodstránili koreň.
Príklad 8:

Rozhodovať o rovnici

Budem zhrnúť zátvorky:

Touto cestou,

Táto rovnica má dva korene.

Odpoveď:

Najjednoduchší typ neúplných štvorcových rovníc (aj keď sú všetko jednoduché, správne?). Samozrejme, táto rovnica má vždy len jeden koreň:

Tu urobíme bez príkladov.

Riešenie kompletných štvorcových rovníc

Pripomíname vám, že celá štvorcová rovnica je rovnica rovnice

Riešenie kompletných štvorcových rovníc je o niečo zložitejšie (veľmi mierne) ako vyššie.

Pamätajte každá štvorcová rovnica môže byť vyriešená pomocou diskriminantov! Dokonca neúplné.

Zvyšok spôsobov, ako to pomôže, aby bolo rýchlejšie, ale ak máte problémy s štvorcovými rovnicami, na začiatok, riešenie sa nazýva s pomocou diskriminantov.

1. Riešenie štvorcových rovníc s pomocou diskriminantov.

Riešenie štvorcových rovníc Týmto spôsobom je veľmi jednoduché, hlavná vec je pamätať na sledovanie činností a pár vzorcov.

Ak má rovnica osobitnú pozornosť, aby ste zaplatili krok. Diskriminant () nás označuje na počte koreňov rovnice.

• Ak je potom redukovaný vzorec na. Rovnica teda bude mať celý koreň.
• Ak nebudeme schopní extrahovať koreň z diskriminantov v kroku. To znamená, že rovnica nemá korene.

Poďme sa vrátiť do našich rovníc a zvážte niekoľko príkladov.

Príklad 9:

Rozhodovať o rovnici

Krok 1 Preskočíme.

Krok 2.

Nájdeme diskriminant:

Takže rovnica má dva korene.

Krok 3.

Odpoveď:

Príklad 10:

Rozhodovať o rovnici

Rovnica je prezentovaná v štandardnom formulári Krok 1 Preskočíme.

Krok 2.

Nájdeme diskriminant:

Takže rovnica má jeden koreň.

Odpoveď:

Príklad 11:

Rozhodovať o rovnici

Rovnica je prezentovaná v štandardnom formulári Krok 1 Preskočíme.

Krok 2.

Nájdeme diskriminant:

Nebude schopný extrahovať koreň z diskriminantov. Korene rovnice neexistujú.

Teraz vieme, ako správne písať takéto odpovede.

Odpoveď:Žiadne korene

2. Riešenie štvorcových rovníc s použitím VieTA teorem.

Ak si spomeniete, to je taký typ rovníc, ktoré sú nazývané (ak je koeficient A rovný):

Takéto rovnice sa veľmi ľahko vyriešia pomocou teoremity VieteA:

Súčet koreňov zadaný Square rovnica je rovnaká a produkt koreňov je rovnaký.

Príklad 12:

Rozhodovať o rovnici

Táto rovnica je vhodná na riešenie pomocou teoremity VieTA, pretože .

Množstvo koreňov rovnice je rovnaké, t.j. Dostaneme prvú rovnicu:

A práca je:

Budeme tiež rozhodnúť o systéme:

• a. Množstvo je rovnaké;
• a. Množstvo je rovnaké;
• a. Suma je rovnaká.

a sú riešením systému:

Odpoveď: ; .

Príklad 13:

Rozhodovať o rovnici

Odpoveď:

Príklad 14:

Rozhodovať o rovnici

Rovnica je uvedená, a preto:

Odpoveď:

Kvadratické rovnice. Priemerná úroveň

Čo je štvorcová rovnica?

Inými slovami, štvorcová rovnica je rovnica druhov, kde je neznáme nejaké čísla, a.

Číslo sa nazýva starší alebo prvý koeficient štvorcová rovnica - druhý koeficient, ale - slobodný člen.

Prečo? Pretože ak sa rovnica okamžite stáva lineárnou, pretože zmiznúť.

Zároveň a môže byť nula. V tejto stolici sa rovnica nazýva neúplná. Ak sú všetky komponenty na mieste, to znamená, že rovnica je kompletná.

Riešenia rôznych typov štvorcových rovníc

Metódy riešenia neúplných štvorcových rovníc:

Ak chcete začať, budeme analyzovať metódy riešení neúplných štvorcových rovníc - sú jednoduchšie.

Môžete si vybrať typ takýchto rovníc:

I. V tejto rovnici sú koeficient a voľný člen rovnaký.

II. V tejto rovnici je koeficient rovnaký.

III. V tejto rovnici je slobodný člen rovnocenný.

Teraz zvážte riešenie každého z týchto podtypov.

Samozrejme, táto rovnica má vždy len jeden koreň:

Číslo postavený do námestia nemôže byť negatívny, pretože s vynásobením dvoch negatívnych alebo dvoch kladných čísel bude výsledok vždy kladným číslom. Preto:

ak rovnica nemá riešenia;

ak sme sa naučili dve korene

Tieto vzorce sa nemusia zapamätať. Hlavná vec si uvedomiť, že nemusí byť menšia.

PRÍKLADY:

Riešenia:

Odpoveď:

Nikdy nezabudnite na korene s negatívnym znamením!

Námestie čísla nemôže byť negatívny, čo znamená rovnicu

Žiadne korene.

Ak chcete stručne zaznamenať, že úloha nemá žiadne riešenia, použite ikonu prázdneho nastavenia.

Odpoveď:

Táto rovnica má dva korene: a.

Odpoveď:

Budem zhrnúť továreň na zátvorky:

Produkt je nula, ak je aspoň jeden z multiplikátorov nula. To znamená, že rovnica má riešenie, keď:

Takže táto štvorcová rovnica má dva korene: a.

Príklad:

Rozhodovať o rovnici.

Rozhodnutie:

Rozprestrite ľavú časť výrobnej rovnice a nájdite korene:

Odpoveď:

Metódy riešenia celých štvorcových rovníc:

1. Diskriminant

Riešenie štvorcových rovníc Týmto spôsobom ľahké, hlavná vec je pamätať na sledovanie činností a pár vzorcov. Pamätajte, že každá štvorcová rovnica môže byť vyriešená pomocou diskriminantov! Dokonca neúplné.

Všimli ste si koreň z diskriminantov v koreňovom vzorci? Ale diskriminant môže byť negatívny. Čo robiť? Musíme venovať osobitnú pozornosť kroku 2. Diskriminant nás naznačuje počet koreňov rovnice.

• Ak má rovnica root:
• Ak má rovnica rovnaký koreň av skutočnosti jeden koreň:

  Takéto korene sa nazývajú dvojité.

• Ak nie je koreň diskriminantov odstrániť. To znamená, že rovnica nemá korene.

Prečo je možné rôzne korene? Zamerajme sa na geometrický význam štvorcovej rovnice. Funkčný graf je parabola:

V konkrétnom prípade, čo je štvorcová rovnica. A to znamená, že korene štvorcovej rovnice sú bodmi priesečníka s osou osi (os). Parabola nemusí prejsť osi vôbec, alebo ho prejsť v jednom (keď je vrchná časť parabola leží na osi) alebo dvoch bodoch.

Okrem toho je koeficient zodpovedný za smer vetiev paraboly. Ak sú parabolické vetvy nasmerované smerom nahor, a ak je to dole.

PRÍKLADY:

Riešenia:

Odpoveď:

Odpoveď:.

Odpoveď:

Takže nie sú žiadne riešenia.

Odpoveď:.

2. Veta VieTA

Veta VieteA je veľmi ľahko použiteľná: stačí vyzdvihnúť takýto pár čísel, ktorého produkt je rovný slobodnému členovi rovnice a množstvo je druhý koeficient prijatý s opačným znakom.

Je dôležité si uvedomiť, že veta Vieteu možno použiť len v znížené štvorcové rovnice ().

Zvážte niekoľko príkladov:

Príklad číslo 1:

Rozhodovať o rovnici.

Rozhodnutie:

Táto rovnica je vhodná na riešenie pomocou teoremity VieTA, pretože . Zostávajúce koeficienty:; .

Množstvo koreňov rovnice je:

A práca je:

Takáto pár čísla vyberieme, ktorých produkt je rovnaký a skontrolovať, či je ich suma rovnaká:

• a. Množstvo je rovnaké;
• a. Množstvo je rovnaké;
• a. Suma je rovnaká.

a sú riešením systému:

Tak, korene našej rovnice.

Odpoveď:; .

Príklad číslo 2:

Rozhodnutie:

Takéto páry čísel vyberieme v práci, a potom skontrolovať, či je ich suma rovnaká:

a: v množstve, ktorú dávajú.

a: v množstve, ktorú dávajú. Ak chcete získať dosť len na zmenu znamení údajných koreňov: a, pretože práca.

Odpoveď:

Príklad číslo 3:

Rozhodnutie:

Voľný člen rovnice je negatívny, čo znamená produkt koreňov - záporné číslo. Toto je možné len vtedy, ak je jeden z koreňov negatívny, a druhý je pozitívny. Preto je množstvo koreňov rovnaké rozdiely ich modulov.

Vyberieme také pár párov čísel, ktoré sú uvedené v práci, a rozdiel, ktorý sa rovná:

a ich rozdiel je rovný - nie je vhodný;

a: - nie je vhodný;

a: - nie je vhodný;

a: - Vhodné. Zostáva len zapamätať si, že jeden z koreňov je negatívny. Keďže ich suma by mala byť rovnaká, potom by negatívny mal byť menší koreňový modul :. Skontrolujte:

Odpoveď:

Príklad číslo 4:

Rozhodovať o rovnici.

Rozhodnutie:

Rovnica je uvedená, a preto:

Voľný člen je negatívny, a preto je produkt koreňov negatívny. A toto je možné len vtedy, keď je jeden koreň rovnice negatívny, a druhý je pozitívny.

Vyberieme také pár párov, ktorých produkt je rovnaký, a potom definujeme, ktoré korene by mali mať negatívne znamenie:

Je zrejmé, že len korene sú vhodné pre prvú podmienku a:

Odpoveď:

Príklad číslo 5:

Rozhodovať o rovnici.

Rozhodnutie:

Rovnica je uvedená, a preto:

Množstvo koreňov je negatívne, čo znamená, že aspoň jeden z koreňov je negatívny. Ale pretože ich práca je pozitívna, to znamená obaja korene s mínusovým znamením.

Takáto pár čísla vyberieme, z toho je:

Je zrejmé, že korene sú čísla a.

Odpoveď:

Súhlasím, je to veľmi pohodlné - vymýšľať korene ústne, namiesto toho, aby sme zvážili tento škaredý diskriminant. Pokúste sa čo najviac použiť teorem VieTA.

Ale VieTA teorem je potrebná na uľahčenie a urýchlenie zistenia koreňov. Aby ste ho mohli použiť, musíte prinášať krok na automatizmus. A na to, ohováranie viacerých pätiek z príkladov. Ale nie škálovanie: diskriminant nie je možné použiť! Iba VIETA THEOREM:

Riešenia úloh pre nezávislú prácu:

Úloha 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Na teorem VieTA:

Ako obvykle, začneme výber práce:

Nehodí, pretože suma;

: Suma - Čo potrebujete.

Odpoveď:; .

Úloha 2.

A opäť, naša obľúbená veta Vieteta: V sume by sa mala ukázať, a práca je rovnaká.

Ale pretože by to nemalo byť, ale zmeniť znaky koreňov: a (v množstve).

Odpoveď:; .

Úloha 3.

Hmm ... a kde je to?

Je potrebné previesť všetky termíny v jednej časti:

Množstvo koreňov je rovnaká, práca.

Takže, zastavte! Rovnica nie je daná. Ale VieTA teorem je použiteľný len vo vyššie uvedených rovniciach. Takže najprv musíte priniesť rovnicu. Ak nefunguje, túto myšlienku hádzajte a rozhodnite sa iným spôsobom (napríklad prostredníctvom diskriminácie). Dovoľte mi pripomenúť, že prinášame štvorcovú rovnicu - to znamená, že urobí seniorový koeficient na:

Vynikajúce. Potom je množstvo koreňov rovnaké a práca.

Tu je ľahšie vyzdvihnúť jednoduché: Koniec koncov, jednoduché číslo (ospravedlňujem sa za tautológiu).

Odpoveď:; .

Úloha 4.

Voľný člen je negatívny. Čo je to zvláštne? A skutočnosť, že korene budú rôzne príznaky. A teraz počas výberu nekontrolujeme množstvo koreňov, ale rozdiel medzi ich modulmi: tento rozdiel je rovnaký a práca.

Takže korene sú rovnaké a, ale jeden z nich s mínusom. Veta Vietema nám hovorí, že množstvo koreňov sa rovná druhému koeficientu s opačným znamením, to znamená. Takže mínus bude v menšom korení: a od tej doby.

Odpoveď:; .

Úloha 5.

Čo je potrebné urobiť ako prvý? Vpravo, prinesie rovnicu:

Znova: Vyberte multiplikátory čísla a ich rozdiel by mal byť rovnaký:

Korene sú rovnaké a, ale jeden z nich s mínusom. Čo? Ich suma by mala byť rovnaká, znamená to, že mínus bude väčší koreň.

Odpoveď:; .

Budem zhrnúť:

1. VieTA teorem sa používa len v daných štvorcových rovniciach.
2. Použitie VieTA teorem nájdete korene výberom, ústne.
3. Ak nie je uvedená rovnica, alebo nie je vhodný pár multiplikátorov voľného člena, čo znamená, že nie sú žiadne celé korene a je potrebné vyriešiť inú metódu (napríklad prostredníctvom diskriminácie).

3. Metóda pridelenia úplného námestia

Ak sa všetky pojmy obsahujúce neznáme, prezentovať vo forme zložiek skrátenej množenia súčtu súčtu alebo rozdielu, potom po výmene premenných môže byť reprezentovaná rovnica vo forme nekompletnej štvorcovej rovnice typu .

Napríklad:

Príklad 1:

Rozhodnite sa Rovnica :. \\ T

Rozhodnutie:

Odpoveď:

Príklad 2:

Rozhodnite sa Rovnica :. \\ T

Rozhodnutie:

Odpoveď:

Všeobecne platí, že transformácia bude vyzerať takto:

To znamená :.

Nič si pripomína? Toto je diskriminant! To je všetko, vzorec diskriminantov a dostal.

Kvadratické rovnice. Stručne o hlavnej veci

Kvadratická rovnica- Toto je rovnica druhov, kde - neznáme, - koeficienty štvorcovej rovnice, je slobodným členom.

Celá štvorcová rovnica - Rovnica, v ktorej sa koeficienty nie sú rovné nule.

Znížená štvorcová rovnica - rovnica, v ktorej je koeficient, to znamená :. \\ T

Nekompletná štvorcová rovnica - rovnica, v ktorej je koeficient a voľný člen nulový:

• ak je koeficient, rovnica je:
• ak má voľný člen, rovnica má formulár:,
• ak má rovnica formulár :.

1. Algoritmus Riešenie neúplných štvorcových rovníc

1.1. Nekompletná štvorcová rovnica druhov, kde:

1) Vyjadrite neznáme:

2) Kontrola znamenia výrazu:

• ak rovnica nemá riešenia,
• ak má rovnica dva korene.

1.2. Nekompletná štvorcová rovnica druhov, kde:

1) Sumarizmus továreň na zátvorky:

2) Produkt je nulový, ak je aspoň jeden z multiplikátorov nula. Preto má rovnica dva korene:

1.3. Nekompletná štvorcová rovnica druhov, kde:

Táto rovnica má vždy len jeden koreň :.

2. Algoritmus pre riešenie celých štvorcových rovníc druhov, kde

2.1. Riešenie s pomocou diskriminantov

1) Dávame rovnicu na štandardný formulár:

2) Vypočítajte diskriminantov podľa vzorca: ktorý označuje počet koreňov rovnice:

3) Nájdite korene rovnice:

• ak má rovnica koreň, ktorý je vo vzorci:
• ak má rovnica koreň, ktorý je podľa vzorca:
• ak rovnica nemá korene.

2.2. Riešenie pomocou VieTA teorem

Súčet koreňov zníženej štvorcovej rovnice (rovnica formulára, kde) je rovnaká a produkt koreňov je rovnaký, t.j. , ale.

2.3. Riešenie metódy prideľovania štvorec

Ak je štvorcová rovnica zakorenená, môže byť napísaná vo forme :.

No, téma je dokončená. Ak čítate tieto riadky, potom ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak čítate na koniec, potom ste sa dostali do týchto 5%!

Teraz najdôležitejšia vec.

Prišli ste o teóriu na túto tému. A opakujem, že ... je to len super! Si lepšia ako absolútna väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť ...

Prečo?

Pre úspešné absolvovanie používania, na prijatie do inštitútu o rozpočte a čo je najdôležitejšie pre život.

Nebudem ťa niečo presvedčiť, povedzme len jednu vec ...

Ľudia, ktorí dostali dobré vzdelanie, zarobili oveľa viac ako tých, ktorí ho nedostali. Ide o štatistiky.

Ale nie je to hlavná vec.

Hlavnou vecou je, že sú šťastnejšie (existuje taký výskum). Možno preto, že existuje oveľa viac príležitostí v prospech nich a život sa stáva jasnejší? Neviem...

Ale myslím, že sám ...

Čo potrebujete, aby ste boli určite lepšie ako iní na skúške a buďte nakoniec ... šťastnejší?

Vyplňte ruku riešením úloh na túto tému.

Nebudete klásť teóriu na skúške.

Budete potrebovať riešiť úlohy na chvíľu.

A ak ste ich nevyriešili (veľa!), Určite ste bláznivo mýlite alebo nemajú čas.

Je to ako v športe - musíte opakovať mnohokrát, aby ste si mohli vyhrať.

Nájdite tam, kde chcete zbierku, povinné s riešeniami, podrobná analýza A rozhodnite sa, rozhodnite sa!

Naše úlohy môžete použiť (nie nevyhnutne) a my, samozrejme, odporúčame im.

Aby ste vyplnili ruku pomocou našich úloh, musíte pomôcť rozšíriť život na učebnicu YouCEVER, ktorú teraz čítate.

Ako? Existujú dve možnosti:

1. Otvorený prístup ku všetkým skrytým úlohám v tomto článku - 299 trieť.
2. Otvorený prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - 499 trieť.

Áno, máme 99 takýchto článkov v našom učebniciach a prístup pre všetky úlohy a všetky skryté texty možno okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je zabezpečený pre celú existenciu lokality.

Na záver...

Ak sa naše úlohy nepáči, nájdite ostatných. Len sa nezastavujte na teórii.

"Rozumiem" a "môžem sa rozhodnúť" je úplne iné zručnosti. Potrebujete obaja.

Nájdite úlohu a rozhodnite sa!