Kužeľ. Frustum

Kužeľový povrch Povrch vytvorený všetkými rovnými, prechádzajúcimi cez každý bod tejto krivky a bod mimo krivky (obr.32).

Táto krivka sa nazýva príručka rovný tvarovanie , bod - náter kužeľovitý povrch.

Priamy kruhový kužeľový povrch Nazýva sa povrch vytvorený všetkými rovnými, prechádzajúcimi cez každý bod tohto kruhu a bod na priamke, čo je kolmé na rovinu obvodov a prechádza cez stred. V budúcnosti bude tento povrch stručne zavolaný kužeľový povrch (Obr.33).

Kužeľ (priamy kruhový kužeľ ) Nazýva sa geometrické teleso ohraničené kužeľovou plochou a rovinou, ktorá je rovnobežná s rovinou vodiaceho kruhu (Obr. 34).

Obr. 32 Obr. 33 Obr. 34.

Kužeľ môže byť považovaný za teleso získané otáčaním obdĺžnikového trojuholníka okolo osi obsahujúcej jeden z trojuholníkových katéstie.

Kruh, ktorý obmedzuje kužeľ, ho nazýva základňa . Vrchol kužeľového povrchu sa nazýva náter kužeľ. Segment spájajúci vrchol kužeľa so stredom jeho základne sa nazýva výška kužeľ. Segmenty, ktoré tvoria kužeľovitý povrch tvarovanie kužeľ. Osi Kužeľ sa nazýva rovno, prechádza cez vrchol kužeľa a stred jeho základne. Axiálny prierez Prierez prechádza cez os cez kužeľovú os. Skenovanie bočného povrchu Kužeľový sektor, ktorého polomer rovná dĺžke Tvorba kužeľa a dĺžka odvetvia oblúka sa rovná dĺžke obvodu základne kužeľa.

Pre kužeľ viera vzorca:

kde R. - polomer základne;

H. - výška;

l. - dĺžka tvarovania;

S OSN - základná plocha;

Strana

S plné

V. - objem kužeľa.

Skrátený kužeľ Časť kužeľa, uzavretá medzi základňou a zaisťovacou rovinou, rovnobežnou so základňou kužeľa (obr.35).

Skrátený kužeľ môže byť považovaný za teleso získané počas otáčania obdĺžnikového lichobežníka okolo osi obsahujúcej bočnú stranu lichobežníka, kolmého na bázy.

Dve kruhy, ktoré obmedzujú kužeľ, sa nazývajú povodia . Výška Skrátený kužeľ sa nazýva vzdialenosť medzi jeho základmi. Segmenty, ktoré tvoria kužeľovitý povrch skráteného kužeľa tvarovanie . Priamo, prechádzajúce cez základné centrá osi skrátený kužeľ. Axiálny prierez Nazýva sa prierez prechádzajúcej osou skráteného kužeľa.

Pre skrátený kužeľ platí vzorec:

(8)

kde R. - polomer spodnej základne;

r. - polomer hornej základne;

H. - výška, l - dĺžka tvarovania;

Strana - bočný povrch;

S plné - oblasť úplného povrchu;

V. - Objem skráteného kužeľa.

Príklad 1.Sekcia kužeľa rovnobežne so základňou rozdelí výšku z hľadiska 1: 3, počítanie z vrcholu. Nájdite si bočný povrch zrezaného kužeľa, ak je polomer základne a výšku kužeľa 9 cm a 12 cm.

Rozhodnutia. Urobte kresbu (obr. 36).

Na výpočet bočného povrchu zrezaného kužeľa používame vzorec (8). Nájdeme rádio dôvodov O 1 A. a O 1 B. a tvarovanie Av.

Zvážte takéto trojuholníky SO 2 B. a Takže 1 A., pomer podobnosti, potom

Odtiaľ

Ako to

Bočný povrch zrezaného kužeľa je:

Odpoveď: .

Príklad2. Štvrtina okruhu polomeru sa valvila do kužeľového povrchu. Nájdite polomer základne a výšku kužeľa.

Rozhodnutia.Kruh trajektu je skenovanie bočného povrchu kužeľa. Označiť r.- polomer jej základy, H -výška. Bočný povrch sa vypočíta podľa vzorca :. Je to rovná ploche štvrťroka kruhu :. Dostaneme rovnicu s dvoma neznámami r.a l. (vytvorenie kužeľa). V tomto prípade sa tvarovanie rovná polomeru štvrtiny kruhu R.Znamená to, že získame nasledujúcu rovnicu: Kde poznať polomer základne a kovania, nájdeme výšku kužeľa:

Odpoveď: 2 cm ,.

Príklad 3. Obdĺžnikový lichobežník s akútnym uhlom 45 o, menšou základňou 3 cm a naklonenou stranou rovnosti, sa otáča okolo boku kolmej bázy. Nájdite objem výsledného tela otáčania.

Rozhodnutia.Urobte kresbu (obr. 37).

V dôsledku otáčania získame skrátený kužeľ, aby sme našli jeho hlasitosť na výpočet väčšieho polomeru a výšky. V lichobežníkov O 1 o 2 ab Strávme AC ^ o 1 b. Mať: to znamená, že tento trojuholník je predchádzajúci Striedavý=Bc.\u003d 3 cm.

Odpoveď:

Príklad 4.Trojuholník so stranami 13 cm, 37 cm a 40 cm otáča okolo vonkajšej osi, ktorá je rovnobežná s väčšou stranou a je z neho vo vzdialenosti 3 cm (os je umiestnená v rovine trojuholníka). Nájdite plochu výsledného tela otáčania.

Rozhodnutie . Urobte kresbu (obr. 38).

Povrch výsledného tela otáčania sa skladá z bočných povrchov dvoch skrátených kužeľov a bočného povrchu valca. S cieľom vypočítať tieto oblasti je potrebné poznať polomery základných kužeľov a valca ( Byť. a Oc.) vytvorenie kužeľov ( Bc. a Striedavý) a výška valca ( Abs). Nie je známe Co.. Toto je vzdialenosť zo strany trojuholníka k osi otáčania. Nájsť Dc. Oblasť trojuholníka ABC na jednej strane sa rovná produktu pol bočnej AB na výšku, ktorá sa jej vykonáva DcNa druhej strane, poznanie všetkých strán trojuholníka, jeho plocha je vypočítaná Geronovým vzorcom.

Obr. 1. Objekty zo života s skráteným kužeľom

Čo si myslíte, odkiaľ pochádzajú nové čísla z geometrie? Všetko je veľmi jednoduché: osoba v živote čelí podobným objektom a prichádza s tým, ako ich zavolať. Zvážte TUBBA, na ktorej levy sedia v cirkuse, kúsok mrkvy, ktorý sa ukáže, keď sme narezali iba časť toho, pôsobiace sopky a napríklad svetlo z baterky (pozri obr. 1).

Obr. 2. Geometrické tvary

Vidíme, že všetky tieto obrázky, ako je tvar - a nižšie, a na vrchole sú obmedzené na kruhy, ale zúžívajú sa (pozri obr. 2).

Obr. 3. Odstránenie hornej časti kužeľa

Vyzerá to ako kužeľ. Chýba len vrcholy. Mentálne si predstavte, že berieme kužeľ a stlačte z neho hornú časť s jedným inšpirovaným mečom (pozri obr. 3).

Obr. 4. Skrátený kužeľ

Ukazuje len na našu postavu, nazýva sa skrátený kužeľ (pozri obr. 4).

Obr. 5. Sekcia, paralelný základný kužeľ

Nech je uvedený kužeľ. Rovinu vykonávame rovnobežnú so základnou rovinou tohto kužeľa a prejdete kužeľom (pozri obr. 5).

Rozbije kužeľ na dve telá: Jeden z nich je kužeľ menšej veľkosti a druhá sa nazýva zrezaný kužeľ (pozri obr. 6).

Obr. 6. Výsledné telá s paralelným prierezom

Takže skrátený kužeľ je súčasťou kužeľa, uzavretý medzi jeho základňou a paralelnou základňou roviny. Rovnako ako v prípade kužeľa, skrátený kužeľ môže mať kruh na základni - v tomto prípade sa nazýva kruhový. Ak bol zdrojový kužeľ rovný, potom sa skrátený kužeľ nazýva priamo. Rovnako ako v prípade kužeľov, zvážime výlučne rovné kruhové skrátené šišky, ak nie je konkrétne naznačené, že hovoríme o nepriamej skrátenom kužele alebo v jej základoch nie sú kruhy.

Obr. 7. Rotácia obdĺžnikového lichobežníka

Naša globálna téma je telá otáčania. Skrátený kužeľ nie je výnimkou! Pripomeňme, že na prijatie kužeľa sme uvažovali správny trojuholník A otočil sa okolo kategórie? Ak výsledný kužeľ prekračuje rovinu rovnobežnú so základňou, potom z trojuholníka zostane pravouhlý trapezín. Jej rotácia okolo menšej strany a dá nám skrátený kužeľ. Opäť si všimneme, že hovoríme, len o priamom kruhovom kužele (pozri obr. 7).

Obr. 8. Základy skráteného kužeľa

Urobíme niekoľko pripomienok. Základom úplného kužeľa a kruhu, čo vedie k prierezu roviny kužeľa, sa nazývajú bázky skráteného kužeľa (dno a horné) (pozri obr. 8).

Obr. 9. Vytvorenie skráteného kužeľa

Segmenty tvorby kompletného kužeľa, uzavreté medzi základmi skráteného kužeľa, sa nazývajú vytvorenie skráteného kužeľa. Vzhľadom k tomu, všetky generátory pôvodného kužeľa sú rovnaké a všetky tvoriace cut-off cons sú rovnaké, potom sa vytvorí skrátené šišky sú rovné (nie zmätené a skrátené!). Sleduje rovnocennosť lichobežníka axiálneho prierezu (pozri obr. 9).

Segment osi otáčania, uzavretého vo vnútri skráteného kužeľa, sa nazýva os skráteného kužeľa. Tento segment, samozrejme, spája centrá jeho základov (pozri obr. 10).

Obr. 10. Os skráteného kužeľa

Výška skráteného kužeľa je kolmá vykonaná z bodu jednej z báz na inú základňu. Najčastejšie sa jej osi považuje za výšku skráteného kužeľa.

Obr. 11. Axiálna časť skráteného kužeľa

Axiálny prierez skráteného kužeľa je prierez prechádzajúci svojou osou. Má prostriedok lichobežníka, o niečo neskôr preukázať svoju rovnosť (pozri obr. 11).

Obr. 12. Kužeľ so zadanými označeniami

Nájdeme bočný povrch zrezaného kužeľa. Nechajte základne skráteného kužeľa majú polomery a a vytvárajú rovné (pozri obr. 12).

Obr. 13. Určenie vytvorenia cut-off Cone

Nájdeme oblasť bočného povrchu skráteného kužeľa ako rozdiel v priestoroch priestoru zdrojového kužeľa a cut-off. Na tento účel sme označili vytváracím cut-off cone (pozri obr. 13).

Potom.

Obr. 14. Podobné trojuholníky

Zostáva vyjadriť.

Všimnite si, že z podobnosti trojuholníkov, odkiaľ (pozri obr. 14).

Bolo by možné vyjadriť, rozdeliť polomer na rozdiel, ale nepotrebujeme to, pretože v umeleckom vyjadrení sa objavuje len na práci. Namiesto toho sme nakoniec: .

Je ľahké získať vzorec pre plnú plochu. Na tento účel to stačí pridať oblasti dvoch základných kruhov: .

Obr. 15. Ilustrácie pre úlohu

Nech je skrátený kužeľ získaný otáčaním obdĺžnikového lichobežníka okolo jeho výšky. Stredná čiara lichobežníka je rovná a veľká bočná strana - (pozri obr. 15). Nájdite bočný povrch výsledného skráteného kužeľa.

Rozhodnutie

Podľa vzorca, že to vieme .

Tvorba kužeľa bude veľká strana zdroja lichobežníka, to znamená, že kužeľové polomer je základom lichobežníka. Nemôžeme ich nájsť. Ale nepotrebujeme: je potrebná len ich suma, a množstvo základov lichobežníka dvakrát najviac z jeho strednej čiary, to znamená, že je to rovnaké. Potom.

Upozorňujeme, že keď sme hovorili o kužele, strávili sme paralely medzi ňou a pyramídou - vzorce boli podobné. Tiež tu, pretože skrátený kužeľ je veľmi podobný skrátenej pyramídu, takže vzorce pre priestor na boku a úplné povrchy skráteného kužeľa a pyramídy (a čoskoro budú vzorce pre objem) sú podobné.

Obr. 1. Ilustrácie pre úlohu

Radii základne skráteného kužeľa sú rovné obom a tvarovanie je rovnaké. Nájdite výšku skráteného kužeľa a jeho axiálneho prierezu (pozri obr. 1).

a rovinu rovnobežnú so základňou ( obr. ). Objem u. K. Rovné , Kde r. 1 I. r. 2 – základné polomery h -výška.

Veľká sovietska encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. 1969-1978 .

Sledujte, čo je "skrátený kužeľ" v iných slovníkoch:

Geometrické teleso odrezané z kužeľa s rovinou rovnobežnou so základňou (obr.). Objem skráteného kužeľa je rovnaký. * * * Konečne kužeľ skrátený kužeľ, geometrické telo, odrezané z kužeľa s rovinou rovnobežnou so základňou. Objem ... ... Encyklopedický slovník

frustum - - Témy ropný a plynárenský priemysel en skrátený kužeľ ... Technický adresár prekladateľa

Skrátené, skrátené, skrátené; skrátené, skrátené, skrátené. 1. Mimochodom Strada. Post. Bp. z žľabu (kniha). 2. Tak, v ktorom je horná časť odrezaná rovinou rovnobežnou so základňou (okolo kužeľa, pyramídy; rohože). Frustum. Skrátená pyramída ... Slovník USHAKOVA

skrátený - AYA, OE; Podložka. Toto, v ktorom je horná časť odrezaná rovinou rovnobežnou so základňou. Frustum. Na Aya Pyramid ... Slovník mnohých výrazov

Skrátené, Aya, OE. V matematike: Takéto v časti Rogo vrchole je oddelená, odrezaná s rovinou rovnobežnou so základňou. W. Kone. Skrátená pyramída. Vysvetľujúci slovník ozhegov. S.I. OZHEGOV, N.YU. Swedov. 1949 1992 ... Vysvetľujúci slovník ozhegov

AYA, OE. 1. Mimochodom Strada. Post. Z hush. 2. V zmysle Arr. podložka. Toto, v ktorom je horná časť odrezaná rovinou rovnobežnou so základňou. Frustum. Skrátená pyramída. 3. V zmysle Arr. Gram., Lit. S trupom (v 2 významoch), reprezentujúci ... Malý akademický slovník

Priamy kruhový kužeľ. Priamo a ... Wikipédia

- (LAT. CONUS, z Gréckeho. Konos) Kužeľový povrch Mnohé priame (tvárnenie) priestory spájajúce všetky body nejakého druhu riadku (sprievodca) s daným bodom (vrchol) priestoru. Najjednoduchší K. ROUND, ALEBO DIRECTION KRYTUJÚCEHO PRÍRUČKA TO ... Veľký encyklopedický polytechnický slovník

- (LAT. CONUS, z gréckej. Konos) (matematika), 1) K. alebo kužeľový povrch, geometrické miesto priameho (tvárniaceho) priestory spájajúce všetky body nejakej čiary (sprievodca) s týmto bodom (vrchol) Vesmír. ... ... Veľká sovietska encyklopédia

Svet okolo nás je dynamický a rôznorodý a nie každý objekt možno jednoducho merať vládcom. Pre takýto prevod sa používajú špeciálne techniky, ako je triangulácia. Potreba zostavovania komplexných remesiel, spravidla, ... ... Wikipedia

Prednáška: Kužeľ. Základňa, výška, bočné povrchy, zametanie

Kužeľ - Toto je telo, ktoré sa skladá z kruhu, ktorý je založený, z bodu ekvidistant od všetkých bodov na kruhu, ako aj z priameho pripojenia tohto bodu (vrchol) so všetkými bodmi ležiacimi na kruhu.

Niekoľko otázok, ktoré sme považovali za pyramídu. Takže tu je kužeľ - to je súkromný prípad pyramídy, na ktorej je kruh. Takmer všetky vlastnosti pyramídy sú vhodné na kužeľ.

Ako môžem získať kužeľ? Pamätajte si poslednú otázku a ako sme dostali valca. Teraz si vezmite rovnocenný trojuholník a otočte ho okolo svojej osi - dostanete kužeľ.

Kužeľ- Toto sú segmenty, ktoré sú uzatvorené medzi bodmi kruhu a vrcholom kužeľa. Tvorba kužeľov sú vzájomne rovné.

Ak chcete nájsť dĺžku tvárnenia, mali by ste použiť vzorca:

Ak sa všetky generátory môžu navzájom kombinovať, môžete získať bočný povrch kužeľa. Celkový povrch pozostáva z bočného povrchu a báz vo forme kruhu.

Kužeľ má výška. Ak chcete získať, stačí znížiť kolmú vrchu, priamo v strede základne.

Ak chcete nájsť bočný povrch, mali by ste použiť vzorca:

Ak chcete nájsť úplnú plochu kužeľa, použite nasledujúci vzorec.

Skrátený kužeľ sa získa, ak je odrezaný kužeľ menší kužeľ s rovinou rovnobežnou so základňou (obr. 8.10). V skrátenom kužele, dve bázy: "nižšie" - základňa pôvodného kužeľa - a "horného" - základne cut-off kužeľ. Veta na priereze kužeľa - základne skráteného kužeľa je podobný.

Výška skráteného kužeľa sa nazýva kolmo, znížená z bodu jednej základne do roviny druhej. Všetky takéto kolmé sú rovnaké (pozri odsek 3.5). Tiež sa nazývajú aj ich dĺžka, t.j. vzdialenosť medzi základnými rovinami.

Skrátený rotačný kužeľ sa získa z rotačného kužeľa (obr. 8.11). Preto jeho základy a všetky paralelné prierezy sú kruhy s centrami na jednej priamke - na osi. Skrátený rotačný kužeľ sa získa otáčaním obdĺžnikového lichobežníka okolo jeho boku, kolmého na bázy alebo otáčanie.

rovnaký lichobežník okolo osi symetrie (obr. 8.12).

Bočný povrch zrezaného rotačného kužeľa

To patrí k nemu časť bočného povrchu otočného kužeľa, z ktorej sa získa. Povrch skráteného kužeľa otáčania (alebo jeho úplného povrchu) pozostáva z jeho základov a jeho bočného povrchu.

8.5. Obrazy rotačných kužeľov a skrátené rotačné kužele.

Priamy kruhový kužeľ je takto nakreslený. Najprv nakreslite elipsu zobrazujúcu základný obvod (obr. 8.13). Potom nájdite stred základne - bod o a vertikálne trávi segment RO, ktorý zobrazuje výšku kužeľa. Zo bodu P Strávte na elipse Tomengents (podpora) rovno (prakticky je to na oku, aplikovanie pravítka) a rozlišovať medzi RA a RV týchto priamych z bodu R do bodu dotyku A a B. Upozorňujeme, že segment AB nie je priemer základného kužeľa a trojuholník ARV nie je axiálny prierez kužeľa. Axiálny prierez kužeľa je trojuholník ARS: Reč AU prechádza cez bod O. Neviditeľné čiary sú čerpané ťahy; Často nie sú maľovať, ale len psychicky načrtnuté na zobrazenie hornej časti kužeľa R napriek nad stredom základne - bod o.

Zobrazenie skráteného kužeľa, je vhodné kresliť tento kužeľ, z ktorého sa získa skrátený kužeľ (obr. 8.14).

8.6. Kužeľové úseky. Už sme povedali, že bočný povrch roviny otáčania prechádza elipse (článok 6.4). Tiež prierez bočného povrchu roviny rotačného kužeľa, ktorý neprechádza jeho základňou, je elipsa (obr. 8.15). Preto sa elipsa nazýva kužeľový prierez.

Kužeľové úseky zahŕňajú iné dobre známe krivky - hyperbolles a paraboly. Zvážte neobmedzený kužeľ, získaný pokračovaním bočného povrchu otočného kužeľa (obr. 8.16). Prejdeme cez rovinu A, neprechádzame cez vrchol. Ak a prejde všetkým vytvorením šišky, potom v sekcii, ako už bolo spomenuté, získame elipsu (obr. 8.15).

Otáčaním roviny operačného systému sa dá dosiahnuť, aby prechádza všetkým tvoriacim kužeľom, s výnimkou jedného (ktorá paralelná). Potom v sekcii dostaneme parabolu (obr. 8.17). Nakoniec, otočenie lietadla OS ďalej, prekladáme ho do takejto pozície, pretože prejdením niektorých tvarovacích kužeľov do K, neprechádza nekonečným mnohým z jeho iných generátorov a paralelne s dvoma z nich (obr. 8.18). Potom v priereze kužeľa do roviny a získame krivku nazývanú hyperbole (presnejšie, jedna "vetva"). Tak, hyperbole, ktorý je funkčným plánom špeciálny prípad hyperbolov - rovnaký hyperbole, rovnako ako kruh je špeciálny prípad elipsy.

Akékoľvek hyperboly môžu byť získané z rovnomerne schopného navrhnúť, podobne ako elipsa získaná paralelným dizajnom kruhu.

Aby sa získali obidva konáre hyperbolov, je potrebné vziať prierez kužeľa, ktorý má dve "dutiny", t.j. kužeľ tvorený non-ray, ale priamym obsahom, ktorý tvorí rotačný kužeľ, ktorý tvorí bočný povrch (obr. 8.19).

Kužeľové úseky študovali staršie grécke geometre a ich teória bola jedným z vrcholov starovekej geometrie. Najkomplexnejšiu štúdiu kužeľových sekcií v staroveku bola vykonaná Apollonia Perga (III storočia. BC).

Existuje množstvo dôležitých vlastností, ktoré kombinujú elipsy, hyperboly a paraboly. Napríklad sú vyčerpané "non-degenerované", t.j., nie je nadbytočné na bod, priamy alebo pár priamych, kriviek, ktoré sú špecifikované v lietadle v karteziánskych súradniciach rovníc formulára

Kužeľové úseky zohrávajú dôležitú úlohu v prírode: v eliptických, parabolických a hyperbolických dráhach sa pohybujú v poli v oblasti gravitácie (zapamätajte si zákony Kepler). Nádherné vlastnosti kužeľových sekcií sa často používajú vo vede a technológii, napríklad pri výrobe niektorých optických prístrojov alebo reflektorov (povrch zrkadla v reflektoroch sa získa otáčaním paraboly oblúka okolo osi parabola). Kužeľové úseky možno pozorovať ako hranica odtieňov z okrúhlych svetiel (obr. 8.20).